Giáo trình Toán cao cấp Đại học Ngoại Thương

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo chính.. *

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

TS PHÙNG DUY QUANG

TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH

KINH TẾ

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách “Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế” được biên soạn tương

ứng chương trình Toán cao cấp trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại học Ngoại thương Hà nội Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thức Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội

Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán học cao cấp khi tiếp cận các bài tập Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt môn Toán cao cấp Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng kết quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp Bên cạnh đó sách cũng mạnh dạn đưa vào khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các ví dụ

áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng dụng của toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế

Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kết cấu như sau:

Chương 1 Ma trận và định thức

Chương 2 Không gian véc tơ

Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

Chương 4 Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng

Chương 5 Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng

Cuốn sách lần đầu tiên ra mắt ba ̣n đo ̣c nên không thể tránh các sai sót Mo ̣i góp ý xin

gử i về TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương, đi ̣a chỉ email: quang mathftu@yahoo.com hoặc quangpd@ftu.edu.vn

Trân trọng giới thiê ̣u cùng ba ̣n đo ̣c

Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2015

Chủ biên

TS Phùng Duy Quang Trưởng bô ̣ môn Toán, Trưởng Khoa Cơ bản

Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương

MỤC LỤC

Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 5

§1 Ma trận và các phép toán trên ma trận 5

§2 Định thức của ma trận vuông 12

§3 Ma trận nghịch đảo 23

§4 Hạng của ma trận 29

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉCTƠ 34

§1 Khái niệm về không gian véc tơ 34

§2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ 37

§3 Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ 42

§4 Không gian vectơ con 50

§5 Không gian Euclide thực 54

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 57

§1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 57

§2 Phương pháp giải hệ phương trình 61

§3 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 70

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 84

§1 Hàm một biến số 84

§ 2 Giới hạn của dãy số 89

§ 3 Giới hạn của hàm số 96

§4 Hàm số một biến số liên tục 100

§5 Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số 102

§6 Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 108

§7 Tích phân hàm một biến số 115

§8 Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 142

Chương 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 145

§ 1 Giới hạn và liên tục 145

§2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 153

§3 Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế 159

§4 Cực trị hàm nhiều biến 169

§ 5 Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế 177

TÀI LIỆU THAM KHẢO 188

Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

§1 Ma trận và các phép toán trên ma trận

1 Các khái niệm

Cho m, n là các số nguyên dương

Định nghĩa 1 Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột Một ma trận có m

dòng và n cột được gọi là ma trận cấp mn Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông Ma trận cấp mn có dạng tổng quát như sau:

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

752

a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1

Định nghĩa 2

• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở

vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

14

31

241

14

31A

• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :  [ 0 ] m n

0 0 0

; 0 0

0 0

3 2 2

2

• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận

a

A , ma trận dòng là A a11 am 1

• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Khi đó các phần

từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử an1, an 12 ,

… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ

4 1 2

3 2 1 B

; 1 4

3 1 B

n 1

n 22

n 1

n 12

11

a0

00

aa

00

a0

aa

aaA

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:

1

1 n n 2

n 1 n

22 21

11

aa

aa

0a

aa

aa

00

0a

412

521

410

521

012

001C

• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi

00

01

00

10

00

01

En

• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)

• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)

752

75

62B

75

62

752A

m7

75

62

17

75

62B

a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số

Định nghĩa 3 Cho hai ma trận cùng cấp mn: A aij mn; B bij mn

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mn, kí hiệu A + B và được xác định như sau: ABaijbiimn

Tích của ma trận A với một số  là một ma trận cấp mn, kí hiệu  A và được xác định như sau: A .aij mn

Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)

Tính chất 1 Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp mn, ; là các số bất kì ta luôn có:

212B

;110

421

14743

12

212)

