Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga Ngày: 17112017 Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là đạo hàm. Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn. Giải bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Nội dung bài học gồm 2 phần: Lý thuyết cần biết Hướng dẫn giải bài tập SGK A. Lý thuyết cần biết I. Đạo hàm tại một điểm 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm Bài toán tìm vận tốc tức thời. Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0s(t)−s(t0)t−t0được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 Bài toán tìm cường độ tức thời. Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0Q(t)−Q(t0)t−t0được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b)và x0∈(a;b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) limx→x0f(x)−f(x0)x−x0thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0và kí hiệu là f′(x0)(hoặc y′(x0)), tức là:f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 Chú ý: Đại lượng Δx=x−x0được gọi là số gia của đối số tại x0. Đại lượng Δy=f(x)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy, y′(x0)=limΔx→0ΔyΔx 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa QUY TẮC Bước 1: Giả sử Δxlà số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số ĐỊNH LÍ 1 Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý: a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn tại x0thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm ĐỊNH LÍ 2 Đạo hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0là hệ số góc của tiếp tuyến M0Tcủa (C)tại điểm M0(x0;f(x0)) Phương trình tiếp tuyến ĐỊNH LÍ 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)tại điểm M0(x0;f(x0))là: y−y0=f′(x0)(x−x0) trong đó y0=f(x0) 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Tính vận tốc tức thời Tính cường độ tức thời. II. Đạo hàm trên một khoảng ĐỊNH NGHĨA Hàm số y=f(x)được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f′:(a;b)→Rx→f′(x)là đạo hàm của hàm số y=f(x)trên khoảng (a;b). Kí hiệu là y′hay f′(x) B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tìm số gia của hàm số f(x)=x3, biết rằng : a) x0=1;∆x=1 b) x0=1;∆x=−0,1 => Xem hướng dẫn giải Câu 2: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tính ∆y và ΔyΔx của các hàm số sau theo x và ∆x : a) y=2x−5; b) y=x2−1; c) y=2x3; d) y=1x => Xem hướng dẫn giải Câu 3: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) y=x2+x tại x0=1; b) y=1x tại x0=2; c) y=x+1x−1 tại x0=0. => Xem hướng dẫn giải Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng hàm số f(x)={(x−1)2 nếu x≥0−x2 nếu x Xem hướng dẫn giải Câu 5: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x3: a) Tại điểm có tọa độ (−1;−1); b) Tại điểm có hoành độ bằng 2; c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 => Xem hướng dẫn giải Câu 6: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y=1x: a) Tại điểm (12;2) b) Tại điểm có hoành độ bằng −1; c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 14. => Xem hướng dẫn giải Câu 7: trang 157 sgk toán Đại số và giải tích 11 Một vật rơi tự do theo phương trình s=12gt2 , trong đó g≈9,8 ms2 là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+∆t, trong các trường hợp ∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s. b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s => Xem hướng dẫn giải
Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga - Ngày: 17/11/2017 Trong chương này, làm quen khái niệm đạo hàm Tech12h xin chia sẻ với bạn 1: Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Với lý thuyết tập có lời giải chi tiết, hi vọng tài liệu hữu ích giúp bạn học tập tốt Nội dung học gồm phần: Lý thuyết cần biết Hướng dẫn giải tập SGK A Lý thuyết cần biết I Đạo hàm điểm Các tốn dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm Bài tốn tìm vận tốc tức thời Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0s(t)−s(t0)t−t0được gọi vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 Bài toán tìm cường độ tức thời Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0Q(t)−Q(t0)t−t0được gọi cường độ tức thời chuyển động thời điểm t0 Định nghĩa đạo hàm điểm ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y=f(x)xác định khoảng (a;b)và x0∈(a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) limx→x0f(x)−f(x0)x−x0thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số y=f(x)tại điểm x0và kí hiệu f′(x0)(hoặc y′(x0)), tức là:f′ (x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 Chú ý: Đại lượng Δx=x−x0được gọi số gia đối số x0 Đại lượng Δy=f(x)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)được gọi số gia tương ứng hàm số Như vậy, y′(x0)=limΔx→0ΔyΔx Cách tính đạo hàm định nghĩa QUY TẮC Bước 1: Giả sử Δxlà số gia đối số x0, tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số ĐỊNH LÍ Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm x0thì liên tục điểm Chú ý: a Định lí tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn x0thì khơng có đạo hàm điểm b Mệnh đề đảo định lí khơng đúng: Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm 5 Ý nghĩa hình học đạo hàm ĐỊNH LÍ Đạo hàm hàm số y=f(x)tại điểm x0là hệ số góc tiếp tuyến M0Tcủa (C)tại điểm M0(x0;f(x0)) Phương trình tiếp tuyến ĐỊNH LÍ Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y=f(x)tại điểm M0(x0;f(x0))là: y−y0=f′(x0)(x−x0) y0=f(x0) Ý nghĩa vật lí đạo hàm Tính vận tốc tức thời Tính cường độ tức thời II Đạo hàm khoảng ĐỊNH NGHĨA Hàm số y=f(x)được gọi có đạo hàm khoảng (a;b)nếu có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f′:(a;b)→Rx→f′(x)là đạo hàm hàm số y=f(x)trên khoảng (a;b) Kí hiệu y′hay f′(x) B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: trang 156 sgk tốn Đại số giải tích 11 Tìm số gia hàm số f(x)=x3, biết : a) x0=1;∆x=1 b) x0=1;∆x=−0,1 => Xem hướng dẫn giải Câu 2: trang 156 sgk toán Đại số giải tích 11 Tính ∆y ΔyΔx hàm số sau theo x ∆x : a) y=2x−5; b) y=x2−1; c) y=2x3; => Xem hướng dẫn giải d) y=1x Câu 3: trang 156 sgk tốn Đại số giải tích 11 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y=x2+x x0=1; b) y=1x x0=2; c) y=x+1x−1 x0=0 => Xem hướng dẫn giải Câu 4: trang 156 sgk tốn Đại số giải tích 11 Chứng minh hàm số f(x)={(x−1)2 x≥0−x2 x Xem hướng dẫn giải Câu 5: trang 156 sgk tốn Đại số giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3: a) Tại điểm có tọa độ (−1;−1); b) Tại điểm có hồnh độ 2; c) Biết hệ số góc tiếp tuyến => Xem hướng dẫn giải Câu 6: trang 156 sgk tốn Đại số giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y=1x: a) Tại điểm (12;2) b) Tại điểm có hồnh độ −1; c) Biết hệ số góc tiếp tuyến - 14 => Xem hướng dẫn giải Câu 7: trang 157 sgk tốn Đại số giải tích 11 Một vật rơi tự theo phương trình s=12gt2 , g≈9,8 m/s2 gia tốc trọng trường a) Tìm vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+∆t, trường hợp ∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s b) Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t=5s => Xem hướng dẫn giải ... điểm t0 Định nghĩa đạo hàm điểm ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y=f(x)xác định khoảng (a;b )và x0∈(a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) limx→x0f(x)−f(x0)x−x0thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số y=f(x)tại điểm x 0và kí... b Mệnh đề đảo định lí khơng đúng: Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm 5 Ý nghĩa hình học đạo hàm ĐỊNH LÍ Đạo hàm hàm số y=f(x)tại điểm x0là hệ số góc tiếp tuyến M0Tcủa (C)tại điểm... hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số ĐỊNH LÍ Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm x0thì liên tục điểm Chú ý: a Định lí tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn x0thì khơng có đạo hàm điểm