Bài giảng đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng, vi phân ————— Th.S.Phan Thị Khánh Vân E-mail: khanhvanphan@hcmut.edu.vn Ngày tháng năm 2016 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Nội Dung Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm theo hướng, vecto gradient Vi phân, vi phân cấp cao Khai triển Taylor, Maclaurin (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Hàm nhiều biến Một ánh xạ f : R → R : (x, y ) → f (x, y ) gọi hàm biến Ví dụ f (x, y ) = x+y x +y TXĐ: R \ {(0, 0)} f (x, y ) = arcsin(x + y ) TXĐ: (x + y ) ≤ 1: Hình tròn tâm O bán kính f (x, y ) = ln(y − x) TXĐ:y > x: Phần nằm parabol x = y Tương tự với hàm biến f (x, y , z), biến f (x, y , z, t) (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đồ thị hàm z = f (x, y ) = x − y (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đồ thị hàm z = f (x, y ) = 2xe −x (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) −y Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng Cho hàm f (x, y ) xác định lân cận M0 (x0 , y0 ) Đạo hàm riêng theo x M0 đạo hàm coi x - biến, y - số ∂f đ/n )−f (x0 ,y0 ) KH: fx (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) = lim f (x,y0x−x x→x0 ∂x Tương tự: Đạo hàm riêng theo y đạo hàm coi y biến, x - số Ví dụ Cho hàm f (x, y ) = ln(x + y ), tính fx (1, 0), fy (1, 0) fx = x 22x +y , fx (1, 0) = fy = x 22y +y , fy (1, 0) = (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Ví dụ Cho hàm f (x, y ) = ln(x + y ) Tính fx (1, 1), fy (1, 1) fx (1, 1) = (f (x, 1)) |x=1 = (ln(x + 1)) |x=1 = 2x x +1 |x=1 = fy (1, 1) = (f (1, y )) |y =1 = (ln(1 + y )) |y =1 = 1 1+y |y =1 = Cho hàm f (x, y , z) = ( yx )2z Tính fx , fy , fz fx = 2z( yx )2z−1 ( y1 ) fy = 2z( yx )2z−1 ( −x y2 ) x x 2z fz = ( y ) ln( y ).2 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Ví dụ Cho hàm f (x, y ) = x +y x +y , (x, y ) = (0, 0) 0, (x, y ) = (0, 0) Tính fx (0, 0), fy (0, 0) fx (0, 0) = (0,0) lim f (x,0)−f x−0 x→0 fy (0, 0) = (0,0) lim f (0,yy)−f −0 y →0 = lim x→0 = lim y →0 x3 −0 x2 x =1 y2 −0 y2 y Vậy fy + (0, 0) = +∞, fy − (0, 0) = −∞, ⇒ fy (0, 0) (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Ý nghĩa đạo hàm riêng fy M0 (x0 , y0 ) (cố định x = x0 ): hệ số góc tiếp tuyến với đường cong giao tuyến mặt z = f (x, y ) mặt phẳng x = x0 , tốc độ thay đổi hàm theo hướng củaXét tia Oy (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Tính chất đạo hàm riêng Tính chất đạo hàm riêng suy từ tính chất hàm biến: (f + g )x = fx + gx (αf )x = αfx (f g )x = fx g + gx f ( gf )x = fx g −gx f g2 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 10 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Vi phân cấp hàm biến Cho hàm f (x, y , z) d f = f ”x dx + f ”y dy + f ”z dz + 2f ”xy dxdy + 2f ”yz dydz + 2f ”zx dzdx Vi phân cấp Vi phân cấp vi phân vi phân cấp d f = d(d f ) = fx dx + 3fx y dx dy + 3fxy dxdy + fy dy Vi phân cấp n ∂ d n f = ( ∂x + ∂ n ∂y ) f (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 26 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Đạo hàm riêng hàm hợp Cho f (u), u(x, y ), đó: fx = f (u)ux , fy = f (u).uy Cho f (u, v ), u(t), v (t), đó: f (t) = fu u (t) + fv v (t) Cho f (u, v ), u(x, y ), v (x, y ), đó: fx = fu ux + fv vx fy = fu uy + fv vy (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 27 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Ví dụ Cho f (u, v ) = u − e uv , u = 2t − 6t , v = 6sint, tính f (t) f (t) = fu u (t) + fv v (t) = 2u − ve uv (2 − 12t) − ue uv 6cost Cho f (u) = u − 6ln(1 + u ), u = 2x − ye x , tính fx , fy 12u x f x = f (u)ux = (2u − 1+u )(6x − ye ) 12u x fy = f (u)uy = (2u − 1+u )(−e ) Cho f (u, v ) = e uv , u = x.y , v = x + y , tính fx , fy fx = fu ux + fv vx = ve uv y + ue uv fy = fu uy + fx vy = ve uv x + ue uv (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 28 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Vi phân hàm hợp Cho f (u, v ), u(x, y ), v (x, y ), ta có: df = fx dx + fy dy = (fu ux + fv vx )dx + (fu uy + fv vy )dy = fu (ux dx + uy dy ) + fv (vx dx + vy dy ) = fu du + fv dv Ta nói vi phân cấp hàm hợp bảo toàn dạng (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 29 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Đạo hàm riêng, vi phân cấp hàm hợp Cho f (u, v ), u(x, y ), v (x, y ) d f = d(df ) = d(fu du + fv dv ) = d(fu )du + fu d u + d(fv )dv + fv d v Ta xem fu , fv hàm hợp theo biến u, v , ta có: d 2f = (f ”u2 du +f ”uv dv )du +(f ”vu du +f ”v dv )dv +fu d u +fv d v = f ”u2 du + 2f ”uv dudv + f ”v dv + fu d u + fv d v Ta nói vi phân cấp hàm hợp khơng bảo tồn dạng (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 30 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Ví dụ Cho hàm f (u, v ) = ln(u + v ), u = x + y , v = xy , tính d f theo du, dv dx, dy d f = f ”u2 du + 2f ”uv dudv + f ”v dv + fu d u + fv d v fu = fv = u+v f ”u2 = f ”uv = f ”v = − (u+v )2 1 2 Vậy d f = − (u+v )2 (du + 2dudv + dv ) + u+v (d u + d v ) du = 2xdx + dy , dv = ydx + xdy d u = 2dx , d v = Vậy d f = − (u+v )2 [(2xdx + dy ) + 2(2xdx + dy )(ydx + xdy ) + (ydx + xdy )2 ] + u+v 2dx (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 31 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Đạo hàm riêng, vi phân hàm ẩn Cho hàm ẩn: z(x, y ) thoả F (x, y , z) = Ta có: dF = Fx dx + Fy dy + Fz dz = Fy Fz dy , Vậy: dz = − FFx dx − z hay: F zx = − FFx , zy = − Fy z (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) z Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 32 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Ví dụ Cho hàm ẩn: z(x, y ) thoả 2xy + 6x ln y − 2xz + z + y − = 0, tính zx (0, 1), zy (0, 1), dz(0, 1) biết z(0, 1) = Ta có với F (x, y , z) = 2xy + 6x ln y − 2xz + z + y − 9: +6 ln y −2z zx = − FFx = − 2y−2x+3z z zx (0, 1) = F 2x+ 6x +2y y zy = − Fy = − −2x+3z z zy (0, 1) = − dz(0, 1) = 16 dx − 16 dy (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 33 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Đạo hàm riêng, vi phân cấp hàm ẩn Cho z(x, y ) thoả F (x, y , z) = F zx = − FFx , zy = − Fy z z ((F ) +(F ) z )F +((F ) −(F ) z )F z”xy = (zx )y = (− FFx )y = − x y x z y (Fz )2 z y z z y x z z (F ”xy +F ”xz zy )Fz +(F ”zy −F ”z zy )Fx =− (Fz )2 Chú ý: Ta lấy đạo hàm riêng theo y , coi y biến, x hằng, z hàm theo y Tương tự với z”x , z”y , từ suy công thức vi phân cấp (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 34 / 40 Vi phân, vi phân cấp cao Ví dụ Cho z(x, y ) thoả e z + xz + xy − = Tìm d z(0, 1) biết z(0, 1) = 2xy zx = − z+y e z +x , zy = − e z +x ⇒ zx (0, 1) = −1, zy (0, 1) = (zy +2y )(e z +x)−e z zy (z+y ) (e z +x)2 z z (z )(e +x)−(e zx +1)(z+y ) x z”x = (− z+y ) = − e z +x x (e z +x)2 z z 2x(e +x)−e zy 2xy z”y = (− e2xy ) = − z +x y (e z +x)2 2 z”xy = (− z+y e z +x )y = − Vậy d z(0, 1) = dx − 4dxdy (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 35 / 40 Khai triển Taylor, Maclaurin Công thức Taylor với phần dư Peano: Cho hàm f (x, y ) khả vi đến cấp n + hình cầu tâm (x0 , y0 ) f (x, y ) = f (x0 , y0 ) + df (x1!0 ,y0 ) + d f (x2!0 ,y0 ) + d f (x3!0 ,y0 ) + + d n f (x0 ,y0 ) + Rn (x, y ), với Rn (x, y ) = O(r n ), r = x02 + y02 n! Khai triển Taylor (0, 0) công thức khai triển Maclaurin (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 36 / 40 Khai triển Taylor, Maclaurin Ví dụ Khai triển Taylor (1, 2) tới cấp hàm f (x, y ) = ln(1 + x + y ) Công thức khai triển Taylor tới cấp 2: d f (1,2) + + R2 f (x, y ) = f (1, 2) + df (1,2) 1! 2! 1 fx = fy = 1+x+y , f ”x = f ”xy = f ”y = − (1+x+y )2 fx (1,2)(x−1)+fy (1,2)(y −2) + 1! f ”x (1,2)(x−1)2 +2f ”xy (1,2)(x−1)(y −2)+f ”y (1,2)(y −2)2 + R2 2! 1 = ln(4) + (x − 1) + (y − 2) − 32 ((x − 1)2 + 2(x − 1)(y − 2) + (y − 2)2 ) + R2 (y −2) (x−1)2 (x−1)(y −2) (y −2)2 = ln(4) + (x−1) + − − − 4 32 16 32 + f (x, y ) = ln(4) + (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 R2 37 / 40 Khai triển Taylor, Maclaurin Khai triển Maclaurin hàm biến ex = + x + x2 2! + x3 3! + ln(1 + x) = x − x2 + x3 3 + x x 3! + 5! + − x2! + x4! + sin(x) = x − cos(x) = 1 1+x = − x + x − x + 1−x = + x + x + x + α.(α−1) x 2! arctan(x) = x − x3 + x5 − tan(x) = x + x3 + 2x 15 + o(x ) arcsin(x) = x + x6 + o(x ) (1 + x)α = + αx + 10 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân + α.(α−1)(α−2) x 3! + Ngày tháng năm 2016 38 / 40 Khai triển Taylor, Maclaurin Ví dụ khai triển Maclaurin hàm biến Khai triển Maclaurin đến bậc 3: f = ln(1 + x + y ) (x+y )3 )2 + + R3 = (x + y ) − (x+y 2 +y ) x +3x y +3xy +y + + R3 = (x + y ) + (x +2xy bậc 2: f = 1−x−y +xy = + (x + y − xy ) + (x + y − xy )2 + R2 = + x + y − xy + x + y + 2xy + R2 = + x + y + x + y + xy + R2 bậc 3: ln(1 + x) ln(1 + y ) = 2 2 (x − x2 + R2 )(y − y2 + R2 ) = xy − xy2 − x 2y + R3 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 39 / 40 Khai triển Taylor, Maclaurin Ví dụ khai triển Taylor hàm biến Khai triển Taylor đến √ bậc 2√tại (1, 0): f = x − 2y Đặt X = x − 1, Y = y f = + X − 2Y = (1 + X − 2Y ) ( 13 )( 31 − 1) = + (X − 2Y ) + (X − 2Y )2 + R2 2! = + 13 X − 23 Y − 19 (X − 4XY + 4Y ) + R2 = + 31 (x − 1) − 23 y − 19 (x − 1)2 + 49 (x − 1)y − 49 y + R2 (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 40 / 40 ... Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng Cho hàm f (x, y ) xác định lân cận M0 (x0 , y0 ) Đạo hàm riêng theo x M0 đạo hàm coi x - biến, y - số... (x+y ) (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 11 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp Đạo hàm riêng cấp đhr (nếu có) đhr cấp... hàm theo hướng củaXét tia Oy (Th.S.Phan Thị Khánh Vân) Đạo hàm riêng, vi phân Ngày tháng năm 2016 / 40 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao Tính chất đạo hàm riêng Tính chất đạo