Lý Thuyết điều khiển tự động

202 CHƯƠNG Bước 1: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha GC1 ( s) αT1 s+ T1 s+ GC1 ( s) = K C1 - Cặp cực đònh sau hiệu chỉnh: s1*,2 = −ξωn ± jωn − ξ2 = −( 0, 5)(5) ± j(5) − ( 0, 5)2 ⇒ s1*,2 = −2, ± j 4, 33 Hình 6.21 Góc pha cần bù - Góc pha cần bù: Φ * = −180° + (β1 + β2 ) = −180° + (120° + 115°) ⇒ Φ * = 55° - Chọn zero khâu sớm pha trùng với cực s = −0,5 G(s) để hạ bậc hệ thống sau hiệu chỉnh = 0, αT1 Từ cực s1* vẽ hai nửa đường thẳng tạo với góc Φ * hình 6.21 Cực khâu sớm pha điểm B THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC = OB T1 Ta coù: OB = OA + AB OA = 0, AB = PA ˆ sin APB sin PAB PA = 22 + 4, 332 = 4, 76 Dễ thấy: APB = Φ * = 55° PAB = β2 − Φ * = 115° − 55° = 60° sin 55° = 4, sin 60° Neân: AB = 4, 76 ⇒ = OB = 0, + 4, = T1 Do đó: GC1 ( s) = K C1 - Tính K C1 : s + 0, s+5 GC1 ( s)G( s) s= s* = ⇒ K C1 s + 0, =1 s + s( s + 0, 5) s=−2,5+ j 4,33 ⇒ K C1 =1 ( −2, + j 4, 33 + 5) ( −2, + j 4, 33) ⇒ K C1 = 6, 25 Vaäy GC1 ( s) = 6, 25 s + 0, s+5 Hàm truyền hở sau hiệu chỉnh sớm pha là: s + 0,     G1 ( s) = GC1 ( s)G( s) =  6, 25   s +   s( s + 0, 5)   ⇒ G1 ( s) = 25 s( s + 5) 203 204 CHƯƠNG Bước 2: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC ( s) β T2 s+ T2 s+ GC ( s) = K C - Xác đònh β: Hệ số vận tốc hệ sau hiệu chỉnh sớm pha: K V = lim sG1 ( s) = lim s s→0 s→0 25 =5 s( s + 5) Hệ số vận tốc mong muoán: K V* = 80 Suy ra: β= KV K V* = = 80 16 - Xaùc đònh zero khâu trễ pha: 1) Chuùng ta cần chọn giá trò KC, α T để đáp ứng hệ thống thỏa mãn yêu cầu độ dự trữ biên, độ dự trữ pha sai số xác lập Nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode chọn hệ số khuếch đại KC để hệ thống thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập, sau chọn vò trí cực zero khâu sớm pha để thêm pha dương vào hệ thống xung quanh tần số cắt, nhờ tăng độ dự trữ pha, băng thông hệ thống sau hiệu chỉnh sớm pha mở rộng Tuy nhiên góc pha cần bù lớn (hơn 70o) dùng khâu hiệu chỉnh sớm pha Các bước thiết kế cụ thể hóa nguyên tắc Trình tự thiết kế Khâu hiệu chỉnh: Sớm pha Phương pháp thiết kế: Biểu đồ Bode Bước 1: Xác đònh KC để thỏa mãn yêu cầu thiết kế sai số xác lập Bước 2: Đặt G1 ( s) = K C G( s) Vẽ biểu đồ Bode G1 ( s) Bước 3: Xác đònh tần số cắt biên G1 ( s) từ điều kiện: L1 ( ωC ) = hoaëc G1 ( jωC ) = 206 CHƯƠNG Bước 4: Xác đònh độ dự trữ pha G1 ( s) (độ dự trữ pha hệ trước hiệu chỉnh): ΦM = 180 + ϕ1 ( ωC ) Bước 5: Xác đònh góc pha cần bù ϕm a x = ΦM * − ΦM + θ ΦM * độ dự trữ pha mong muốn, θ = 5° ÷ 20° Bước 6: Tính α cách áp dụng công thức: α= + sin ϕm a x − sin ϕm a x Bước 