Giáo trình Toán cao cấp Đại học Ngoại Thương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TS PHÙNG DUY QUANG TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuấ t bản Đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m Hà nơ ̣i, 2016 LỜI NĨI ĐẦU Ć n sách “Toán cao cấp ứng dụng phân tích kinh tế ” biên soạn tương ứng chương trình Tốn cao cấp chương trình đào tạo ngành Kinh tế, Tài Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế trường Đại học Ngoại thương Hà nội Ngồi sách tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường đại học có học Tốn sở học viên chuẩn bị kiến thức Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội Với mục đích rèn luyện tư suy luận tri thức toán học cao cấp trang bị lý thuyết, kỹ giải toán cơng cụ tốn học cao cấp tiếp cận tập Nhằm mục đích đổi việc giảng dạy học tập toán cao cấp sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Với mục đích ngồi khái niệm tốn học, chúng tơi cố gắng trình bày kết tốn học, ý nghĩa định lý để người đọc hiểu vận dụng kết vào giải tập tốn cao cấp Bên cạnh sách mạnh dạn đưa vào khối lượng tương đối lớn ví dụ với phương pháp giải tốn, kết với ví dụ áp dụng tốn sở toán kinh tế để người đọc thấy mạch ứng dụng toán học cao cấp lĩnh vực kinh tế Với mục đích trên, ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuố n sách kết cấu sau: Chương Ma trận định thức Chương Không gian véc tơ Chương Hệ phương trình tuyến tính ứng dụng Chương Phép tính vi phân, tích phân hàm biến số ứng dụng Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến ứng dụng Cuố n sách lầ n đầ u tiên mắ t ba ̣n đo ̣c nên không thể tránh các sai sót Mo ̣i góp ý xin gửi về TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương, điạ chỉ email: quang mathftu@yahoo.com hoă ̣c quangpd@ftu.edu.vn Trân tro ̣ng giới thiê ̣u cùng ba ̣n đo ̣c Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2015 Chủ biên TS Phùng Duy Quang Trưởng bô ̣ môn Toán, Trưởng Khoa Cơ bản Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương MỤC LỤC Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC .5 §1 Ma trận phép tốn ma trận §2 Định thức ma trận vuông 12 §3 Ma trận nghịch đảo 23 §4 Hạng ma trận 29 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉCTƠ 34 §1 Khái niệm khơng gian véc tơ 34 §2 Mối quan hệ tuyến tính vectơ 37 §3 Hạng hệ vectơ, sở số chiều không gian vectơ 42 §4 Khơng gian vectơ 50 §5 Khơng gian Euclide thực 54 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 57 §1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 57 §2 Phương pháp giải hệ phương trình 61 §3 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 70 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG .84 §1 Hàm biến số 84 § Giới hạn dãy số 89 § Giới hạn hàm số 96 §4 Hàm số biến số liên tục 100 §5 Đạo hàm vi phân hàm biến số 102 §6 Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế 108 §7 Tích phân hàm biến số 115 §8 Ứng dụng tích phân phân tích kinh tế 142 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 145 § Giới hạn liên tục 145 §2 Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến 153 §3 Ứng dụng đạo hàm riêng phân tích kinh tế 159 §4 Cực trị hàm nhiều biến 169 § Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến phân tích kinh tế 177 TÀI LIỆU THAM KHẢO 188 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1 Ma trận phép tốn ma trận Các khái niệm Cho m, n số nguyên dương Định nghĩa Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dòng n cột gọi ma trận cấp m  n Khi cho ma trận ta viết bảng số bên dấu ngoặc tròn ngoặc vng Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát sau:  a 11   a 21   a  m1 a 12 a 22 a m2 a 1n   a 11  a a n   21      a mn  a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n  a n    a mn  Viết tắt A = (aij)n xn A = [aij]n xn 2    A ma trận cấp x với 6  Ví dụ Cho ma trận A   a11 = ; a12 = ; a13 = - ; a21 = ; a22 = ; a23 = Định nghĩa • Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi • Ma trận chuyển vị A AT : AT = [aji]n xn • Ma trận đối ma trận A ma trận – A = [- aij]n x n 1  3 Ví dụ Cho ma trận A  4  1 Xác định AT, - A 2  Giải :   3 2 1   Ta có A    ;  A   1      0 T • Ma trận khơng cấp m x n ma trận mà phần tử :   [0]m x n Ví dụ Các ma trận không cấp 2x2 2x3 0 0 0 0 2 x   ;    x 0 0 0 0   • Khi n = người ta gọi ma trận A ma trận cột, m = người ta gọi ma trận A ma trận dòng  a 11  Ví dụ Ma trận cột A    , ma trận dòng A  a 11 a m1    a n1  • Ma trận vng cấp n ma trận có số dòng số cột n Một ma trận có số dòng số cột n gọi ma trận vng cấp n Khi phần từ a11, a22, … , ann gọi phần tử thuộc đường chéo chính, phần tử a n1, a n 12 , … , a1n gọi phần tử thuộc đường chéo phụ Ví dụ Cho ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 1   3 A  1; B   ; B    4     1 1 3 • Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo +) Ma trận A = [aij]n x n gọi ma trận tam giác aij = với i > j: a 11 a 12 0 a 22  A    0  0 a 1n 1 a n 1 a n 1 n 1 a 1n  a n    a n 1 n  a nn  +) Ma trận A = [aij]n x n gọi ma trận tam giác aij = với i < j:  a 11 a  21 A    a n 11  a n1  a 22 a n 1 a n2 a n 1 n 1 a n n 1      a nn  Ví dụ Cho ví dụ ma trận vng cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác cấp Giải: 1  5 1  5 1 0     A  2   ; B  0  ; C  2  0 1 0  1 6  • Ma trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà có tất phần tử nằm ngồi đường chéo • Ma trận chéo cấp n có tất phần tử thuộc đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n: 1 0  E n    0  0 0 0 0    0  • Tập ma trận cấp m x n trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R) • Tập ma trận vuông cấp n trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)  2 2    Ví dụ Cho ma trận A   B     6   m  a) Tìm AT – A b) Tìm m để AT = B Giải:  6    a) Ta có A   7 A      1   1 T   6     b) A  B   7     m   m  1  1  m  T Phép toán ma trận a) Phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số Định nghĩa Cho hai ma trận cấp m  n: A  a ij mn ; B  b ij mn Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m  n, kí hiệu A + B xác định sau: A  B  a ij  b ii mn Tích ma trận A với số  ma trận cấp m  n, kí hiệu  A xác định sau: A  .a ij mn Hiệu A trừ B: A – B = A + (-B) Từ định nghĩa ta suy tính chất phép tốn tuyến tính Tính chất Cho A, B, C ma trận cấp m  n,  ;  số ta ln có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + = A 4) A + (-A) = 5) 1.A = A 6)  (A + B) =  A +  B 7) (  +  )A =  A +  A 8) (   )A =  (  B) 1     2 ;B     Khi 0  1 2  Ví dụ Cho ma trận A   1   2  2   14  2A  3B  2.  (3).    0  1 2     11 1 3 Ví dụ Cho ma trận B    Tìm ma trận C cho 3B – 2(B + C) = 2E 5 3 Giải: 1 3 1 0  / / 2   5 3 0 1  / /  Phương trình cho  C  B  E   b) Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận :  a 11 a A =  21   a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n  a n  ;   a mn   b11 b 21 B=    b n1 b12 b 22 bn2 b1p  b p    b np  Trong đó, ma trận A có số cột số dòng ma trận B Định nghĩa Tích ma trận A với ma trận B ma trận cấp m  p, kí hiệu AB xác định sau:  c11 c AB =  21   c m1 c12 c 22 c m2 c1n  c n    c mn  n c ij  a i1 b1 j  a i b j   a in b nj   a ik b kj ; i  1,2, , m; j  1,2, , p  k 1 Chú ý • Tích AB tồn số cột ma trận đứng trước số dòng ma trận đứng sau • Cỡ ma trận AB: Ma trận AB có số dòng số dòng ma trận đứng trước số cột số cột ma trận đứng sau • Các phần tử AB tính theo quy tắc: Phần tử cij tích vơ hướng dòng thứ i ma trận đứng trước cột thứ j ma trận đứng sau 0  1 2 B     Tính A.B B.A 1 2 3 1 Ví dụ 10 Cho hai ma trận A   Giải : 1 2 0 4 1.0  2.1 1.1  2.3 1.4  2.2 2  .    3 1 1 2 3.0  1.1 3.1  1.3 3.4  1.2 1 14 Ta có A.B   Nhưng số cột B khác số dòng A nên khơng tồn tích BA 1  1   0 Ví dụ 11 Cho ma trận A   ; B  2  1  Tính A.B, BA    0 3  Giải: 1  1  1   0  3 Ta có A.B   2  1       0 3  1      Còn B.A khơng tồn Các tính chất phép nhân ma trận Tính chất Giả sử phép nhân ma trận thực 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3)  (AB) = (  A)B = A(  B) 4) AE = A; EB =B Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A 5)  AB   BT A T T Chú ý Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn Nếu A.B   chưa A   B   0  0  ;B     0  1 0 Ví dụ 12 Cho ma trận A   1 0 0  ; B.A     AB  BA 0  0  Khi A.B   1 0 1 0 0 0 0 0 0  ;B , ta có A.B   .     0  0  0  0  0  Ví dụ 13 Cho A   c) Luỹ thừa ma trận vuông: Cho A ma trận vuông cấp n Ta xác định A0 = E; An = An -1 A ( n số nguyên dương) a b   Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình c d  Ví dụ 14 Cho A   X  (a  d)X  (ad  bc)   Giải: a b a b a b 1 0   (a  d).  (ad  bc).     c d  c d  c d  0 1 Ta có A  (a  d)A  (ad  bc)E    0 0  a  bc (a  d)b a (a  d) b(a  d) ad  bc      (đpcm)   ad  bc 0 0 (a  d)c bc  d  c(a  d) d(a  d)  =  1 1 n  Tính A , A , , A (n số tự nhiên)   Ví dụ 15 Cho ma trận A   Giải: 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3  ; A3          ; ; tương tự ta dự 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Ta có A   1 n  đoán A n    0  Dễ dàng chứng minh quy nạp công thức An Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp ma trận A = [aij]m x n phép biến đổi có dạng i) đổi chỗ dòng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j ) 10 (2), đạt cực trị điểm Mo(x 10 , x 02 , , x 0n ), tồn giá trị  = 0 cho M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) nghiệm hệ phương trình: g(x1, x , , x n ) = b  f g  L  x = x -  x = 0, i = 1, n  i i i (4) Bước 3: Kiểm tra xem điểm Mo có điểm cực trị hay không cách dựa vào điều kiện đủ sau đây: Định lý  L(M ) i) Nếu d L( M o ) =  dxidxj > 0, với dx1, dx2, …, dxn không đồng thời i, j1 x i x j n 0, Mo điểm cực tiểu f(x1, x2, …, xn)  L(M ) ii) Nếu d L( M o ) =  dxidxj < 0, với dx1, dx2, …, dxn không đồng thời i, j1 x i x j n 