bản tóm tắt khóa luận tốt nghiệp môn Hình học vi phan

Độ cong trắc địa của một cung và cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều Đ2.. Khi đó, mỗi đ ợc gọi là một tham số hóa địa ph ơng và đ ợc gọi là một bản đồ địa ph ơng.. Nh vậy, đa tạ

TrườngưĐạiưhọcưHồngưĐức KhoaưKhoaưhọcưtựưnhiên

Khóa luận đ ợc trình bày theo hệ thống từ khái niệm, mô tả,

cách biểu thị về đa tạp Riemann hai chiều đến định tính của nó

và đ ợc phân thành 2 phần :

PhầnưI.ưCơưsởưlýưthuyết

ChươngưI.ưĐaưtạpưRiemannưhaiưchiều

Đ1 Đa tạp Riemann hai chiều

Đ2 Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai

chiều

Đ3 Đạo hàm của tr ờng véctơ dọc một cung tham số

ChươngưII.ưCungưtrắcưđịaưtrênưđaưtạpưRiemannưhaiưchiều

Đ1 Độ cong trắc địa của một cung và cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều

Đ2 Tính chất ngắn nhất của cung trắc địa

Đ3 Định lí Gauss-Bonet

PhầnưII.ưMộtưsốưbàiưtậpưminhưhọaư

PHầN I: CƠ Sở Lý THUYếT

CHƯƠNG I

Đa tạp Riemann hai chiều

Đ1.ưĐaưtạpưRiemannưhaiưchiều

1.ưĐaưtạpưhaiưchiềuưtrongưkhôngưgianưƠclítưưưưư.

1.1 Định nghĩa.

Cho S là một tập con khác rỗng của Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S đ ợc gọi là đa tạp hai chiều Khi đó, mỗi đ ợc gọi là một tham số hóa địa ph ơng và đ ợc gọi là một bản đồ địa ph ơng Nh vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa ph ơng (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa ph ơng ) p r n E  p , r  Up , Up B S   S p B  p , r  , r  0  Up , rp  n E Đ1.ưĐaưtạpưRiemannưhaiưchiều 1.ưĐaưtạpưhaiưchiềuưtrongưkhôngưgianưƠclítưưưưư. 1.1 Định nghĩa Cho S là một tập con khác rỗng của Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S đ ợc gọi là đa tạp hai chiều Khi đó, mỗi đ ợc gọi là một tham số hóa địa ph ơng và đ ợc gọi là một bản đồ địa ph ơng Nh vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa ph ơng (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa ph ơng ) p r n E  p , r  Up , Up B S   S p  Up , rp  n E Đ1.ưĐaưtạpưRiemannưhaiưchiều 1.ưĐaưtạpưhaiưchiềuưtrongưkhôngưgianưƠclítưưưưư. 1.1 Định nghĩa Cho S là một tập con khác rỗng của Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S đ ợc gọi là đa tạp hai chiều Khi đó, mỗi đ ợc gọi là một tham số hóa địa ph ơng và đ ợc gọi là một bản đồ địa ph ơng.

Nh vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa ph ơng (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai

chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa ph ơng ).

n E

S p

n

E

1.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong ưưư.

* Tiêu chuẩn 1

S là đa tạp hai chiều khi và chỉ khi với mỗi điểm có một lân cận mở U của p trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị :

2 Đa tạp Riemann hai chiều.

2.1 Các định nghĩa

a Định nghĩa 1 Cho M là một đa tạp hai chiều và tích vô h ớng < , >_cấu trúc Riemann thõa mãn hai điều kiện:

i) là tích vô h ớng trên

ii) < , > là ánh xạ khả vi đối với mọi p

Khi đó (M,< , >) gọi là đa tạp Riemann hai chiều

Ví dụ Khi xét < , > là tích vô h ớng trên cảm sinh từ

tích vô h ớng trong ưưưưư, ta đ ợc đa tạp Riemann hai chiều với

Metric chính tắc

p, p

p, p

T [ p  p          p

c Định nghĩa3.

