HỆ TOẠ ĐỘ ĐỀ CÁC VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VÉC TƠ VÀ CỦA ĐIỂM

Đ1 hệ toạ độ đề các vuông góc trong không gian. toạ độ của véc tơ và của điểm 1. Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian Trục:ox,oy,oz Cho ba trục Ox Oy Oz Ox Gọi các véc tơ là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục đó. Hệ trục như vậy gọi là hệ trục toạ độ đề các vuông góc trong không gian. Trục Ox gọi là trục hoành Trục Oy gọi là trục tung Trục Oz gọi là trục cao 2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ Cho hệ toạ độ Oxyz và một véc tơ tuỳ ý . vì ba véc tơ không đồng phẳng nên (x ; y ; z) sao cho : Bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của véc tơ và kí hiệu là : Vậy : 3. Định lí các phép toán của toạ độ Đối với hệ toạ độ Oxyz nếu thì ta có : Chứng minh : ( Sgk)

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Đ1 hệ toạ độ đề vuông góc không gian toạ độ véc tơ điểm Hệ toạ độ Đề vuông góc không gian Trôc:ox,oy,oz r r r Cho ba trôc Ox ⊥ Oy Oz Ox Gọi véc tơ i , j,k véc tơ đơn vị tơng ứng trục Hệ trục nh gọi hệ trục toạ độ đề vuông góc không gian Trơc Ox gäi lµ trơc hoµnh Trơc Oy gäi lµ trục tung Trục Oz gọi trục cao Toạ độ véc tơ hệ toạ độ r r r r - Cho hệ toạ độ Oxyz véc tơ v tuỳ ý ba véc tơ i , j,k không đồng phẳng nên ! (x ; y ; z) cho : r r r r v = xi + yj + zk r Bộ ba số (x ; y ; z) toạ độ véc tơ v kí hiệu : VËy : r r r r r v = xi + yj + zk ⇔ v(x;y;z) r r v = (x;y;z) hoặ c v(x;y;z) Định lí - phép toán toạ độ r r Đối với hệ toạ độ Oxyz v(x;y;z)vàv'(x';y';z') ta có : r r a)v + v' = (x + x';y + y';z + z') r r b)v − v' = (x − x';y − y';z − z') r c)kv = (kx;ky;kz), k ∈ R x = x' r uu r  d)v = v' ⇔ y = y' z = z'  Chøng minh : ( Sgk) Toạ độ điểm uuuu r Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M Toạ độ véc tơ OM toạ độ điểm M uuuu r Từ ta có : OM = (x;y;z) ⇔ M(x;y;z) M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( xy ) ⇔ M ( x; y;0 ) M ∈ ( yz ) ⇔ M ( 0; y; z ) M ∈ ( xz ) ⇔ M ( x;0; z ) Định lí Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai ®iÓm A(x ; y ; z) , B(x’;y’;z’) ®ã : uuur AB = (x'− x ; y'− y ; z' z) Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trớc uuur uuur Bài toán : Giả sử ®iĨm M chia ®o¹n AB theo tØ sè k (k 1) MA = kMB HÃy tìm toạ độ điểm M Giải Phân tích toán theo toạ độ tính chất đà học ta có : Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng xM = xA − kxB y − kyB z − kzB ; yM = A ; zM = A 1− k k k Nếu M trung điểm AB ta có toạ độ M trung bình cộng toạ độ hai điểm A B: Đ2 biểu thức toạ độ tích vô hớng tích có hớng hai véc tơ áp dụng Định lí: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ r r a= (x;y;z) vàb= (x';y';z') (*) th× : ur r a.b = xx'+ yy'+ zz' (1) Công thức (1) gọi biểu thức toạ độ tích vô hớng hai véc tơ Ta có : r a2 = x2 + y2 + z2 r a = x2 + y2 + z2 Khoảng cách hai ®iÓm Cho A( x ; y ; z) : B(x’ ; y’ ; z’) ta cã AB = (x'− x)2 + (y'− y)2 + (z'− z)2 (2) Gãc gi÷a hai vÐc t¬ Cho hai vÐc t¬ (*) gäi ϕ góc hai véc tơ ta có rr a.b xx'+ yy'+ zz' cosϕ = r r = a b x2 + y2 + z2 x'2 + y'2 + z'2 Hệ quả:góc hai đờng thẳng Hệ quả:góc hai mặt phẳng r r rr a b a.b = TÝch v« híng cđa hai vÐc tơ ứng dụng a) Bài toán : Chứng minh hai véc tơ (*) phơng ba định thức cấp không  y z z x x y ; ;  ÷(2)  y' z' z' x' x' y'  Chøng minh : sgk b) Định nghĩa : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ r r a= (x;y;z) vµb= (x';y';z') rr  y z z x x y [a.b] =  ; ; ÷  y' z' z' x' x' y'  c) TÝnh chÊt : r r rr r i)a,bcï ngph ongkhi vµchØkhi[a.b] = r r r r r r ii)[a,b] ⊥ a vµ [a,b] ⊥ b rr r r iii) [a.b] = a b sinϕ uuur uuur d)DiƯn tÝch h×nh b×nh hành ABCD: SABCD = [AB.AC] e) Diện tích tam giác SABC = f) Điều kiện đồng phẳng ba véc tơ g) Thể tích hình hộp uuur uuur [AB.AC] rr r [a.b].c = uuur uuuur uuuur VABCD.A 'B'C'D' = [AB.AD].AA ' Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng h)Thể tích hình chóp ABCD: VABCD = r uuur uuur uuuu [AB.AC].AD Bµi tËp vỊ nhµr sè 1r r ur Bµi 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho a ( 2; −1;3) ; b(4; −2;5); c ( −3;1; ) ; d (5;3; −6) ur r r r ( r r r )( r r r a)TÝnh x = a + 2b − 3c; y = a − b a + b ) ur r b) T× m x,y,z cho d = xa + yb + zc uuur uuur r r u r Bài 2: OA = ( 2;5;−4) ;OB = 3i + j − 2k;C ( −4;−3;0) a)CM:A,B,C ba đỉnh tam giác b)Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c)Tìm toạ độ tâm tam giác ABC d)Tính diện tích hình bình hành ABCD Bi 3: Trong uuurkhông r rgian u r với hệ toạ độ uuurOxyzr chor 4u rđiểm A,B,C,D có toạ độ xác định hệ thức A(2;4;-1), OB = i + j − k,C = ( 2;4;3) ,OD = 2i + j − k a)CMR: AB ⊥ AC ; AC ⊥ AD; AD ⊥ AB b)TÝnh thÓ tích tứ diện ABCD Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A,B,C,D có toạ độ A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;1);D(7;-2;3) a)CMR:A,B,C,D đồng phẳng b)Tính diện tích tứ giác ABDC Bài 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2) a)Tìm m,n để A,B,C thẳng hàng b)Tìm oy điểm N để tam giác NAB cân N c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông tính diện tích tam giác ABC độ dài đờng phân giác phân giác góc A Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0) a)CM:A,B,C,D