0, Mo điểm cực đại f(x1, x2, …, xn) (1) iii)Nếu dx 1(1) , dx (1) , …, dx n không đồng thời không cho  L(M ) (1) (1) (2) dx i dx j >0 dx 1(2) , dx (2)  , …, dx n không đồng thời i, j1 x i x j n d2L( M o ) =  L(M ) (2) (2) không cho d L( M o ) =  dx i dx j < điểm Mo khơng điểm cực trị i, j1 x i x j n của f(x1, x2, …, xn) Chú ý 2: Nếu M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) điểm cực trị hàm f Gọi fmax (fmin) giá trị cực đại (cực tiểu) hàm f tương ứng Mo Ta có f max f  o (  o ) b b Điều kiện đủ cực trị có điều kiện cho dạng định thức ma trận sau:   '  gx1  Lập ma trận: H   g'x   ' gx n g'x1 g'x2 L 11 L 12 L 21 L 22 L n1 L n2 g'x n   L 1n   L 2n    L nn  174   '  gx1 Ký hiệu: H k   g'x   ' gx k g'x1 g'x2 L 11 L 12 L 21 L 22 L k1 L k2 g'x k   L 1k   L 2k  (k  1,n)   L kk   2L (M o ) Lưu ý: ta chỉ xét các đinh Trong L ij  ̣ thức của Hk (k=2,3, ,n), Hn = H x i x j Định lý Nếu điểm M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) thỏa mãn: i) (1) k det(Hk) > với k  2,3, , n Mo điểm cực đại có điều kiện hàm f ii) det(Hk) < với k  2,3, , n Mo điểm cực tiểu có điều kiện hàm f Ví dụ Tìm điểm cực trị hàm số f(x, y) = x2 + y2 với điều kiện x + y = 10 Giải: Bước Tìm cực đại hàm số f với điều kiện x + y = 10 Bước Hàm số Lagrange là: L = x2 + y2 + (10 – x - y) Bước Giải hệ phương trình:  L' x  2x    x   '    L y   2y      y  Ta có điểm dừng M o (5; 5; 10)  '  x  y  10   10   L   Bước Kiểm tra điều kiện đủ Cách Dùng d2L: Sử dụng điều kiện điểm dừng (dx)2 + (dy)2  dx + dy = Ta có L''x  2; L''xy  0; L''y  Khi 2 dL2(5; 5; 10) = 2[(dx)2 + (dy)2] > nên (5; 5) điểm cực tiểu có điều kiện hàm số Cách g1  g'x  1; g2  g'y   1  1  1   ;H   0 Ta có H   0 : H1     2  2  2 175 Khi det(H2) = -4 < nên (5; 5) điểm cực tiểu có điều kiện hàm số Bước Kết luận Vậy hàm f đạt cực tiểu có điều kiện (5; 5) fmin = f(5; 5) = 50 Ví dụ Tìm điểm cực trị hàm số f(x, y) = -x2 -2 y2 với điều kiện 3x -2y = -22 Giải: Bước Tìm cực đại hàm số f với điều kiện 3x - 2y = -22 Bước Hàm số Lagrange là: L = - x2 -2y2 + (-22 – 3x +2y) Bước Giải hệ phương trình: L' x   2x  3  x  6  '   L y    y  2    y  Ta có điểm dừng M o (-6; 2; 4)  ' 3x  y  22     L   Bước Kiểm tra điều kiện đủ Cách Dùng d2L: Sử dụng điều kiện điểm dừng (dx)2 + (dy)2  dx + dy = Ta có L''x  2; L''xy  0; L''y  4 Khi 2 dL2(-6; 2; 4) = -2[(dx)2 + 2(dy)2] < nên Mo(-6; 2) điểm cực đại có điều kiện hàm số f Cách g1  g 'x  3; g  g 'y  2 Ta có  2 0 H      H2     4 Khi 2 det(H )  det(H)    44  2 4 Hay det( H )  nên Mo(-6,2) điểm đại có điều kiện hàm số Bước Kết luận Vậy hàm f đạt cực đại có điều kiện Mo(-6, 2) fmax = f(-6; 2) = -44 176 § Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến phân tích kinh tế Ứng dụng cực trị khơng điều kiện Ví dụ Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm   Q12  3Q 22  7Q 32  300Q  1200Q  4Q1Q  20 Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa Giải: Bước Giải hệ phương trình  'Q  2Q1  4Q  Q1  400  '   Q  50  Q  6Q  300   ' Q  200   Q3  14Q  4Q1  1200  12 Vậy hàm số có điểm dừng M(400; 50; 200) Bước Kiểm tra điều kiện đủ a 11   'Q' Q  2; a 22   'Q' Q  6; a 33   'Q' Q  14 1 2 3 a 12  a 21   'Q' Q  0; a 13  a 31   'Q' Q  4; a 23  a 32   'Q' Q  21   2  Xét ma trận H   6  ta có  14 