ánh xạ (khả vi) gọi là bảo giác (bảo tồn góc giữa các đ ờng) nếu với mọi là một ánh xạ tuyến tính đồng dạng từ đến

Ví dụ Phép biến đổi đồng nhất từ đến

y

1 y

,

2R

   t x , t   x , y   t 

f R

 1 2 

] t t

t ln t

2.2 Ví dụ về đa tạp Riemann hai chiều

* độ dài cung đoạn.Xét cung trong H xác định bởi tham số hóa

với

Độ dài của cung là :

haiưchiều

ư1.ưTrườngưmụcưtiêuưvàưtrườngưđốiưmụcưtiêu

a Định nghĩa 1 Tr ờng véctơ

đ ợc gọi là tr ờng véctơ song song

b Định nghĩa 2 Giả sử là n tr ờng véctơ khả

vi trên , khi đó bộ { }đ ợc gọi là tr ờng

mục tiêu khả vi trên nếu :

là mục tiêu trong

n

E :

const a

1, X , , X

X , , X

, X

nE

nE

n

E

 X1 p , X2 p , , Xn p 

c Định nghĩa 3 Nếu mọi tr ờng vectơ

của tr ờng mục tiêu trên là song song thì ta nói tr ờng mục tiêu song song

Mỗi cơ sở trực chuẩn của xác định một tr ờng mục tiêu trực chuẩn song song

d Định nghĩa 4 Giả sử là tr ờng mục tiêu tự

u eˆ n 0

j i

u eˆ n

1

j i

i

 i

nE

ưưư 2.ưĐịnhưlýư1 Cho (M, <, > ) là một đa tạp Riemann hai chiều Với mọi tr ờng mục tiêu trực chuẩn trên tập mở V của M, gọi là tr ờng đối mục tiêu của

nó, tức các dạng vi phận bậc một trên V mà

Ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một trên V thỏa mãn:



1 2

1

2 2

1 2

1 2

2



1 2



ư 3.ưĐộưcongưGaussưcủaưđaưtạpưưRiemannưhaiưchiều:

một và chỉ một hàm số K trên M sao cho với tr ờng đối mục tiêu của tr ờng mục tiêu trực chuẩn tùy ý

trên tập mở V của M

Ta có:

Trong đó: là dạng liên kết của trong tr ờng mục tiêu đó

K gọi là độ cong Gauss của (M , < , >)

4.ưVíưdụ M = S là đa tạp hai chiều trong với cấu trúc Riemann hai chiều cảm sinh từ tích vô h ớng trong

thì độ cong Gauss ở đây của ( M , can ) trùng với độ cong Gauss trong đa tạp hai chiều thông th ờng của S

 1 2

~,

~



2 1

1

1 2

X ® îc gäi kh¶ vi nÕu nã kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm

NÕu lµ mét tr êng môc tiªu kh¶ vi trªn mét tËp më

chøa cña M th×:

kh¶ vi khi vµ chØ khi kh¶ vi.

MI

Đ3.ưĐạoưhàmưcủaưtrườngưvéctơưdọcưmộtưcungưthamưsố

1-ưĐạoưhàmưcủaưtrườngưvectơưdọcưcungưthamưsốư(ưtrênưđaưtạpư

Riemannưhaiưchiều).

1.1 Định nghĩa Cho cung tham số: trên đa

tạp Riemann hai chiều (M,<,>) thì với mọi tr ờng véctơ X dọc , quy tắc sau đây xác định một tr ờng véctơ dọc , ký hiệu là: đ ợc gọi là đạo hàm của X dọc

Với mỗi lấy tr ờng mục tiêu trực chuẩn rong lân cận đó của và

Trong đó là dạng liên kết của (M,<,>)

