Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 19-2-0339-0406

ntr um at 339 ity l ibr a ry o rg/ ; ww w bio lo gie ze GRUNDGESETZE eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs CONFIGURATION DER ALGEBRAISCHEN CÜRVEN He rita g ^NTON MULLE K, rsi ty De IN ZÜRICH (011/i.t eB iod ive ORDENTLICHKM PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT Safef.) SITZUNG UEU MATHEMATISCU-NATUEWXSSENSCUAFTLICHEN CLASSE AM ad IN DElt 21 JÄNNEU ISÖS dass Zo die Begriffe ive Begriffe untergeordnet sind rat to*"" Grade, entliält die Gleichungen Ordnung und Aggregat einem höheren ?^'''" Curve Dieser hüliere Begriff, Gebilde als eine geometrische festoehalten werden Die Gleichung ist Form aufgefasst nämlich entweder of kann durch den Ausdruck olo unmittelbar, mp a folgt Co Daraus vom Aggregate der gy nicht allein der Curven, sondern auch der am bri dg zwei Coordinaten, (C J_/ie allgemeine Gleicliung zwis-chen e, MA ); O rig i na lD ow nlo VORGELEGT fro m Th Nur im letzteren Falle gehört sie wirklich zu einer Mu se um rational in Factoren zerlegbar oder nicht ty, Er ns tM ay rL ibr a ry of the Curve der ;«"'° Ordnung, im entgegengesetzten Falle aber zu einem Aggregate von Linien niederer Ordnungen Demnach ist jede Curve so wie jedes Aggregat zunächst ein Gebilde, und als solches nimmt die Curve und das Aggregat an allen Eigenschaften Theil, welche für die Gebilde Un ive rsi überhaupt sich ergeben by the Ha wodurch Die Curve ist sie als solche etwas mit einander verbunden und von den Aggregaten getrennt aber eine Linie, an welcher Gestalt und Erstreckung in Betracht itis werden ed Charakteristisches, rva rd Ausser dem Gebilde -Charakter haben die Curven naturgemäss auch Dig kommt Wenn also den Curven als solchen gemeinsame Merkmale zukommen, so liegen diese in den Gesetzen, nach welchen die Configuration der Curven sich richtet Die hiernach nothwendige Unterscheidung zwischen dem Charakter des Gebildes und dem der Curve ist in den folgenden Untersuchungen durchgeführt Es werden im ersten Abschnitte die fundamentalen Eigenschaften der Gebilde überhaupt abgeleitet und dann im zweiten Abschnitte die Grundgesetze der Configuration der Curven entwickelt , Antoji MüUo.r ntr um at )-iO Die fuiidanientalen Eigens cliaftcii der gie ze algebraisclieii Gebilde (ibei'liaupt ibr a ry o rg/ ; ww w bio lo I 1- ive rs ity l Đ /w ww bi od Die Gleichungen der Gebilde Man Grades jz'"" sei in der Weise ry htt p:/ setze voraus, die allgemeine Coordinatengleiclmng des eL ibr a geordnet, dass je alle Glieder, welclie hinsichtlich der Coordinaten x y von einerlei Grad man durch He rita g _?/ Summe die n — Summe ausmachen, r jener so dass = R.x"-'^ x^-'-'y -^ -f i?, i?2 x"-'-' + y- Dieser Feststellung gemäss die allgemeine ow ist Gleichung der zur ja'"" Ordnung gehörigen lD ist nlo ad fro a, Th eB iod Form nach m der %^ die algebraische ive Glieder, in deren jedem die Exponenten von x und rsi ty zugleich bezeichne sind, bei einander stehen; 3;, + ); O + S, + +%n- bri dg e, MA =r rig i na Gebilde man, setze Übereinstimmung mit der in all- olo gy (C am Für den durch % bezeichneten ßestandtheil gemeinen Norm, folgende Form voraus: Zo = x" — K, x"-' y 4- lux" y' — Co mp a rat ive % wo der Coefficient von x" der Einheit gleich gesetzt of Mu se darf man den Eestandtheil Z, ohne Beziehung auf die Gebildegleichung, lediglich ry of the Fasst um geschehen was ohne Störung der Allgemeinheit ist, algebraischen Ausdruck auf, so ibr a als n Grössen a^ a.