Luận văn thống kê bose einstein biến dạng q tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== ĐÀO THỊ PHƢƠNG LAN THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== ĐÀO THỊ PHƢƠNG LAN THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Vật lí thuyết vật lí toán Mã số: 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Cho phép em nói lời cảm ơn tới cô giáo , thầy giáo trƣờng khoa Vật lí Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội Ở nơi chúng em đƣợc truyền thụ tri thức nhiệt tình, tận tâm nhà giáo.Từ nguồn động viên giúp em thuận lợi hồn thành khóa học thạc sĩ Em xin cảm ơn cô giáo PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, nhà giáo giàu kinh nghiệm, tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn Và em cảm ơn ngƣời thân chia sẻ khó khăn tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày 15 tháng năm 2018 Học viên Đào Thị Phƣơng Lan LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực khơng giống đề tài khác Các liệu thông tin thứ cấp đƣợc sử dụng khóa luận đƣợc trích dẫn, có nguồn gốc đƣợc cảm ơn Hà nội, ngày 15 tháng năm 2018 Học viên Đào Thị Phƣơng Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.2.1 Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng 1.2.2 Các trạng thái đối xứng hóa phản đối xứng 1.2.3 Dao động tử Boson 12 1.2.3.1 Ngƣng tụ Bose - Einstein 12 1.2.3.2 Các hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy hạt Boson 12 1.3 Thống kê Bose-Einstein 14 CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q 19 2.1 Lý thuyết q -số 19 2.2 Dao động tử biến dạng q 20 2.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q 24 2.4 Tính phi tuyến dao động tử biến dạng q 25 2.5 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q 26 CHƢƠNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 32 3.1 Dao động tử có thống kê vơ hạn 32 3.2 Dao động tử biến dạng q tổng quát 33 3.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q tổng quát 34 3.4 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bƣớc sang kỉ 20, khoa học phát triển vật lí Newton khơng thể giải thích đƣợc nhiều tƣợng tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô, vật lí đại đời để giải thích nhiều tƣợng vật lí mới, từ mang lại góc nhìn sâu sắc cho ngƣời tự nhiên nhƣ đồng thời thúc đẩy tiến khoa học kĩ thuật nói chung khoa học vật lí nói riêng Planck, Einstein, Bohr xây dựng thuyết lƣợng tử để giải thích cho kết thí nghiệm bất thƣờng Heisenberg, Schrodinger , Dirac cơng thức hóa học lƣợng tử để giải thích lí thuyết lƣợng tử tƣờng minh cơng thức tốn học Từ tạo bƣớc đột phá miêu tả đặc điểm tính chất giới vi mơ, giới hạt Trong vài thập kỉ gần đây, xuất phát từ toán áp dụng vật lí lƣợng tử, khái niệm toánitửisinh, hủy hạt hay cácchệ thức giaoohoán phản giao hoán đƣợc xây dựng, vấn đề trọng tâm xây dựng hàm sóng hay hàm phân bố thống kê Một dạng đại số liên quan đến đại số lƣợng tử hay đƣợc đề cập vật lí lƣợng tử vật lí hạt đại số biến dạng, từ mở hƣớng quan tâm ngƣời yêu mơn khoa học vật lí Vật lý thống kê có nhiệm vụ khảo sát tính chất