Tuyển tập các bài toán hình học phẳng ôn luyện thi olimpic ôn thi vào lớp 10. Mỗi bài toán đều có hướng dẫ gợi ý trước khi đưa ra lời giải chi tiết giúp bạn đọc suy luận và tiếp tục giải quyết bài toán với những gọi ý đó
Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Chuyên đề Hình học phẳng Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Dạng Chứng minh toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng 1 Phương pháp 1.2 Một số ví dụ Bài (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD cắt M Đường phân giác góc ACD cắt tia BA K Nếu MA.MC MA.CD MB.MD BKC CDB Bài (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông C, gọi M trung điểm cạnh huyền AB, H chân đường cao hạ từ C P điểm tam giác cho AP AC Hãy chứng minh PM phân giác góc BPH A Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài (Đề thi Olympic Italia) DAB, ADB, ACB, DBC , DBA Cho tứ Giả giác lồi thiết ABCD với , , 2 Chứng minh DB BC AD AC 2 Bài (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác góc A, B, C tam giác ABC cắt cạnh tam giác A1, B1, C1 cho tứ giác BA1B1C1 nội tiếp Chứng minh BC AC AB AC AB BA BC CA CB Chuyên đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Bài (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC điểm M trung điểm BC Tồn điểm N nằm miền tam giác ABC cho ABN BAM , ACN CAM Chứng minh BAN CAM Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Bài (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho vòng tròn tâm O, đường tiệm cận xuất phát từ điểm S nằm bên ngồi đường tròn có tiếp điểm P, Q Đường thẳng SO giao với đường tròn A, B với B gần S A Cho X điểm nằm cung nhỏ PB đường SO giao với đường QX PX C, D Chứng minh 1 AC AD AB Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Bài (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, đường phân giác ngồi góc A cắt đường thẳng BC D E Cho F giao điểm thứ hai (khác A) AC với đường tròn w có đường kính DE Vẽ tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF giao với đường tròn w A G Chứng minh AF AG Bài (Đề thi Olympic Canada) Cho O điểm nằm hình bình hành ABCD cho AOB COD Chứng minh OBC ODC Chun đề Hình học phẳng – ơn thi Đại học – Cao đẳng Bài (Đề thi Olympic Đức) Một hình vng Sa nội tiếp tam giác nhọn ABC với đỉnh nằm cạnh BC đỉnh nằm cạnh AB, đỉnh nằm cạnh AC Các hình vng Sb, Sc xây dựng tương tự Với trường hợp tam giác ABC hình vng Sa, Sb, Sc 1.3 Bài tập áp dụng Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 10 (China – 1988) (p 48) ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính R Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R A’, B’, C’, D’ Chứng minh A ' B ' B ' C ' C ' D ' D ' A ' AB BC CD DA Khi đẳng thức nghiệm đúng? Bài 11 (China – 1995) (p 78) Cho tia OA, OB mặt phẳng P điểm nằm tia Hãy xác định điểm X nằm tia OA cho XP kéo dài cắt OB Y tích XP.PY có giá trị nhỏ Bài 12 (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có C 900 , A 300 , BC Tìm giá trị bé độ dài cạnh lớn tam giác nội tiếp ABC (tức tam giác có đỉnh nằm cạnh khác tam giác ABC Bài 13 (China – 2001) (p 91) ABCD tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ABCD Cạnh ngắn có độ dài t cạnh dài có độ dài t với t Các tiếp tuyến A B cắt A’, tiếp tuyến B C cắt B’, tiếp tuyến C D cắt C’ tiếp tuyến D A cắt D’ Tìm giá trị lớn giá trị bé S A ' B 'C ' D ' S ABCD Bài 14 (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A khơng nhọn, người ta dựng hình vuông nội tiếp B1C1DE (cạnh DE nằm đoạn BC, đỉnh B1, C1 nằm đoạn AB AC) Tiếp theo, từ tam giác AB1C1, lại dựng hình vng B2C2D1E1 nội tiếp tam giác (dựng hình vng ban đầu) Q trình dựng thực vài lần Chứng minh rằng, tổng diện tích tất hình vng nội tiếp tam giác bé nửa diện tích tam giác ABC Bài 15 (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cho điểm O O’ tương ứng nằm nửa mặt phẳng bờ AB Cát tuyến PQ qua A cắt (O) (O’) P Q a Trong trường hợp A nằm P Q? b Giả sử A nằm P Q, xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn c Hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để PA = QA Bài 16 (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vng có BC CA AB Gọi D điểm cạnh BC, E điểm cạnh BA kéo dài phía điểm A, cho BD BE CA Gọi P điểm cạnh AC cho E, P, D, P nằm đường Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng tròn, Q giao điểm thứ BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ CQ BP Bài 17 (Malaysia – 2000) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: AB c, BC a, AC b 3ABC BAC Chứng minh a b a b bc Bài 18 (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ dài a Chia BC thành n phần nhau, với n số nguyên dương lẻ Khi đó, tam giác ABC chia thành n tam giác nhỏ tam giác nhỏ có góc đỉnh a α Gọi H khoảng cách từ A đến BC Chứng minh tan nh an a Bài 19 (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh a b c 3S Đẳng thức xảy nào? Bài 20 (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P điểm tuỳ ý nằm tam giác ABC PA cắt BC D, PB cắt AC E, PC cắt AB F Chứng minh có tỉ số sau không lớn 2: AP BP CP ; ; PD PE PF Bài 21 (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c Ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác song song với cạnh tam giác Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh tam giác để tạo thành tam giác mới, ta tam giác tạo thành Lại vẽ đường tròn nội tiếp tam giác Hãy tính tổng diện tích hình tròn nội tiếp nói Bài 22 (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh tam giác ABC cân BC AC tan C BC tan A AC tan B Bài 23 (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M điểm tuỳ ý nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh tam giác AML, BKM, CLK có tam giác có diện tích nhỏ ¼ diện tích tam giác ABC Bài 24 (IMO 1975) (40 – p66) Cho tam giác ABC Ta dựng bên ngồi tam giác tam giác BCP, CAQ, ABR cho: PBC CAQ 450 ; BCP QCA 300 ; ABR BAR 150 Chứng minh QRP 900 , QR RP 10