Đang tải... (xem toàn văn)
Một số nét sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm đạo hàm theo trình tự thời gian. Đây là một cách nhìn tổng quát để hiểu rõ hơn cách vận hành của toán học trong thực tế. Từ đó, giáo viên và sinh viên có thể hiểu sâu sắc hơn về bản chất của khái niệm đạo hàm.
Đạo hàm – Nhóm Bài Báo Cáo Lịch Sử Tốn: LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠO HÀM CHIA THÀNH BỐN GIAI ĐOẠN CHÍNH Giai đoạn 1: Trước kỷ 17 Nói đạo hàm, người ta nghĩ đến toán tiếp tuyến, tiếp tuyến xuất sớm quen thuộc với hình học Hy Lạp Euclid (c 300 BC), Archimedes (287-212 BC c.) Apollonius (c 262- 190 BC) Tuy nhiên vòng 19 kỷ sau đó, chưa có phương pháp xác định tiếp tuyến tổng quát đưa Trong q trình đó, Archimedes giới thiệu việc sử dụng vô nhỏ, chúng sử dụng chủ yếu để nghiên cứu diện tích thể tích đạo hàm tiếp tuyến Việc sử dụng vô nhỏ để nghiên cứu tốc độ thay đổi tìm thấy tốn học Ấn Độ, có lẽ sớm 500 AD, nhà thiên văn học toán học Aryabhata (476-550) sử dụng vô nhỏ để nghiên cứu chuyển động mặt trăng (http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_calculus#cite_note-1) Việc sử dụng vô nhỏ để tính tốn tốc độ thay đổi phát triển đáng kể Bhaskara II (1114-1185); thực ra, có nhiều khái niệm quan trọng vi phân tìm thấy q trình làm việc ông, chẳng hạn "định lý Rolle " (Broadbent, T A A.; Kline, M (October 1968) "Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C N Srinivasiengar".) There is evidence of an early form of Rolle's theorem in his work If then for some with He gave the result that if then , thereby finding the derivative of sine, although he never developed the notion of derivatives( Cooke 1997, pp 213–215.) Nhà toán học Ba Tư, Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213 ), người khám phá đạo hàm đa thức bậc ba, kết quan trọng vi phân Đạo hàm chưa xuất tồn dạng ngầm ẩn Giai đoạn 2: Nửa đầu kỉ XVII Trong thời điểm này, việc phát minh hình học giải tích đồng thời độc lập Descartes (1596-1650) Fermat (1601- 1665) ảnh hưởng mạnh mẽ tới phát triển giải tích Nhiều phương pháp xác định tiếp tuyến đời tạo mầm mống cho hình thành phép tính vi phân Đạo hàm – Nhóm Thế kỷ thứ 17, nhà toán học Châu Âu Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis người khác thảo luận ý tưởng đạo hàm Đặc biệt, Methodus ad disquirendam maximam et minima and in De tangentibus linearum curvarum , Fermat phát triển phương pháp để xác định cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến với đường cong khác mà có liên quan chặt chẽ đến vi phân 1.Tiếp tuyến đạo hàm phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Fermat.( theo Arthur Rosenthal (1951), “The history of calculus”, The American Mathematical Monthly, 58 (2), pp.75-86 G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích tốn học tập 1, NXB ĐHMN) Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biết đến năm 1629 thông qua thư Fermat Năm 1642 tác phẩm “phương pháp khảo sát số lớn nhỏ nhất” Fermat đề xuất quy tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thông qua quy tắc sau: Chia đoạn AC (hình 1) điểm B cho vật thể, xây dựng hình vng có cạnh AB đường BC lớn nhất( Giá trị lớn vật thể hiểu thể tích lớn hình hộp chữ nhật có ba cạnh A, A B-A) B C A B A Hình Giả thuyết Kết luận Chia đoạn AC điểm B Vị trí điểm B đoạn AC để thể tích hình hộp chữ nhật có ba cạnh A, A B-A lớn Fichtegơn giải thích phương pháp Fermat sau ( theo G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích tốn học tập 1, NXB ĐHMN, tr.355): Đặt đoạn AC cho B, đoạn AB phải tìm A Giả sử cách chia thể tích lớn thể tích A ( B A ) (1) Đạo hàm – Nhóm Fermat lại tiếp tục giả sử có cách chia thứ hai mà thể tích hình hộp lớn nhất, ơng chọn độ dài đoạn AB A+E BC B-A-E (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia lượng xét A) B C A B A+E Với cách chia này, thể tích lớn là: ( A E ) ( B A E ) (2) Vì giá trị lớn thể tích có nên Fermat cho biểu thức (1) (2) 2 ( A E ) (B A E ) A (B A) (3) Chuyển vế: ( A E ) (B A E ) A (B A) 2 ( A A E E )( B A E ) A ( B A ) 2 A ( B A ) A E ( A E E )( B A E ) A ( B A ) 2 2 A E ( A E E )( B A E ) 2 (4) Fermat cho E lượng khác không nên giản ước E vế ta được: A ( A E )( B A E ) (5) Sau Fermat lại cho E = (bỏ số hạng chứa E), kết ta có: 2 (6) A AB A A AB (Biểu thức này, theo cách diễn đạt Fermat, đẳng thức “đúng”, đẳng thức “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”) Từ đẳng thức cuối ta xác định A 3 B (7) Đạo hàm – Nhóm Theo ngơn ngữ đại: Nếu dùng kí hiệu hàm số, “qui tắc Fermat” dạng tổng quát sau: Để tìm giá trị A , mà giá trị f(A) có giá trị lớn hay bé Fermat dựa vào nguyên lý biết trước thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé hay lớn nhất, lượng dừng lại trình biến thiên Fermat viết biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = với E nhỏ (bước (3)) Đơn giản số hạng giống hai vế, chia cho E ta được: f ( A E ) f ( A) (bước (4), (5)) E Bỏ số hạng chứa E, tức đặt E = (mà điều tương đương với việc chuyển qua giới hạn E0) (bước (6)) Cuối cùng, ta đẳng thức (bước (7)) Nhận xét: Trong cách làm Fermat có chỗ bất hợp lý: lúc cho E số hữu hạn khác (bằng cách chia vế cho E) sau lại cho E = Fichtegôn nhận xét: “phương pháp Fermat khơng có sở nào” Hiện diện tư tưởng giới hạn khái niệm đạo hàm f A E f A f A E f A giống với lim Hay E E 0 E0 E f A Theo ngôn ngữ nay, phương pháp dựa tính chất: “Hàm số f(x) có đạo hàm a đạt cực đại hay cực tiểu f a Về mặt hình học, tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm đạt cực đại hay cực tiểu song song với trục hoành.” Fermat chưa biết f a điều kiện cần chưa điều kiện đủ để có cực trị Đạo hàm – Nhóm Fermat xem tiếp tuyến đường cong “vị trí giới hạn cát tuyến” Fermat đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến đường cong, mô tả sau (theo Arthur Rosenthal (1951), “The history of calculus”, The American Mathematical Monthly, 58 (2), pp.75-86) Xác định tiếp tuyến đường cong (C) điểm M Gọi M’ điểm khác M nằm đường cong (C) X, X’ hình chiếu M, M’ xuống trục hồnh Giả sử tiếp tuyến điểm M mà ta cần xác định cắt trục hoành T X’M’ cắt tiếp tuyến MT N (Hình 2) Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX (tìm TX, Fermat xác định vị trí điểm T, nối TM lại ta tiếp tuyến đường cong M) Giả Đường cong ( C ) , thuyết M Kết luận x0 , y (C ) Xác định tiếp tuyến ( C ) M Hình Do TX ' N TX ' TX đồng dạng, ta có: TXM X 'N XM TX XX ' X M YN TX E với MY song song với TX, Y thuộc X’N XM 1 A YN XM E A YN XM A XM E (* ) YN Có YN = X’N – XM Khi M’ gần với M Fermat thay X’N xấp xỉ (xấp xỉ X’N X’M’): =>YN = X’M’-XM thay vào (*) ta (* ) A XM E X ' M ' X M Đạo hàm – Nhóm Theo cách kí hiệu thơng thường nay, kí hiệu đường cong (C) công thức y = F(x), tọa độ M (x,F(x)) MX = F(x), X’M’ = F(x+E) đẳng thức trở thành: A F (x) E F (x E ) F (x) => A F ( x ) E F (x E ) F (x) Chia biểu thức cho E ta được: F (x) A F (x E ) F (x) E Rút gọn E F (x E ) F (x) E Sau cho E 0, tìm A (tìm TX =>xác định tiếp tuyến M) Nhận xét: - Có thể thấy hai tốn Fermat thống phương pháp giải, xuất ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ơng khơng tiến xa khó khăn việc hiểu “giới hạn” “vô bé” - Xuất ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm” - Đạo hàm xuất ngầm ẩn đóng vai trò cơng cụ cho phép giải toán xác định tiếp tuyến đường cong “Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” 2.Roberval Torricelli Thuật ngữ “đạo hàm” xuất vật lí Torricelli Barrow Vận tốc “đạo hàm khoảng cách” (còn ngầm ẩn) 3.Baraow Mối quan hệ tiếp tuyến vi phân (còn ngầm ẩn) thiết lập “ hệ số góc tiếp tuyến tỉ số vi phân dy ” dx Đạo hàm – Nhóm Tóm lại: - Tiếp tuyến bắt đầu phạm vi giải tích mở đường cho việc hình thành ý tưởng liên quan đến đạo hàm vi phân Đạo hàm vi phân xuất ngầm ẩn đóng vai trò cơng cụ cho phép giải tốn xác định tiếp tuyến - Nhờ việc tìm lời giải cho tốn tìm tiếp tuyến đường cong mà nhiều nhà toán học giai đoạn tiến đến hiểu biết gần với khái niệm đạo hàm Giai đoạn 3: Nửa cuối kỉ XVII đến cuối thê kỉ XVIII (Theo G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích tốn học tập 1, NXB ĐHMN Howard Eves (1993) (Nguyễn Đức Thuần dịch), Giới thiệu lịch sử toán học, NXB Khoa học kĩ thuật) Sự phát triển giải tích tạo Newton (1642-1727) Leibniz (1646- 1716) 1.Khái niệm đạo hàm - Newton xem đường sinh chuyển động liên tục điểm đưa số khái niệm Các lượng biến thiên Newton gọi “thông lượng” (“tức lượng chạy”) (fluente) kí hiệu chữ cuối bảng chữ Latinh: u, x, y, z ; chúng khảo sát lượng tăng (giảm) theo thời gian - Những vận tốc, mà theo chúng tăng, gọi “những đạo hàm” (fluxion) chúng kí hiệu chữ đó, thêm dấu chấm u , x , y , z - Thực ra, Newton ý thời gian hiểu theo nghĩa đen nó, “thời gian” hiểu lượng chẳng hạn x, tăng cách với thời gian thực chẳng hạn cho x Nhưng cần nhớ thông lượng phụ thuộc vào “thời gian” này, tức vào biến độc lập phổ dụng - Ở Newton, vận tốc khái niệm qua đạo hàm định nghĩa việc tăng hay giảm lượng biến thiên theo thời gian - Kí hiệu u , x, y, z Đạo hàm thứ xuất u , x, y, z - Từ vận tốc, Newton đưa vào khái niệm đạo hàm dùng khái niệm đạo hàm giải toán tiếp tuyến 2.Tiếp tuyến đạo hàm phương pháp tìm nghiệm gần phương trình - Nếu từ vận tốc, Newton đưa vào khái niệm đạo hàm dùng khái niệm đạo hàm giải toán tiếp tuyến Leibnitz xây dựng khái niệm tiếp tuyến tìm tiếp tuyến vi phân - Cả Newton Leibnitz tổng hợp Fermat Barrow ( chặt chẽ có sở lý thuyết khái niệm vi phân đạo hàm) Tuy nhiên chưa làm rõ sở cho việc bỏ qua đại lượng vô bé vấn đề liên quan đến giới hạn Đạo hàm – Nhóm Tóm lại: Việc tìm phương pháp tổng quát xây dựng tiếp tuyến đường cong dẫn đến khái niệm đạo hàm Đạo hàm sớm xuất cơng cụ cho việc tìm vận tốc tức thời chuyển động học Sau đó, đạo hàm đóng vai trò cơng cụ tường minh cho việc xây dựng tiếp tuyến đường cong Quan niệm đạo hàm: - Newton (fluxin) vật lí: Đạo hàm vận tốc lượng chạy - Leibnitz hiểu đạo hàm tỉ số vi phân dy dx - Đạo hàm lấy chế khái niệm p a r a m a th e m a tiq u e (không tên, không định nghĩa) Giai đoạn 4: Đầu kỉ XIX đến Thuật ngữ “đạo hàm” Lagrange đưa vào cuối kỉ XVIII đầu kỉ XIX Cauchy người đưa định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển giới hạn ơng đưa vào định nghĩa vi phân dựa khái niệm đạo hàm - Định nghĩa đạo hàm hàm biến “Cho hàm số f xác định khoảng (a,b) Đạo hàm hàm f điểm f có tỉ số Đạo hàm - x0 x f x0 x x0 kí hiệu x dần tới f x0 x0 x a,b , x (Newton) hay df dx x0 x a , b giới hạn ” x (Leibnitz) Đạo hàm đóng vai trò cơng cụ tường minh việc tìm lời giải tốn xác định tiếp tuyến “Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” “Hàm số f(x) có đạo hàm a xấp xỉ f(x) hàm affine tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ a” Quan niệm đạo hàm : Giới hạn tỉ số gia hàm số đối số Đạo hàm lấy chế khái niệm tốn học Đạo hàm cơng cụ hữu hiệu để giải toán tiếp tuyến đường cong, dùng cơng cụ để định nghĩa khái niệm tiếp tuyến Đạo hàm – Nhóm Nhận định chung lịch sử trình hình thành đạo hàm Có hai động lực giúp thúc đẩy trình nảy sinh khái niệm đạo hàm, đến từ hình học đến từ vật lý - Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong động lực chủ yếu mà q trình giải giúp đem lại phương pháp đầy hiệu ngầm ẩn xuất khái niệm đạo hàm, dẫn Liebniz đến định nghĩa đạo hàm tỷ số vi phân - Trong đó, tốn tìm vận tốc vật thể lại đưa Newton đến ý tưởng xây dựng giải tích sở “chuyển động”, đạo hàm định nghĩa tốc độ biến thiên tức thời đại lượng theo “thời gian” Thời gian hiểu biến x biến thiên theo thời gian, nghĩa cho x' Khó khăn chướng ngại - Khó khăn lớn mà nhà tốn học gặp phải trình phát minh thấu hiểu khái niệm đạo hàm thiếu hụt sở lí thuyết chặt chẽ - lý thuyết giới hạn Các nhà toán học gặp phải chướng ngại khoa học luận để thấu hiểu cách xác khái niệm giới hạn, lẽ đến khái niệm giới hạn xây dựng cách xác đạo hàm định nghĩa cách chặt chẽ - Trong đó, để khỏa lấp cho thiếu hụt Newton Leibniz sử dụng đại lượng vô bé lý thuyết Cách hành xử họ với đại lượng thời không thỏa đáng, lúc xem chúng khác để rút gọn , có lúc lại cho chúng để khử Có nhiều quan niệm khác vơ bé này, chẳng hạn xem chúng số dương khác lại nhỏ số dương khác Sự xuất vô bé với cách hiểu chúng làm cho lý thuyết phương pháp sử dụng đạo hàm hoạt động hiệu mặt lại tạo chướng ngại ngăn cản lồi người hiểu xác khái niệm giới hạn - Khi Newton định nghĩa đạo hàm theo “tỷ số giới hạn” ông ngầm đưa đạo hàm vào khái niệm giới hạn Tuy nhiên Newton hiểu đạo hàm biên giới mà tỷ số vượt