M I

X dt

) t ( U

) t ( t

t dt

d t

dt x

0 2

0

2 1 0

1 0

2

0 1

0

1 2 0

2 0

1 0

1

2   



1.3.4 Z là một tr ờng véctơ trên một tập mở I trong M chứa

điểm p Xét ; , là cung có ảnh trong I thì là tr ờng véctơ dọc và

không phụ thuộc đã chọn gọi là đạo hàm của Z theo véctơ

M I

Y

Xdt

X Y

, dt

X Y

,

X dt d

Z Z

dX

1.3.5 X là tr ờng véctơ dọc cung

là phép biến đổi tham số

thì là tr ờng vécctơ dọc và

1.3.6 Cho là tập mở và cung

Một tr ờng vectơ X dọc r là việc đặt t ơng ứng mỗi

với véctơ Đạo hàm của X dọc các cung

, cho các tr ờng véctơ dọc r lần

l ợt là và

M I

d ds

4.ưVíưdụ M = S là đa tạp hai chiều trong với cấu trúc

Riemann hai chiều cảm sinh từ tích vô h ớng trong thì

độ cong Gauss ở đây của (M, can) trùng với độ cong

Gauss trong đa tạp hai chiều thông th ờng của S

3

E

3

E

2.1 §Þnh nghÜa 1: lµ mét cung tham sè trªn

®a t¹p Riemann hai chiÒu (M,<,>) Tr êng vect¬ X däc gäi

lµ song song däc nÕu

a §Þnh lý: Cho lµ mét cung ®o¹n tham sè

nh½n trªn ®a t¹p Riemann hai chiÒu (M,<,>) th× víi mçi

tån t¹i duy nhÊt mét tr êng vÐct¬ nh½n song song däc mµ

:

f  a   b



2.2 Tính chất.

2.2.1 Phép chuyển dời song song dọc cung đoạn tham số trên đa tạp Riemann hai chiều (M,<,>) là một ánh xạ tuyến tính trực giao

2.2.2 Khi (tức ảnh của là đ ờng khép kín tại ) thì phép chuyển dời song song dọc là một biến đổi tuyến tính trực giao của

2.3 Ví dụ: Phép chuyển dời song song dọc cung đoạn tham

số trong chính là phép tịnh tiến trong vì

Phép chuyển dời song song này không phụ thuộc nối

với

 M T  M T

Đ1.Độưcongưtrắcưđịaưcủaưmộtưcungưvàưcungưtrắcưđịaưtrênưđaư

tạpưRiemannưhaiưchiều 1.ưĐộưcongưtrắcưđịa.

1.1 Định nghĩa

1.1.1 Cung chính quy định h ớng trên đa tạp Riemann hai

chiều Cho cung và các tham số hóa của cung lần l ợt là : ,

Khi đó tồn tại vi phôi sao cho và

đ ợc gọi là cung định h ớng nếu



MI

: 



  t s

1.1.2 Độ cong trắc địa.

Riemann hai chiều có h ớng (M,<,>) có hàm số dọc cung đó gọi là độ cong trắc địa của cung chính quy định h ớng Kí

hiệu

b Cách xác định độ cong trắc địa Lấy tham số hóa tự nhiên Đặt , với mỗi s lấy sao cho

là một cơ sở trực chuẩn thuận của

Ta có

( là độ cong trắc địa của cung )

g K

M J

:



  s

~

s  



~

T N s  T ~ s M  T s , N s 

 M

T~ s

N

K ds

T

g





N

Ví dụ: ở chú ý 1 2 cung chính quy với tham số hóa trên đa tạp hai chiều M.

là đ ờng trên trắc địa của đa tạp

khi và chỉ khi phụ thuộc tuyến tính với mọi t



M I

t

2.ưCungưtrắcưđịaưtrênưđaưtạpưRiemannưhaiưchiều.

2.1 Định nghĩa1 Cung tham số trên đa tạp

Riemann hai chiều (M,<,>) là một cung trắc địa nếu

nghĩa là tr ờng véctơ song song dọc

2.2 Định nghĩa2 Đa tạp Riemann hai chiều (M,<,>) gọi là đầy trắc địa nếu mọi cung trắc địa tối đại của nó

xác định trên toàn bộ

Ví dụ: Mọi cung trắc địa trên mặt phẳng Ơclit :

mặt cầu , mặt trụ tròn xoay trong không gian Ơclit đều đầy trắc địa

M I

: 



  t

t  

0







dt







M J

: 