^ derselbe als das Product von n binomischen dar Aus den Coefficienten Ky K., K„ lassen sich nämlicli bestimmen, dass folgenden Gleichungen genügt wird: a„ so + a., Un + a„, Ä", -f- rd =ai = aiao + 010, + -)-a„_ia„, A",, = a, «o «3 a„ Ha rva /f, ive rsi ty, stellt sich Er ns tM ay rL Factoren von der Form x — ay ist aber by the Unter dieser Bedingung ed — a,y){x^iuy) — K^x"-^y + dem Bestandtheile % = Dig itis %=^{x Weil heit gleich /r, K.2 Grössen a, Um der ji^"" in x" und ist, alle Grössen von a., % homogen Dimensionen Von eben Glieder von {x — a„y) der Coefficient von x" der Ein- müssen, so sind die Coefficienten so vielen Dimensionen sind also auch die sein a„, d h dieselben sind Zahlgrössen Form dieser Zahlgrössen zu gelangen, halte man fest, dass zu den Gebilden Ordnung auch die Aggregate von n geraden Linien gehören, also die Gleichung zu der eines solchen Aggregates in der allgemeinen Gebildegleiclinng = 3: -1- S^i + enthalten ; 341 (xrundgesetze der Configuration der algehraisclicn Ourven sein miiss Wenn aber, untei- Voraussetzung rechtwinkeliger Coordinatcn, den Linien eines solchen Aggregates die Gleirliungen 0=x — y.cotX^ — q^^{)^x — y.cotX., — das Product dieser Sätze die Gleichung des Aggregates, und in dieser derjenige Bestandtheil, Exponenten von x und y die Dieses Product wenn aber, w bio lo ycotA,, Form gesehen lediglich auf die ww — x rg/ ; , ry o — ycotL X , wird, der erste Bestandtheil % ive rs ist — y cotXi ibr a X die gie ausmachen, das Product aus den Binomien ity l Summe n einzelnen Gliedern dessen in ist at ist ntr um so ze zukommen, q.,^ Cotangente eines "Winkels genommen wird Sind also die a„ als /w ww «, o > a„ solche p:/ a.> «i bi od von der allgemeinen Gebildegleichung, unter der Bedingung, dass jede der Zahlgrössen eL Jv.^^=cotu.^cotO.^-\- cnta.^cota^-\rsi ty He rita g cota.,,^ allgemeinen Gebildegleichung der erste Bestandtheil % — ycota^{x — ycota ,) — (x ycoto.,) Nach den vorangehenden Relationen zwischen und Xj, lu nlo cot a^, cota.^ • sind ow ad fro m =1 {x iod ive in der ist ^ eB geniigen, so cota.;,-^- -{- Th K^^^cota^ ibr a ry htt Winkel, deren Werthe den Gleichungen lD Wurzeln von folgender Gleichung cota,^ die = na — /ii cot a"-' + Ko cot a"-' — , man man am aber dadurch, dass (C dieser Gleichung gelangt dem in Bestandtheile gy Zu bri dg e, cot «" rig i ); O MA die Grössen cota^ olo = x"^K^x"-'y Zo Z Iux"-'y'— und sinrx statt und den resultirenden Ausdruck einführt, ?/ Co statt x ^ setzt the Mu se um of cosa mp a rat ive -^ ibr a ry of § Er ns tM ay rL Die asymptotischen Richtungen der Gebilde im vorigen Paragraphe erscheinen zunächst als Hilfsgrössen betrachtet man dieselben aber als Kichtungen von Linien, so haben sie in Bezug auf die Gebilde eine ganz wesentliche Bedeutung Man setze voraus, das durch die Gleichung Si -)- SJj -[angegebene Gebilde der w"^'' Ordnung werde von einer geraden Linie TT «„ ty, a^a.