đỉnh tø diƯn b)TÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD c)TÝnh ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A d) Tính góc hai đờng thẳng (AB) (CD) Bài 7:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho ba điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2) a)CMR:Tam giác ABC tính diện tích tam giác ABC b)Tìm điểm S trục ox cho hình chóp S.ABC Bài 8:Trong không gian với hệ trục oxyz cho A(1;3;1),B(-4;3;3) đờng thẳng AB cắt mp(oyz) điểm M a)Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? b)Tìm toạ độ điểm M c)Tìm điểm C thuộc mp(Oxy) cho A,B,C thẳng hàng Bài 9:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;-1;2), C(3;-1;1),B(3;5;-6),D(1;4;-6) a)Tìm toạ độ đỉnh lại hình hộp b)Tính thể tích hình hộp Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;0;1), B(2;1;2),C(4;5;-5),D(1;-1;1) a)Tìm toạ độ đỉnh lại hình hộp b)Tính thể tích hình hộp Đáp án: Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Đ3 phơng trình tổng quát mặt phẳng Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r r r 1.1.Định nghĩa: Véc tơ n(n 0) đợc gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) nằm đờng thẳng ∆ ⊥ (α) r KÝ hiÖu : n ⊥ (α) uuuuuu r r Gi¶ sư M0 ∈ (α) ⇒ ∀M ∈ (α) ⇔ M 0M ⊥ n VËy mét nỈt phẳng đợc xác định biết điểm thuộc véc tơ pháp tuyến r r r rr 1.2.Chú ý : Cho a(x;y;z) b(x';y';z') không phơng //() n = [a.b] véc tơ pháp tuyến mp() - Hai véc tơ gọi cặp véc tơ phơng mp() - Để định véc tơ pháp tuyến mp qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến cách r uuur uuur n = [AB.AC] Phơng trình tổng quát mặt phẳng Trong hệ toạ độ Oxyz 2.1.Định lí: Mỗi mặt phẳng tập hợp tất điểm có toạ độ thoả mÃn phơng trình dạng Ax + By + Cz + D = (1) víi A2 + B2 + C2 0, ngợc lại tất điểm có toạ độ thoả mÃn (1) mặt phẳng Chắng minh : sgk 2.2 Định nghĩa Phơng trình dạng Ax + By + Cz + D = (1) ( A2 + B2 + C2 0) đợc gọi phơng trình tổng quát mặt phẳng 2.3 Chú ý : r * NÕu M0(x’ ; y’ ; x’) () n(A;B;C) () phơng trình (α) lµ : A(x - x’) + B(y - y’) + C(z - z’) = r *NÕu (α) cã phơng trình (1) có véc tơ pháp tuyến : n(A;B;C) Các trờng hợp riêng phơng trình tổng quát 3.1) D = () qua gốc toạ độ 3.2) Một ba hệ số A, B, C không mặt phẳng chứa song song víi trơc t¬ng øng 3.3) NÕu hai ba hệ số không mặt phẳng vuông góc với trục lại 3.4 Phơng trình đoạn chắn x y z + + =1 a b c C¸c ví dụ : Ví dụ 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(1; -2 ; 3) // 2x - 3y + z + = Đáp số : 2x - 3y + z -11 = VÝ dụ 2: Viết phơng trình mặt phẳng qua ba ®iÓm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; ; 1), C(-1 ; ; -2) Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Giải Bớc Ba điểm A, B, C không thẳng hàng r uuur uuur Bớc 2: Mặt phẳng (ABC) có véc tơ pháp tun lµ : n = [AB.AC] = (−4;9;7) Bíc 3: Phơng trình có dạng :-4x + 9y + 7z + = VÝ dô 3: Cho A(1 ; ; -5) ; B(3 ; ; 1) t×m tËp hợp điểm M cho |MA - MB2| = Gi¶i Gäi M(x ; y ; z) ta cã MA2 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 5)2 MB2 = (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 ⇒4x - 2y + 12z + 19 = Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(x ; y ; z) lần lợt song song với mặt Đáp số : //Oxy lµ z = z’ ; //Oyz lµ x = x’ vµ //Ozx lµ y = y’ VÝ dơ 4Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng trờng hợp sau : a) Đđi qua A(1 ; ; -2) vuông góc với Oy Véc tơ pháp tuyến (0 ; ; 0) nên phơng trình có dạng : y = b) Đáp số : x - 6y + 4z + 25 = c) Đáp số : 2x - y + 3z + = Bài 4: Mặt phẳng trng trục M1M2:Đáp số x - 2y + 2z + = Đ4 vị trí tơng đối hai mặt phẳng chùm mặt phẳng Một số qui ớc, kí hiệu Cho hai bé sè (A1,A2 …An) vµ (A’1,A’2 …A’n) Hai số đợc gọi tỉ lệ với : A1 = tA’1; A2 = tA’2 .An = tA’n vµ kÝ hiƯu : A1:A2 :…: An = A’1: A’2 :…:A’n KÝ hiƯu kh¸c : A1 A A = ' = = 'n ' A1 A An 2.Vị trí tơng đối hai mặt phẳng Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = (α’) : A’x + B’y + C’z + D’ = Khi a) () cắt () A : B : C ≠ A’ : B’ : C’ b) (α) // (α’) ⇔A : B : C = A’ : B’ : C’ vµ A : B : C : D ≠ A’ : B’ : C’ : D’ c) (α) ≡ (α’) ⇔A : B : C : D =A’ : B’ : C’ : D’ VD: Bµi 1.(SGK TR 87) Xét vị trí tơng đối cặp mặt phẳng Đáp số : a) Cắt b) cắt c) C¾t d) Song song e) Trïng Bài 2: Xác định giá trị l m để cặp mặt phẳng song song Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng a) để hai mặt phẳng song song với điều kiện cần đủ : b) Đáp số : l=1/2 ; m = l  m = −4 = = ≠ ⇔ m −4 l = Chùm mặt phẳng Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng cắt lần lợt có phơng trình () : Ax + By + Cz + D = (1) (α’) : A’x + B’y + C’z + D’ = (1’) a) Định lí: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến () () có phơng trình dạng m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D)=0 (2) (m2 + n2 0) ngợc lại b) Định nghĩa Tập hợp mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng gọi chùm mặt phẳng Phơng trình (2) gọi phơng trình chùm mặt phẳng c) Ví dụ: VD1: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt ph¼ng 2x - y + z + = vµ x + 3y - z + = qua điểm M(1 ; ;1) Giải Phơng trình chùm có dạng : m(2x - y + z + 1) +n(x + 3y - z + 2) = ⇔(2m+n)x +(3n-m)y + (m-n)z + m + 2n = Điểm M(1 ; ;1) chùm nên ta cã (2m+n).1 +(3n-m).2 + (m-n).1 + m + 2n = ⇔ m + 4n = chän m = 4, n = -1 thay l¹i ta cã 7x - 7y + 5z + = VD2: LËp ph¬ng trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng 2x - y + z + = vµ x + 3y - z + = vµ a)song song với trục ox b)vuông góc với mặt phẳng :x+2y-z+3=0 VD3 Hai mặt phẳng cho pt 2x - my + 3z - + m = ;(m + 3)x - 2y + (5m + 1) - 10 = a) Hai mặt phẳng song song : Không m b) Hai mặt phẳng trùng m = c) Hai mặt phẳng cắt m Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Bài tập nhà số Bài Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm M(2,3,2) cặp VTCP a (2,1,2); b(3,2,1) Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua M(1,1,1) 1) Song song với trục 0x 0y 2) Song song với trục 0x,0z 3) Song song với trục 0y, 0z Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M(1,-1,1) B(2,1,1) : 1) Cùng phơng với trục 0x 2) Cïng ph¬ng víi trơc 0y 3) Cïng ph¬ng với trục 0z Bài 4: Xác định toạ độ véc tơ n vuông góc với hai véc tơ a (6,1,3); b(3,2,1) Bài 5: Tìm VTPT mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP a (2,7,2); b(3,2,4) Bài 6: Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) biết : 1) (P) qua điểm A(-1,3,-2) nhận n(2,3,4); làm VTPT 2) (P) qua điểm M(-1,3,-2) song song với (Q): x+2y+z+4=0 Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Bài7: Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng qua I(2,6,-3) song song với mặt phẳng toạ độ Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) Bài9: Xét vị trí tơng đối cặp mặt phẳng sau:  x = + 2t1  1) (P1): y-z+4=0, vµ ( P2 ) :  y = − t1 − 4t , ( t1 , t ∈ R )  z = − t − 4t   x = + 2t1 + 3t  2)(P1): 9x+10y-7z+9=0 ( P2 ) :  y = + t1 − 2t , ( t1 , t ∈ R )  z = + 4t + t  Bài 10:Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M(2,1,-1) qua hai giao tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2) có phơng trình : (P1): x-y+z-4=0 (P2) 3x-y+z-1=0 Bài 11: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tun cđa (P1): y+2z-4=0 vµ (P2) : x+y-z-3=0 vµ song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0 Bài 12: Lập phơng trình mặt phẳng qua hai giao tuyến hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-2=0 (P2): x+4y-5=0 vuông góc với mặt phẳng (Q):2x-z+7=0 Đáp số: Đ5 phơng trình đờng thẳng 1.Véctơ pháp tuyến cuả đờng thẳng Véctơ phơng cuả đờng thẳng Phơng trình tổng quát đờng thẳng Trong Kg với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng : () () = d  Ax + By + Cz + D = (1)  A 'x + B'y + C'z + D' = Khi ®o ∀ M (x ; y ; z) d toạ độ thoả mÃn :  ®ã : A : B : C ≠ A’: B’ : C’ - HƯ (1) goi lµ phơng trình tổng quát đờng thẳng Chú ý: uu r uur uur 1) ud =  nα , nα ' 2)Cách chọn điểm M(x0;y0;z0) d 3)Đk để hệ (1) pttq mặt phẳng Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Phơng trình tham số đờng thẳng Đờng thẳng hoàn toán xác định biết điểm thuộc véc tơ phơng r Cho điểm M(x0 ; y0 ; z0) d véc tơ phơng v(a;b;c) điểm M(x ; y ; z) tho¶ m·n  x = x0 + at  2  y = y0 + bt (a + b + c ≠ 0) (2)  z = z + ct Hệ phơng trình (2) gọi phơng trình tham số đờng thẳng Chú ý:1 Vd: Phơng trình tắc đờng th¼ng x − x0 y − y0 z − z0 (3) = = a b c Phơng trình (3) gọi phơng trình tắc đờng thẳng Vd: Tìm véctơ phơng đờng thẳng sau x y + z +1 = =  x − y + z + 10 = 2) ( d ) :  2 x − y − z + = 1) (d ) : Chuyển đổi dạng phơng trình đờng thẳng Đ6 vị trí tơng đối đờng thẳng mặt phẳng Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng d d có phơng tr×nh d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct d’: x = x’0 + a’t ; y = y’0 + b’t ; z = z’0 + c’t Tõ ®ã ta cã : r v(a;b;c) ;M (x0;y0;z0 ) r v'(a';b';c') ;M ' (x'0;y'0;z'0 ) uuuuuuur M M ' (x'0 − x0;y'0 − y0;z'0 − z0 ) Ta cã c¸c kÕt luËn : Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng r ur r v, v '  =   a) d // d’ ⇔  r uuuuur r v, MM ' ≠   r ur r   v , v ' = b) Hai đờng thẳng trung ⇔  r uuuuur r  v, MM ' =   r ur r   v, v ' c) Hai đờng d d’ c¾t ⇔  r ur uuuuur r  v, v ' MM ' =   r ur uuuuur r d) Hai đờng thẳng chéo v, v ' MM ' ≠ r ur uuuuur r e) Hai đờng thẳng đồng phẳng v, v ' MM ' = Chú ý:sơ đồ sét vị trí tơng đối hai đờng thẳng Vd1:Xác định vị trí tơng đối hai đờng thẳng d1 d2 trờng hợp sau x = + t x−2 y−5 z −7 a ) ( d1 ) :  y = + 3t , ( d ) : = =  z = + 4t x −1 y −1 z − b) ( d1 ) : x + y − = , ( d ) : = = y + z +1 = −1  x = −1 + t x −1 y + z − c) ( d1 ) :  y = −t , ( d2 ) : = = − z = − + t   x = + 2t  x = + u d ) ( d1 ) :  y = + t , ( d ) :  y = −3 + 2u  z = −3 + 3t  z = + 3u { Đs:a)trùng b)song song c)cắt d)chéo 2.Giao điểm hai đờng thẳng M ( x; y; z ) = d1 ∩ d Khi täa ®é M thỏa mÃn hệ pt Vd2:Tìm giao điểm hai đờng thẳng d1 d2 trờng hợp sau { { a ) ( d1 ) : x + y + = , ( d ) : 3x + y − z + = x − y + z −1 = 2x − y +1 = x = − + t  x −1 y + z − b) ( d1 ) :  y = −t , ( d2 ) : = = − z = − + t   Đs:a) ;0; ữ b)(1;-2;4) 2 Vị trí ttơng đối đờng thẳng mặt phẳng Trong không gian cho đờng thẳng d mp(α) d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct (α): Ax + By + Cz + D = uu r uur ud nα = a )d //(α ) ⇔  ∈( d ) ⇒ M ∉( α )  Muu r uu r ud nα = b)d ⊂ (α ) ⇔  Mu ∈ur( d ) ⇒ M ∈ ( α ) u ru c) d cat (α ) ⇔ uuu dr.n uαur≠ r  d )d ⊥ (α ) ⇔ ud , nα  = Vd3:Xét vị trí tơng đối (d)và