 E2, can 

3

E

 S2, can 

 S , can 

2.2 Ph ơng trình cung trắc địa.

Cho cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều

(M,<,>) mà ảnh nằm trong tập mở V với tr ờng mục tiêu trực

chuẩn , là hàm số của t, là dạng liên kết của M trong tr ờng mục tiêu

Nếu có tham số hóa địa ph ơng của M và

Khi đó ph ơng trình cung trắc địa :

Với ,

M I

v G v

u G 2 u

E G

2

1 v

) 1 ( 0

v G v

u E 2 u

E E 2

1 u

2 v u

2 v

2 u v

2 u

u

u , r r

E    G  rv,rv

2.3 Ph ơng trình cung trắc địa trong tham số hóa Clairaut.

2.3.1- Định nghĩa Tham số hóa của đa tạp

Riemann hai chiều (M,<,>) gọi là tham số hóa Clairaut nếu:

và hai hàm số

chỉ phụ thuộc u (tức

2.3.2 Ph ơng trình cung trắc địa trong tham số Clairaut

Trong tham số hóa Clairaut, hệ ph ơng trình (1), (2) ở 2.2 xác

định cung trắc địa

trở thành hệ ph ơng trình:

MU

:

0r

,r

).

0 G

, 0

E v  v 

M U

v u G v

G

) 1 ( 0

v G u

E u

E 2

u

2 u

2 u

2.3.3 øng dông Nöa ph¼ng Poincare (H,<,>).

Coi

Tham sè hãa

(x = v , y = u ), (u > 0).

V× nªn lµ mét tham sè hãa Clairaut.

:

 u , v   r  u , v 

0 F

, u

1 G

ư Đ2.Tínhưchấtưngắnưnhấtưcủaưcungưtrắcưđịa 1.ưánhưxạưmũưvàưánhưxạưcựcưtrắcưđịa.

1.1 ánh xạ mũ.

Cho đa tạp Riemann hai chiều (M,<,>)

Với mỗi có cung trắc địa tối đại duy nhất

với

Độ dài cung của cung đoạn là

phụ thuộc nhẵn vào 

 tồn tại tập mở W chứa 0 trong và ánh xạ nhẵn kí hiệu

gọi là ánh xạ mũ ( tại p)

1,

p 0

M W

: expp

gọi là tọa độ cực trắc địa trên Thu hẹp tọa độ cực

trắc địa lên tập V thì ánh xạ đó đ ợc gọi là một vi phôi lên

vesinve

cosu

v,u

MTR







M T

R :

2 1

ư 2.Tínhưchấtưngắnưnhấtưcủaưcungưđoạnưtrắcưđịa

2.1 Định lí Với mọi điểm q trong lân cận chuẩn tắc của p trên đa tạp Riemann 2 chiều ( M , < , > ) với

q  p , tồn tại duy nhất cung đoạn trắc địa với tham số hóa

địa ph ơng nối p và q có ảnh nằm trong lân cận đó

Gọi l là độ dài cung đoạn trắc địa thì mọi cung đoạn chính

quy trong M nối p và q có độ dài không bé hơn l và bằng l

nếu nó trùng với cung đoạn đang xét sau khi đổi tham số

ưưư 3.ưCungưđoạnưtrắcưđịaưcựcưtiểu.

3.1 Định nghĩa (M, < , > ) là đa tạp Riemann 2 chiều, cung

đoạn trắc địa  nối p, q  M gọi là cực tiểu nếu

l() = d(p ,q)

3.2 Tính chất

a) Nếu q thuộc lân cận chuẩn tắc của p M thì có

đúng 1 cung đoạn trắc địa cực tiểu và

=qM d(p , q) <  b) Cung đoạn nhẵn  nối p , q trên M với ’ = 1 và

l() = d(p , q) là 1 cung trắc địa cực tiểu.