det(H1 )  2   k det(H )  12   (1) det(H k )  0; k  1,3 det(H )  72   Nên M điểm cực đại hàm số  Bước Kết luận Doanh nghiệp cần bán mặt hàng với số lượng Q1  400; Q  50; Q3  200 thu lợi nhuận tối đa 127520 Ví dụ Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau: Q1 = 1300-p1; Q2 = 675 -0,5p2 Với hàm chi phí kết hợp C = Q12  3Q1Q  Q 22 Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa? Giải: Bước Lập hàm lợi nhuận Từ hàm cầu ta suy ra: p1  1300  Q1 ; p  1350  2Q 177 Hàm lợi nhuận doanh nghiệp:   p1Q1  p Q  C =  2Q12  3Q 22  1300Q1  1350Q  3Q1Q Bài tốn đưa tìm cực đại hàm  Bước Giải hệ phương trình  'Q   4Q1  1300  3Q  Q  250    '  Q   6Q  1350  3Q1  Q  100 Bước Kiểm tra điều kiện đủ a 11   'Q' Q  4; a 22  'Q' Q  6; a 12  a 21  'Q' Q  3 1 Xét ma trận D  2 4 3  15  a11 = - < nên M điểm cực đại hàm số  3 6 Bước Kết luận Doanh nghiệp cần bán hàng với mức sản lượng cho sản phẩm giá tương ứng là: Q1 = 250; p1 = 1050 Q2 = 100; p2 = 1150 Thì thu lợi nhuận tối đa (250,100)  230000 Ví dụ Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng: TC1  128  0,2Q12 ; TC2  156  0,1Q22 (Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1, 2) Hàm cầu ngược sản phẩm công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; Q = Q1 + Q2 Q0, L > 0) Giả sử giá thuê đơn vị vốn USD, giá thuê đơn vị lao động USD giá đơn vị hàng hóa USD Xác định mức sử dụng vốn, lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa Giải: Bước Ta có hàm lợi nhuận doanh nghiệp là:   TR  TC  2(K 0,5  L0,5 )  6K  4L Bài tốn đưa tìm cực trị khơng có điều kiện hàm  : Tính đạo hàm riêng cấp 1, 2: 'K  K 0,5  6; 'L  L0,5  ' '  'K'  0,5K 1,5 ; 'KL  'LK  0;  'L'  0,5L1,5 2 179 Bước Tìm điểm dừng  K    K     1 36   0 ,  Hay M o  ;   '  36 16  L    L  L   16 0, ' K Bước Kiểm tra điều kiện đủ: ' a 11   'K'  0,5.63 ; a 22  'L'  0,5.43 ; a 12  a 21   'KL 0 2  0,5.63 Xét ma trận D  0  0.5 2.63.4  a11 < nên M điểm cực đại  0,5.4 hàm số  Bước Kết luận: Mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa là: K 1 ;L  36 16 Ứng dụng cực trị có điều kiện Ví dụ Cho hàm lợi ích tiêu dùng hàng hóa: U  x 0, y 0, (x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Giải: Bước Tìm cực đại hàm số U với điều kiện 2x + 3y = 130 Bước Lập hàm Lagrange: L = x 0, y 0,  (130  2x  3y) Bước Giải hệ phương trình:  0 , ,  x y    L x   x  40  '  0, 0, 10  L y   x y     y  60  '   0,6 L    2x  3y  130      5 2 ' Bước Kiểm tra điều kiện đủ g1  g 'x  2; g  g 'y  180 L''xx  0,24x 1, y 0,  L11  0,24.40 1, 6.600,  L''yy  0,24x 0, y 1,  L 22  0,24.400, 4.60 1,  L''yy  0,24x 0, y 0,  L12  L 21  0,24.40 0, 6.60 0,   0  Xét ma trận H   L 11 L 12  , ta có det(H2) > Vì M(40; 60) điểm cực  L 21 L 22  đại hàm số Bước Kết luận Người tiêu dùng cần mua mặt hàng với số lượng tương ứng 40 60 để thu lợi ích tối đa U(40 60) = 40 0, 4.60 0,6 Ví dụ Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q  K 0, L0,3 (Q – sản lượng, K – vốn, L – lao động) a) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất b) Giả sử giá thuê tư 4USD, giá thuê lao động 3USD doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050USD Hãy cho biết danh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa Giải: a) Hàm Q  K 0, L0,3 hàm bậc k = 0,3 + 0,4 = 0,7