Giáo trình tự học toán 11

Giáo trình tự học toán 11 Giáo trình tự học toán 11 tham khảo gồm 6 chủ đề rất đầy đủ và chi tiết. Trong mỗi chủ đề có bài tập và hướng dẫn giải giúp học sinh dễ dàng nắm vứng kiến thức môn học hơn.

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I Một số công thức lượng giác cần nhớ 1 ;1  cot x  cos x sin x sin x cos x ;cot x  ; tan x  2) tanx  cos x sin x cot x 2 1) sin x  cos x  1;1  tan x  3) Công thức cộng: sin(a b) sin a cos b cos asinb cos(a b) cos a cos b sin a sin b 4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – = - sin2x 5) Công thức hạ bậc:  cos x  cos x cos x  ;sin x  2 6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; 7) Công thức biểu diễn theo tanx: cos3x = 4cos3x – 3cosx tan x  tan x tan x sin x  ;cos x  ; tan x  2  tan x  tan x  tan x 8) Công thức biến đổi tích thành tổng:  cos(a  b)  cos(a  b)  sin a sin b   cos( a  b)  cos( a  b)  sin a cos b   sin( a  b)  sin( a  b)  cos a cos b  9) Công thức biến đổi tổng thành tích: x y x y cos 2 x y x y sin x  sin y 2cos sin 2 x y x y cos x  cos y 2cos cos 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 sin x  sin y 2sin B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình bậc hai Bài Giải phương trình sau: 1) 2cosx - = 2) tanx – = 3) 3cot2x + = 4) sin3x – = 5) cosx + sin2x = Bài Giải phươn trình sau: 1) 2cos2x – 3cosx + = 2) cos2x + sinx + = 3) 2cos2x + cosx – = 4) cos2x – 5sinx + = 5) cos2x + 3cosx + = 6) 4cos2x - cosx + = 7) 2sin2x – cosx + = 8) 2sin2x – 7sinx + = 2 9) 2sin x + 5cosx = Bài Giải phương trình: 1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + = 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = 3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 4) cos2x + sin2x + 2cosx + = 5) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 3cot x  6) tan2x + ( - 1)tanx – = 7) sin x 4sin 2 x  6sin x   3cos x 8) 0 cos x cos x(cos x  2sin x)  3sin x(sin x  2) 9) 1 sin x  Dạng Phương trình bậc sinx cosx Bài Giải phương trình sau: 1) 4sinx – 3cosx = 2) sinx - cosx = 3) sin3x + cos3x = 4) sin4x + cos4x = 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = Bài Giải phương trình: 1) cos3 x  sin3 x  2) 3sin x  cos9 x 1  4sin 3 x 3) cos x cos5 x  sin x 1  sin x sin x 4) cos x  sin x  5) 2(sin x  cos x)cos x 3  cos x Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sin côsin 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = 3) sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 4) 3sin (3  x )  2sin( 5) a) sin x  cos x  5  x) cos( ; 2) sin2x – 3sinxcosx + = 2 3  x)  5sin (  x ) 0 2  cos x 6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – = 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 10) sin x - 3sinxcosx  5cos x = b) 4sin x  cos x  cos x 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - = Dạng Phương trình đối xứng sinx cosx: Bài Giải phương trình sau: 1) (2  2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + = 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + = 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = Bài Giải phương trình: 1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 3) cos x  1 10  sin x   cos x sin x 4) sin3x + cos3x = 5) sinx – cosx + 7sin2x = 6) (1  2)(sin x  cos x)  2sin x cos x 1   7) sin x  sin( x  ) 1 8) sin x  cos x  4sin x 1 9) + tgx = 2 sinx 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải phương trình sau: 1) sin3x = 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 3) tan(x + 60o) = - 13) sin3x = cos4x 4)   cot   x  = 7  14) tan3x.tanx = 5) sin2x = sin  3x   2 12) tan(3x + 2) + cot2x =        tan  x   = tan   3x  3  6  15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x)   17) 2cos    - = 8) tan  x   = - cot  x   4 3   6)       với -120o < x < 90o 2 10) cos(2x + 1) = với -  < x <  9) sin(2x - 10o) = Bài Giải phương trình: 16) - 2sin2x = x     2x o 18) 3tan   20  +   =0 19) 2sinx - sin2x = 20) 8cos3x - = 1) sin2x = 11) sin2x + sin22x = sin23x 3) sin4x + cos4x = 4) 5) 6) cos2x 7) 8) 9)   12) sin  x   2cos x  tan2x = 4  13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 14) sinx + sin2x + sin3x = 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 16) + sinx + cos3x = cosx + sin2x +  2) cos23x = 1 sinx + cosx = cosx.cos3x = cos5x.cos7x cos2x.cos5x = cos7x sin3x.cos7x = sin13x.cos17x sin4x.sin3x = cosx + 2cosx + cos2x = 10) cosx + cos2x + cos3x =  17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 20) cosx - cos2x + cos3x = Bài Giải phương trình: 1) 2sin2x - 3sinx + = 2) 4sin2x + 4cosx - =     3) tan   x  + 2cot   x  - = 4) 6  6  + (3 - 3)cot2x - - = sin 2x 5) cot2x - 4cotx + = 6) cos22x + sin2x + = 7) sin22x - 2cos2x + = 8) 4cos2x - 2( - 1)cosx + = 4 9) tan x + 4tan x + = 10) cos2x + 9cosx + = 11) + 3cot2x = cos x Bài Giải phương trình sau: 1) 3sinx + 4cosx = 2) 2sin2x - 2cos2x =     3) 2sin  x   + sin  x   = 4 4   2 =3 4) 3cos x + 4sinx + 3cos x + 4sinx - 5) 2sin17x + cos5x + sin5x = 6) cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + cosx = + 3tanx Bài Giải phương trình: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - = 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + = 4) cos3x + sin3x = 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = 6) sin2x - 3 (sinx + cosx) + = 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + = 8) sin2x + sin(x - 45o) = 9) 2sin2x + sinx + cosx + = 10) (sinx - cosx)2 + ( + 1)(sinx - cosx) + = Bài Giải phương trình 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 2) cos2x - 3sinxcosx + = 3) cos2x - sin2x - sin2x = 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 5) 4sin2x + 3 sin2x - 2cos2x = 6) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = Bài Giải phương trình 1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + = 2) tan2x + (1 - )tanx - = 3) cos2x + 9cosx + = 4) sin22x - 2cos2x + = 5) 2cos6x + tan3x = 6) + 3cot2x = cos x Bài Giải phương trình 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x π π 6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + ) 4 7) (1 + tan )(1 + sin2x) = 2π π 8) tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 3 Bài 10 Giải phương trình 1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x 2) sin4x - cos4x = cosx 1 π - cotx + cos(x - ) = 3) + cosx 2(1 + cotx) 4) - (2 + )sinx = 2 + cot x - cosx - sinx 6) 2(sin x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x Bài 10 Giải phương trình sin2x 1) sinx + cosx -1=0 2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( + ) = 3) tanx + tan2x = tan3x  cosx sinx = x 4) - cosx cos 5) tan2x = D MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x 2) tan2x - tanxtan3x = 3) - 3sin x - 4cosx = - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = sin x 6) + 2cosx = + sinx 7) 2tanx + cotx = + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = cot x - tan x = 16(1 + cos4x) 10) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 16 12) cos10x + cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 13) sin2xcosx = + cos3xsinx 6 14) sin x + cos x = cos4x π π 15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) sinxcot5x =1 16) cos9x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 1 18) 2sin3x = 2cos3x + sinx cosx 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 4 sin x + cos x = (tanx + cotx) 20) sin x 21) + tanx = 2 sinx 22) cosx - sinx = cos3x 23) sin x - 2cos x = 2 + 2cos2x 24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) =  26) 2sin(3x + ) = + 8sin2xcos 2x Bài Giải phương trình x x 1) sin4   + cos4   =  3  3 3 2) 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin2xcosx = 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = (1 - cosx) + (1 + cosx) + sinx - tan xsinx = + tan x 4) 4(1 - sinx) 5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 6) cos6x + sin6x = 16 Bài Giải phương trình cos x + 3cot2x + sin4x 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x = 1) 2) =0 cot x - cos2x cosx cosx(2sinx + 2) - 2cos x - 3) 4) sin4x = tanx =1 + sin2x 5) cos2x + sin2x 2cosx + = 6) sin3x + 2cos2x - = 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 8) + cos2x + 5sinx = 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + sin2x = 8cosx Bài Giải phương trình lượng giác 1) cosx + sinx = 2) 3sin3x - cos9x = + cosx + 3sinx + 4sin33x 3) cos7xcos5x - sin2x = - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 6) 4sin3x - = 3sinx - cos3x 7) sin2x + cos2x = 8) 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x 9) cos2x - sin2x = + sin2x Bài Giải phương trình (biến đổi đưa dạng tích) 1) sin3x sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = - 4cos2x x 3x x 3x 4) cosxcos cos - sinxsin sin = 2 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = - 4cos2x 9) 2cos3x + cos2x + sinx = 10) sin3x - sinx = sin2x cos x 1  sin x 11)  sin x 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = x x 13) cos4 - sin4 = sin2x 2 14) - 4cos x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx 3 17) cos x + sin x = sinx - cosx 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x 20) sin23x - sin22x - sin2x = 21) + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 25) 2cos2x = (cosx - sinx) 26) 4cos3x + sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài Giải phương trình sin3x - sinx 1) = cos2x + sin2x - cos2x 5π 7π 2) sin(2x + ) - 3cos(x ) = + 2sinx 2 16) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos7x - sin7x = - với < x < 2 π < x < 3 2π 6π 3) Hỏi có cách xếp cho: 1) Có người ấn định trước ngồi cạnh 2) người ấn định trước ngồi cạnh theo thứ tự định Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư làm tổ trưởng, cơng nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ cơng tác Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ Lớp học có 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý b) Các học sinh ngồi nam bàn, học sinh nữ ngồi bàn Bài 4: Với số: 0, 1, 2, …, lập số lẻ có chữ số Bài 5: Từ hai chữ số 1; lập số có 10 chữ số có mặt chữ số chữ số Bài 6: Tìm tổng tất số có chữ số khác viết từ chữ số: 1, 2, 3, , Bài 7: Trong phịng có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý 2) Các học sinh nam ngồi bàn học sinh nữ ngồi bàn Bài 8: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 6, thành lập số chia hết cho gồm chữ số khác Bài 9: Từ chữ câu: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có cách xếp từ (từ khơng cần có nghĩa hay khơng) có chữ mà từ chữ "T" có mặt lần, chữ khác đơi khác từ khơng có chữ "Ê" Bài 10: Cho A tập hợp có 20 phần tử a) Có tập hợp A? b) Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? Bài 11: 1) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, nà