3(110

421

31

2/32/11

0

0135

31.2

1EB2

1C

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

1

p 22

21

p 12

11

b

bb

bb

b

bb

Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B

Định nghĩa 4

Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp mp, kí hiệu là AB và được xác định như sau:

m 1 m

n 22

21

n 12

11

c

cc

cc

c

cc

trong đó c a b a b a b a b ;i 1 , 2 , , m j 1 , 2 , , p

n 1 k kj ik nj

in j

2 2 i j 1 1 i

21

410

8722.14.33.11.31.10.3

2.24.13.21.11.20.1231

410.13

21B

012

0112

1321

17531203

0112

1321.023

012B

A

Còn B.A không tồn tại

Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận

Tính chất 2 Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được

1) (AB)C = A(BC)

2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD

3)  (AB) = ( A)B = A( B)

;00

10

00A.B

;00

01B

00B

;00

01

0010

00.00

01B.A

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n Ta xác định

ba

01)

bcad(dc

ba)

da(dc

ba.dc

baE)bcad(A)da

00bcad0

0bcad)da(d)da(c

)da(b)da(ad

bcc

11

2110

1110

11

3110

1110

21

n1

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An

Định nghĩa 5 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạng

i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di  dj( ci  cj)

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi(kci)

iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hdi  dj( hci  cj)

5212

6421

20424

6421

4211

5212

6421A

6421

5212

4211

5212

6421A

5212

6421

4211

5212

6421A

0

0

520

0

0

5311

0

865

11200

18210

74311

120

211

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A

ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij (i,j

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là

22 21 13 33 31

23 21 12 33 32

23 22 11

aa

aaM

;aa

aaM

;aa

aaM

12 11 23 33 31

13 11 22 33 32

13 12 21

aa

aaM

;aa

aaM

;aa

aaM

12 11 33 23 21

13 11 32 23 22

13 12 31

aa

aaM

;aa

aaM

;aa

aaM

Định nghĩa 1 Cho một ma trận A vuông cấp n: A =

1

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

12 11aa

aa

22 21

12 11

aaaaaa

aa)A

Ví dụ 2 Tính định thức

142

61

D 

Giải: Ta có 1.14 6.2 2

142

61

Ví dụ 3 Giải phương trình: 0

49

25

x2



Giải: Ta có 4x 25.9

49

4

9 25 x 0 9 25 x

* Định thức cấp 3:

32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aaaa

aa

a

aaa

A

Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà

mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo chính

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus” sau:

Ví dụ 4.Tính định thức

122

102

3213

1 1 1

1 x

4

1 1

1

1 x

1x02xx

ij j i

ij j i

ij( 1) Da

Ví dụ 6 Khai triển định thức sau :

5 1 1

4 2 1

3 2 1

2 1 ) 1 (

3 5 1

4 1 ) 1 (

2 5 1

4 2 ) 1 (

1112009

1xx2010

0002011

2



Giải: Đặt

1242008

1112009

1xx2010

0002011

2

4 

1 2 4

1 1 1

1 x x 2011 1

2 4

1 1 1

1 x x ) 1

1x02xx

2 Tính chất của định thức

A =[aij]n x n với n det(A)

Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

a a a a i1 i2 ij in  b b b b i1 i2 ij in  c c c c i1 i2 ij in; a ij  b ij  c ( j 1, n) ij  

Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu

) n , 1 j ( a

n k

1 k

ba

Giải: Ta có det(A) =

dc

ba

db

ca



Chú ý 1 Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột"

Tính chất 2 (Tính phản xứng)

Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

Ví dụ 2 So sánh hai định thức:

dc

ba

 = - n 2n 0n 0

b a

b a

Tính chất 3 (Tính thuần nhất) Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số

k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ

nn 2

1

in 2

i 1 i

n 12

11

nn 2

1

in 2

i 1 i

n 12

a

a a

a a

k

ka

ka ka

a a



Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa

nhân tử chung ra ngoài dấu định thức

Hệ quả 2 Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức

có hai dòng giống nhau nên nó bằng không

Ví dụ 4 Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:

9 11 7

6

4 1

1 2

170 34

68 17

7 6

2 12

4 1

1 2

10 2

4 1

7 6 2 12 17 9

11 7

6

4 1

1 2

) 10 (

17 2 17 ) 4 (

17 1 17

7 6

2 12

Hệ quả 3 Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định

thức ấy bằng không

Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất

Hệ quả 4 Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận trong quá trình tính định thức cấp n:

* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di  dj( ci  cj), phép biến đổi này định thức đổi dấu

* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi(kci), phép biến đổi này định thức tăng lên

'c'

b'

a

cb

a3

'c'b'a

cba

3 2

1 yd d xd

   

Ví dụ 6 Tính định thức

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

)3d()3c()3b()3a(

)2d()2c()2b()2a(

)1d()1c()1b()1a(

dc

ba

4d4c44b4a4

1d1c21b21a2

dc

b

d d

4 , 3

Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4 được:

66

66

22

22

1d1c21b1a2

dc

b

d d

d d

4

3 2

4 2

ac2

cb2

ba

1ba

c

1ac

b

1cb

ac2

cb1cba

1ba

1cba

1ac

1cba

1cb

1cba

ac2

cb1

1ba

1

1ac

1

1cb

1)

1cba

1

in ij

1 i

n j

1 11

n

a

a

a

a

bù đại số của phần tử a ij của định thức d Cho định thức cấp n là n Khi đó n có thể tính theo hai cách sau:

i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :

1 j

ij j

i ij

1 i

ij j

i ij

n 1 j kj

n 1 i ik

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về

tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2 Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0 nhất để khai triển Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy

Ví dụ 8 Tính định thức a)

054

213

112

421

213

1213

12.)1.(

521

11.)1.(

12.)1)(

1(42

12.)1.(

342

21.)1.(

3131

50114

3010

20014







Giải:

a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển định thức theo cột 1, ta được

142

8

1316

814

142

8

1316

814.)1.(

1142

83

13162

8141

0001

1 1 c

c

c c

4

2 1

4 1

52.)1.(

130016

502

814

2 1 d

d

d d

4

2 1

3 1

4100

5010

0001

410

501

943

410

501.)1.(

19432

4100

5010

0001

1 1 4

41.)1.(

12443

410

001

1 1

n 1

n 22

n 1

n 12

11

n

a0

00

aa

00

a0

aa

aa

1

1 n n 2

n 1 n

22 21

11

n

aa

aa

0a

aa

aa

00

0a

nn 22 11 nn

n n 1 n n

n 1

n 22

1 1 11

nn

n n 1 n n

n 1

n 22

n 1

n 12

11

a0

0

aa

a.)1.(

a

a0

0

0

aa

a

0

aa

1

1 n n 2

n 1 n

22 21

11

aa

aa

0a

aa

aa

00

0a

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:

Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của

ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

nn 33 22 11 nn

n 22

n 12

11

a

a.a.aa

00

a

0

a

a

a

nn 2

1

22 21 11

a

aaa

aa

aa

0

0a



Ví dụ 11 Tính các định thức

a)

04321

50321

54021

54301

54321

2 1

4 3

3 2

1

4 3

2 2 1

4 3

2 1

1

4 3

2 1

4

baa

aa

1

ab

aa

a1

aa

baa1

aa

aba1

aa

aa

x0xxx1

xx0xx1

xxx0x1

xxxx01

111110

6 

axxxxx

xaxxxx

xxaxxx

xxxaxx

xxxxax

xxxxxa

6 

Giải: a)

• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra 6  0

• Nếu x 0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử

x0xxxx

xx0xxx

xxx0xx

xxxx0x

xxxxxx

.x5

0xxxxx

x0xxxx

xx0xxx

xxx0xx

xxxx0x

xxxxx0

.x

1

2 2



Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:

3 5

2 2

x5

x00000

0x0000

00x000

000x00

0000x0

xxxxxx

.x

xx1

xa

xx1

ax1

xx

xa1

xx

xx1

.x5a

ax

xxxa

xa

xxxa

axxa

xx

xaxa

xx

xxxa

00

0

0xa

00

xa00

00

0xa0

xx

xx

1

.x5

§3 Ma trận nghịch đảo

Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo

1 Định thức của tích hai ma trận vuông

Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n

Định lý 1 Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận

thành phần: det(AB)= det(A)det(B)