7: Xác đònh tần số cắt ω′C (tần số cắt hệ sau hiệu chỉnh) từ điều kiện: L1 ( ω′C ) = −10 lg α hoaëc G1 ( jω′C ) = / α Bước 8: Tính số thời gian T từ điều kiện: T= ω′C α Bước 9: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn điều kiện độ dự trữ biên hay không? Nếu không thỏa mãn trở lại bước Chú ý: Trong trường hợp hệ thống phức tạp khó tìm lời giải giải tích xác đònh ωC (bước 3), ΦM (bước 4) ω′C (bước 7) cách dựa vào biểu đồ Bode Ví dụ 6.7 Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp biểu đồ Bode Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha cho hệ thống sau hiệu chỉnh có: K V* = 20; ΦM * ≥ 50°; GM * ≥ 10dB Giải Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là: GC ( s) = K C + αTs ( α > 1) + Ts 207 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC Bước 1: Xác đònh KC Hệ số vận tốc hệ sau hiệu chỉnh laø: K V* = lim sGC ( s)G( s) = lim sK C s→0 ⇒ s→0 KC = K V* 20 = 2 + αTs = 2K C + Ts s( s + 2) K C = 10 ⇒ Bước Đặt: G1 ( s) = K C G( s) = 10 ⇒ G1 ( s) = s( s + 2) 20 s( 0, 5s + 1) Biểu đồ Bode G1 ( s) đường liền nét đường 6.22 Hình 6.22 Biểu đồ Bode hệ thống trước sau hiệu chỉnh sớm pha 208 CHƯƠNG Bước 3: Tần số cắt hệ trước hiệu chỉnh G1 ( jωC ) = ⇔ 40 =1 jωC ( jωC + 2) 40 ⇔ ωC ω2C + =1 ⇔ ω4C + 4ω2C − 1600 = ⇔ ωC = 6, 17 (rad/sec) Bước 4: Độ dự trữ pha hệ chưa hiệu chỉnh ΦM = 180 + ϕ1 ( ωC )    40  ωC ⇒ ΦM = 180° + a r g   = 180° − 90° + a r ct a n     jωC ( jωC + 2)    6, 17   ⇒ ΦM = 180° −  90° + a r ct a n    = 180° − 90° − 72°    ⇒ ΦM = 18° Bước 5: Góc pha cần bù (chọn θ = 5° ) ϕm a x = ΦM * − ΦM + θ ⇒ ϕm a x = 50° − 18° + 5° ⇒ ϕm a x = 37° Bước 6: Tính α α= + sin ϕm a x + sin 37° = − sin ϕm a x − sin 37° ⇒ α=4 Bước 7: Tính tần số cắt G1 ( jω′C ) = α ⇔ 40 = jω′C ( jω′C + 2) ⇔ ( ω′C )4 + 4( ω′C )2 − 6400 = ⇒ ω′C = 8, 83 (rad/sec) ⇔ 40 ω′C ( ω′C )2 + =    THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 209 Bước 8: Tính T T= ⇒ ω′C α = ( 8, 83)( ) T = 0, 057 ⇒ αT = × 0, 057 = 0, 228 Vaäy: GC ( s) = 10 + 0, 228s + 0, 057 s Bước 9: Kiểm tra lại điều kiện biên độ Vì tần số cắt pha ω−π trước sau hiệu chỉnh vô nên độ dự trữ biên hệ trước sau hiệu chỉnh vô (>10dB) Kết luận: Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế có hàm truyền g 6.4.2 Hiệu chỉnh trễ pha Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có dạng: GC ( s) = K C + αTs (α (9.92) Hệ thức (9.92) tiêu chuẩn Popov Tùy theo dạng phi tuyến diện, giới hạn q K bắt buộc: a) Đối với phi tuyến đơn trò bất biến theo thời gian −∞ < q < ∞ < K < ∞ ≤ q < ∞ K = ∞ b) Đối với phi tuyến có từ trễ thụ động (H.9.22) −∞ < q ≤ < K < ∞ c) Đối