mp() Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Bài Bài Bài Bài phẳng (Q) : 2x y − 5z − = : ViÕt phơng trình mặt phẳng (P) biết (P) vuông góc với AB B A(2;-7;1), B(3;5;8) : Viết phơng trình mặt phẳng trung trực AB biét A (2; −4; −5) , B(6; −2;1) : Cho A(1; −1;1), B(2;0; 2), C(3; −2;1) , D( −3; 4;5) a) Chøng minh r»ng ®iĨm A , B, C, D không đồng phẳng b) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC) c) Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua AB (P) song song với CD d) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) biết (Q) ®i qua G vµ (Q) song song víi AC vµ BD : Viết phơng trình mặt phẳng (P) biết (P) qua A (2; 4;1) , B( 1;3;5) (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x y + 6z − =  x − y + 3z − = x −1 y + z − = = vµ ∆   4x + 2y − z = hai mặt phẳng () : 2x − 3y + z − = , (β) : x + 2y + 6z − = a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (P) vuông góc với () b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (Q) vuông góc với () Bài : Cho hai ®êng th¼ng ∆1 :  x = + 3t  x − 2y + z − = x − y − z +1  = = Bài : Cho ba đờng thẳng :  y = − 4t , ∆  vµ ∆ : 2x + y − z =  z = t  a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa song song với b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa song song với  x − 2y + z − =  x + 2y + z − = x+2 y−2 z+4 = = , ∆2  vµ ∆  −2 2x + y − z = 2x − 3z + = a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa song song với b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa song song với Bài 10 : Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A (1; 2; 2) (P) song song với đờng thẳng : x − 3y + z − = x +1 y − z + ∆1 : = = vµ ∆  5x + y 2z = Bài 11 : Viết phơng trình mặt phẳng (P) biết (P) qua A (2;3;5) , B(1; −3; 2) vµ (P) song song x − y + z = với đờng thẳng ∆   2x + y − z = Bài 12 : Viết phơng trình mặt phẳng (P) biết (P) qua A (1;3; 2) (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) : x + y +3z = vµ (R) : 3x − 2y − z + = Bài 13 : Viết phơng trình mặt phẳng (P) biết (P) qua A (7;1; −2) vµ (P) song song víi x − y + z = đờng thẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) : x 2y + 5z − =  2x + y z = Bài 14: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình : ( d ) : x 1− = y = z+13 (P):2x+y+z-1=0,(Q):x-2y+2z-5=0 1) Xác định số đo góc đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) 2) Tìm toạ độ giao điểm A đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) 3) Lập phơng trình mp(R) cách (Q) khoảng thuộc phần nửa không gian giới hạn (Q) chứa điểm A Bài15: Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình : Bài : Cho ba đờng thẳng : Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng ( d ) : x 1 = y−−23 = z 2+ vµ (P): 2x-z+2=0 1) Xác định số đo góc đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) 2) Lập phơng trình mp(Q) chứa (d) và tạo với (P) góc 600 Bài16: :Cho mp(Q) mặt phẳng (P)có phơng trình : (P):2x-y-2z+1=0 (Q):2x-y-2z-7=0 Lập phơng trình (R) song song cách hai mp (P),(Q) Bài 17: Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình : x = + t ( d ) :  y = −1 + t t ∈ R vµ (P): x+2y+z-1=0  z = 2t 1) Tìm toạ độ điểm thuộc đờng thẳng(d) cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) 2)Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) có khoảng cách đến điểm A(2;1;-1) khoảng Bài 18: Cho điểm A(-4,4,0),B(2,0,4),C(1,2,-1),D(-7,-2,3) 1) CMR: A,B,C,D không đồng phẳng 2)Lập phơng trình mặt phẳng phân giác góc nhị diện (A,BC,D) Bài1 9:Cho hai mặt phẳng (P):x-2y-2z-3=0 (Q):3x-4y-5=0 Lâp phơng trình mặt phẳng phân giác góc tạo hai mặt phẳng (P) (Q) x + y + = d2 ) : x − y − z + = ( Bµi 20: Cho hai đờng thẳng ( d1 ) : x + y + z + 1= x − y + z = Lập phơng trình mp(P) chứa (d1) tạo với (d2) góc 300 x = + t Bài 21:Lập phơng trình mp(P) chứa ( d ) :  y = −1 + t t R có khoảng cách đến điểm z = 2t  { A(1,2,-2) b»ng { 3x + y − z + = Bµi 22:Cho ®iĨm A(1,2,-1), mp(P):x-2y-1=0 vµ ( d ) : x y + = a)Tìm giao điểm (d) (P) b)Lập phơng trình mp(Q) biết (Q) song song với (d) (Q) vuông góc với (P) có khoảng cách đến điểm A Bài23: Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng tr×nh : ( d ) : x 1− = y23 = z 2+ (P): x-y+z+2=0 Lập phơng trình mp(Q) biết mp(Q) song song với (d) vuông góc với (P) có khoảng cách đến (d) Bài 24: Cho hai điểm A(1,-2,1), B(2;-3;1) (P):2x+2y+z-1=0 lập phơng trình (Q)song song với (P) cách hai điểm A,B Bài 25: Cho hai điểm A(1,-2,1), B(2;-3;1) (P):2x+2y+z-1=0 lập phơng trình (Q) chứa hai điểm A,B tạo với (P) góc 600 Bài 26:Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) { x y z − x + 2y − z = = = ; (d2): x − y + z − = a)CMR: hai đờng thẳng (d1) (d2) chéo b)Lập phơng trình mặt phẳng song song cách hai đờng thẳng (d1) (d2) (d1): Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Chuyên đề 2: Lập phơng trình đờng thẳng Chú ý: uuur 1.Nếu đờng thẳng (d) qua hai điểm A,B (d) có véctơ phơng AB 2.Nếu đờng thẳng (d) vuông góc với mp(P) véctơ pháp tuyến mp(P) mét vtcp cña (d) uu r uu r uu r uu r ud =np hc ud = knp ( k 0) uur 3.Nếu đờng thẳng (d)//() u véctơ phơng (d) ta viết uu r uur uu r uur ud = u∆ hc ud = ku∆ ( k ≠ 0) r r a gọi véctơ pháp