BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔN NỮ THÙY DUYÊN ĐỀ TÀI TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT Demo Version - Select.Pdf SDK CỦA IĐÊAN THAM SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS CAO HUY LINH Thành phố Huế - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Tôn Nữ Thùy Duyên Demo Version - Select.Pdf SDK LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh, người thầy tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập lớp cao học q trình hồn thành Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích, làm tảng để tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn bạn, anh, chị cao học viên Khóa K25 nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu quý thầy, cô giáo trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm tạo điều kiện thuận lợi để tơi tham gia hồn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn trình học tập, đặc biệt q trình hồn thành Luận văn Demo Version - Select.Pdf SDK Tôn Nữ Thùy Duyên Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Chiều vành mơđun 1.3 Dãy quy độ sâu 1.4 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.5 1.6 1.7 1.8 4 10 Vành môđun phân bậc 1.5.1 Vành môđun Cohen-macaulay Demo Version - Select.Pdf SDK 1.5.2 Độ dài môđun Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc Đối đồng điều địa phương Số mũ rút gọn iđêan m-nguyên sơ 11 13 14 15 17 19 TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 20 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 20 2.2 2.3 2.4 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết 21 Dãy phần tử siêu bề mặt 24 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số 24 MỞ ĐẦU Cho (A, m) vành giao hốn địa phương có chiều d Giả sử I iđêan m-nguyên sơ vành A Hàm số học HI : Z −→ N n −→ HI (n) := λ(A/I n ) n ≥ 0 n < 0, gọi hàm Hilbert-Samuel I Samuel chứng minh đươc tồn đa thức PI có hệ số hữu tỉ thỏa PI (n) = HI (n) với n đủ lớn Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel ứng với iđêan I viết dạng PI (n) = e0 (I) n+d−1 − e1 (I) d n+d−2 d−1 + + (−1)d ed (I), ei (I) số nguyên gọi hệ số Hilbert I Đặc biệt hệ số e0 (I) dương gọi số bội e1 (I) gọi hệ số Chern Mục đích luận văn nghiên cứu tính khơng dương hệ số Version - Select.Pdf SDK Hilbert Demo iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay Hệ số Hilbert bất biến đại số giao hốn Các hệ số Hilbert chứa nhiều thơng tin cấu trúc vành mơđun tương ứng nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Năm 2008, Vasconcelos đưa số giả thuyết hệ số Chern bật giả thuyết tính âm hệ số Chern: "Vành A không CohenMacaulay e1 (Q) < với iđêan tham số Q A" Giả thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giải thành cơng nhóm nghiên cứu Goto vào năm 2010 Trong trình giải giả thuyết tính âm hệ số Chern, Mandal-Sing-Verma [15] chứng minh e1 (Q) với iđêan tham số Q vào năm 2010 Tuy nhiên hệ số Hilbert khác dương Năm 2013, McCune [16] chứng minh depth(A) d − (với d chiều vành A) e2 (Q) Bên cạnh đó, [16] với giả thiết độ sâu vành phân bậc liên kết depth GQ (A) d − 1, McCune chứng minh ei (Q) với i = 1, , d Tuy nhiên, giả thiết depth GQ (A) d − mà McCune đưa mạnh Năm 2013, Linh-Trung [2] cải tiến kết McCune qua định lý sau: Định lý 2.4.15: Cho (A, m) vành địa phương Noether có dim(A) = d depth(A) d − Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Q iđêan tham số Nếu depth (G (Q)) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, , d Để chứng minh định lý này, Linh-Trung sử dụng hàm sai phân hàm f = HQ − PQ (hàm sai phân f ∆f = f (n + 1) − f (n)) Trong luận văn này, chứng minh lại kết phương pháp khác Chúng dùng kết Hoa [10] (G (I n )) 0, ∀n để kiểm soát hệ số Hilbert Ưu điểm phương pháp suy tính khơng dương hệ số e3 (Q) Hệ 2.4.17: Nếu d depth (A) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, 2, Luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hoán bao gồm khái niệm số bổ đề nhằm hỗ trợ cho chứng minh chương sau Trong Chương 2, tập trung vào nội dung luận văn khảo sát tính không dương hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số, cụ thể kết Linh-Trung Sau dùng phương pháp khác để chứng minh lại kết Linh-Trung Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ quý Thầy cô giáo bạn để Demo Version - Select.Pdf SDK luận văn hoàn thiện ... TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 20 2.1 Hàm Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel 20 2.2 2.3 2.4 Mối quan hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên... siêu bề mặt 24 Tính không dương hệ số Hilbert iđêan tham số 24 MỞ ĐẦU Cho (A, m) vành giao hốn địa phương có chiều d Giả sử I iđêan m-nguyên sơ vành A Hàm số học HI :... nguyên gọi hệ số Hilbert I Đặc biệt hệ số e0 (I) dương gọi số bội e1 (I) gọi hệ số Chern Mục đích luận văn nghiên cứu tính khơng dương hệ số Version - Select.Pdf SDK Hilbert Demo iđêan tham số vành