với phi tuyến có từ trễ tích cực ( xem hình 9.23) ≤ q < ∞ vaø < K ≤ ∞ d) Đối với phi tuyến biến thiên theo thời gian: q = (H.9.24) Kiểm tra bốn dạng phi tuyến có nói lên đònh lý cho phép trao đổi yêu cầu phần tử phi tuyến tuyến tính Ta viết lại (9.92) sau Re G( jω) > − + ωq Im G( jω) K (9.93) Hệ thức (9.93) phát biểu với ω đồ thò Nyquist G ( jω ) phải nằm bên phải đường thẳng Re G( jω) = − + ωq Im G( jω) K (9.94) Đường thẳng gọi đường Popov minh họa hình 9.23 Góc α β ø 361 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN α = t a n −1 ωq β = t a n −1 ωq (9.95) Hình 9.22 Đặc tính phi tuyến có từ Hình 9.23 Phương pháp Popov trễ tích cực q xác đònh Rõ ràng độ dốc đường thẳng phụ thuộc vào ω Sự ổn đònh phụ thuộc vào việc chọn giá trò q cho tần số ω , G (j ω ) nằm bên phải đường Popov có độ dốc phụ thuộc vào tần số (9.95) Để tìm đường Popov không nhạy cảm theo tần số, sử dụng phép biến đổi: G* ( jω) = Re G( jω) + jω Im G( jω) (9.96) G* ( jω) đặc tính tần số sửa đổi (phần ảo G( jω) nhân thêm ω phần tuyến tính nguyên thủy ban đầu G( jω) Do phương trình (9.92) viết lại Re G* ( jω) > − + q Im G* ( jω) K (9.97) 362 CHƯƠNG Hình 9.24 Đường Popov mặt phẳng q≥0 G* ( jω) trường hợp HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 363 Trong mặt phẳng G* ( jω) đường Popov xác đònh Re G* ( jω) = − + q Im G* ( jω) K (9.98) không nhạy cảm theo tần số Đường Popov mặt phẳng G* ( jω) minh họa hình 9.24 9.25 Góc γ đònh nghóa sau: γ = t a n −1 q (9.99) Chú ý từ hình 9.24 9.25 quỹ tích G * ( jω ) qua bên phải tiếp tuyến đến quỹ tích điểm mà G* ( jω) giao với trục thực âm Điểm có giá trò -1/K Do K biểu thò độ * lợi cho phép cực Hình 9.25 Đường Popov mặt phẳng G ( jω) đại hệ trường hợp q ≥ thống Đối với trường hợp mà q = 0, biểu thức đường Popov rút gọn hệ thống ổn đònh nằm bên phải đường thẳng đứng qua điểm -1/K hình 9.25 * Chú ý trường hợp q = 0, đường thẳng Popov vuông góc với trục hoành điểm -1/K (H.9.25) Ví dụ: Xét hệ minh họa hình 9.26 Đối với phần tử tuyến tính, đáp ứng điều kiện đầu eo ( t ) cho bởi: eo ( t ) = e10e− t + e20e−2t + e30e−3t e10 , e20 phụ thuộc vào điều kiện đầu Hình 9.26 Ví dụ hệ thống điều khiển phi tuyến (9.99) 364 CHƯƠNG Đáp ứng xung đơn vò g(t) cho g( t ) =  0, 5e− t − e−2t + 0, 5e−3t  u( t )   (9.100) Với u(t) hàm nấc đơn vò 1(t) Phương trình (9.100) phần tử tuyến tính cho kết ổn đònh thỏa điều kiện cần thiết để sử dụng phương pháp Popov Đặc tính tần số sửa đổi G* ( jω) phần tuyến tính vẽ hình 9.27 Từ biểu đồ kết luận phần tử phi tuyến đơn trò q = 0,5 điều kiện Popov thỏa mãn < K ≤ 60 Kết luận: Phương pháp Popov đưa