số nhỏ số 345? Bài 12: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? Bài 13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm học sinh số 50 học sinh dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn Bài 14: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có ba chữ số khác không lớn 789? Bài 15: 1) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bãy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt ba lần, cịn chữ số khác có mặt lần 2) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh Bài 16: Số nguyên dương n viết dạng: n =  3 .7  Trong , , ,  số tự nhiên 1) Hỏi số ước số n bao nhiêu? 2) Áp dụng: Tính số ước số 35280 III) TOÁN VỀ CÁC SỐ Pn , A kn , C kn : Bài 1: Giải bất phương trình: C nn 13 A 4n1  14P3 A 4n4 143 Bài 2: Tìm số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với: xn =  Pn2 4Pn Bài 3: Cho k, n số nguyên  k  n; Chứng minh: C kn  4C kn  6C kn  4C kn  C kn C kn4 Bài 4: Cho n  số nguyên Chứng minh: Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn Bài 5: Cho k n số nguyên dương cho k < n Chứng minh rằng: C kn C kn  11  C kn 12   C kk  C kk 11 VI) NHỊ THỨC NEWTON: Bài 1: Chứng minh rằng: C1n n   2.C n2 n  3.C n3 n    n.C nn  n.4 n Bài 2: Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:   x     x  10     x  14 ta đa thức:P(x) = A + A1x + A2x2 + … + A14x14 Hãy xác định hệ số A9 n Bài 3: 1) Tính   x  dx (n  N) 1 n1  n 2) Từ kết chứng minh rằng:  C1n  C n2   Cn  n 1 n 1 Bài 4: Chứng minh rằng: 2.1.C n2  3.2.C 4n   n n  1 C nn  n n  1 n Bài 5: Tính tổng S = C1n  2.C n2  3.C n3  4.C 4n     1 n nC nn (n  2) 16 Bài 6: Chứng minh rằng: 316 C16  315 C116  314 C16   C16 16  Bài 7: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức: f(x) =  2x  1   2x  1   2x  1   2x  1  10  Bài 8: Trong khai triển   x  thành đa thức: 3  P(x) = a  a x   a x  a 10 x 10 Hãy tìm hệ số ak lớn (0  k  10) Bài 9: Tìm số nguyên dương n cho: C 0n  2C1n  4C n2   n C nn 243   2000 2001 Bài 10: CMR: C 02001  C 22001  C 42001   2000 C 2000 1 2001  Bài 11: Với n số tự nhiên, tính tổng: 1 n C nn 1) C n  C n  C n     1 n 1 1 2 3 C nn n 2) C n  C n  C n  C n   n 1 10 Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2) 1) Tìm hệ số x2 khai triển P(x) 2) Tính tổng hệ số khai triển P(x)  n Bài 13: Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức: x  1024 tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng a.x12 khai triển n 28    Bài 14: Trong khai triển nhị thức:  x x  x 15  tìm số hạng không phụ thuộc     vào x biết rằng: C nn  C nn   C nn  79 Bài15: Chứng minh: n C1n  n C n2  3.2 n C n3  4.2 n C 4n   nC nn  n.3 n  3 Bài 16: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển biểu thức:   x    x  0 Bài 17: Khai triển nhị thức: n n n 17 x n x x x   x   x  x  x   x   n  n    2  2  C  2   C  2    C n 2  Cn   n n                     Biết khai triển C n 5C n số hạng thứ tư 20n, tìm n x  a Bài 18: Trong khai triển:   b  b   a 21 Tìm số hạng chứa a, b có số mũ B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Với chữ số 0,1,2,3,4,5, lập bào nhiêu số có chữ số khác nhau? Bài Dùng chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm chữ số khác Hỏi: a Bắt dầu chữ số b Bắt đầu chữ số 36 c Bắt đầu chữ số 482 Bài Dùng chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi: a Có số b Có số bắt đầu chữ số Bài Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi lập số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập có số mà chữ số đứng Bài Cho A = {0,1,2,3,4,5} lập số chẵn, số có chữ số khác Bài a Từ chữ số 4,5,6,7 lập số có chữ số phân biệt b Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? Bài Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 5? n Bài 10 Một tập thể gồm 14 người gồm nam nữ, người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn cho tổ phải có nam nữ? Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 người, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 hoc sinh thành hàng dọc cho học sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12 Có hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chon ngẫu nhiên viên bi lấy từ hộp Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy khơng đủ màu? Bài 13 Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho người có cán lớp? Bài 14 Một đội văn nghệ có 20 người có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có người nam người Có nam nữ người Bài 15 Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác cần có nam nữ, cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách? Bài 16 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọ để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác Nếu phải có nữ Nếu phải chọn tuỳ ý Bài 17 Một tổ học sinh gồm nam nữ Giáo viên muốn chọn học sinh xếp vào bàn ghế lớp, có nam Hỏi có cách chọn? Bài 18 Chứng minh rằng: Bài 19 Chứng minh rằng: Bài 20 Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: Bài 21 Chứng minh rằng: Bài 22 Tính tổng: Bài 23 Tính tổng: Bài 24 Chứng minh rằng: Bài 25 Cho n số nguyên dương: a Tính : n I = (1  x) dx b Tính tổng: Bài 26 Tìm số nguyên dương n cho: Bài 27 Tìm số nguyên dương n cho: Bài 28 Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: Bài 29 Tính tổng: , biết rằng, với n số nguyên dương: Bài 30 Tìm số nguyên dương n cho: Bài 31 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức của: Bài 32 Gọi a3n - hệ số x3n - khai triển đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n - = 26n n   26 Bài 33 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton   x  x  n 20 Biết rằng: C2 n1  C2 n1   C2 n1 2  Bài 34 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton của: với x > Bài 35 Tìm số hạng thứ khai triển nhị thức: ; Bài 36 Cho : Sau khai triên rút gọn biểu thức A gồm số hạng? Bài 37 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton , biết rằng: Bài 38 khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đa thức có dạng: Tỡm hệ số , biết ao+a1+a2 = 71 Bài 39 Tìm hệ số x5 khai triển đa thức: 1  Bài 40 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức  x   x   Biết rằng: Bài 41 Giải phương trình: Bài 42 Giải hệ phương trình: n Bài 43 Giải bất phương trình: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài Chứng minh a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) = n2(n + 1) với n  N* n+1 (3 - 3) với n  N* n(4n  1) c) 12 + 32 + 52 + + (2n - 1)2 = với n  N* n (n  1) d) 13 + 23 + 33 + + n3 = với n  N* n ( n  1)(2n  1) e) 12 + 22 + 32 + + n2 = với n  N* f)      2n n(n  1) với n  N* n(3n  1) g)      (3n  2)  với n  N* h) 1.4  2.7    n(3n  1) n(n  1) với n  N* n(n  1)(n  2) i) 1.2  2.3  3.4    n(n  1)  với n  2n(n  1)(2n  1) k) 2      (2n)  với n  N* b) + + 27 + + 3n = Bài Chứng minh với n  N* ta có: a) n3 + 2n chia hết cho b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho c) n3 + 11n chia hết cho d) 2n3 - 3n2 + n chia hết cho e) 4n + 15n - chia hết cho f) 32n + + 2n + chia hết cho g) n7 - n chia hết cho h) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a) 2n + > 2n + với n  N* b) 2n > 2n + với n  N*, n  c) 