„ ^ itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi Die Winkel Dig X durchschnitten, —y Auf diesem Wege Q^E.^f + der Linie n^'" Grade TT gemein ist, hat und —q^ + g'in der Gebildegleiehung ein, um dieDurch- und führe denWerth x=^ycotX schnittspunkte zu bestimmen welche vom cot X E, y"-' die Ordinaten + v Nichtmitgl eine Gleichung für + y von der Form E„ y jener Punkte angibt, welche das Gebilde mit Die Anzahl dieser Punkte Deukschrirteu der mathem.-naturw Gl XIX Bd Abhatidl man erhält ist also = n tt Anton Müller 342 Die Gleichung für dem (» — Nun 1)"=° ergibt sich das Glied Ey"- unmittelbar Bestandtheile = — ycota^{x — ycota.^ {x—ycota,) 3; x eingeführt wird; statt — cota^){cotX — coto ^) — (cotX cota,,) gie E^{cotX daher es ist at dadurch, dass ycotk (a; ntr um aus vom Grade, sondern höchstens ?2""' ze vom jedoch in allen Fällen, in welchen £" verschwindet, nicht mehr ist ?/ E^ w bio lo jedem Falle, in welchem A einem von den Winkeln a^ a, a„ Linie TT mit der der Axe x gebildet, und gibt die gleich ist Der Winkel A wird von der also wie so auch die Winkel o.^ a, man X an Rechnet a„ von der Axe von TT Richtung die Eichtungen von solchen Linien TT angegeben, der cc an, so werden durch a^ von denen jede mit dem Gebilde nicht mehr ??, sondern höchstens n Punkte gemein hat a,^ als von der Axe der x an gerechnet angeLn Folgenden sollen die Winkel a^ a^ in ry o rg/ ; ww Demnach wird o > ive rs ity l ibr a htt p:/ /w ww bi od — eL ibr a ry sehen werden, so dass durch dieselben die angeführte Eigenschaft des Gebildes angezeigt a,, die asymptotischen wird Dieser Eigenschaft wegen sollen aber die Winkel «j a.^ Es jedoch nicht zu übersehen, dass die ange- ist rsi ty des Gebildes genannt werden He rita g Richtungen Winkeln a^ a., zukommt, welche iod ive führte Eigenschaft einem Gebilde nur für jene unter den eB Th m die ow lD «1 «3 nlo ad soll fro wohl angenommene Benennung zu beschränken Winkel wäre GleichBenennung asymptotische Richtung ohne Unterscheidung auf alle Winkel haben jedenfalls auf das ausgedehnt werden Die Werthe der Winkel a^ a, reell sind; auf diese also die MA ); O rig i na Gebilde einen Einfluss, so wie umgekehrt von der Beschaffenheit des Gebildes auch die abhängen Von dieser gegenseitigen Abhängigkeit ist vorerst nur dies Winkel a^ a., e, dass sie überhaupt besteht; über ihre Ausdehnung aber lässt sich für jetzt nichts am bri dg bekannt, Unter diesen Umständen wird eine, ia besonderen Fällen hervortretende Eigenschaft benützt, und hie von Veranlassung zur Einführung der angegebenen Benennung für Zo olo gy (C angeben rat ive genommen se um of Co mp a alle Fälle of the Mu Die allgemeine Segmentengleichung werden die Coordinaten x, y derjenigen Punkte bestimmt, in welchen eine nach Richtung und Lage bestimmte Linie T T dem Gebilde begegnet P„ die Punkte, in welchen die Linie TT durch das Gebilde geht; Es seien P^ P, 0P„ ein beliebiger Punkt in TT, von dem ab die Segmente OP^, OP., ferner sei gerechnet werden Nun ist offenbar, dass mit den genannten Segmenten auch die Punkte P„ bekannt sind; desshalb soll die directe Bestimmung der Segmente OP, in P, Pi the • by • Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr a ry Mittelst der Gebildegleichung itis ed Betracht gezogen werden Es sei Dig u der Winkel, welchen die Linie TT mit der Axe x bildet; ferner seien ^, r^ die ixv TT, und x, y die Coordinaten irgend eines von den Punkten Coordinaten des Punktes und r das r„ die Zeichen für die Segmente OP,, 0P„ endlich seien t\ r.