điều kiện xác đủ để xác đònh điều kiện ổn đònh tuyệt đối hệ thống hồi tiếp có cấu hình minh họa hình 9.19, với giới hạn bắt buộc cho lớp phi tuyến phần tuyến tính ổn đònh Bất đẳng thức (9.92) thành phần G ( jω ) số thực q yếu tố then chốt kỹ thuật Phương pháp Popov chia sẻ tất đặc tính tần số phương pháp Nyquist dễ dàng áp dụng vào hệ thống bậc cao Hình 9.27 Đặc tính tần số G (j ω ) cho ví dụ hình 9.26 * HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 365 Tiêu chuẩn đường tròn tổng quát hóa - phương pháp Popov mở rộng sang dạng hệ thống khác, mà không thiết bò giới hạn hệ có phần tuyến tính ổn đònh phi tuyến bất biến theo thời gian 9.8 TỔNG KẾT Sau nghiên cứu phương pháp khác dùng để phân tích hệ phi tuyến, cần xác đònh cách hợp lý phương pháp nên dùng cho hệ thống điều khiển cụ thể Lưu đồ lôgich chọn lựa phương pháp phân tích hệ thống điều khiển phi tuyến trình bày hình 9.28 Trong hệ gần tuyến tính, phương pháp xấp xỉ tuyến tính hóa cho phép sử dụng kỹ thuật tuyến tính quy ước phép phân tích biểu đồ Nyquist, giản đồ Bode hay phương pháp Quỹ đạo nghiệm số … Đối với loại hệ thống điều khiển này, dùng lý thuyết điều khiển tự động tuyến tính để phân tích thiết kế Đó lý hệ thống ĐKTĐ tuyến tính phân tích kỹ sâu phần đầu sách Nếu hệ thống xấp xỉ tuyến tính được, phải dùng hay nhiều phương pháp khảo sát hệ phi tuyến trình bày chương Nếu hệ thống phi tuyến bất biến theo thời gian có phần tuyến tính ổn đònh biên giới ổn đònh (không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng S), nên vận dụng phương pháp hàm mô tả Đây phương pháp gần đúng, xấp xỉ hàm truyền đạt phức số khâu phi tuyến cách xét thành phần đầu Trong thực tế phương pháp hàm mô tả hay gọi phương pháp cân điều hòa phương pháp đắc lực để khảo sát hệ bậc cao tìm điều kiện tồn chế độ tự dao động hệ Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt phương pháp không cho câu trả lời đúng, xác chế độ tự dao động Cách khắc phục cần phải xét ảnh 366 CHƯƠNG hưởng họa tần bậc cao lên hàm mô tả phần tử phi tuyến kết hàm mô tả họ đường cong phụ thuộc vào biên độ tần số tín hiệu vào Phương trình cân điều hòa có dạng: + N ( M , ω)G( jω) = Keát nhận cần phải kiểm tra lại cách mô hệ thống hay dùng phương pháp khác Nếu hệ điều khiển phi tuyến bậc hai, phương pháp mặt phẳng pha Lyapunov phương pháp thích hợp sử dụng Phương pháp Lyapunov dùng kiểm tra hệ bậc ba Nếu hệ bậc ba hay cao hơn, lúc phương pháp Popov sử dụng để xét ổn đònh tuyệt đối cho hệ Nếu phần tử phi tuyến hàm biến thiên theo thời gian phần tử tuyến tính không ổn đònh, dùng tiêu chuẩn đường tròn tổng quát xác đònh vùng giá trò độ lợi để hệ thống ổn đònh Phương pháp mô hệ thống dùng để kiểm tra lần cuối ổn đònh hệ thống Nó trợ giúp việc kiểm tra yếu tố biến thiên từ bất đònh có liên quan tới tính hiệu lực giả thiết khó khăn thuộc phân tích hệ phức tạp gây Mô hệ thống cần thiết kỹ thuật điều khiển tự động (ĐKTĐ) bất lực việc chứng minh ổn đònh hệ phi tuyến cách thuyết phục Một ví dụ điều phương pháp thứ hai Lyapunov điều kiện đủ, điều kiện cần cho ổn đònh Do đó, không tìm hàm Lyapunov, nghóa hệ điều khiển phi tuyến không ổn đònh Như minh họa hình 9.28, phương pháp mô không bắt buộc vài trường hợp ký hiệu đường gạch đứt nét HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN Hình 9.28 367 368 Phụ lục A BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ Z No Hàm Laplace F(s) 1/s 1/s2 1/s3 Hàm thời gian f(t) u(t) t t2/2 Haøm z F(z) z/(z - 1) Tz/(z - 1)2 T2z(z + 1)/2(z - 1)3 3 t 3! 6(z − 1)4 (s + a) e–at s T3z(z2 + 4z + 1) z z − e− aT Tze−aT  z − e− aT    (s + a) (s + a)3 −at t e a s(s + a) – e–at te –at a t− s (s + a) 10 b−a (s + a)(s + b) 11 (s + a)2 12 13 a a2 a s2 + a 15 s2 + a 16 17 s b z[(aT − 1+ e−aT )z + (1− e−aT − aTe−aT )] − e a a(z − 1)2(z − e− aT ) (e−aT − e−bT )z e–at – e–bt (z − e− aT )(z − b− bT ) z[z − e−aT (1+ aT)] (z − e− aT )− z z aTe−aT z − − z − z − e− aT (z − e− aT )2 s(s + a)(s + b) z sin aT z2 − (2 cos aT)z + cos at z2 − (2 cos aT)z + e–atcosbt s+a (z − e− aT )(z − e− bT ) sin at (s + a)2 + b2 (s + a) + b z[z(b − a) − (be−aT − ae −bT )] be–bt–ae–at e–atsinbt 18 (z − 1)(z − e− aT ) − at 2 z(1− e−aT ) – (1 + at) e–at (b − a)s (s + a)(s + b) 14 T2 − aT z(z + e−aT ) e (z − e− aT )3 (1– at)e–at s(s + a)2 z(z − cos aT) ze−aT sin bT 20 S − aT z − 2e (cos bT)z + e− 2aT z(z − e−aT cos bT) z − 2e− aT (cos bT)z + e− 2aT (Az + B)z − at (z − e− aT )(z − e− bT )(z − 1) − at e be + + ab a(a − b) b(b − a) A= B= 19 b(1− e−aT ) − a(1− e−bT ) ab(b − a) ae−aT (1− e−bT ) − be−bT (1− e−aT ) ab(b − a) δ(t) u(t) = 1( t) = lim +∞ ∑ δ(t − nT) T → n= 1− e− TS = z z −1 369 B TÓM TẮT MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z No Dãy tín hiệu Biến đổi Z Miền hội tụ x(n) X(z) Rx– < |z|< Rx+ y(n) Y(z) Ry– < |z| < Ry+ a.x(n) + b.y(n) a.X(z) + b.Y(z) max[Rx–, yy–] < |z| Ghi Tính tuyến tính < [Rx+, Ry+] x(n – no) no nguyên dương x(n + no) z− no X(z) no z Tính trễ (dòch chuyển theo thời gian) X(z) z X  a an x(n) Rx– < |z| < Rx+ |a|.Rx– < |z| Thay đổi thang tỉ lệ < |a| Rx+ (Nhân dãy với hàm mũ an) n x(n) −z dX(z) dz Rx– < |z| < Rx+ Đạo hàm biến đổi z x*(n) X*(z*) Rx– < |z| < Rx+ Dãy liên hợp phức x(–n) X   z 1 < |z| < Rx − Rx + Đảo