CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ bản: �g ( x) �0 f ( x ) g ( x) � � �f ( x) g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x x x b) 2x 1 x 4x Lời giải: a) Phương trình tương đương với: x 2 b) Điều kiện: x �0 Bình phương vế ta được: �x �8 3x 2 x x x � 2 x x x � � 4(2 x x) ( x 8)2 � x4 � �x �8 �� �� 16 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có x � x x 12 x 64 � � nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: II MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ THƯỜNG GẶP Giải phương trình vơ tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu: + Khi ta gặp tốn giải phương trình dạng: n f ( x ) m g ( x ) h( x ) Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2 x2 x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu x0 , y0 nghiệm hệ y0 , x0 nghiệm �S x y điều kiện S �4 P quy hệ phương trình ẩn S , P �P x y c) Cách giải: Đặt � Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: �x y xy a) �3 �x y �2 x y � c) � 3 � �x y 6 x y xy 3 � �x y 19 b) � x y xy � � �x y xy d) � � x 1 y 1 Giải: �S x y điều kiện S �4 P hệ phương trình cho trở thành: P x y � a) Đặt � � 2S �P S P � � � �� � 3S � �S S 3P �S � S2 � � � � �� � 2S 3S 6S 16 � S S S � S � P Suy x, y hai nghiệm phương trình: X X � X 0, X �x �x �� � �y �y Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: � �f x F x � f x g x � � �g x Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: a b2 0, a3 b3 0, Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu x a nghiệm phương trình f x ta ln có phân tích: f x x a g x Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau: Phương trình dạng: x ax bx c Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: 2mx m phương trình trở thành: ( x m)2 (2m a) x bx c m2 Ta mong muốn vế phải có dạng: ( Ax B) 2m a � �� �m 2 b 4(2 m a )( c m ) � Phương trình dạng: x ax3 bx cx d � � a 2 � � Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: �x x m � Bằng cách khai triển biểu thức: � a �2 �2 a � 2m �x amx m Ta thấy cần thêm vào hai vế �x x m � x ax � � � � � � lượng: �2m � a �2 �x amx m phương trình trở thành: � Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a b �2 ab Dấu đẳng thức xảy a b a b c �3 abc Dấu đẳng thức xảy a b c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Còn gọi bất đẳng thức Cơ si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 2 1 2 x y x y � 1) � ; � a b ab a b2 a b ab 1 3 � � a b c abc a b2 c 3 3) a ab b (a b) (a b) � (a b) 4 4) a ab b (a b) (a b)2 � (a b)2 4 2) a b c 5) ab bc ca � x y z 6) x y z � 2 a b c 7) a b3 � a b �a b c 2 a bc 2 � a b � ( a b) ( a b) 4 � a b4 � 8) 2(a b ) � a b �� � � � � � m m n m n m 9) Với a, b �0 a b � (a b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n b n )(a m b m )(a n b n ) �0 điều hiển nhiên 2 n (**) Tổng quát ta có a n b n �a b � �� � �2 � ... sau: �x y xy a) �3 �x y �2 x y � c) � 3 � �x y 6 x y xy 3 � �x y 19 b) � x y xy � � �x y xy d) � � x 1 y 1 Giải: �S x y điều kiện S... a b � ( a b) ( a b) 4 � a b4 � 8) 2(a b ) � a b �� � � � � � m m n m n m 9) Với a, b �0 a b � (a b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n b n )(a m b