vật lý hệ vĩ mô, hệ đƣợc cấu thành từ số lớn hạt vi mơ Thơng qua tính chất để tìm quy luật phân bố chúng Từ giải thích tƣợng, quy luật, tính chất hệ , đồng thời cho phép dự đốn chất đƣợc tạo thành thay đổi tính chất, cấu trúc hệ hạt vi mơ Nghiên cứu thống kê biến dạng nội dung đƣợc nhiều nhà khoa học vật lí tìm hiểu , lựa chọn đề tài “Thống kê Bose Einstein biến dạng q tổng quát ” làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát , bao gồm thống kê biến dạng q thống kê Bose - Einsteinnlà trƣờng hợp riêng nhận giá trị đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biểu thức thống kê Bose - Einsteinnbiếnndạng q tổng quát sở nghiên cứu dao động tử biếnndạng q tổng quát lí thuyết biến dạng Đối tƣợng nghiên cứu Dao động tử điều hòa biến dạng Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp vật líilí thuyết Giả thuyết khoa học - Sử dụng phƣơng pháp lí thuyết biến dạng để tìm biểu thức thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng qt Từ tìm trở lại hàm phân bố thông thƣờng với tham số đặc biệt CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa "Trong học lƣợng tử, dao động tử điều hòa hạt có khối lƣợng m, chuyển động chiều theo trục ox dƣới tác dụng lực đàn hồi F=kx"[2] Hàm Hamiltonian có dạng: kxˆ Pˆx ˆ ˆ ˆ H U T   2m m. 2 ˆ ˆ H xˆ  Px 2m 2 d2 ˆ m. H xˆ  (1.1) 2m dx Với kí hiệu: xˆ  qˆ ; pˆ x  pˆ  i d ( toánttử tọa độ xungllƣợng) dx Hàm Hamiltonian lúc m. 2 d m. qˆ pˆ ˆ H  xˆ    2m dx 2 2m (1.2 ) Phƣơng trình Schrodinger dao động tử trạng thái dừng: Hˆ n ( x)  En n ( x) (1.3) Ta tìm lƣợng hàm sóng dao động tử điều hòa Gọi ˆ  ,ˆ tốn tử sinh, hủy dao động tử, lúc pˆ qˆ đƣợc đƣa vào nhƣ sau: pˆ  i 21.m (ˆ   ˆ ) qˆ  21 m  (ˆ   ˆ )  (ˆ   ˆ ) pˆ i 21 m.  i pˆ m. 1  ˆ   ˆ  qˆ 21 m  qˆ m 21 lúc : pˆ  21 m  ˆ     qˆ  i  m   (1.4) 21 m  pˆ   ˆ     qˆ  i    m (1.5) Lúc toán tử ˆ  ,ˆ thỏa mãn ˆ  ,ˆ    ˆ ,ˆ       ˆ ,ˆ       pˆ , qˆ .  i Vì: (1.6)  Ta chứng minh ˆ ,ˆ    ˆ ˆ   ˆ ˆ    21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ   ˆ ˆ   qˆ    qˆ     qˆ    qˆ     m   m   m   m i i ˆ ˆ  qp ˆˆ   (i )    pq Hamiltonian đƣợc viết theo ˆ  ,ˆ : 1 m qˆ pˆ 1 21 1 2  ˆ ˆ ˆ H   m (   )  i m (ˆ  ˆ  )2 2m m m    ˆ ˆ ˆ  ˆ  )    (    )  (    ˆˆ 2  4 1  Hˆ    ˆ ˆ   2     ˆ ˆ   ˆ ˆ  2ˆ ˆ     (1.7) 28 (   )   kT   q e    B1  lim k  (   )  q.e kT k 1 i (   )   kT  1  q.e    1 i i (*) Hoàn toàn tƣơng tự 1 n (   )   1 kT1 (   )   1 kT B2    q e   q e  (**)   n 0      i i Thay (*) (**) vào công thức tính tử số B biểu thức, ta có: B  q  q 1 1 1 1  (   )  (   )      kT kT 1  q.e   1  q e          q  q 1  i (q  q ).e 1 1  q.e e   q.e i  (  i   ) kT (   i ) kT  q e 1 (   i ) kT (   i ) kT e (   i ) kT (   i ) kT  q e 1 (   i ) kT e (2.20) (   i ) kT Tiếp tục tính mẫu số (2.19):   kT1 (i Nˆ   Nˆ )   Z  Tr e    n  ne  ˆ   N ˆ ) (  i N kT   n e (   i ).n kT n n n    e n  Do n n  nên (   i ).n kT n n 29  e Z  (   i ).n kT n  Đặt x  (  i ) kT  Z e (  i ).n kT  n 0  e n.x n   e0.x  e1x  e2x  e3x   enx   e1x  e2x  e3x  e4x   enx  1  ex Ta có Z  x 1 e 1 e    i kT  e  ( i   ) kT ( i   ) kT e (2.21) 1 Từ (2.19), (2.20) (2.21) ta tìm đƣợc  ˆ  kT1 (Hˆ .N)ˆ  Tr  N.e ( i  )  kT e 1  ˆ   N 1 .