) N ( expp 

) (

3.3 Ví dụ Xét mặt cầu tâm O bán kính đơn vị ( , can)

trong E3, gọi p' là điểm xuyên tâm đối của p  \p' là lân cận chuẩn tắc của p và mọi cung tròn lớn của là đ ờng tiền trắc địa của nó

Với :

- Nếu p  q: d(p ,q) =  , 0 <  < với

Nh vậy, có đúng 1 cung đoạn trắc địa cực tiểu nối p , q

- Nếu p = q thì có vô số cung đoạn trắc địa cực tiểu nối p , q

và chúng có độ dài 

3.4 Định lí (M, < , > ) là đa tạp Riemann 2 chiều liên thông,

đầy trắc địa thì với mọi cặp điểm p, q  M luôn tồn tại cung trắc địa cực tiểu nối chúng

* ứ ng dụng.

là mặt cầu trong xác định bởi ph ơng

trình trong tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , G = O(3,R) ,

Ta thấy thõa mãn các giả thiết của hệ quả 3.

Vậy O(3,R) là nhóm vi phôi đẳng cự

của

1 z



 S2 , can 

phôi với Vmở  (M, < , >) Trên V chọn h ớng để r là vi phôi bảo tồn h ớng Đặt Thu hẹp của r lên là ABC, thu hẹp của r theo thứ

tự lên là a, b, c (với a, b, c là các

cạnh của tam giác cong, coi là những cung đoạn tham số)

là độ lớn bằng rađian, (0 < < ) của góc ngoài tại A của ABC, tức góc tạo bởi b, c tại A trong

T ơng tự với , Kí hiệu K là độ cong Gauss của M,  là

dạng diện tích chính tắc của V là độ cong trắc địa :

0B CA



] A , C [ , ] C , B [ , ] B , A

g b

g a

g ABC

gds K ds K ds K dsK

A B C2

K

K

ABC

g ABC

2.Địnhưlíư2.

Với một tam giác phân nhẵn của đa tạp Riemann 2 chiều compắc có h ớng (M, < , > ), kí hiệu theo thứ tự là

số đỉnh, số cạnh, và số tam giác của tam giác phân đó, thì:

trong đó K là độ cong Gauss,  là dạng diện tích chính tắc của (M, < , > )

Ta có vế phải không phụ thuộc tam giác phân đã chọn, nó đ

ợc gọi là số đặc tr ng hay đặc số Ơclít của đa tạp M

Kí hiệu

2 1

0 ,  , 



2 1

0 M

K 2

1 R

1 K

3

E

3E

  M 4 R 2

PHầN II: một số bài tập minh họa

Phần bài tập minh họa đã có trong khóa luận, ở đây em chỉ đ a

ra một số bài tập đặc tr ng để minh họa cho từng ch ơng

Giải

 M ,  ,    , M ,  ,~    k  , 

Gọi lần l ợt là độ dài của cùng 1 cung  trên (M, < , > )

dt t

t k

dt t

t k

,(

ds

s

C

u K

.)

(,

k

dv du kr

r k Gr dv

du r

r Gr s

d

s

C

v u

C

v u

C

v u

( , (

)

( , (

)

( , (

~

~

1 1

1 1

2 2

ks

s 

~

2) Thử xét vấn đề ng ợc lại.

  t

t  

)t(X)

t(X

Gi¶i 1) Do X lµ tr êng vÐct¬ song song däc cung  nªn

h»ng hay  X  lµ hµm h»ng däc 

, dt

X 2

dt

X ,

X X

, dt

X X

,

X dt

d 0

Xdt

d0

Sau thời gian nghiên cứu, thực hiện và hoàn thiện khóa luận d

ới sự h ớng dẫn tận tình của thầy Đồng Khắc Soạn và các

thầy cô trong tổ Hình học, các thầy cô trong khoa KHTN,

các bạn sinh viên lớp K8B - ĐHSP Toán, em đã hoàn thành khóa luận của mình với phần kiến thức sau:

1/ Hệ thống kiến thức "Đa tạp Riemann hai chiều" đ ợc trình bày rõ ràng, phù hợp với tiến trình nhận thức của sinh viên

2/ Mối quan hệ giữa các đa tạp hai chiều và các yếu tố khác

nh cung trắc địa thể hiện rõ ràng và liên hệ với những kiến thức đã học

3/ Vấn đề đ ợc nghiên cứu từ những khái niệm đơn giản đến phức tạp, cụ thể đến trừu t ợng nên ng ời đọc có thể lĩnh hội kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn, không gây tâm lí trừu t ợng của bộ môn