Toán dãy số

7.DÃY SỐ Bài 1: S = 1,2 + 2,3 + 3,4 + .+ 28,29 + 29,30 Vậy S =? A= 1,2 + 2,3…… 7,8 +8,9 (có số hạng, 1,1) B= 9,10+10,11+…… 28,29 + 29,30 (có 29-9+1=21 số hạng, 1,01) A= (1,2+8,9) x : =40,4 B= (9,10+29,30) x21 : =403,2 S = A + B = 40,4 + 403,2 =443,6 Bài 2: Mỗi xe gắn biển số gồm chữ số Hỏi từ số 0009 đến số 9999 có số mà tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Các số chia hết cho gồm: 0009; 0018; 0027; ……; 9990; 9999 Đây dãy số cách đơn vị Số có tổng chữ số chia hết cho có: (9999 – 0009) : +1 = 1111 (số) Đáp số: 1111 số Bài 3: Tổng dãy số tự nhiên liên tiếp 2012 Tìm số bé dãy số Từ cơng thứ tính tổng dãy số cách (số tự nhiên liên tiếp dãy số cách đơn vị)Tổng=(số đầu+số cuối)x số số hạng : 2 tổng = (số đầu + số cuối) x số số hạng Hai tổng dãy số: 2012 x = 4024 4024 chia hết cho: 2; 4; 8; 503; 1006; 2012 Ta có cặp: Nếu tổng số đầu số cuối 2012 có số hạng; 1006 có số hạng; 503 có số hạng Trong dãy số tự nhiên liên tiếp có số số hạng số chẵn tổng số đầu số cuối số lẻ *.Tổng số đầu số cuối tổng số 503 Ta số (503-1) : = 251 251+1=252 Dãy số: 248; 249; 250; 251; 252; 253; 254; 255 Số bé là: 248 Bài 4: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp ; ; ; n Tìm n biết số chữ số dãy số 3.n Trong số có chữ số số chữ số gấp lần số Mỗi số số có chữ số thiếu chữ số có số chữ số gấp lần số Mỗi số số có chữ số thiếu chữ số có số chữ số gấp lần số Ta xem có số có chữ số: Từ 10 đến 99 có 99-10+1= 90 (số) Như thiếu 1x90=90 (chữ số) Số có chữ số: Từ đến có số Như thiếu 2x9=18 (chữ số) Mỗi số có chữ số dư chữ số số chữ số gấp lần số Vậy số chữ số cần có là: 90+18=108 (số) Số n là: 1000+(108-1)=1107 Giống dạng tìm số trang sách, biết tổng chữ số để dùng đánh số trang gấp lần (3 lần) số trang Bài 5: Tính tổng tất số có hai chữ số mà số chia cho5 dư 2? Số có chức ố chia cho dư là: 12; 17; 22; …………………; 92; 97 Đây dãy số cách đơn vị, có: (97-12):5+1=18 (số hạng) Tổng số là: (12+97)x18:2 = 981 Bài 6: Số chữ số dùng để đánh số trang sách số chia hết cho số trang sách Biết sách 100 trang 500 trang Hỏi sách có trang ? Số chữ số chia hết cho số trang từ 100 đến 500 thương (vì thương sách có số trang phải 1000_ số có chữ số_) Từ trang đến trang trang có chữ số Mỗi trang thiếu chữ số để gấp lần số trang Từ trang 10 đến 99, trang có số chữ số gấp lần số trang Để số chữ số gấp lần số trang từ trang 100 trở lên phải có trang để bù vào số trang có chữ số Quyển sách có 100+(9-1) = 108 (trang) Bài 7: Hãy cho biết có tất số lẻ có chữ số chia hết cho Số có chữ số từ 1000 đến 9999 Các số chia hết cho gồm: 1008; 1017; 1026; ………; 9990; 9999 Dãy số cách đơn vị có số đầu 1008 số cuối 9999 Các số chia hết cho có: (999-1008):9+1 = 1000 (số) Trong xen kẻ số chẵn số lẻ, nên số lẻ có chữ số chia hết cho có: 1000 : = 500 (số) (hoặc ta tính số số hạng dãy số: 1017; 1035; ……; 9981; 9999 có: (9999-1017):18+1= 500 (số)) Bài 8: Tính trung bình cộng số lẻ nhỏ 2012 Các số lẻ nhỏ 2012, gồm: 1; 3; 5; ……….; 2009; 2011 Thường người ta tính TBC cách lấy tổng số chia cho số số hạng Nhưng với dãy số cách TBC chúng trung bình cộng số đầu số cuối TBC dãy số là: (1+2011) : = 1006 Bài 9: Tính tổng số lẻ nhỏ 200 Các số lẻ nhỏ 120 là: 1; 3; 5; ……….; 197; 199 Đây dãy số cách đơn vị, có số đầu số cuối 199 Số số hạng: (199 – 1) : + = 100 (số) Tổng chúng là: (1+199) x 100 : = 10 000 Bài 10: Hãy cho biết dãy số tự nhiên liên tiếp ; ; 2009, có tất chữ số -Ta xét số từ 000 đến 999, có 1000 số có chữ số chia cho 10 chữ số Số có 1000 số là: 1000 x : 10 = 300 (số 1) -Từ 1000 đến 1999, ta lại có thêm 1000 số hàng nghìn Số có 1000 số là: 1000 + 300 = 1300 (số 1) -Từ 2000 đến 2009 có chữ số 2001 Số chữ số có dãy số là: 300 + 1300 + = 1601 (chữ số 1) Bài 11: Có số có chữ số mà chữ số có chữ số -Hàng nghìn: có lựa chọn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị Có 1x9x9x9= 729 -Hàng trăm, chục đơn vị: Tương tự có có lựa chọn hàng nghìn, hàng trăm hàng chục, hàng đơn vị Có 8x1x9x9x3= 1944 Tất cả: 729 + 1944 = 2673 (số) Bài 12: Hỏi có chữ số có chữ số mà có chữ số Từ 1000 đến 9999 có 9000 số -Khơng có chữ số 2: có lựa chọn hàng nghìn (trừ 2), lựa chọn hàng trăm, lựa chọn hàng chục lựa chọn hàng đơn vị Vậy có: 8x9x9x9 = 5832 (số khơng có chữ số 2) -Còn lại có chữ số 2: 9000 – 5832 = 3168 (số) Số chữ số: x 3168 = 9504 (chữ số) Bài 13: Cho dãy số : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , …98 , 101 , 104 , 107 , 110 , 1.Tính tổng dãy số 2.Tìm số hạng thứ 25 dãy 3.Xét xem số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số khơng , có thứ dãy? 1/.Đây dãy số cách đơn vị, số hạng đầu 2, số hạng cuối 110 Số số hạng: (110 – ) : + = 37 (số hạng) Tổng dãy số là: (2+110)x37:2 = 2072 2/.Số hạng thứ 25: 2+(25-1)x3= 74 3/.Ta thấy số hạng dãy chia dư (hay bớt chia hết cho 3) thương bé thứ tự đơn vị 56 : = 18 (dư 2) Là số hạng thứ 18+1=19 dãy số 75 : = 25 (không dư) Loại 113 : = 37 (dư 2) Là số hạng thứ 37+1=38 dãy số Bài 14: Cho dãy số : , , , , 9,….,17 , 19 … a Xác định