( i  ) ( i  )   kT1 (Hˆ .N)ˆ  1 kT kT e  (q  q ).e 1 Tr e    Hàm thống kê Bose - Einstein biến dạng q [5] thu đƣợc e f ( i )  e .(  i   ) kT (  i   ) kT 1  (q  q ).e 1 (  i   ) kT 1 e  (  )  f ( i )  2. (  ) e  (q  q 1 ).e  (  )  i i i ( với   Khi ta cho giá trị q =1 lúc hàm f ( i ) đƣợc viết lại ) kT (2.22) 30 e  (  )  f ( i )  2. (  ) e  (q  q 1 ).e  (  )  i i i e  (   )    (   ) e  2.e  (   )  e  (   )  1   (   )  e  (   )   1 e i i i i i i Hàm f  i   e  i    kT       e 1 1 - Einstein mà thƣờng gặp i lúc là hàm Bose 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG Ở chƣơng tơi trình bày khái niệm số tính chất lý thuyết q -số, từ sở để khảo sát phổ lƣợng tính phi tuyến dao động tử biến dạng q Tìm hiểu nghiên cứu hàm thống kê Bose -Einstein biến dạng q, tìm lại đƣợc hàm phân bố Bose- Einstein quen thuộc cho q=1 32 CHƢƠNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 3.1 Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử boson dao động tử fermion đƣợc đặc trƣng hệ thức : ˆ ˆ   ˆ ˆ   ˆ ˆ   ˆ ˆ   Từ hệ thức trên, O.W Greenberg [9] đƣa ý tƣởng trung gian hai hệ toán tử trên, sử dụng cách lấy trung bình cộng hai hệ thức từ tìm đƣợc hệ thức tốn tử cho thống kê vô hạn dao động tử đơn mode ˆ ˆ   (3.1)  Toán tử số có dạng Nˆ   (ˆ  )r ˆ r (3.2)  Nˆ ,ˆ   ˆ    Nˆ ,ˆ    ˆ    (3.3) r1 Trong trƣờng hợp đa mode, hệ dao động tử thỏa mãn : ˆi ˆ j   ij (3.4)  Nˆ i ,ˆ j    ijˆ j    Nˆ i ,ˆ j    ijˆ j   (3.5) (i,j) số mode , toán tử số mode i ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ   Nˆ i  ˆiˆi  ˆkˆi i k k k i i k k k k1k2 Toán tử tổng số mode ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ  k1k2 ks   k1 k2  ks  i i ks k2 k1  (3.6) 33 Nˆ   Nˆ 3.7) i i Không gian Hilbert tạo từ véc tơ sở lúc đƣợc xác định   ˆ  ˆ  ni , ni , ni  ˆi r n1 n2  i2  ir nr (3.8) Với m j , m j , , m js ni , ni , , ni   rs i j  i j  i jr r 1 2 r 3.2 Dao động tử biến dạng q tổng quát Khi quan tâm tới biến dạng q tổng quát ta thấy gồm thống kê trình bày mục 2.2 mục 3.1 trƣờng hợp đặc biệt Trong dao động tử biến dạng q tổng quát đƣợc mô tả toán tử ˆq ,ˆq tuân theo hệ thức ˆ qˆqˆq  ˆq ˆq  qCN ( 3.9) Xét trƣờng hợp đặc biệt: C=-1, biến dạng q, M.Chaichian [8] đƣa ˆ q.ˆqˆq  ˆq ˆq  q  N Khi tham số C  0; q  , lúc ta có đƣợc biểu thức (3.1) [6], ˆ ˆ   Từ (3.9) ta có ˆq (ˆq )n  q n (ˆq )nˆq   nq (ˆq )n1 qCN C ˆ ( 3.10) Sử dụng kí hiệu q-số q x  q Cx [x]  q  qC C q (3.11) Hoàn tồn tƣơng tự khơng gian Fock , dao động tử biến dạng q tổng quát thỏa mãn 34 n  [n]Cq ! (ˆq  ) n (3.12) ˆqˆq   Nˆ  q C ˆqˆq   Nˆ  1 q C (3.13) 3.