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Select.Pdf❍✉➳✱ SDK ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❍å❝ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❚r➛♥ ❚❤à ❱✐➺t ❚r✐♥❤ ✐✐✐ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ❚r❛♥❣ ♣❤ư ❜➻❛ ✐ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✐✐✐ ▼ư❝ ❧✉❝ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ị ì ề ữỡ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✼ ✶✳✶ ❱➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❑r✉❧❧ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✶✳✶✳✶ ✶✳✶✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ❱➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ❈❤✐➲✉ ❑r✉❧❧ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ❱➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✶✳✸ ✶✳✶✳✹ ✶✳✷✳✶ ✣❛ t↕♣ ①↕ ↔♥❤ Demo Version - Select.Pdf SDK ❍➔♠ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✷ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✷✳✸ ▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ✈ỵ✐ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❈❛st❡❧♥✉♦✈♦✲▼✉♠❢♦r❞ ❝õ❛ ✈➔♥❤ t♦↕ ✤ë✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët sè t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ P ✷✵ n ✷✳✶ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ♥➡♠ tr➯♥ ✷ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✷✵ ✷✳✷ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ s ✤✐➸♠ ❜➨♦ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ Pn ✱ s ≤ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✸ ✷✻ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ♥✰✸ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ tr♦♥❣ Pn ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸✸ ✶ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✹ Demo Version - Select.Pdf SDK ị ì ề ❑➼ ❤✐➺✉ Þ ♥❣❤➽❛ ❚➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ ❚➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ ♥✲❝❤✐➲✉ tr➯♥ tr÷í♥❣ ✤â♥❣ ✤↕✐ sè ❦ R := k[x0 , , xn ] ❱➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ x0 , , xn tr➯♥ tr÷í♥❣ k ❆♥♥(M ) ❆♥♥✐❤✐t♦r ❝õ❛ R✲♠ỉ✤✉♥ M e(A) ❙è ❜ë✐ ❝õ❛ ✈➔♥❤ t♦↕ ✤ë t❤✉➛♥ ♥❤➜t A HM (t) ❍➔♠ ❍✐❧❜❡rt ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ M r❡❣(Z) ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ Z (S) ✭❤❛② S ✮ ■❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè t❤✉➛♥ ♥❤➜t ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ t➟♣ S M ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ Md d d ❞✐♠B ❈❤✐➲✉ ✭❑r✉❧❧✮ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B Z(T ) ❚➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t➟♣ T ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ✈➔♥❤ R = k[x0 , , xn ] rf t ỗ f [a] ❙è ♥❣✉②➯♥ ❧ỵ♥ ♥❤➜t b s❛♦ ❝❤♦ b ≤ a✱ a ∈ Q Z Z+ Pn := Pnk Demo Version - Select.Pdf SDK ✸ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❤➔♠ ❍✐❧❜❡rt✱ ❝ư t❤➸ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ X = {P1 , , Ps } ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ Pn := Pnk ợ k ởt trữớ õ số ●å✐ ℘1 , , ℘s ❧➔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ R := k [x0 , , xn ] tữỡ ự ợ P1 , , Ps ✳ ❈❤♦ ms m1 , , ms ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ✤➦t I := ℘m ∩ ∩ ℘s ✳ ❚❛ ❣å✐ (X, I) t tr Pn ỵ Z := m1 P1 + · · · + ms Ps ❱➔♥❤ t♦↕ ✤ë t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝õ❛ Z ❧➔ A := R/I ✳ ❱➔♥❤ A = ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈ỵ✐ ❜ë✐ ❝õ❛ ♥â ❧➔ s e(A) := i=1 t≥0 At ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ mi + n − n ❍➔♠ ❍✐❧❜❡rt ❝õ❛ Z ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ HA (t) := dimk At ✱ t➠♥❣ ❝❤➦t ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ✤↕t ✤÷đ❝ sè ❜ë✐ e(A)✱ t↕✐ ✤â ♥â ❞ø♥❣✳ ❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ Z ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ sè Version - Select.Pdf SDK ♥❣✉②➯♥ ❜➨ ♥❤➜tDemo t s❛♦ ❝❤♦ HA (t) = e(A) ✈➔ ♥â ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ r❡❣(Z)✳ ❱➜♥ ✤➲ t➻♠ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② r❡❣(Z) ✤➣ ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ◆➠♠ ✶✾✻✶✱ ❙❡❣r❡ ✭①❡♠ ❬✶✼❪✮ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤÷đ❝ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤♦ ❝→❝ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ tê♥❣ q✉→t Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tr♦♥❣ P2 ✿ reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms ✈ỵ✐ m1 ≥ · · · ≥ ms ✳ ✣➳♥ ♥➠♠ ✶✾✾✶✱ ❈❛t❛❧✐s❛♥♦ ✭①❡♠ ❬✻❪✮ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❝❤♦ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t tr♦♥❣ P2 ✳ ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✸✱ ❈❛t❛❧✐s❛♥♦✱ ❚r✉♥❣ ✈➔ ❱❛❧❧❛ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝❤♦ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t tr♦♥❣ Pn ✿ m1 + · · · + ms + n − n ◆➠♠ ✶✾✾✻✱ ◆✳❱✳❚r✉♥❣ ✭①❡♠ ❬✷✵❪✮ ✤➣ ❞ü ✤♦→♥ r➡♥❣ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ởt t tý ỵ Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tr♦♥❣ Pn ❧➔ reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, r❡❣(Z) ≤ max {Tj |j = 1, , n} , tr♦♥❣ ✤â ✹ Tj = max q l=1 mi l + j − |Pi1 , , Piq ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❥✲♣❤➥♥❣ ✳ j ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❞ü ✤♦→♥ ❝õ❛ ◆✳❱✳❚r✉♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❙❡❣r❡✳ ❈❤➦♥ tr➯♥ ❙❡❣r❡ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✿ tr÷í♥❣ ❤đ♣ n = 2, ✭①❡♠ ❬✾❪✱ ❬✶✵❪✮✱ ❬✶✽❪✱ ❬✶✾❪✮✱ ❝❤♦ t➟♣ ✤✐➸♠ ❦➨♣ Z = 2P1 + · · · + 2Ps tr♦♥❣ P4 ✭①❡♠ ❬✷✵❪✮✱ ❝❤♦ t➟♣ n + ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ tr♦♥❣ Pn ✭①❡♠ ❬✸❪✮✱ ❝❤♦ n + ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ tr♦♥❣ Pn ✭①❡♠ ❬✷❪✮✱✳✳✳✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ❯✳ ◆❛❣❡❧ ✈➔ ❇✳ ❚r♦❦ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❙❡❣r❡ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ✭①❡♠ ❬✷✹❪✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② r❡❣(Z) ❧➔ ❦❤â ❤ì♥ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝❤♦ r❡❣(Z)✳ ◆➠♠ ✶✾✽✹✱ ❉❛✈✐s ✈➔ ●❡r❛♠✐t❛ ✭①❡♠ ❬✽❪✮ ✤➣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤♦ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ Z = m1 P1 + · · · + ms Ps ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝õ❛ Pn ✿ reg(Z) = m1 + · · · + ms − ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✸✱ ❈❛t❛❧✐s❛♥♦✱ ❚r✉♥❣ ✈➔ ❱❛❧❧❛ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ✤➣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② r❡❣(Z) ❝❤♦ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❤ú✉ t✛ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ Pn ✿ mi + n − n ◆➠♠ ✷✵✶✷✱ ❚❤✐➺♥ ✭①❡♠ ❬✷✶❪✮ ❝ô♥❣ ✤➣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② r❡❣(Z) ❝❤♦ s✰✷ ✤✐➸♠ Demo Version - Select.Pdf SDK ❜➨♦ s❛♦ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✭s−✶✮✲♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ Pn ✿ r❡❣(Z) = max m1 + m2 − 1, r❡❣(Z) = max {Tj |j = 1, , n} , tr♦♥❣ ✤â Tj = max q l=1 mil + j − |Pi1 , , Piq ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❥✲♣❤➥♥❣ j ◆➠♠ ✷✵✶✼✱ ❚❤✐➺♥ ✈➔ ❙✐♥❤ ✭①❡♠ ❬✷✸❪✮ ✤➣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q rZ t s ỗ s❛♦ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✭r − 1✮✲♣❤➥♥❣✱ s ≤ r + tr♦♥❣ Pn ✿ r❡❣(Z) = max {Tj |j = 1, , n} , tr♦♥❣ ✤â Tj = max mq + j − |Pi1 , , Piq ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❥✲♣❤➥♥❣ j ❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤÷đ❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤➯♠ ✈➲ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ Pn ữủ sỹ ữợ t P●❙✳❚❙ ✺ P❤❛♥ ❱➠♥ ❚❤✐➺♥✱ tæ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧❈❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët sè t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦✧ ✤➸ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët sè t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❝❤÷❛ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tr➯♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ỗ ữỡ ữỡ tr ỳ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ✈➔ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ sü t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠ët sè t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦✱ ❝ö t❤➸ ❧➔✿ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ s ✤✐➸♠ ❜➨♦ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ Pn ✱ s ≤ 5❀ ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➨♦ ♥➡♠ tr➯♥ ✷ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈➔ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝❤➾ sè ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ n + ✤✐➸♠ ❜➨♦ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ tr♦♥❣ Pn ✳ Demo Version - 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