Mặt cầu

Mặt cầu Người đăng: Nguyễn Linh Ngày: 03072017 Bài học với nội dung: Mặt cầu. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn Giải bài 2: Mặt cầu A. Tổng hợp kiến thức I. Khái niệm mặt cầu 1. Khái niệm Bài 2: Mặt cầu Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r, (r>0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Ký hiệu: S(O;r) CD được gọi là dây cung hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O;r). AB được gọi là đường kính mặt cầu dây cung AB đi qua tâm O. AB=2r. 2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu Cho S(O;r) và A là điểm bất kì trong không gian. OA=r => A nằm trên mặt cầu S(O;r). OA A nằm trong mặt cầu S(O;r). OA>r => A nằm ngoài mặt cầu S(O;r). ==> Kết luận: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r. 3. Cách biểu diễn mặt cầu Bài 2: Mặt cầu Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng. Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn. 4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Bài 2: Mặt cầu Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu. Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục. Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục. II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng Cho S(O;r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). =>h=OH là khoảng cách từ O tới (P). 1. Khi h>r Bài 2: Mặt cầu Với M là một điểm bất kì trên (P) => OM≥OH => OM>r hay ∀M∈(P). ==> Kết luận: (P) không cắt S(O;r). 2. Khi h=r Bài 2: Mặt cầu Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H. 3. Khi h M∈(P). Khi h=0 => Tâm O của mặt cầu thuộc (P). => Giao tuyến của (P) và S(O;r) là đường tròn tâm O bán kính r. ( gọi là đường tròn lớn ). III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu Cho S(O;r) và đường thẳng Δ. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên Δ và d=OH là khoảng cách từ O tới Δ. 1. Khi d>r Bài 2: Mặt cầu Δ không cắt S(O;r). => M∀M∈Δ đều nằm ngoài S(O;r). 2. Khi d=r Bài 2: Mặt cầu Điều kiện cần và đủ để Δ tiếp xúc với S(O;r) tại H là Δ vuông góc với bán kính OH tại H. 3. Khi d Hai điểm M và N là giao điểm của Δ với đường tròn giao tuyến của S(O;r) và mặt phẳng (O,Δ). Đặc biệt: Khi d=0 => Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. => AB là đường kính của mặt cầu. IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó. S=4∏r2 Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó. V=43∏r3 B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trang 49 sgk hình học 12 Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông. => Xem hướng dẫn giải Câu 2: Trang 49 sgk hình học 12 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. => Xem hướng dẫn giải Câu 3: Trang 49 sgk hình học 12 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. => Xem hướng dẫn giải Câu 4: Trang 49 sgk hình học 12 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. => Xem hướng dẫn giải Câu 5: Trang 49 sgk hình học 12 Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D. a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d. => Xem hướng dẫn giải Câu 6: Trang 49 sgk hình học 12 Cho mặt cầu (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng: AMBˆ=AIBˆ. => Xem hướng dẫn giải Câu 7: Trang 49 sgk hình học 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AA = a, AB = b, AD = c. a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên. => Xem hướng dẫn giải Câu 8: Trang 49 sgk hình học 12 Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. => Xem hướng dẫn giải Câu 9: Trang 49 sgk hình học 12 Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. => Xem hướng dẫn giải Câu 10: Trang 49 sgk hình học 12 Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. => Xem hướng dẫn giải