3n > n2 + 4n + với n  N*, n  d) 2n - > 3n - với n  n-1 e) > n(n + 2) với n  CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ Dạng Xác định số số hạng dãy số Xác định số hạng tổng quát Bài Viết số hạng đầu dãy số sau: n 2n - a) un = n-1 -1 b) un =  4  u1 = u = b)  (n > 2)  u n = u n-1 + u n+1 1 n = 2k  n d)  (với k  1)  n - n = 2k+1  n nπ g) un = cos e) u1 = 2; un + = n 3n - c) un = 2n + h) nsin (un + 1) nπ nπ + n2cos 2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số a) (un): 1; 2; 4; 8; 16; … 1 1  u1 = c) (un):  (với n  1)  u n+1 = 2u n b) (un):  ; ;  ; ; … d) (un): ;   6   7  9  12  ;  ;    ; …  10   13  Bài Cho dãy số (un): u1 = , un+ = 4un + với n  a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 22n+1  b) Chứng minh rằng: un = với n  Bài Cho dãy số (un): u1 = 1; un + = un + với  a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 b) Chứng minh rằng: un = 7n – Bài Cho (un): u1 = 2; un + = 3un + 2n – Chứng minh rằng: un = 3n - n Dạng Xét tính đơn điệu dãy số Bài Xét tính đơn điệu dãy số sau n+1 ; n n2 d) un = n+1 3n - 2n + g) un = n+1 a) un = 2n + n+2 3n e) un = n + n2 + n + h) un = 2n + b) un = n+1 n-2 3n f) un = n c) un = Dạng Xét tính bị chặn dãy số Bài Xét tính bị chặn dãy số a) un = 2n – b) un = n(n + 1) c) un = 3.22n – 3n  d) un = n +1 n e) un = 2n + 3n  3n + f) un = n +n+3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm giới hạn sau: 2n  n 1  3n  4n  lim 2n  3n  n3  lim 5n  n  lim lim lim n  2n  1  3n    6n  1 lim n 1 n2  n4 lim n  3n  lim n  2n  1  6n  1 n3  n 1 lim n  2n  1  3n    6n  1 Bài Tìm giới hạn sau: n2 1 2n  n 1 lim n2 2 lim lim lim Bài Tìm giới hạn sau: lim  n   n   lim  lim  lim n  5n   3n  2n   lim lim n3  n  n2 lim n 1 n 1 lim n n  n 1  n  n3  n n n 1 n2  n 3n  4n    n  n3   n n n n2 1  2 lim  n   n  lim  n2    n  4n  n  lim  n  n   lim  n3   10 lim n   n3 n2 1  n  n3  3n   n  4n  Bài Tìm giới hạn sau:  4n  4n 3n  4n 1 lim n 2 n 4 lim 3n  4n  5n 3n  4n  5n 2n  6n  4n 1 lim n n1 6 lim lim  3n  4n  n 2n Bài Tìm giới hạn sau: sin n sin10n  cos10n lim n 1 n  2n 1   + +  lim   n+ n+ n n+ 1 lim Bài Tìm giới hạn sau:     (2n  1) 3n  12  22  32   n lim n(n  1)(n  2) lim lim n + sinn 3n + lim     n n2  n  1 lim  -   3n    1 lim     (2n  1)(2n  1)   1.3 3.5 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm giới hạn sau (dạng ): 8x  x  5x  1) lim 2) lim1 x  x  8x  15 x  6x  5x  x  4x  4x  x x  3x x  3x  5) lim x  x  4x  x  2x  7) lim x  x  2x  3) lim Bài Tìm giới hạn sau(dạng 1) lim x ): x 3 x 7 3) lim  x  x x 4x  5) lim x x 7) lim x x2  x 1  x  1 x 2  x 7  9) lim x x 3x    4x  x   11) lim x x  3x  13) lim x 2x  6x  3x  x  3x  8x  6x  x  2x  4x  6) lim x x  8x  16   x    2x    3x   8) lim x x 4) lim x  2x   x  2x  x  4x  3 15) lim x   x  x  x x 1 Bài Tìm giới hạn(dạng ): x 7  x 3 1) lim x x  3x  1 x  1 x 3) lim x x 3  x   x 5) lim x x1 2) lim 2x   x 3  4) lim x 7  x2  x x 6) lim  x2  x x 8) lim x x1 x1 1 x  1 x 10) lim x x 2x   3x  12) lim x x1 14) lim x x   x  16  x 1 x   x x x x  11  8x  43 4) lim x  2x  3x  2) lim x    x 6) lim x x ... Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác cần có nam nữ, cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách? Bài 16 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọ... Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ Lớp học có 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý b) Các học sinh ngồi nam bàn, học sinh nữ ngồi bàn... chữ số khác có mặt lần 2) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh Bài 16: Số nguyên dương n