quy luật dãy số b Viết tiếp số hạng cuối dãy c Tính số hạng dãy a).Dãy số dãy số cách đơn vị, có số đầu (dãy số lẻ 1) b).Bốn số hạng 19 là: 21 ; 23 ; 25 ; 27 c).Số số hạng dãy số: (27 – 1) : + = 14 (số hạng) Bài 15: Một dãy phố có 50 nhà Số nhà 50 nhà đánh cá số chẵn liên tiếp Biết tổng 50 số nhà dãy phố 4950 Hãy cho biết số nhà số nhà cuối dãy phố đó? Cách 1: Tổng số nhà cuối cùng: 4950 : (50:2) = 198 Hiệu số nhà cuối số nhà đầu tiên: x(50 – 1) = 98 Số nhà đầu tiên: (198 – 98) : = 50 Số nhà cuối cùng: 198 – 50 = 148 Cách 2: Vì dãy nhà có 50 số (chẵn) nên trung bình cộng số nhà giữa: 4950 : 50 = 99 Vậy số nhà là: 98 100 Ta tìm dãy số: 50; 52; 54; ……; 98; 100; …….; 146; 148 Bài 16: Tìm số có chữ số Có số gồm chữ số mà số tạo chữ số đầu lớn số tạo chữ số cuối ? Tìm số abcd mà ab > cd (a khác 0) Nếu ab=10 cd có 10 giá trị từ 00 đến 09 Nếu ab=11 cd có 11 giá trị từ 00 đến 10 Nếu ab=12 cd có 12 giá trị từ 00 đến 11 ………………… Nếu ab=98 cd có 98 giá trị từ 00 đến 97 Nếu ab=99 cd có 99 giá trị từ 00 đến 98 Số cần tìm có: 10+11+12+…….+98+99 = (10+99) x 90 : = 4905 (số) Bài 17: Tìm số bị xóa Trên bảng ghi số : 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; 30 ; 33 ; 36 Bạn Hà xoá số trung bình cộng số lại bảng *4 (số có chữ số) Hãy cho biết Hà xoá số nào? Cách 1: TBC dãy số lại 15 < *4 n x (n + 1) = 780 x => n x (n + 1) = 39 x 40 => n = 39 Vậy: Số 11703 số hạng thứ 40 dãy Bài 23: Bạn Nam viết dãy số gồm 60 số chẵn liên tiếp mà số hạng lớn 1994 Hãy tìm xem bạn Nam viết dãy số có số hạng bé số nào? Hai số chẵn liền nhau đơn vị, 60 số chẵn có số khoảng cách: 60 -1 = 59 (khoảng) Số đơn vị 59 khoảng cách: x 59 = 118 Số hạng bé là: 1994 – 118 = 1876 Đáp số: 1876 Bài 33: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 828 biết chúng có tất 15 số tự nhiên khác Hiệu chúng là: 15 + = 16 Số bé là: (828 – 16) : = 406 Số lớn là: 828 – 406 = 422 Đáp số: 406 422 Bài 34: Cho dãy số: ; ; 12 ; 20 ; 30 ; 42 ; Số 10100 có thuộc dãy số không? Tại sao? Ta thấy: 2=1x2 ; 6=2x3 ; 12=3x4 ; 20=4x5 ; 30=5x6 ; 42=6x7 ; … Mỗi số hạng tích số tự nhiên liên tiêp mà 10100 = 100x101 Nên 10100 số hạng thứ 100 dãy số Bài 35: Tính trung bình cộng số lẻ nhỏ 2012 Các số lẻ nhở 2012 là: 1; 3; 5; ………… ; 2009; 2011 Đây dãy số cách nên trung bình cộng chúng trung bình cộng số đầu số cuối Vậy trung bình cộng chúng (1 + 2011) : = 1006 Bài 36: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà đánh số lẻ liên tiếp Biết tống 20 số nhà 2000 Hãy cho biết số nhà cuối