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q tổng quát [1],[8] Biểu diễn toán tử pˆ , qˆ theo tốn tử sinh, hủy tìm phổ lƣợng dao động tử biến dạng q tổng quát pˆ  i 21.m (ˆq  ˆq ) qˆ  21 m (ˆq  ˆq ) (3.14) Các toán tử pˆ , qˆ thỏa mãn :  pˆ , qˆ   i (ˆ qˆ q  ˆqˆq )  i (  Nˆ    Nˆ  1 ) q q C C Lúc biểu thức toán tử Hamiltonian 1 Hˆ  m qˆ  pˆ 2m 2 m  21 ˆ  ˆ   1  ˆ ˆ   (    )  i m  (    )  q q  q q    m  2m   ˆ  ˆ ˆ ˆ    ˆ   ˆ  Hˆ  (q q  qq )  N  N  1 q 2  q  C C  (3.15) Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng Hamiltonian:  Hˆ n q  En n q   nq   n  1q n q  En n  Và phổ lƣợng  q 35 En    C C  n  1 q   n  q  (3.16) Từ (3.16) ta thấy phổ lƣợng gián đoạn, với mức lƣợng nhỏ khác không , mức lƣợng liên tiếp có khoảng cách khác bậc suy biến 3.4 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát Hoàn toàn tƣơng tự, hàm thống kê Bose- Einsteinn biến dạng q tổng qt đƣợc tìm dựa lí thuyết biến dạng việc vận dụng phân bố Gibbs suy rộng ta tính số hạt trung bình công thức  ˆ  kT1 ( i Nˆ  N)ˆ   ˆ  kT1 (Hˆ i  N)ˆ  Tr  N e  Tr  N e      ˆ  N  1   ( i Nˆ  Nˆ )    kT (Hˆ i  Nˆ )  Tr e kT Tr  e      (3.17) Trƣớc hết ta tính tử số Y biểu thức (3.17   kT1 ( Hˆ   Nˆ ) ˆ   Y  Tr e N    n 0 i   ne  ˆ (  i   ) N) kT ne  ˆ ˆ ) ( H i   N kT Nˆ n Nˆ n n 0  Y  n e  n (  i   ) kT n 0  Y  e  n (  i   ) kT n 0 Y q  qC q n  q C n q  qC n n 1    (    )   (    )       C kT kT  q e    q e  n 0    n          i i n    kT1 (   )   C  kT1 (   )  Y1    q.e  , Y2    q e  n 0  n      Đặt C n  q n i i n 36 Ta có n k   (   )    kT1 (   )  Y1    q.e kT  lim  k    q.e  n 0  n      i n i    kT1 (   )  k 1  1   q.e       Y1  lim  1 k   (    )  (    ) kT kT  q.e  qe i i i (3.18) Hoàn toàn tƣơng tự n k  C  kT1 (   )   C  kT1 (   )  Y2    q e 1 q e   lim  n 0   k  n0    i n i  C  kT1 (   )    q e    Y2  lim k   (  )  q C e kT k 1 i   q e i C  (  i   ) kT (3.19) Thay (3.18) (3.19) vào cơng thức tính tử số Y (3.17)   1   Y   1 C  (    )  (    ) q  q 1  qe kT   q C e kT   i i (q  q ).e C Y   q  q  1  q.e  C  (i  ) kT e Y   q.e  (  i   ) kT q e  (q  q ).e C   (  i   ) kT  q e C  (i  ) kT q e C 1 2 (  i   ) kT    (  i   ) kT C e Y     (i  ) kT q e C 1 2 (i   ) kT (  i   ) kT (i  ) kT  q e C 1 2 (i  ) kT (3.20) 37 Tiếp tục tính mẫu số Z (3.17), gọi tổng thống kê ( tổng trạng thái hệ)   kT1 (i Nˆ   Nˆ )   Z  Tr e    n  ne  ˆ   N ˆ ) (  i N kT   n e (   i ).n kT n n n    e (   i ).n kT n n n   Z  e (   i ).n kT n  Đặt (  i ) kT x   Z   e kT n 0 (  i ).n   e n.x n   e0.x  e1x  e2x  e3x   enx   e1x  e2x  e3x  e4x   enx  1  ex Ta có Z   1  e x 1 e    i  kT  1    e e ( i   ) kT ( i   ) kT 1 (3.21) 38 Thế (3.20) , (3.21) vào (3.17) e Nˆ   (q  q C ).e   (  i   ) kT (i  ) kT  q C 1.e 2 (i  ) kT 1 e e Nˆ   (  i   ) kT  ( q  q C )e    i    kT         1  e kT    i (i   ) kT  q C 1e 2 (i   ) kT 1        .(    )  kT 1  e kT e     1  (    ) 2 .(    )  .(    )  C C 1 kT kT kT  q e 1  (q  q ).e  e   e  (  i   ) kT i i i e Y   (q  q ).e C  i (  i   ) kT (i  ) kT  i  q e C 1 2 (3.22) (i  ) kT Cơng thức (3 22) hàm phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát e f ( )  e (  i   ) kT (  i   ) kT 1  (q  q ).e C (  i   ) kT q C 1 (3.23) Sau xét giá trị đặc biệt tham số biến dạng q, từ thấy đƣợc tính tổng qt hàm phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát - Khi q =1, tìm đƣợc hàm phân bố thống kê Bose - Einstein e f ( )  e .(  i   ) kT (  i   ) kT 1  (q  q C ).e kT (  i   )  q C 1 39 e  e  .