Mặt cầu Người đăng: Nguyễn Linh - Ngày: 03/07/2017 Bài học với nội dung: Mặt cầu Một kiến thức đòi hỏi bạn học sinh cần nắm lý thuyết để vận dụng giải toán Dựa vào cấu trúc SGK tốn lớp 12, Tech12h tóm tắt lại hệ thống lý thuyết hướng dẫn giải tập cách chi tiết, dễ hiểu Hi vọng rằng, tài liệu hữu ích giúp em học tập tốt A Tổng hợp kiến thức I Khái niệm mặt cầu Khái niệm  Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r, (r>0) gọi mặt cầu tâm O bán kính r  Ký hiệu: S(O;r) S(O;r)  CD gọi dây cung hai điểm C, D nằm mặt cầu  AB gọi đường kính mặt cầu dây cung AB qua tâm O  AB=2r Điểm nằm mặt cầu Khối cầu Cho S(O;r) A điểm khơng gian  OA=r => A nằm mặt cầu S(O;r)  OA A nằm mặt cầu S(O;r)  OA>r => A nằm mặt cầu S(O;r) ==> Kết luận:  Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính r Cách biểu diễn mặt cầu  Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vng góc lên mặt phẳng  Hình biểu diễn mặt cầu hình tròn Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu  Kinh tuyến mặt cầu đường giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu  Vĩ tuyến mặt cầu đường giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục  Hai cực mặt cầu hai giao điểm mặt cầu với trục II Giao mặt cầu mặt phẳng Cho S(O;r) mặt phẳng (P) H hình chiếu vng góc O lên (P) =>h=OH khoảng cách từ O tới (P) Khi h>r Với M điểm (P) => OM≥OH => OM>r hay ∀M∈(P) ==> Kết luận: (P) không cắt S(O;r) 2 Khi $h=r$  Điều kiện cần đủ để (P) tiếp xúc với H S(O;r) điểm H (P) vng góc với bán kính OH Khi h M∈(P)  Khi h=0 => Tâm O mặt cầu thuộc (P) => Giao tuyến (P) S(O;r) đường tròn tâm O bán kính r ( gọi đường tròn lớn ) III Giao mặt cầu với đường thẳng Tiếp tuyến mặt cầu Cho S(O;r) đường thẳng Δ H hình chiếu vng góc tâm O cách từ O tới Δ Khi d>r Δ d=OH khoảng Δ khơng cắt S(O;r) => M∀M∈Δ nằm ngồi S(O;r) Khi d=r  Điều kiện cần đủ để Δ tiếp xúc với S(O;r) H Δ vng góc với bán kính OH H Khi d Hai điểm M N giao điểm Δ với đường tròn giao tuyến S(O;r) mặt phẳng (O,Δ) Đặc biệt:  Khi d=0 => Δ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm A, B => AB đường kính mặt cầu IV Cơng thức tính diện tích thể tích khối cầu  Diện tích S mặt cầu bán kính r bốn lần diện tích hình tròn lớn mặt cầu S=4∏r2  Thể tích V khối cầu bán kính r thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu V=43∏r3 B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trang 49 - sgk hình học 12 Tìm tập hợp tất điểm M không gian ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng => Xem hướng dẫn giải Câu 2: Trang 49 - sgk hình học 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp => Xem hướng dẫn giải Câu 3: Trang 49 - sgk hình học 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu chứa đường tròn cố định cho trước => Xem hướng dẫn giải Câu 4: Trang 49 - sgk hình học 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác cho trước => Xem hướng dẫn giải Câu 5: Trang 49 - sgk hình học 12 Từ điểm M nằm ngồi mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu A, B C, D a) Chứng minh MA.MB = MC.MD b) Gọi MO = d Tính MA.MB theo R d => Xem hướng dẫn giải Câu 6: Trang 49 - sgk hình học 12 Cho mặt cầu (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) I Gọi M điểm nằm mặt cầu điểm đối xứng với I qua tâm O Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến mặt cầu cắt (P) A B Chứng minh rằng: AMBˆ=AIBˆ => Xem hướng dẫn giải Câu 7: Trang 49 - sgk hình học 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp b) Tính bán kính đường tròn giao tuyến mp(ABCD) với mặt cầu => Xem hướng dẫn giải Câu 8: Trang 49 - sgk hình học 12 Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình tứ diện tổng cặp cạnh đối diện tứ diện => Xem hướng dẫn giải Câu 9: Trang 49 - sgk hình học 12 Cho điểm A cố định đường thẳng a cố định không qua A Gọi O điểm thay đổi a Chứng minh mặt cầu tâm O bán kính r = OA ln ln qua đường tròn cố định => Xem hướng dẫn giải Câu 10: Trang 49 - sgk hình học 12 Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu => Xem hướng dẫn giải ... góc lên mặt phẳng  Hình biểu diễn mặt cầu hình tròn Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu  Kinh tuyến mặt cầu đường giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu  Vĩ tuyến mặt cầu đường... OA>r => A nằm mặt cầu S(O;r) ==> Kết luận:  Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính r Cách biểu diễn mặt cầu  Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng... C, D nằm mặt cầu  AB gọi đường kính mặt cầu dây cung AB qua tâm O  AB=2r Điểm nằm mặt cầu Khối cầu Cho S(O;r) A điểm khơng gian  OA=r => A nằm mặt cầu S(O;r)  OA A nằm mặt cầu S(O;r)