Hệ quả: det(An) = [det(A)]n

Ví dụ 1 Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2 Tính det(AB),

det(A2B); det(2AB); det(A3); det(2A)

Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2 (-2) = -4

det(A2B)= det(A2).det(B) = 22 (-2) = -8

det(2AB) = 23.det(AB) = 8 (-4) = -32

det(A3) = [det(A)]3 = 23 = 8

det(2A) = 23.det(A) = 16

2 Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1 Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n Nếu có ma

trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu

01

01

0140

01.4

10

014

10

01.4

00

không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có

E

B

B

 

Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

Định lý 2 Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất

3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

312A

425

130

312

31.)1(A

;242

31.)1(A

;1442

13.)

32.)1(A

;745

32.)1(A

;545

10.)

1

(

A12   21  22   22  32   32 

630

12.)1(A

;125

12.)1(A

;1525

30.)

275

10214A

11/122/722/5

11/511/111/7

6115

275

10214.22

1A)Adet(

1 ) kA (    ; (Am)- 1 = (A-1)m

ii) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1

iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất

C A X C X

1 A C X C

37

2454

12

37.12

371

2

37)

A()

A

(

2 2

1 1

Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch

Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo

352

321A

1

A1 

Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp

32 11

3

24.2

1A.)Adet(

1

A1 

Bước 2 Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A Ta có

501

52.)1(A

;1381

32.)1(A

;4080

35.)1(

A11   11  12   12  22   22 

201

21.)1(A

;581

31.)1(A

;1680

32.)1(

A21   21  22   22  23   23 

152

21.)1(A

;332

31.)1(A

;935

32.)1(

3513

91640

3513

91640A

)Adet(

3513

91640

A 1

b) Phương pháp khử Gause-Jordan (Phương pháp biến đổi sơ cấp)

Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E và đưa E về ma trận A-1 Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss – Jordan):

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A

được ma trận mới ký hiệu (A|E)

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mới này để đưa dần

khối ma trận A về ma trận đơn vị E, còn khối ma trận E thành ma trận B, tức là (A|E) (E|B) Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A

352

321A

0 1 0

0 0 1

8 0 1

3 5 2

3 2 1

Bước 2: Biến đổi sơ cấp

0 1 2

0 0 1

1 0 0

3 1 0

3 2 1

1 0 1

0 1 2

0 0 1

5 2 0

3 1 0

3 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 3 1

d d d

d d d

3 5 13

9 16 40

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 5

3 5 13

3 6 14

1 0

0

0 1

0

0 2

1

1 2 3

3513

91640

A 1

5 Ứng du ̣ng của ma trâ ̣n nghi ̣ch đảo

Trong mục này chúng ta ứng du ̣ng của ma trâ ̣n nghi ̣ch đảo để giải các phương trình ma trận sau: A.X = B và X.A = B

Đi ̣nh lý 5 Nếu ma trâ ̣n A khả nghi ̣ch thì các phương trình sau có nghiê ̣m duy nhất

Khi đó, nghiê ̣m của (1) và (2) được xác đi ̣nh bởi công thức:

B A X B X

1

A B X B

Ví dụ 7 Giải phương trình ma trận sau

21

10

01X.801

352

321

21

0112

95

153.2

12

32 12

95

153.43

21

352

321

8 16

25 49

1 1

1 0

0 1 1 2 5

3 5 13

9 16 40

1 1

1 0

0 1 8 0 1

3 5 2

3 2 1

X

1

§4 Hạng của ma trận

1 Khái niệm

Cho ma trận A  [ aij]mxn; 1  k  min {m, n} Trước hết, ta nhắc lại khái niệm định thức con cấp k của ma trận A.Lấy ra k dòng và k cột khác nhau Định thức của ma trận cấp k có các phần tử thuộc giao điểm của k dòng và k cột đó được gọi là định thức con cấp k của