tuyến (d) giá đờng r uu r thẳng vuông góc với (d) ta có a ⊥ ud uuruur r uu r uur 5.NÕu (d) có hai véctơ pháp tuyến a1,a2 a1,a2 (d) có véctơ uu r uu r uur uu r uu r uur    u = a ,a h c u = k a ,a phơng d d 6.Nếu đờng thẳng (d) //(P) véctơ pháp tuyến mp(P) vtpt (d) 7.Nếu đờng thẳng ( d ) ( P ) véctơ pháp tuyến mp(P) vtpt (d) uur Nếu đờng thẳng (d)() u véctơ pháp tuyến (d) 9.Có hai cách lập phơng trình đờng thẳng (d) Cách 1:Tìm điểm thuộc đờng thẳng (d) véctơ phơng đờng thẳng (d) Đ i qua M ( x0;y0;z0 ) x-x y-y z-z + ( d) :  ⇔ ptct( d) : = = uu r a b c Cã vÐct¬chØph ¬ng ud ( a;b;c )  x=x0 +at  § i qua M ( x0;y0;z0 )  + ( d) :  uu r ⇔ ptts ( d) : y=y0 +bt ( t ∈ R ) Cã vÐ ct¬ chØ ph ¬ ng u a;b;c ( )  z=z +ct d   C¸ch 2:LËp phơng trình hai mặt phẳng cắt chứa (d) + Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) + Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) uur uur r + TÝnh nP ,nQ  ≠ suy (P) c¾t (Q) ( P ) ⊃ ( d )  pt( P ) ⇔ ( P ) ∩ ( Q ) = ( d ) ⇔ pttq( d) :  +KL: ( Q ) ⊃ ( d )  pt( Q ) P c¾ t Q ( ) ( ) Vd1:Lập phơng trình tổng quát đờng thẳng qua hai điểm A(2;-1;3),B(1;1;-2) Đs: Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Vd2:Lâp phơng trình tắc đờng thẳng (d) qua điểm M(1;1;2) vµ (d)//(∆) 3x − y + 2z − = ( ∆) :  biÕt  x + 3y − 2z + = x −1 y −1 z − = = §s:Ptct(d): −4 10 Vd3:LËp phơng trình tham số phơng trình tổng quát (d) biết (d) qua M(1;1;1) vuông góc với mp(P):x+2y+3z-12=0  x = 1+ t 2x − y − =  §s: Ptts ( d) :  y = 1+ 2t ( t ∈ R ) Pttq( d) :  3x − z − = z = 1+ 3t Vd4:Lập phơng trình đờng thẳng (d) ®i qua ®iĨm A(1;1;-2) biÕt (d)//mp(P):x-y-z-1=0  x=-1+2t  vµ (d)⊥(∆):  y=1+t ( t ∈ R )  z=2+3t  x − y − z − = x −1 y −1 z + = = C¸ch2: ( d) :  −3 2x + y + 3z + = Vd5:Lập phơng trình đờng thẳng (d) di qua điểm A(0;1;1) vuông góc với hai đờng thẳng (d1),(d2) biết x + y z + = x −1 y + = = z;( d2 ) :  ( d1 ) : x + 1= 8x + y + z − = x y −1 z = Đs:Cách1: ( d) : = Cách2: ( d) :  −1 y + z − = Vd6:Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(2;-1;-3) // với hai mặt phẳng (P1),(P2) biết (P1):x-2y-z+3=0 vµ (P2):2x-3y+z-5=0 x − 2y − z − = x − y +1 z + = = Đs: Cách1: ( d) : Cách2: ( d) :  −5 −3 2x − 3y + z = Vd7:Lập phơng trình đờng thẳng (d) ®i qua ®iÓm A(2;-5;4) biÕt 3x − y + 4z − 27 = ( d) ⊂ ( P ) : 2x + 5y + z + 17 = vµ ( d) ⊥ ( ∆ ) :  6x + 3y − z + = 11x − 27y − 15z − 97 = §s: ( d) :  2x + 5y + z + 17 = Vd8: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua ®iÓm A(2;3;-1) biÕt ( d) ⊂ ( P ) : 2x + 4y + z 15 = Đs:Cách1: ( d) : x−2 y−4 z−4 = = 2x + 4y + z − 15 = §s: ( d) :  19x − 10y + 2z = Vd9: Lập phơng trình đờng thẳng (d) ®i qua ®iĨm A(1;1;-2) biÕt ( d) ⊂ ( P ) : 2x + y + 3z + = (d) cắt (): (d)//(Q):x-y-z-6=0 Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng x − y − z − = §s: ( d) :  2x + y + 3z + = Vd10: Lập phơng trình đờng thẳng (d) biÕt ( d) ⊂ ( P ) : x + y + z = cắt hai ®êng  x = 1+ t  x − 2y − z + =  ;( d2 ) :  y = − t ( t ∈ R ) thẳng (d1),(d2) có phơng trình: ( d1 ) :   x − y + 2z − = z = −2 + 2t  x −1 y −1 z −1 = = −1 Vd11:LËp phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(1;1;1) cắt hai đờng thẳng (d1),(d2) biết x=-2+2t x + y + 2z = ( d1 ) : y=-t ( t ∈ R ) ; ( d2 ) :  x − y + z =  z=2+t  §s: ( d) : 3x − 5y + 2z = §s: ( d) :  y + z = Vd12:(ĐHDợc)Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm M(0;0;1) , (d) cắt (d1) (d) vu«ng gãc víi (d2) biÕt x + y − z + = x −1 = y + = z; ( d1 ) : ( d2 ) :  x + = Cã hai cách giải: x + 4y 7z + = §s: ( d) :  y + z 1= Vd13:Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(-1;2;-3) biết (d) cắt (): x y +1 z − = = −5 vµ // mp(P):6x-2y-3z+3=0 6x − 2y − 3z + = §s: ( d) :  3x + 28y + 13z 14 = Vd14:Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(2;3;-1) biết (d) vuông góc () c¾t x y z −3 (∆): = = 2x + 4y + z − 15 = x − y − z +1 = = Đs:Cách1: ( d) : Cách2: ( d) : −32 19x − 10y + 2z − = Vd15:Lập phơng trình đờng thẳng (d) // () cắt hai đờng thẳng (d1),(d2) biết z5 x −1 y − z − x y −1 z ;( d1 ) : = = ;( d2 ) : = = ( ∆ ) : x = y − 1= 3 −1 5x − 2y − z + = §s: ( d) :  5x + y − 2z − = Vd16: (ĐHXD)Lập phơng trình đờng thẳng (d)(P) cắt hai đờng thẳng (d1),(d2) biết x 2y + z − = x −1 y +1 = = z;( d2 ) :  (P):x+y+z-1=0; ( d1 ) : −1 2x − y + 2z + = Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng 2x + y 3z − = §s: ( d) :   x − 2y + z − = Vd17:ViÕt phơng trình đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chÐo (d1) vµ (d2) biÕt  x = 1+ t x y−4 z −5 = ( d1 ) : y = ( t ∈ R ) ;( d2 ) : = −2  z = −5 + t  3x + 4y − 3z − 18 = x−4 y z+2 = = C¸ch2: ( d) :  −3 −2 13x + 6y + 4z 44 = Vd18:Viết phơng trình hình chiếu vuông góc đờng thẳng (d) lên mặt phẳng (P) biết x + z − =  x + 4y − 5z − = ;( P ) : x + y + z − = §s: ( ∆ ) :  ( d) :  a)(ĐHBáo chí 2001) 2y 3z = x + y + z = Đs:Cách1: ( d) : b)(HVQY2001) mx − y − mz + = ;( P ) : z = ( d) :   x + my + z + m = ( ) 2mx + m2 − y + m2 + = §s: ( ∆ ) :   z = Chó ý: +(d)⊥ (P) hình chiếu (d) lên (P) điểm A=(d) (P) +(d) không vuông góc với (P) hình chiếu (d) lên (P) đờng thẳng ()=(Q)(P) (Q)chứa (d) vuông góc với (P) Vd19: Viết phơng trình hình chiếu song song đờng thẳng (d) lên mặt phẳng (P) theo phơng