cùng.? Tổng số nhà cuối là: 2000 : (20:2) = 200 Hiệu số nhà cuối là: (20-1) x = 38 Số nhà cuối là: (200 + 38) : = 119 Bài 37: Một dãy phố có 50 nhà Số nhà đánh số chẵn liên tiếp Biết tống 50 số nhà 4950 Hãy cho biết số nhà đầu tiên? Tổng số nhà cuối là: 4950 : (50:2) = 198 Hiệu số nhà cuối là: (50-1) x = 98 Số nhà cuối là: (198 – 98) : = 50 Bài 38: Thầy cho em hỏi: Có số có chữ số chia hết cho mà khơng chia hết cho Số có chữ số chia hết cho gồm: 102; 105; 108; …….; 996; 999 Có: (999-102):3+1= 300 (số) Số chia hết cho chia hết cho chia hết cho 21 gồm: 105; 126; …… 966; 987 Có: (987-105):21+1 = 43 (số) Số có chữ số chia hết cho mà khơng chia hết cho có: 300 – 43 = 257 (số) Bài 39: Tìm số tự nhiên x biết 1+2+3+ +x=500500 x số hạng thứ x dãy số tự nhiên nên: 500500 = (x+1).x : x (x+1) = 1001000 x x+1 số tự nhiên liên tiếp Mà 1001000 = 1000 x 1001 Vậy x=1000 Bài 40: Cho biết aaa tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến số n Vậy số a = Ta có : aaa = a.111 Tổng số tự nhiên từ đến n là: + + + n = n(n + 1):2 n.(n + 1):2 = a.111 (số có chữ số giống nhau) n.(n + 1) = a.222 (n n+1 số tự nhiên liên tiếp) Thử chọn trường hợp a = , , nếu: a=1 khơng có n.(n+1)=1x222=222 a=2 khơng có n.(n+1)=2x222=444 a=3 khơng có n.(n+1)=3x222=666 ……… a=6 n.(n+1)=6x222=1332 (=36x37) Vậy: a=6 (1+2+3+……+36=666) Bài 41: Một bạn học sinh viết liên tiếp số số tự nhiên mà chia cho dư Bắt đầu viết từ số thành dãy số.Viết đến số thứ 100 phát viết sai.Hỏi bạn viết sai số Các số chia cho dư là: 5;8;11;14;…… Thứ tự số tính (a-2):3 Vậy số thứ 100 là: (a-2):3 =100 a-2=300 a = 302 Bài 42: Có số người bước vào phòng họp bắt tay lẫn nhau.Người ta đếm 105 bắt tay.Hỏi phòng có người? Gọi a số người dự họp 1+2+…+(a-1) = 105 => 105 = (1+a-1) x (a-1) :2 a x (a-1) = 210 a a-1 số tự nhiên liên tiếp mà 210 = 14 x 15 Vậy a=15 Bài 43: a)Hãy cho biết số có chữ số thứ 579 số nào? Có nhiều cách lí giải, giới thiệu cách: Các số có chữ số gồm có: 100; 101; ……….; 999 Số thứ có chữ số 100 (số thứ 100=99+1), số thứ 101 (số thứ hai 101=99+2), …… Nên số có chữ số thứ 579 là: 99+579= 678 Đáp số: 678 b)Giữa số chẵn có số lẻ.vậy hiệu số là: Hiệu số là: x = 16 c)Giữa hai số chẵn có 15 số lẻ khác.Vậy hiệu hai số là: Tương tự b Hiệu hai số là: 15 x = 30 (Tôi nghĩ đề là: “Giữa hai số lẻ có 15 số lẻ khác Vậy hiệu hai số là:…” Nếu HIỆU là: 15 x + = 32) Bài 44: Kết phép tính 9997 + 9593 + 9189 + + 705 + 301 là… Thì dãy số cách 404 đơn vị Số số hạng là: (9997-301):404+1 = 25 (số