8632

4311

Xác định các định thức con của A

Giải:

Các định thức con cấp 1 của A chính là các phần tử của A

Các định thức con cấp 2 của A , chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2 và cột 1, 3 là

06

83

D2423  ,

Các định thức con cấp 3, chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2, 3 và cột 1, 3, 4 là

0129

3

86

2

43

1

1223

832

411



Định lý 1 Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức

con cấp cao hơn k cũng bằng 0

Định nghĩa 1 Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n   Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)) Nếu r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ sở của A

* r(A) = n  A 0 hay A không suy biến

* r(A) < n  A 0 hay A suy biến

8632

4311A

Giải:

122

83

D2423  0 nên r(A)2

Xét các định thức con cấp 3: có tất cả C34  4 định thức con cấp 3 của A

092

3

63

2

31

862

431

D134123   ;

0122

3

83

2

41

863

431

0 0

0 0

0 0

0 0

a

a a

0 0

a a

a 0

a

a a

a a

n 1

k k 22

n 1

k k 12

00

a0

a

aa

kk

k 22

k 12

11 k

12 k

Định lý 2

(i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

ii) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của ma trận đó

Định lý 3

(i) Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp mn bất kỳ, ta luôn có:

) B ( ) A ( ) B A

(ii) Với A và B là hai ma trận bất kỳ sao cho AB tồn tại, ta luôn có:

) A ( ) AB (  và ( AB )  ( B ) hay ( AB )  min {r(A), r(B) }

(iii) Nếu A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì

r(A) + r(B)  r(AB) + n

Hệ quả: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có

) AB ( n ) B ( ) A

2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a) Phương pháp định thức

Trước hết, ta chứng minh kết quả:

Định lý 4 Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr Nếu mọi định thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A bằng r

Từ định lý này, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận như sau:

Bước 1: Tìm một định thức con cấp Dk khác 0 cấp k (0kmin m,n )

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có)

Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k

Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp

k  2 chứa định thức cấp k 1  khác 0 này (nếu có)

Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A

8632

4311A

Giải:

32

11

D1212    0 nên r(A)2

Xét các định thức con cấp 3 chứa 12

D : có 2 định thức con cấp 3 của A chứa 12

D

632

311



1223

832

411

D đều bằng 0 nên r(A) = 2

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp

Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang B Bước 2: Đếm số dòng khác không của B, số đó là hạng của A

4112

2431A

Giải:

Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

B0000

0770

2431

0550

0770

2431

2121

4112

2431A

2 3 2

2 1 2 1

d d d

d d d

1311

3211A

Giải: Ta biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang

Lấy dòng 1 cộng vào dòng 2, dòng 1 nhân với (- 1) cộng vào dòng 3, ta được:

2500

3211

2 1 3 1

d d d d

Nhân dòng 2 với (- 1) cộng vào dòng 3 ta thu được ma trận dạng bậc thang:

2500

3211

2 1 3 1

d d d d

Từ ma trận dạng bậc thang, ta có r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m – 5 = 0 m 5

Ví dụ 7 Tìm hạng của ma trận

30

21

21

A là ma trận vuông cấp 2 nên An cũng là ma trận vuông cấp 2 Theo định lý nhân định thức ta có det(An) = [det(A)]n = 3n 0 Nên r(An) = 2

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉCTƠ

§1 Khái niệm về không gian véc tơ

1 Định nghĩa vectơ n thành phần

Định nghĩa 1 Mỗi bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định (x1, x2, …,

xn) được gọi là một vectơ n thành phần

Vectơ n thành phần thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường như x, y, u, v, …

• Vectơ n thành phần mà tất cả các thành phần đều bằng 0 được gọi là vectơ không,

(iv) -x = (-x1, -x2, …, -xn): x + (-x) =  Vectơ - x được gọi là vectơ đối của vectơ x