(  i   ) kT e (  i   ) kT 1  (1  ).e (  i   ) kT C 1  kT1 (   )   1 e   (  i   ) kT  1C 1  e i (  i   ) kT 1 - Khi tham số C=-1, (3.23) cho ta kết M.Chaichian[8]chính hàm thống kê Bose - Einstein biến dạng q e kT f ( )  e .(  i   ) kT e  (q  q ).e .(  i   ) kT e  e (  i   ) kT 1 C e f ( )  (  i   ) (  i   ) kT (  i   ) kT 1  (q  q C ).e kT (  i   ) kT  q C 1 .(  i   )  q C 1 1  (q  q ).e 1 (  i   ) kT  - Khi tham số C  0, q  thu đƣợc phân bố thống kê vô hạn (the infinite statistics) hay phân bố Maxwell - Boltzman lƣợng tử quen thuộc e f ( i )  e .(  i   ) kT f ( i )  e (  i   ) kT (  i   ) kT 1  (q  q ).e C (  i   ) kT  q C 1 40 KẾT LUẬN CHƢƠNG Qua việc trình bày nội dung chƣơng này, đạt đƣợc : - Nghiên cứu đƣợc hệ thức toán tử dao động tử có thống kê vơ hạn biến dạng q tổng quát - Nghiên cứu đƣợc hàm phân bố thống kê Bose- Einstein biến dạng q tổng quát, từ suy ngƣợc lại hàm thống kê quen thuộc cho tham số nhận giá trị riêng, đặc biệt nhƣ q =1 C=1 C q tiến tới không 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đã: Hệ thống kiến thức dao động tử biến dạng q cách đầy đủ thống Từ tìm hiểu nghiên cứu hàm phân bố thống kê BoseEinstein biến dạng q tổng quát mở rộng áp dụng số kết cho thống kê quen thuộc đƣợc tìm trƣớc Bằng việc tổng hợp nghiên cứu lí thuyết sở dao động tử điều hòa biến dạng từ hiểu rõ kiến thức vật lí lƣợng tử , từ phần hiểu rõ chất mơn vật lí lí thuyết , nhƣ có nhìn tồn diện tƣợng thực tế, đồng thời giải thích kết thực nghiệm 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức (1994), Generalized q- deformed oscillators and their statistics, Preprint ENSLAPP –A-494/94, Annecy France [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lượng tử vật lí lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Thái Hoa (2014), Cơ học lượng tử, Trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Hữu Nha (2010), Vật lí thống kê lượng tử, NXB Đại học Sƣ phạm [5] Lƣu Thị Kim Thanh (2001), Một số vấn đề đối xứng lượng tử vật lí vi mơ, Luận án Tiến sĩ Vật lí, Viện Vật lí, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Quốc Gia Việt Nam [6].A J Macfarlane (1989), On q-analogues of the quantum harmonic oscillators and the quantum group SU(2)q, J Phys A:Math Gen.22, pp4581-4652 [7] M Chaichian, P P Kulish (1990), Quantum Lie superalgebras and qoscillator, Phys Let B234, pp.72 -85 [8] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (1992), Statistics of q-oscillators, quon and relations to fractional statisics, J Phys Let B5, pp 187-193 [9] O W Greenberg (1990), Exemple Of infinite statistics, Phys Rev.Lett 64, pp 705-712 ... 1 q  n q m  1 q  m  n q (2.3) 20 Chứng minh:  m q  n  1 q  q m  q  m q ( n1)  q  ( n1) q  q 1 q  q 1 q n  q  n q ( m1)  q  ( m1)  n q  m  1 q  q  q 1 q  q. .. thể q- số 0   0; q 1   1; q q  q 2     q  q 1  q q q q3  q 3 3     q  q 2  q q q - Tính chất1: Khi q  ( hoặc  ) lim  x   x q q 1 - Tính chất 2:  m q n... Einstein biến dạng q 26 CHƢƠNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 32 3.1 Dao động tử có thống kê vơ hạn 32 3.2 Dao động tử biến dạng q tổng quát