quá, cách hiểu không giống ngày Có câu hỏi tranh cãi suốt lịch sử khái niệm là: “Cuối cùng, giới hạn có đạt hay khơng?” Newton nhiều nhà tốn học thời cho giới hạn không đạt giống đa giác nội tiếp đường tròn khơng với đường tròn Cách tiếp cận theo quan điểm “động” “tiến về” giá trị cho đạt đến giới hạn tạo chướng ngại đường nhận thức loài người khái niệm giới hạn đạo hàm nói riêng - Chỉ đến Cauchy đưa định nghĩa xác cho khái niệm giới hạn định nghĩa đạo hàm qua bất đẳng thức đặc trưng đạo hàm định nghĩa chặt chẽ Weierstrass sau thay quan điểm “động” giới hạn qun điểm “tĩnh” phát biểu lý thuyết ngôn ngữ chặt chẽ epsilon – delta Thời điểm khái Đạo hàm – Nhóm niệm đạo hàm thấu hiểu rõ ràng đặt dấu chấm hết cho chặng đường hình thành phát triển 200 năm với đầy khó khăn không phần thú vị Cách trình bày khái niệm đạo hàm Từ kết phân tích khoa học luận, chúng tơi nhận thấy có ba cách để đưa vào khái niệm đạo hàm giảng dạy - Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời” f '( x ) lim x y x Định nghĩa đạo hàm theo cách tạo thuận lợi cho việc hình thành nghĩa tơc độ biến thiên, nói việc thấu hiểu đặc trưng điều kiện cần thiết để em học sinh ứng dụng cơng cụ đạo hàm vật lý Nghĩa xấp xỉ đưa vào sau việc hình thành xấp xỉ affine - Cách trình bày thứ hai từ tính khả vi: hàm số có biểu diễn f ( x x ) f ( x ) A x o ( x ) gọi khả vi đạo hàm A khai triển Cách trình bày thuận lợi cho việc hình thành nghĩa xấp xỉ đạo hàm định nghĩa gián tiếp qua khái niệm khả vi nên nghĩa tốc độ biến thiên khó có hội xuất - Cách trình bày thứ ba đưa vào hai định nghĩa đạo hàm mối quan hệ tương đương Cụ thể hơn, lúc đưa lúc đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời định nghĩa theo khả vi, sau chứng minh hai định nghĩa tương đương Tài liệu tham khảo chính: 1.Luận văn “Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm” thạc sĩ Bùi Thị Thu Hiền 2.Khái niệm đạo hàm dạy học tốn vật lí trường phổ thơng thạc sĩ Ngô Minh Đức **** Kiến thức bổ sung: Vô bé: Infinitesimals have been used to express the idea of things so small that there is no way to see them or to measure them The insight with exploiting infinitesimals was that entities could still retain certain specific properties, such as angle or slope, even though these entities were quantitatively small The word infinitesimal comes from a 17th-century Modern Latin coinage infinitesimus It was originally introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz ( http://plato.stanford.edu/entries/continuity/#1) 10 Đạo hàm – Nhóm BÀI CUỐI KỲ PHÂN TÍCH GIÁO TRÌNH MỸ “Stewart Calculus Early Transcendentals 7th txtbk” James Stewart Quan điểm sư phạm tác giả Sau đọc nghiên cứu giáo trình này, nhóm thấy tác giả muốn truyền đạt kiến thức đến với học sinh cách tự nhiên, tìm tòi, khám phá qua gợi mở giáo trình khơng phải dạng chiều, mang tính ràng buộc Học sinh tự hình thành kiến thức giải tích khái niệm liên quan Đây quan điểm sư phạm tác giả dạy học giải tích – “The art of teaching is the art of assisting discovery” Tác giả muốn nhấn mạnh đến tầm quan trọng vẻ đẹp tiềm ẩn giải tích, ơng mong muốn học sinh cảm thấy thích thú khám phá giải tích Với quan điểm sư phạm , ta thấy cách tiếp cận khái niệm liên quan đến giải tích, cụ thể khái niệm giới hạn đạo hàm, tác giả sử dụng hai toán (bài toán tiếp tuyến toán vận tốc tức thời), hai toán dẫn tới việc tìm khái niệm đạo hàm lịch sử Cùng với số liệu thực nghiệm cụ thể, gần gũi, tác giả dẫn dắt học sinh đến với khái niệm cách tự nhiên, thông qua cảm quan học sinh mà từ tự hình thành nên khái niệm, định nghĩa học sinh kiến thức Mỗi học sinh có cách nhìn nhận riêng giới hạn đạo hàm Bên cạnh đó, thơng qua lời nhắn nhủ tác giả đến với học sinh, tác giả hướng dẫn cụ thể phương pháp làm việc cách sử dụng giáo trình theo quan điểm sư phạm Cuối cùng, để hiểu rõ giải tích cách mà tác giả mong muốn học sinh tiếp cận với giải tích, nhóm xin sâu vào phân tích đạo hàm (ý nghĩa đạo hàm cách xác định đạo hàm điểm phép toán giới hạn) - kiến thức liên quan đến giải tích mà tác giả đề cập đến giáo trình 11 Đạo hàm – Nhóm Những toán lựa chọn để dạy khái niệm đạo hàm Bài toán tiếp tuyến Bài toán vận tốc - Khái niệm tiếp tuyến đường tròn: Là đường thẳng chạm đường tròn điểm * Cho banh rơi Tính vận tốc thời điểm t=5s => Khái niệm tiếp tuyến đường cong: chạm điểm cắt đường cong - Cụ thể đưa hình ảnh tiếp tuyến parabol VD: Cho parabol y x , viết phương + cho tọa độ điểm Q bất kì, viết biểu thức hệ số góc PQ xQ + Nêu biểu thức tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ( t , t ) +lập bảng vận tốc trung bình khoảng thời gian ( , t ) với giá trị t tiến dần dựa vào biểu thức trình tiếp tiếp điểm P(1,1): +cho tọa độ +Chỉ khó khăn xét vận tốc banh thời điểm tiến dần theo chiều +khẳng định vận tốc tức thời thời điểm t định nghĩa giá trị giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian ngắn, tính hệ số góc PQ dựa vào biểu thức +Dựa vào bảng tìm vận tốc thời điểm t=5 +khẳng định hệ số góc tiếp tuyến giới hạn hệ số góc cát tuyến, +tìm vận tốc thời điểm thời gian -> dạy giới hạn ->đưa phương trình 3/145 lim m P Q m Q P với m hệ số góc tiếp tuyến P +nhận xét Q tiến dần P hệ số góc PQ tiến dần (dựa vào bảng kết trên) +dạy giới hạn -> đưa định nghĩa 1/143 * Đưa kết luận: tiếp tuyến đường cong giới hạn đường tuyến Nhận xét: + Có hoạt động xác định tiếp tuyến đường cong điểm dạng phương trình thay 12 Đạo hàm – Nhóm vào cho bảng số liệu + Từ số liệu cụ thể, vẽ đồ thị mang tính gần Hướng dẫn xác định tiếp tuyến cách dựng tuyến qua điểm cho trước, cố định điểm, cho điểm thay đổi tiến gần điểm cố định, tính gần hệ số góc * Từ trực quan hệ số góc đưa khái niệm giới hạn => Hình thành định nghĩa giới hạn góc nhìn trực quan tư chủ quan học sinh Nhận xét chung: Chúng ta thấy kiểu giới hạn lim h f (a h) f (a ) lim x a f ( x) f (a ) xa hay phát sinh việc giải hai tốn trên, ngồi chúng h sử dụng để tính tốn tốc độ thay đổi khoa học hay kỹ thuật, tốc độ phản ứng hóa học hay tính tốn chi phí cận biên kinh tế Từ đó, ta nhận thấy kiểu giới hạn xuất nhiều việc giải tốn thực tế, vấn đề đặt cho tên ký hiệu ->định nghĩa đạo hàm (định nghĩa 4/146) Các dạng toán (các kiểu câu hỏi thường có), cách giải, Căn Stt Các tốn dạng Các kiểu câu hỏi Cách giải thường có Tính đạo - Viết biểu thức -Thay vào định nghĩa 1, phương -Định hàm hệ số góc trình để tìm 1/143 -Tính f’(a) đạo nghĩa hàm -Thay vào định nghĩa 1, phương -Phương trình trình để tìm f’(a) 2/144 -Tìm hệ số góc -Gọi hệ số góc m tiếp tuyến Xác định tiếp điểm điểm -Phương trình 3/1214 -Phương trình Thay vào định nghĩa 1, phương -Tìm vận tốc tức 3/145 trình để tìm m thời -Lý thuyết - Xác định biểu thức tính vận tốc 13 Đạo hàm – Nhóm thời điểm giới hạn Thế nghiệm thời điểm đề cho để tìm vận tốc Viết phương trình tiếp tuyến đường cong điểm -Viết phương trình -Xác định tiếp điểm tiếp tuyến hàm số y=f(x) -Xác định hệ số góc điểm (a,b) -Viết phương trình tiếp tuyến -Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y=f(x) a biết f(a), f’(a) -Định 1/143 nghĩa -Phương trình 2/144 -Phương trình 3/1214 -Lý thuyết giới hạn Vẽ,thao tác -Vẽ đường cong -Vẽ sử dụng công cụ máy đồ thị tiếp tuyến tính hệ trục tọa độ -Vẽ đường cong tiếp tuyến điểm phóng to đồ thị điểm kiểm tra trùng đường cong tiếp tuyến điểm xét -Bài 9,10/150; 2,3,4/150 -Bài 11/150; 16; 21,22/151; 26/151,41/151 Xác định ý nghĩa, tính chất đạo hàm -Cho đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác (trong thực tế), yêu cầu: Xác định ý nghĩa đơn vị đạo -Định 1/143 nghĩa -Phương trình 6/148 14 Đạo hàm – Nhóm hàm Giải thích ý nghĩa f’(…)=… So sánh giá trị đạo hàm -47a,b,c,49 -48a,50a,b -51,52 Nghiên cứu -Cho hàm số tồn y=f(x), nghiên cứu đạo hàm tồn f’(a) -Lý thuyết giới hạn 53,54 (Dùng định nghĩa) Xác hàm f định -Cho giới hạn -Xác định giới hạn ứng với định ứng với đạo hàm nghĩa hay phương trình hàm số điểm a, xác định -Đồng để tìm a, f hàm f điểm a -Định 1/143 nghĩa -Phương trình 2/144 33=>38/151 Chú thích: Định nghĩa 1/143: Tiếp tuyến đường cong y=f(x) P(a,f(a)) đường thẳng qua P có hệ số góc x a Phương trình 2/144: với f ( x) f (a ) xa m lim h giới hạn tồn f (a h) f (a ) h Phương trình 3/145: Vận tốc (tức thời) thời điểm a v ( a ) lim f (a h ) f (a ) h Phương trình 3/1214: Phương trình đường thẳng qua điểm m m lim P1 ( x , y ) h có hệ số góc y y m ( x x1 ) Phương trình 6/148: Tốc độ thay đổi tức thời lim x y x lim x x1 f ( x ) f ( x1 ) x x1 Đạo hàm f’(a) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời hàm số y=f(x) x=a 15 Đạo hàm – Nhóm Ví dụ: Dạng 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm: Ví dụ 1.1(Bài 3/150): Tìm hệ số góc tiếp tuyến parabol dụng định nghĩa y 4x x điểm (1,3) Sử HD: Gọi m hệ số góc tiếp tuyến parabol Ta có : f ( x ) f (1) m lim x 1 x1 4x x lim x 1 x1 lim ( x ) x1 Vậy hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1.2(Bài 13/151): Ném bóng vào khơng khí với vận tốc 40ft/s Độ cao (feet) sau t giây cho công thức: y t t Tìm vận tốc thời điểm t =2 HD: Áp dụng phương trình 3/145, ta có: Vận tốc thời điểm a v ( a ) lim f (a h) f (a ) h h 40(a h ) 16(a h ) 40a 16a lim h h lim ( a h ) h 40 32a Suy v(2) = -24 Vậy vận tốc thời điểm t = -24 ft/s Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong điểm: Ví dụ (Bài 5/150): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong HD: Gọi hệ số góc tiếp tuyến m Ta có: m lim x f ( x) f (2) x 16 y 4x 3x (2,-4) Đạo hàm – Nhóm 4x 3x lim x x lim ( x ) x 8 Phương trình tiếp tuyến là: y 4 8 x y 8 x 12 Dạng 4: Xác định ý nghĩa, tính chất đạo hàm: Ví dụ (Bài 48/152): Số lượng vi khuẩn sau phòng thí nghiệm xác định n=f(t) Ý nghĩa đạo hàm f’(5) gì? Đơn vị nó? HD: Đạo hàm f’(t) tốc độ thay đổi tức thời n theo t, nghĩa f’(t) tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn sau t f’(5) nghĩa tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn sau Đơn vị f’(t) con/giờ Dạng 6: Xác định hàm f: 32 x Ví dụ (Bài 35/151): Giới hạn lim x5 x ứng với đạo hàm hàm f điểm a Xác định f a Áp dụng phương trình 1/143, ta có biểu thức đạo hàm hàm f điểm a f ( x) f (a ) lim xa x a (1) Ta có 32 x li m x x5 x li m x Từ (1) (2) suy a =5; f (x) x x5 17 (2) Đạo hàm – Nhóm Một vài nhận xét nhóm phần tập giáo trình Mỹ - Bài tập đa dạng, phong phú, sát thực tế Bài tập tập trung vào việc hiểu ý nghĩa đạo hàm Khai thác công nghệ thông tin Rèn luyện cho học sinh tư logic, không áp đặt cách giải Ý nghĩa đạo hàm (nhận xét nhóm sau phân tích đạo hàm giáo trình Mỹ) - Đạo hàm hệ số góc tiếp tuyến đường cong - Đạo hàm vận tốc tức thời - Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời đại lượng theo đại lượng - Đạo hàm công cụ xấp xỉ hàm số - Hiểu rõ ứng dụng đạo hàm thực tế Từ việc nghiên cứu lịch sử khái niệm đạo hàm, qua việc phân tích giáo trình Mỹ, nhóm chúng tơi có vài đúc kết, nhận xét sau: - Bài toán tiếp tuyến toán vận tốc tức thời hai toán gắn liền cách chặt chẽ với khái niệm đạo hàm, giảng dạy đạo hàm Cả hai tốn cơng cụ trực quan sinh động, phục vụ đắc lực cho việc dạy học đạo hàm, ý nghĩa đạo hàm - Và để nghiên cứu, dạy học tri thức, việc nghiên cứu lịch sử toán đối tượng tri thức quan trọng, cần thiết Từ hiểu biết lịch sử tốn, ta nắm cách tiếp cận tri thức cách tự nhiên nhất, khó khăn, trở ngại việc tiếp cận tri thức Bên cạnh đó, lịch sử tri thức cung cấp cho ta nhiều khía cạnh liên quan đến tri thức, giúp nâng cao kiến thức tính thích thú, đam mê tri thức - Cũng thấy rằng, tác giả giáo trình mà nhóm chúng tơi phân tích trên, người am hiểu thấy rõ tầm quan trọng lịch sử tốn Ơng vận dụng lịch sử tốn để viết nên giáo trình đánh giá thành công, giúp học sinh tiếp cận tri thức cách tự nhiên, chủ động, làm chủ tri thức vận dụng vào sống thực tiễn GVHD: TS.Lê Thái Bảo Thiên Trung Nhóm thực hiện: Nhóm 6: Lưu Ngọc Hiếu (25%) Nguyễn Văn Tuyên (25%) Phan Thanh Bình (25%) Trần Thị Vân (25%) Hết 18 ... thể khái niệm giới hạn đạo hàm, tác giả sử dụng hai toán (bài toán tiếp tuyến toán vận tốc tức thời), hai tốn dẫn tới việc tìm khái niệm đạo hàm lịch sử Cùng với số liệu thực nghiệm cụ thể, gần... Từ việc nghiên cứu lịch sử khái niệm đạo hàm, qua việc phân tích giáo trình Mỹ, nhóm chúng tơi có vài đúc kết, nhận xét sau: - Bài toán tiếp tuyến toán vận tốc tức thời hai toán gắn liền cách... giáo trình mà nhóm chúng tơi phân tích trên, người am hiểu thấy rõ tầm quan trọng lịch sử tốn Ơng vận dụng lịch sử toán để viết nên giáo trình đánh giá thành cơng, giúp học sinh tiếp cận tri thức