hạng) Tổng chúng là: (9997+301)x25:2 = 128 725 Bài 45: Viết thêm số hạng dãy số sau: ; ; ; 16 ; 25 ; 36 ;…… Dãy số có quy luật là: lấy số thứ tự số hạng nhân với 1x1 ; 2x2 ; 3x3 ; 4x4 ; 5x5 ; 6x6 ; hai số 7x7 ; 8x8 Dãy số: ; 4; ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 Bài 46: Tính tổng số lẻ có chữ số chia hết cho ?? Số lẻ chia hết cho có tận chữ số Số có chữ số nhỏ chia hết cho 105, số lẻ lớn có chữ số chia hết cho 995 Hai số lẻ liền chia hết cho cách 10 đơn vị Dãy số là: 105;115;125;135…;985;995 Dãy số có tất là: (995-105):10+1= 90 (số) Tổng số lẻ có chữ số chia hết cho là: (105+995)x90:2= 49 500 Đáp số: 49 500 Bài 47: Tìm dãy số tự nhiên liên tiếp biết tổng 201? Dãy số tự nhiên liên tiếp TBC số hạng số tự nhiên số thập phân có phần thập phân 0,5 Ta thấy: 201:1=201 ; 201:2= 100,5 ; 201:3= 67 ; 201:6= 33,5 Các dãy số là: 201 100 ; 101 66 ; 67 ; 68 31 ; 32 ; 33 ; 34 ; 35 ; 36 Bài 48 Hãy cho biết có số tự nhiên nhỏ 2013 mà không chia hết cho 3? Số tự nhiên nhỏ 2013 là: 0;1;2;… ;2011;2012 Có 2013 số Dãy số nhỏ 2013chia hết cho là: 0; 3; 6; 9; 12; ……….; 2007; 2010 Dãy số có: (2010 – 0) : + = 671 (số hạng) Vậy có: 2013 – 671 = 1342 (số khơng chia hết cho 3) Bài 49 Tìm số tự nhiên x, biết: + + + 4+ + x = 2016 Theo dãy số cách đều, ta có: (1+x).x : = 2016 (1+x).x = 2016 x (1+x).x = 4032 x x+1 số tự nhiên liền Mà 63 x 64 = 4032 Vậy x= 63 Bài 50 Tùng tính tổng số lẻ từ 21 đến 99 2025 Khơng tính tổng em cho biết Tùng tính hay sai? Dãy số lẻ từ 21 đến 99 có số số hạng là: (99 - 21) : + = 40 (số hạng) Có 40 số hạng mà tổng 2025 số lẻ nên bạn Tùng tính sai (Tổng 40 số lẻ phải số chẵn) Bài 51 Số sau đây: 1990 ; 1993 ; 1995 tích số tự nhiên liên tiếp ? Giải thích sao? số tự nhiên liên tiếp có số chẵn có số chia hết cho Nên 1990; 1993 1995 số tích số tự nhiên liên tiếp Bài 52 Trung bình cộng số chẵn có ba chữ số Các số chẵn có chữ số gồm: 100; 102; 104; ….; 996; 998 Trung bình cộng dãy số cách trung bình cộng số đầu số cuối Trung bình cộng số chẵn có ba chữ số là: (100+998) : = 549 Đáp số: 549 Bài 53 Cho dãy số 4; 6; 9; 13; 18; ……… Tìm số hạng thứ 2014 dãy số Dãy số có quy luật từ số thứ hai sau số liền trước cộng thêm thứ tự Số hạng thứ 2: = 4+2 Số hạng thứ 3: = 4+2+3 Số hạng thứ 4: 13 = 4+2+3+4 …………………… Số hạng thứ 2014: ? = 4+2+3+4+….+2014 Dãy số tự nhiên từ đến 2014 có: 2014-2+1= 2013 (số hạng) Số hạng thứ 2014 là: + (2+2014) x 2013 : = 029 108 Bài 54 Cho dãy số 1,2,3,4,5….x Tìm x để số chữ số dãy gấp 4,5 lần x Đề cho ta biết lấy tổng chữ số chia cho số số có 4,5 chữ số Hay trung bình số có 4,5 chữ số Các số có chữ số số thiếu: 4,5 – = 3,5 (chữ số) Vậy thiếu: 3,5 x = 31,5 (chữ số) Các số có chữ số số thiếu: 4,5 – = 2,5 (chữ số) Vậy thiếu: 2,5 x 90 = 225 (chữ số) Các số có chữ số số thiếu: 4,5 – = 1,5 (chữ số) Vậy thiếu: 1,5 x 900 = 1350 (chữ số) Các số có chữ số số thiếu: 4,5 – = 0,5 (chữ số) Vậy thiếu: 0,5 x 9000 = 4500 (chữ số) Tổng số chữ số thiếu đến 9999 là: 31,5 + 225 + 1350 + 4500 = 6106,5 (chữ số) Các số có chữ số số thừa: – 4,5 = 0,5 (chữ số) Số số có chữ số cần thiết là: 6106,5 : 0,5 = 12213 (số có chữ số) Số X là: 10000 + 12213 – = 22212 X = 22212 Thử lại: (9x1+90x2+900x3+9000x4+12213x5):22212 = 4,5 Bài 55 Tính tổng tất số có chữ số khơng chia hết cho Có 90 số có chữ số từ 10;11;12;….;99 Tổng số có chữ số là: (10 + 99) x 90 : = 4905 Các số có chữ số chia hết cho gồm: 12;15;18;….;96;99 Số số có chữ số chia hết cho là:: (99 – 12) : + = 30 (số) Tổng số có chữ số chia hết cho là: (12 + 99) x 30 : = 1665 Tổng số có chữ số khơng chia hết cho là: 4905 – 1665 = 3240 Đáp số: 3240 PHẦN BỔ SUNG Bài 56: Tìm số hạng thứ 99 dãy số: 1;6;15;28; ;120;153 Nhận xét: Thứ 1: Thứ 2: Thứ 3: Thứ 4: Thứ 5: =1 = 1+5 15 = 1+5+9 28 = 1+5+9+13 45 = 1+5+9+13+17 ………… Thứ 99: … = 1+5+9+13+… 99 số hạng Ta thấy số mang thứ tự số hạng ứng với TỔNG dãy số cách đơn vị có số số hạng với số thứ tự dãy số Số hạng thứ 99 dãy số: 1;5;9;13;… là: + (99 – 1) x = 393 Số hạng thứ 99 dãy số: 1;6;15;28;… là: (tổng 99 số hạng dãy số cách đều) (1 + 393) x 99 : = 19503 Bài 57: Tính: S = 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + 97,98 + 98,99 + 99,100 Dãy số có đoạn: Từ: 1,2; 2,3; ; 8,9 dãy cách 1,1 đơn vị Số số hạng: (8,9 – 1,2) : 1,1 + = (số hạng) Tổng là: (8,9 + 1,2) x : = 40,4 Từ: 9,10; 10,11; 11,12; ; 97,98; 98,99 dãy số cách nha 1,01 đơn vị Số số hạng: (98,99 – 9,10) : 1,01 + = 90 (số hạng) Tổng là: (98,99 + 9,10) x 90 : = 4864,05 số 99,100 S = 40,4 + 4864,05 + 99,100 = 5003,55 S = 5003,55 ... 19: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp ; ; ; n Tìm n biết số chữ số dãy số 2.n Trong số có chữ số số chữ số gấp lần số Mỗi số có chữ số thiếu chữ số có số chữ số gấp lần số Từ đến có số có chữ số Như... Là số hạng thứ 37+1=38 dãy số Bài 14: Cho dãy số : , , , , 9,….,17 , 19 … a Xác định quy luật dãy số b Viết tiếp số hạng cuối dãy c Tính số hạng dãy a) .Dãy số dãy số cách đơn vị, có số đầu (dãy. .. 2: Đây dãy số cách đơn vị TBC dãy số lại 15 < *4