trục thời gian Nếu x(n) = x(0) = lim X(z) Đònh lý giá trò đầu z→ ∞ với n < x(n) * y(n) X(z) Y(z) max[Rx–, Ry–] < |z| Tích chập hai dãy < [Rx+, Ry+] x(n) y(n) 2πj ∫ X(V) ⋅ Rx–Ry– < |z| < Rx+ Ry– Tích hai dãy Rx– < |z| < Rx+ 1 < |z| < Ry + Ry − Tương quan hai tín C z Y  × V−1dv  V 10 rxy(n) = ∞ ∑ x(m)y(m − n)  1 Rxy(z) = X(z) Y   z m=−∞ 11 +∞ ∑ x(n) n=−∞ 1 − z −1 X(z) X(∞)= 12 Tính giá trò xác lập −1 lim(1 − z )X(z) z −1 hiệu Tối thiểu giao Rx |z| > Đònh lý giá trò cuối 370 C HÀM MÔ TẢ CÁC KHÂU PHI TUYẾN ĐIỂN HÌNH Khâu có vùng cheát F(x) 2α + sin 2α N = 1− π D sin α = , x(t) = Msinωt M M>D o x F(x) Khâu bão hòa 2α + sin 2α N= π 45 -D o x 45 -D D Khâu khe hở F(x) α sin 2α cos2 α − + −j π π 2π M sin α = − 1; A = A D N= -D 45 o x D Rôle vò trí có trễ F(x) KN 2K N (cos α1 + cos α ) πA( D + h) 2K N -j (sin α1 − sin α ) πA(D + h) D M sin α1 = ; sin α = ; A= A M D+ h N= -D -D - h h D x D+h -KN Khâu so sánh có trễ F(x) Vomax Trigger Schmit không đảo VL 4V0 max N= (cos α + j sin α) πAVH sin α = M M , A= = A D VH Vi F(x) Y = x2 y = x  8M ⇒ N = 3π y = − x  y = x3 ; N= 3M VH Y = -x2 x x 371 Tài liệu tham khảo Nguyễn Thò Phương Hà, Điều khiển tự động, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1996 Nguyễn Thò Phương Hà, Bài tập Điều khiển tự động, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1996 Benjamin C Kuo, Automatic Control Systems, Prentice-Hall Intermational Editions, Seventh Edition, 1995 Stanley M Shinners, Modem Control System Theory and Design, New York, 1992 John Van De Vegte, Feedback Control Systems, PrenticeHall, 1991 Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, PrenticeHall, 1990 Charlex L Phillips & H Troy Nagle, Digital Control System Analysis and Design, Prentice-Hall, 1992 Leigh J R., Applied Digital Control Theory, Design and Implementation, London, 1984 Karl J Åström and Björn Wittemmark, Computer Controlled Systems Theory and Design, Prentice-Hall Information and System Sciences, Thomas Kailath, Editor, 1984 ... xung quanh tần số cắt, nhờ tăng độ dự trữ pha, băng thông hệ thống sau hiệu chỉnh sớm pha mở rộng Tuy nhiên góc pha cần bù lớn (hơn 70o) dùng khâu hiệu chỉnh sớm pha Các bước thiết kế cụ thể hóa... tính, điều có nghóa hệ thống điều khiển biến trạng thái hệ bò ảnh hưởng tín hiệu điều khiển u( t ) Tuy nhiên, vài biến trạng thái không bò ảnh hưởng u( t ) biến trạng thái bò điều khiển u( t ) khoảng... ảnh hưởng đến đầu c(t) Thường, muốn xác đònh thông tin trạng thái hệ thống dựa vào việc đo c(t) Tuy nhiên không quan sát hay nhiều trạng thái từ việc đo c(t) hệ không quan sát hoàn toàn Để ví