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

Định lý 2 Mọi vectơ n thành phần x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) và mọi , 

x – y = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn - yn)

3 Định nghĩa không gian vectơ tổng quát

Không gian vectơ n thành phần, ký hiệu n

là tập hợp tất cả các vectơ n thành phần cùng với hai phép toán: phép cộng giữa hai vectơ n thành phần và phép nhân một số thực với một vectơ n thành phần thoả mãn 8 tính chất (4 tính chất ở định lý 3.2 và 4 tính chất định lý 3.2) gọi là 8 tiên đề của không gian véc tơ

Từ định nghĩa này, ta có thể mở rộng khái niệm không gian véc tơ cho tập hợp E bất

kỳ khác rỗng

Định nghĩa 5 Cho tập E khác rỗng Trên E trang bị hai phép toán : phép cộng hai

phần tử của E, phép nhân một phần tử của E với một phần tử của trường K ( hoặc , trong giáo trình này chỉ xét trường số thực ; các kết của của các phép toán đó cũng là phần tử của E) Nếu hai phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ thì E cùng với hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên trường K

Ví dụ 1 Tập Matm xn(K) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K cùng với phép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với 1 số Theo định lý 2.1 ta có các phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ Vậy Matmx n(K) là một không gian véc

tơ với véc tơ không là ma trận không cấp m x n ; phần tử đối của ma trận A = [aij]m x n là

Ví dụ 2 Gọi Pn là tập các đa thức bậc không quá n với hệ số thực

p p a a x a x a x ;a R(i 0,n)

n 2

2 1 o

sau :

+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … + anxn ; q = bo + b1x + b2x2 + … + bnxn

nP

 thì

p + q = (ao + bo) + (a1+b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an+bn)xn

nP



+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … + anxn Pn ; k  Rthì

kp = kao + ka1x + ka2x2 + … + kanxn Pn

Khi đó Pn cùng với hai phép toán trên là một không gian véc tơ với phần tử không là

đa thức 0 ; phần tử đối của đa thức p là - p = - ao - a1x - a2x2 - … - anxn

Ví dụ 3 Gọi Qn là tập các đa thức bậc n với hệ số thực

p p a a x a x a x ;a R(i 0,n);a 0

định như ở ví dụ 3.2.Khi đó Qn với hai phép toán này không phải là không gian véc tơ vì : +) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … an-1xn-1 + xn ; q = bo + b1x + b2x2 + …+bn-1xn-1- xn

nQ



nhưng p + q = (ao + bo) + (a1+b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an-1+bn-1)xn-1Qn

Để đơn giản, trong giáo trình chỉ xét K = Do đó ta chỉ cần nói E là không gian véc

tơ Trước hết, ta có một số tính chất đơn giản của không gian véc tơ

Định lý 3 Bất kỳ một không gian véc tơ E nào ta cũng có tính chất sau

i) Nếu  là phần tử trung hoà của E thì phần tử trung hoà là duy nhất

ii) Phần tử đối – x của bất kỳ véc tơ x nào của E cũng đều duy nhất

§2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

1 Tổ hợp tuyến tính

Cho {u1, u2, …, um}  E ; E là không gian véc tơ

Định nghĩa 1 Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um là biểu thức

 thì ta nói x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um (hay

x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ u1, u2, …, um)

Một số tính chất đơn giản của tổ hợp tuyến tính

Định lý 1 Trong mọi không gian véc tơ E

i) Véc tơ  là tổ hợp tuyến tính của mọi hệ véc tơ

ii) Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U và mọi véc tơ của U là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ V = {v1; v2; ; vn} thì x cũng là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ

j ij

n 1 j m 1 i ij i j

m 1 i n 1 j ij i m

1 i n 1 j j ij

; 2

; 4 ( ) 1

; 1

; 2 ( ) 3

; 2

; 1 (

4

1

442

149

4

36

3

442

533

522

442

3 2

3 2

3 2 1

3 2

3 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

24

105

1

442

3

3 2

3 2 1

3

3 2

3 2 1

Vậy x = -2u1 – u2 + 2u3

Ví dụ 2 Trong không gian n, cho hệ véc tơ U = {e1; e2; ; en}

Trong đó ei = (0; 0; ; 0; 1; 0; ; 0) (thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phần khác bằng 0; i  1 , n)

Chứng minh rằng mọi véc tơ x của n đều tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U

i) Nếu hệ U độc lập tuyến tính  ui ≠ , i = 1, m

ii) Nếu U độc lập tuyến tính và U   U thì hệ U độc lập tuyến tính

Chứng minh

i) Giả sử tồn tại một véc tơ ui  Khi đó phương trình véc tơ

1u1 + 2u2 + …+ iui + … + mum =  có nghiệm

0

;1

;0

2

1         

phụ thuộc tuyến tính Mâu thuẫn với giả thiết suy ra đpcm

iii) Không mất tính tổng quát, ta giả sử U’ = {u1; u2; ; uk} (1  k  m)

0 k

2

1   

Hệ quả 1 Nếu   U thì hệ U phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 2 Nếu hệ U phụ thuộc tuyến tính và UVthì hệ V phụ thuộc tuyến tính

Định lý 3 Hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} (m ≥ 2) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

Chứng minh

( ) Giả sử U là hệ phụ thuộc tuyến tính Khi đó, tồn tại các số không đồng thời bằng 0: 1;2; ;msao cho 1u1 + 2u2 + …+ iui + … + mum =  Không mất tính tổng quát, ta giả sử i 0 nên iui= - 1u1 - 2u2 - …- i1ui1i1ui1 - … - mum

i

m 1

i i

1 i 1 i i

1 i 2

i

2 1

tuyến tính các véc tơ còn lại của hệ

() Suy ra hiển nhiên từ định nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 3 Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu diễn

tuyến tính qua các vectơ còn lại

Hệ quả 4 Nếu hệ {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính thì

hệ {u1, u2, …, um, v} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi v là tổ hợp tuyến tính duy nhất của các vectơ u1, u2, …, um

Hệ quả 5 Hệ U có hai véc tơ tỷ lệ nhau là hệ phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4 Trong không gian véc tơ E, cho hai hệ vectơ

U = {u1, u2, …, um }

V = {v1, v2, …, vp}Nếu m > p và mọi vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ V thì

hệ U phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh

Theo giả thiết, mỗi vec tơ ui (i = 1, 2, , m) có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp

k a k a

0 k a

k a k a

0 k a

k a k a

m pm 2

2 1 1

m m 2 2

22 1 21

m m 1 2

12 1 11

(*)

Hệ (*) này có số phương trình nhỏ hơn số ẩn (p < m) nên hệ này có vô số nghiệm Gọi (k1; k2; ; km) là một nghiệm không tầm thường của hệ đó Từ (*) ta có

k1u1 + k2u2 + + kmum = k1(a11v1 + a21v2 + … + ap1vp) + k2(a12v1 + a22v2 + + ap2vp) + …+ km(a1mv1 + a2mv2 + … + apmvp)

= (a11k1 + a12k2 + … + a1mkm)v1 + (a21k1 + a22k2 + … + a2mkm)v2 + … + (ap1k1 + ap2k2

+ … + apmkm)vp= 0.v1 + 0.v2 + … + 0.vp = 0

Nên hệ véc tơ U là phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 1 Nếu hệ U là độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ V biểu thị tuyến tính qua

U thì m p

Hệ quả 2 Nếu hệ véc U, V là độc lập tuyến tính; đồng thời mọi véctơ của U là tổ hợp

tuyến tính của hệ V và ngược lại, mọi véc tơ của hệ V là tổ hợp tuyến tính của hệ U thì hai hệ véc tơ đó có số véc tơ bằng nhau

Chứng minh hai hệ quả này đều suy ra từ định lý trên

Ví dụ 3 Trong không gian R3, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ a) U = {u = (1; 1; -2)}