chiếu () biết 2x − y − 11 = 7x − 5y − 3z + = x−5 y−2 z −6 ;( ∆ ) : = = ;( P ) : 3x − 2y − 2z − = ( d) :  §s: ( d') :  x − y − z + = 3x − 2y − 2z − = Chó ý: +(d)//() hình chiếu (d) lên (P) điểm A=(d) (P) +(d) không // với () hình chiếu (d) lên (P) đờng thẳng (d)=(Q)(P) (Q)chứa (d) song song chứa () Vd20:Viết phơng trình đờng phân giác cđa gãc B tam gi¸c ABC biÕt A(2;-1;3),B(4;0;1), C(-10;5;3) x y z −3 x − y z −1 = = Đs:phân giác góc B: = = Phân giác góc B: 2 Chú ý: Có hai cách lập pt phân giác Cách 1:Tìm chân đờng phân giác Cách2:Tìm véctơ đơn vị uuur uuur uuur uu r AB uu r AC uu r − AC e1 = ;e = ;e = AB AC AC r uu r uu r e = e1 + e2 vtcp đ ờng phân giác góc A r uu r uu r e = e1 + e3 vtcp đ ờng phân giác góc A Vd21:Cho tam giác ABC biết A(1;2-1),B(2;-1;3),C(-4;7;5) 1)Lập phơng trình đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A 2)Lập phơng trình đờng cao kẻ từ đỉnh A 3)Lập phơng trình đờng trung trực cạnh BC 4)Lập phơng trình đờng phân giác góc B Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng x −1 y − z +1 x −1 y − z +1  x − y +1 z − = = ;2) = = ;3)  ;4) = = −2 −7 34 115 −7 3x − 4y − z + 19 = Vd22:Cho tam giác ABC biết A(1;2;5) phơng trình hai trung tuyến lần lợt có phơng trình x y − z −1 x − y − z − = = ; = = Viết phơng trình cạnh tam giác ABC 2 1 −4 x −1 y − z − x −1 y − z − x − y − z +1 = = ;( AC ) : = = ;( BC ) : = = §s: ( AB ) : 1 1 VD23:Lập phơng trình ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d2) qua (d) 2x + y − = x y −1 = z;( d2 ) :  biÕt ( d ) : = −1 y + z − = x +1 y z −1 = = §s: ( d1 ) : 0 VD24:Lập phơng trình đờng thẳng (d) đối xứng với đờng thẳng () qua mặt phẳng (P):2x+y-z+4=0 biÕt  x = 3t  x − 2y + = x − y −1 z −  1)( V) :  ; 2)( V) : = = ; 3) ( V) :  y = − t y + z − = z = 5t  §s: 1) §s: 1)( d ) ≡ ( V) 2) ( d ) : x + y −1 z −1 = = −2 3) ( d ) : x+4 y z = = Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Bài : Viết phơng trình đờng thẳng biết ®i ph¼ng (P) : 2x − 5y − z + = Bài : Viết phơng trình ®êng th¼ng ∆ biÕt ∆ ®i th¼ng x −2 y+5 z −3 ∆: = = Bµi : Viết phơng trình đờng thẳng biết ®i th¼ng  x + 2y + 3z − = ∆: 7x − 11y + z = Bài : Viết phơng trình đờng thẳng biết phẳng (P) : x + y + z − = vµ (Q) : 4x − y + 7z − = Bµi : Viết phơng trình đờng thẳng biết thẳng qua A ( 3;0; ) vuông góc với mặt qua A ( 3;0; ) song song với đờng qua A ( 5;1; ) song song với đờng qua A ( 9;7;1 ) song song víi mỈt qua A ( 1; −5; ) vuông góc với đờng Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng x + 2y + z + = x −1 y − z + = = vµ ∆ :  −4  2x + y + z − = Bµi : ViÕt phơng trình tham số đờng thẳng biết phơng trình tổng quát : x + 2y z − =  2x − y + = a) ∆1 :  b) ∆ :  4x − 3y + z − =  x + y + 5z − = Bài : Viết phơng trình đờng thẳng biết qua A ( 2;1;3 ) cắt đờng thẳng : x = 5t x − y +1 z −1  ∆1 : = = vµ ∆ :  y = + 3t −4 z = t  Bµi : Viết phơng trình đờng thẳng biết qua A ( 1;0; ) cắt đờng thẳng : x = 3t x + y + z − =  ∆1 :  y = −2 + t vµ ∆ :  5y − 3z + = z = + 5t  Bµi : ViÕt phơng trình đờng thẳng nằm mặt phẳng (P) : x y + 2z = cắt c¶ x = − t x = t đờng thẳng : y = + 2t vµ ∆ :  y = + t z = −1 + 3t z = t Bài 10 : Viết phơng trình đờng thẳng nằm mặt phẳng (P) : 2y 3z + = cắt x = + t x + y + z = đờng thẳng : y = − 2t vµ ∆ :  −2x + 3y + z + 13 = z = −2 + t Bài 11 : Viết phơng trình đờng thẳng biết vuông góc với mặt phẳng (P) : x − 2y + 3z + = x = − t x −1 y + z = = cắt đờng thẳng : : y = + 4t z = 5t Bài 12 : Viết phơng trình đờng thẳng biết vuông góc với mặt phẳng (P) : x − 2y + 3z + =  x + 2y − z + = x − y − z +1 = = cắt đờng thẳng : :  −2 3x − y + 4z − = ∆1 : Bµi 13 : Viết phơng trình đờng thẳng biết song song với đờng thẳng x y + z ∆1 : = = 2x − y + z − = x −1 y − z = = cắt đờng thẳng : : −1 −3  x + 3y − 2z + = Bài 14 : Viết phơng trình đờng thẳng ∆ biÕt ∆ ®i qua A ( 1; 2;5 ) vuông góc với đờng thẳng Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng x = + 3t  x + 3y + 2z − =  ∆1 :  y = + 2t cắt : 2x − 5y + = z = − 3t   x = + 3t  Bµi 15 : Cho đờng thẳng d1 : y = − 7t z = + 8t  2x − 3y + 4z + = vµ d :   x + 2y − z + = a) Viết phơng trình đờng thẳng ∆1 biÕt ∆1 ®i qua A (1 ; ; 2) , vuông góc cắt d1 b) Viết phơng trình đờng thẳng biết ®i qua B ( −3; 2;5 ) , ∆ vuông góc cắt d x = 2t Bàiài 16 : Cho mặt ph¼ng (P) : x + y + 2z − = đờng thẳng : y = + t  z = −7 + 3t  a) Tìm tọa độ giao điểm A (P) b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A , nằm (P) vuông góc với Bài 17:Lập phơng trình hình chiếu vuông gãc cđa (d) lªn mp(P) biÕt x +1 y −1 z − = = ; mp ( p ) : x − y + z − = ( d) : −2 Bµi 18:ViÕt phơng trình đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chÐo x = + t  x + 2z − =  ∆1 :  y = − t (t ∈ R) vµ ∆ :  y − = z = 2t Bài 19: Cho ABC bíêt A(1,2,5), B(1,4,3), C(5,2,1) Lập phơng trình đờng trung tuyến ,đờng cao đờng phân giác kẻ từ đỉnh A Bài20:Cho tam giác ABC,Biết C(3;2;3) phơng trình đờng cao AH đờng phân giác BM góc B lần lợt có phơng tr×nh : x − y − z − x −1 y − z − = = ; = = 1 −2 −2 1)Tính độ dài cạnh tam giác ABC 2)Lập phơng trình đờng trung trực tam giác ABC Bài21:(ĐHBCVT)Lập phơng trình hình chiếu song song (d2) theo phơng (d1) lên mp(P) biết x y z −1 x−7 y−3 z −9 = = ;( d2 ) : = = ;( P ) : x + y + z + = ( d1 ) : Bài22: Viết phơng trình đờng thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua đờng th¼ng (d) biÕt  x = + 3t  x + 3y + 2z − =  d1 :  y = −3 + 2t vµ d :  2x − 5y + = z = 3t Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Chuyên đề 3: Tìm điểm nằm mặt phẳng Vd1:Cho điểm A(3;3;0) mặt phẳng (P):x+2y-z-3=0 1)Xác định toạ độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng (P) 2)Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mp(P) 3)Kéo dài AH phía H sau lấy điểm C cho CH=2AH.Tìm toạ độ điểm C Đs:1)H(2;1;1) 2)B(1;-1;2) 3)C(0;-3;3) Chú ý:Cho điểm A cố định M điểm di động mặt phẳng (P) MA nhỏ M hình chiếu A lên mp(P) Vd2:Cho đờng thẳng () mặt phẳng (P) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho d(M, ) đạt giá trị nhỏ biết x = −1 + t V : vµ ( P) : x + 2y − z − = ( ) y = −t z = − + t  § s:M( −2;1; −5) x + 2y − = xác định toạ độ 3x 2z = Vd3:Cho điểm A(1;1;2),mp(P):2x+y+z+4=0 đờng thẳng ( V) : hình chiếu song song điểm A lên mp(P) theo phơng () 5 §s:  −2; ; − ÷  Chó ý: + Nếu A() hình chiếu // A lên mp(P) theo phơng () điểm B= ( V) ( P) + NÕu A ∉ ( V) th× h×nh chiếu // A lên mp(P) theo phơng () ®iÓm B= ( d) ∩ ( P) ®ã (d) đờng thẳng qua A //() Vd4:Cho tam giác ABC biết A(3;1;0),B(2;2;4),C(-1;2;1) 1)Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Tìm toạ độ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC 5 ; ; ữ 3 Đs: Chú ý:Tam giác ABC Vd5:Cho ba điểm A(2;1;3),B(1;-3;2),C(1;1;-3) mp(P):x+y+z-3=0.Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD hình thang 11    ; − ÷;  ;1; ÷ 3 3  7 §s:  ; Vd6:Cho điểm A(-2;0;1),B(1;1;2),C(-1;1;-3) mp(P):x+y+z-3=0.Tìm điểm M thuộc mặt ph¼ng (P) cho MA=MB=MC  −5 17  ; ;0 ữ 4 Đs: Vd7:Cho hai điểm A(5;3;-1),B(2;3;-4) (P):x+2y-z-5=0.Tìm điểm C thuộc vào (P) cho tam giác ABC tam giác 11 -2 -8  ; ; ÷  3 3 Đs:C(1;2;0) C Vd8:Cho A(5;3;-1),B(2;3;-4) mp(P):x-y-z-4=0 Tìm điểm C thuộc vào mp(P) cho tam giác ABC vuông cân C 14 13 11 ; ; ữ 3 Đs:C(3;1;-2) C Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng C ( P) Cách1:Giả sử C(x;y;z) theo gt ta cã hÖ pt CA=CB r uuu r  uuu AC.BC =0 Cách2: Gọi (Q) mp trung trực đoạn AB.giả sử (d)=(P)(Q) CA=CB suy C thuộc (Q ) mà C lại thuộc (P) suy C(d) Viết ptts(d) suy toạ độ C(x0+at;y 0+ct) uuu r 0u+bt;z uu r Tam giác ABC vuông C suy AC.BC=0 suy C Vd9:(HV-BCVT2000)Cho hai ®iĨm A(3;1;1),B(7;3;9) mp(P):x+y+z+3=0 uuur uuu r 1)Tìm điểm M(P) cho MA+MB đạt giá trị nhỏ 2)Tìm điểm N(P) cho NA2+NB2 đạt giá trị nhỏ Đs:M(0;-3;0) Vd10:Cho ba điểm A(4;-1;2),B(3;5;-1),C(2;5;-1) mp(P):x+2y-z-3=0 uuur uuu r uuur 1)Tìm điểm M(P) cho MA+MB + MC đạt giá trị nhỏ 2)Tìm điểm N(P) cho NA2+NB2+NC2 đạt giá trị nhỏ Đs:M(2;1;1) Vd11: Cho ba điểm A(2;-1;1),B(3;0;-5),C(1;-2;1) mp(P):x+y+z-1=0 uuur uuu r uuur 1)Tìm điểm M(P) cho 4MA+MB + MC đạt giá trị nhỏ uuur uuur uuur 2)Tìm điểm M(P) cho MA+6MB + MC đạt giá trị nhỏ Vd12: cho hai điểm A(1;1;2) ;B(2;1;-3) mặt phẳng (P): 2x+y-3z-5=0 1)Chứng tỏ đờng thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm 2)Tìm điểm M thuéc (P) cho AM+BM nhá nhÊt §s:1) I 6  25  17 ;1; − 17 ÷   6  25 ;1; − ÷ 17   17 2) M Vd13: cho hai điểm A(-1;3;-2) ;B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 1)Chứng tỏ đờng thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm 2)Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhá nhÊt §s:1)I(7;2;-13) 2)M(-1;2;3) Chó ý: + NÕu A,B n»m vỊ hai phÝa cđa mp(P) th× MA+MB nhá nhÊt ⇔M=(AB)∩(P) + NÕu A,B n»m vÒ cïng phía (P) gọi A1 điểm đối xøng víi A qua (P) suy MA+MB=MA1+MB vµ A1,B nằm hai phía khác (P) nên MA+MB nhỏ M=(A1B)(P) VD14: cho hai điểm A(1;2;3) ,B(4;4;5) mặt phẳng (P): x-y+z-1=0 1)Chứng tỏ đờng thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm 2)Tìm điểm M thuộc (P) cho MA-MB lín nhÊt  7 3 Đs: I 0; ; ữ M trùng I VD15: cho hai điểm A(3;1;0) ,B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 1)Chứng tỏ đờng thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ ®é ®iĨm ®ã 2)T×m ®iĨm M thc (P) cho MA-MB lớn Đs:1)I(-1;2;3) 2)M(7;2;-13) Chú ý: Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng + NÕu A,B n»m vỊ cïng mét phÝa cđa mp(P) vµ AB không // (P) MA-MB nhỏ M=(AB)(P) + NÕu A,B n»m vỊ hai phÝa kh¸c cđa (P) gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) suy MA=MA1 vµ A1,B n»m vỊ cïng mét phía (P) A1B không // (P) MA-MB = MA1-MB nhá nhÊt ⇔M=(A1B)∩(P) x + y − 7z 14 = Bài 1:Cho điểm C(8;6;0),mp(P):3x+6y-z-2=0 đờng thẳng ( V) : xác x y z = định toạ độ điểm B hình chiếu song song điểm C theo phơng () lên mp(P) Bài 2:Cho hai mặt phẳng (P1),(P2) điểm A(2;5;-1).M điểm di động hai mặt phẳng (P1),(P2) tìm toạ độ điểm M cho MA đạt giá trị nhỏ biết (P1):2x3y+6z-2=0 (P2):3x-12y+4z-6=0 Bài3:Cho tam giác ABC biết A(2;-1;3),B(4;0;1),C(-10;5;3) 1)Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Tìm toạ độ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài4:Cho ba điểm A(-2;1;3),B(1;-3;2),C(1;1;-3) mp(P):2x+5y+4z-3=0.Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD hình thang Chú ý:BC//(P) nên không tồn hình thang có đáy BC Bài5:(ĐHQG Hà Nội 2000)Cho hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1) mp(P):3x-8y+7z-1=0 Tìm điểm C thuộc mp(P) cho tam giác ABC tam giác Bài6:Cho A(1;2;0),B(2;3;-4) mp(P):x+2y+z-3=0 Tìm điểm C thuộc vào mp(P) cho tam giác ABC vuông cân C Đs:C(3;1;-2), Bài7:(ĐHKB-2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho ba điểm A(0;1;2),B(2;2;1),C(-2;0;1) mp(P):2x+2y+z-3=0 1)Viết phơng trình mặt phẳng qua điểm A,B,C 2)Tìm toạ độ điểm M(P) cho MA=MB=MC Đs:1)x+2y-4z+6=0 2)M(2;3;-7) Bài8:Cho ba điểm A(1;4;5),B(0;3;1),C(2;-1;0) (P):3x-3y-2z-15=0 Tìm điểm M(P) uuur uuu r uuur cho MA+MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.Đs:M(4;-1;0) Bài9: Cho hai điểm A(2;-1;5),B(0;3;-1);C(4;1;5) mp(P):x-y+z-2=0 uuur uuur uuur Tìm điểm M(P) cho 5MA+2MB + 5MC đạt giá trị nhỏ Bài10: Cho hai điểm A(3;-1;4),B(3;3;-2) mp(P):2x-y-z-1=0 Tìm điểm M(P) cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ Bài11: cho ba điểm A(-1;2;0) B(0;3;1) ,C(-2;1;5) mặt phẳng (P): x-y-2z-3=0.Gọi G trọng tâm ABC CMR điều kịên cần đủ để M nằm mặt phẳng (P) có MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ điểm M phải hình chiếu vuông góc điểm G mặt phẳng (P) Xác định toạ độ điểm M Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng Bài12: cho hai điểm A(1;0;2),B(2;1;3) mp(P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhá nhÊt Chó ý:AB//(P) suy A,B n»m vỊ phía (P) Bài13: cho hai điểm A(-4;1;2),B(-3;1;3) mp(P): x-y+z+2=0.Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhỏ Bài14: Cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 hai điểm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2) 1)Chứng tỏ đờng thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm 2)Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA MB đạt giá trị lớn Bài15:Cho tam giác ABC biết A(3;1;-2),B(2;3;-4),C(1;2;0) 1)Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Tìm toạ độ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC 2) 2 Bài16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho bốn điểm A(0;1;2),B(2;-2;1),C(2;0;1),D(4;-3;0) vµ mp(P):2x+2y+z-3=0 uuu r uuu r uuu r uuur r 1)Tìm toạ độ điểm G cho GA+GB+GC+GD=0 2)Tìm toạ độ điểm M(P) cho MA2+MB2+MC2 +MD2 đạt giá trị nhỏ *Bài17:Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+3y+mz-6-m=0 1) CMR (P) qua điểm cố định M, tìm toạ độ M 2) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự A,B,C m>0 ã Tìm toạ độ A,B,C để thể tích tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ ã Tìm toạ độ A,B,C để 0A+0B+0C nhỏ Đs:1) ; ; 2ữ Chuyên đề 4: Tìm điểm nằm đờng thẳng x + y + z = Vd1:Cho điểm A(1;2;-1) đờng thẳng ( d) : Xác định toạ độ hình chiÕu y + z − = vu«ng gãc điểm A lên đờng thẳng (d) Đs:H(2;2;-1) Phơng pháp giải Cách1: + Gọi H hình chiếu vuông góc điểm A lên (d) + Gọi mp(P) mp qua A vuông góc với (d) suy H=(P)∩(d) ®i qua A r uu r +LËp pt(P):  cã vtpt n = ud pt(P) +H(x;y;z) =(P)∩(d) suy toạ độ điểm H thoả mÃn hệ pt pt(d) Cách2: + Gọi H hình chiếu vuông góc ®iĨm A lªn (d) + ViÕt ptts(d),H∈(d) suy H(x0+at;y0+bt;z0+ct) uuu r +TÝnh AH uuu r uur uuu r uur +Vì H hình chiếu A lên (d) suy AH ⊥ Ud ⇔ AH.Ud = suy H C¸ch3:(¸p dơng biÕt ptts(d) ) + Gäi H(x;y;z) hình chiếu vuông góc điểm A lên (d) Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng uuu r +Tính AH uuu r uur uuu r uur + Vì H hình chiếu A lªn (d) suy AH ⊥ Ud ⇔ AH.Ud = (1) +Vì H(d) suy toạ độ H thoả m·n pt(d) (2) uuu r uur  AH.Ud = +Từ (1) (2) suy toạ độ điểm H thoả mÃn hệ pt pt(d) Chú ý: Cho điểm A cố định (d) , M(d) AM ngắn M hình chiếu A (d) x=1+t Vd2:Cho điểm A(2;3;-1) đờng thẳng (d): y=2+t ( t R) z=1+2t 1)Tìm toạ độ điểm H(d) cho AH ngắn 2)Kéo dài AH phía H lấy điểm B cho BH=2AH.Tìm toạ độ điểm B?  1 2)B( -2;-1;3) §s: 1)H ; ; ÷  3 3 x + y − z + = Vd3: Cho hai ®iĨm A(1;1;-3) ,B(3;-3;1) đờng thẳng ( d) : 2x 3y + z = Tìm toạ độ điểm M(d) cho tam giác MAB cân M Phơng pháp: Cách1: qua I trung điểm AB r uuu r + Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB suy (P): có Vtpt n=AB + Vì tam giác MAB cân M suy MA=MB M(P) +Giả sử M(x;y;z),theo giả thiết M(d) M(P) suy toạ độ điểm M thoả mÃn hpt: Pt(P) Pt(d) Cách2(áp dụng cho tam giác cân đỉnh tuỳ ý) +Viết Ptts(d) suy toạ độ M(d) + Vì tam giác MAB cân M suy MA=MB +Gi¶i pt MA=MB suy M 2  §s:  − ; −1; ÷ 3  x = + t  Vd4:Cho hai ®iĨm A(1;2;5), B(1;4;3) vµ (∆) :  y = − t (t R) z = 2t Tìm điểm C() cho tam giác ABC vuông A 10 -1 Đs: C ; ; ữ 3 phơng pháp: +Viết Ptts() suy toạ ®é cña C∈(∆) uuu r uuu r uuu r uuu r +Vì tam giác ABC vuông A suy AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = uuu r uuu r +Giải phơng trình AB.AC=0 suy C ... hớng hai véc tơ áp dụng Định lí: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ r r a= (x;y;z) vàb= (x'';y'';z'') (*) th× : ur r a.b = xx''+ yy''+ zz'' (1) Công thức (1) gọi biểu thức toạ độ tích... b)Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c)Tìm toạ độ tâm tam giác ABC d)Tính diện tích hình bình hành ABCD Bi 3: Trong uuurkhông r rgian u r với hệ toạ độ uuurOxyzr chor 4u rđiểm A,B,C,D... oy điểm N để tam giác NAB cân N c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông tính diện tích tam giác ABC độ dài đờng phân giác phân giác góc A Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm