Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC a , b, c a+b+c = Cho số thực thỏa mãn Chứng minh 4 3 a + b + c ≥ 2( a + b + c ) Bài Lời giải a − 2a − ( 8a − 16 ) = ( a − ) (a − 2a ) +(b (a − 2b ) + ( c − c − 2a + ) ≥ ⇒ a − 2a ≥ 8a − 16 ) ≥ ( a + b + c ) − 48 = Hồn tồn tương tự ta có a + b4 + c ≥ ( a + b3 + c ) hay a − 2a − ( 8a − 16 ) ≥ Câu hỏi đặt làm ta nghĩ chứng minh , hay nói 8a − 16 cách khác đại lượng xuất Điểm cốt lõi phương pháp tiếp tuyến Trong phương pháp chứng minh ta thực sau Xét hàm số f ( x) = x − x , phương trình tiếp tuyến hàm số x − x ≥ x − 16 chứng minh ta biến nghĩ đến phép biến đổi x − x − ( x − 16 ) = ( x − ) g ( x ) Vì x=2 x=2 y = x − 16 nghiệm kép phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số Bài Cho a , b, c > a + b + c = a ≥ + bc ( b + c) 1+ = f ( x) = a b c + + ≥ + bc + ca + ab 10 4a + (1− a) Định hướng giải Xét hàm số Chứng minh bất đẳng thức a 4x ; x0 = x − 2x + y= PTTT 99 x − 100 4x 99 x − ( 3x − 1) ( 15 − 11x ) − = ≥ ∀x ∈ ( 0,1) x − 2x + 100 100 ( x − x + 5) Ta có Bài Cho a , b, c Để độ dài cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + ≥ 4 + + ÷ a b c a+b+c a+b b+c c+a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước HD Bất đẳng thức cho nên ta chuẩn hóa a + b+ c =1 4 1 1 1 + ÷+ − + ÷+ − + 3÷≥ − a 1− a b 1− b c 1− c bất đẳng thức f ( x) = − +3 x 1− x x= GV Nguyễn Hữu Hiếu Ta cần chứng minh Xét hàm số y = 18 x − a , b, c Phương trình tiếp tuyến đồ thị Chú ý 1 = a + b + c > 2a ⇒ a < ⇒ x < 2 cạnh tam giác nên Từ suy 1 f ( x ) − ( 18 x − 3) ≥ ∀x ∈ 0, ÷ 2 a, b, c ≥ − Bài Cho , thỏa mãn a b c + + ≤ a + b + c + 10 f ( x) = HD Xét hàm số Bài Cho x x +1 a +b+ c =1 x= , pttt Chứng minh bất đẳng thức y= 36 x + 50 a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 2 ( b + c − a ) + ( c + a − b) + ( a + b − c) ≥ 2 ( b + c ) + a ( c + a ) + b2 ( a + b ) + c ( − 2a ) HD Chuẩn hóa a +b+ c =1 f ( x) = Xét hàm số Bài Cho Ta cần chứng minh bất đẳng thức ( − 2x ) 2x − 2x + x= Pttt hàm số điểm ∑ 2a y= − 2a + ≥ −54 x + 23 25 a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 2 ( b + c + 2a ) + ( c + a + 2b ) + ( a + b + 2c ) ≤ 2 ( b + c ) + 2a ( c + a ) + 2b2 ( a + b ) + 2c 2 HD Chuẩn hóa Bài Cho a +b+ c =1 a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a + b + c ≥ ab + bc + ca Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu = ( a + b + c ) ⇔ = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ⇔ ab + bc + ca = 2 2 − ( a + b2 + c ) HD phải chứng minh bất đẳng thức a+ b+ c≥ Xét hàm số Bài Cho − ( a + b2 + c ) ⇔ a + b2 + c + ( Ta ) a+ b+ c ≥9 f ( x) = x2 + x − a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 1+ 1 1 a + b2 + c ) + + ÷ ≥ a + b + c + a + b2 + c ( 3 a b c HD Chuẩn hóa a + b2 + c2 = Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1+ 1 + + ÷≥ a + b + c + 3 a b c y=− 1+ − x, x ∈ ( 0,1) 3x f ( x) = Xét hàm số x= , pttt 1+ 2+2 x+ 3 a Bài Cho a, b, c > HD Chuẩn hóa Bài 10 Cho Chứng minh bất đẳng thức a +b+ c =1 a, b, c > a, b, c > ( b + c) + b ( c + a) + c ( a + b) ≥ 4( a + b + c) thỏa mãn a+b+c =3 Chứng minh 1 + + ≥ a + b2 + c 2 a b c a + b2 + c ≤ ( a + b + c ) ≤ a, b, c HD Do nên Từ có ba số nhỏ 1 1 a< + + > > a + b2 + c 2 3 a b c , chẳng hạn nên bất đẳng thức chứng minh a, b, c ≥ Bây ta xét trường hợp f ( x) = Xét hàm số y = −4 x + , kết hợp điều kiện 1 7 − x2 , x ∈ ; x 3 3 a+b+c =3 Phương trình tiếp tuyến suy f ( x) 1 7 a, b, c ∈ ; 3 3 điểm x =1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 11 Cho GV Nguyễn Hữu Hiếu a, b, c > Chứng minh a b2 c2 a+b+c + + ≥ 2a + ab + b 2b2 + bc + c 2c + ca + a 2 HD Chuẩn hóa f ( x) x =1 3 x ∈ 0, ÷ 11 Với a +b+ c =1 y= f ( x) = Xét hàm số 11x − 16 x2 x2 + x + x 2x + x + Ta chứng minh ≥ Phương trình tiếp tuyến 11x − ; ∀x > 16 Thật với bất đẳng thức ln ( x − 1) ( 14 x + 39 x − ) 11x − 3 ≥ ⇔ ≥ , ∀x ≥ 2 16 2x + x + 11 2x + x + x2 x≥ 11 a b c , , x b c a cộng bất đẳng thức theo vế ta có đpcm Bài 12 Cho a, b, c > Chứng minh Từ ta chọn 29a − b3 29b − c 29c − a + + ≤ 4( a + b + c) ab + 6a bc + 6b2 ca + 6c Lời giải Chuẩn hóa a+b+c =3 Xét hàm số 29 x − f ( x) = x + 6x2 x= Phương trình tiếp tuyến − ( x − 1) ( x + 1) 29 x − ≥ 5x − ⇔ ≤ , ∀x > x + 6x x + 6x2 y = 5x − a b c , , b c a Ta có Từ ta chọn x cộng bất đẳng thức theo vế ta có đpcm Bài 13 Cho a , b, c số thực dương Chứng minh a b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 f ( x) = HD Xét hàm số x3 x2 + x + Phương trình tiếp tuyến ( x − 1) ( x + 1) ≥ , ∀x > x3 2x −1 ≥ ⇔ x + x +1 3 ( x + x + 1) x0 = y= 2x − Ta có bất đẳng thức theo vế ta có đpcm Từ ta chọn x a b c , , b c a cộng Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu a , b, c Bài 14 Cho số thực dương Chứng minh a b3 c3 a +b+c + + ≥ 2 2 a + 2b b + 2c c + 2a 3 f ( x) = HD Xét hàm số Bài 15 Cho a , b, c x3 x2 + Phương trình tiếp tuyến x =1 y= 7x − số thực dương Chứng minh a b c a + b2 + c + + ≥ 3 a+b b+c c+a f ( x) = HD Xét hàm số x x +1 Ta chứng minh x 5x − ≥ x +1 a, b, c > a+b+c =3 thỏa mãn Chứng minh 3 3 a +b b +c c3 + a 3 + + ≥ 3a − 4ab + 11b2 3b2 − 4bc + 11c 3c − 4ca + 11c Bài 16 Cho Định hướng giải Ta cần xác định Xét hàm số m, n thỏa mãn a ÷ 3 a +b a b ≥ ma + nb ⇔ ≥ m ÷+ n 2 3a − 4ab + 11b b a a ÷ − ÷ + 11 b b t3 + f ( x) = 3t − 4t + 11 Phương trình tiếp tuyến f ( x) điểm x =1 y= 13 x− 50 50 a, b, c > a +b+ c =1 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P= + + 2 + a + b + c2 Bài 17 Cho f ( t) = HD: Xét hàm số 27 27 y=− t+ 5x 25 1 + t2 Phương trình tiếp tuyến f (t ) t= điểm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 18 Cho Bài 19 Cho a, b, c ∈ ( 0,1) Bài 20 Cho P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức x, y , z < 1, x + y + z = a, b, c, d > a + b + c + d = GV Nguyễn Hữu Hiếu Chứng minh a b c + + 2 − a − b − c2 1 27 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 ( a + b3 + c + d ) ≥ ( a + b2 + c + d ) + Chứng minh a, b, c > Chứng minh a b2 c2 + + ≥ ( a + b + c) 1 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 4 Bài 21 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c 3 + + ≥ a + b + c a+b b+c c+a Bài 22 Cho Bài 23 Cho Bài 24 Cho Bài 25 Cho Bài 26 Cho Bài 27 Cho Bài 28 Cho Bài 29 Cho ( a , b, c > a + b + c = Chứng minh a , b, c > 2 a + b + c = CMR: a, b, c > 2 a + b + c = a, b, c, d > a + b + c + d = a + b2 + c = a , b, c > a + b + c = CMR: CM: CM 10( a + b3 + c ) − 9( a + b5 + c ) ≥ 1 1 + + ÷− ( a + b + c ) ≥ a b c 1 1 + + ÷+ ( a + b + c ) ≥ a b c 1 1 16 + + + ≥ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d 1 + + ≤1 a + − a b5 + − b c + − c CM a , b, c > 2 a + b + c = CM a, b, c > 4 a + b + c = CM ) a − 3a + + b − 3b + + 1 + + ≤ − ab − bc − ca 1 + + ≤1 − ab − bc − ca c − 3c + ≤3 Cho Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 30 Cho GV Nguyễn Hữu Hiếu a , b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1 + + ≤ + + a b c a +b−c b+c−a c +a −b Bài 31 Cho a, b, c > Chứng minh x2 Bài 32 Chứng minh x2 + ( y + z ) b+c c+a a+b b c a + + ≥ 4 + + ÷ a b c b+c c +a a +b + y2 y2 + ( x + z) ( b + c − 3a ) Bài 33 Cho Bài 34 Cho a, b, c > a, b, c > Chứng minh 2a + (b + c ) 2 + + 2z2 2z2 + ( y + x ) ( a + c − 3b ) 2b + ( a + c ) CM x, y , z > Bài 37 Cho a, b, c > + 1 + + ≤1 a +b+c b +c+a c +a +b ( CM (x +y +z CM a, b, c > CM a3 + ( b + c ) ) ( xy + yz + zx ) + ) ≤ 3+ b3 + ( a + c ) b3 + 2c + ( a + b ) 2 a3 Bài 36 Cho ≤1 ( a + b − 3c ) 2 xyz x + y + z + x + y + z Bài 35 Cho c3 c3 + ( b + a ) a b c + + ≥ (a + b + c) b+c c+a a +b ≤1 ≥ ... f ( x) điểm x =1 y= 13 x− 50 50 a, b, c > a +b+ c =1 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P= + + 2 + a + b + c2 Bài 17 Cho f ( t) = HD: Xét hàm số 27 27 y=− t+ 5x 25 1 + t2 Phương trình tiếp... x − f ( x) = x + 6x2 x= Phương trình tiếp tuyến − ( x − 1) ( x + 1) 29 x − ≥ 5x − ⇔ ≤ , ∀x > x + 6x x + 6x2 y = 5x − a b c , , b c a Ta có Từ ta chọn x cộng bất đẳng thức theo vế ta có đpcm... hàm số Bài 15 Cho a , b, c x3 x2 + Phương trình tiếp tuyến x =1 y= 7x − số thực dương Chứng minh a b c a + b2 + c + + ≥ 3 a+b b+c c+a f ( x) = HD Xét hàm số x x +1 Ta chứng minh x 5x − ≥ x +1