^ P, Po Zeichen für das von ^tj bis xy sich erstreckende Segment ; Unter Voraussetzung rechtwinkeliger Coordinaten hat X und aus diesen — = c ?• cos u , y — ^ C , y ^ folo-t: X =^ r cos u - =z r Tj '>' • *x'-f-'y Gebildegleichung + — wenn man ycosa.,) 2; + + S;., + $„ In dieser führe m die allgemeine rsi ty + Q + F„_., r"-' + +F, ' r + F= (I) rva rd die Coefficienten F„ F,,_^ nach folgender Vorschrift gebildet werden Dig itis ed by the Ha wo Un ive F„ Er ns tM ay rL Verbindet F, = F„_, = K_, F, F ^ff ff, +^f') ff., + = //„_, + =//„ ffi'^ ^ iz;w, 4- + ffi%+ Die Gleichung [E) gibt für r die ^^ ff^^ + ff'"-'' +^!") Werthe au, welche den Segmenten zukommen Zwischen diesen Segmenten und den Coefficienten F,^ F,,^^ r^ r., r„ der Gleichung {I) tt* Aiiton Mitlhr 344 bestellen daher jene Relationen, welche überhaupt zwischen man allgemein mit 9,^ die •• 0-2 (g^ Summe Segmenten {r,r., = (-1) .J(.) Aus der Gleichung ergeben sich die einzelnen Relationen setzt, so ?i w bio lo (j^) ww und rg/ ; ;•„ {I) folgt auch, dass ry o = §' — jene n Werthe an, welche den Grössen — zukommen; p:/ die allgemeine Relation ibr a man Th eB iod ive rsi ty He rita g eL daher hat ry htt Diese Gleichung gibt für /w ww bi od ive rs ity l ibr a hierin at ^ n Wenn man 7\ r, folgendem allgemeinen Satze zusammenfassen: in (l") ntr um den Coefficienten der Gleichung Producte aus je q von den aller so lassen sich die Relationen zwischen den g„-, ffi g., stattfinden ze Bezeichnet Grössen Grades den Wurzeln und den Coefficienten gie einer Gleichung des 7^*^" § nlo ad fro m Von den rig i na lD ow Coefficienten der Segmentengleichung ); O der Segmentengleichung (2") ist Eine genaue Kenntniss der Coefficienten F„ F„_i F„_ by Diameter L Gebilde ed Linie vom Er ns Ordnung (einen Kegelschnitt oder das Aggregat von zwei Linien) und von dem Winkel u abhängt Eine nach der Richtung u gehende ein Gebilde t% der zweiten an, das tM ay rL ibr a TL = (r, — r, r„)(^) = ergeben sich die Gleichungen der Diameter B.^ B^ ?5'„_i bleibt, unbestimmt von u Werth lange der ist, so Ausdruck Der durch F„_^ angezeigte eine Function von | und r], und zwar vom g-"" Grade Nimmt aber u besondere Werthe au, so ist nicht unmöglich, dass F^_^ zwar eine Function von f und 5y bleibt, aber der Grad derselben besteht Bei »7 3, 4, n niederer wird In jedem solchen Falle gibt die Gleichung F„_^ an, das von der {q — 1)'"° oder {q — 2)'™ Ordnung ist, = ein diametrales Gebilde &,^ aber dennoch eine nach der Rieh- G rundgesetze 393 der Conßgi(ration der algebraischen Ciirven ilaher nach dein obigen Salze (a) p O'P Hieraus folgt, wenn 1" ungerade oino )/ O OP 0"P" 0' P" Dem 0"P' 0' OP w bio lo entweder =r P" =— oder -f ww rg/ ; dass folo-t ry o P O'P 0"P so ist, ibr a n eine o-erade Zahl ity l wenn aber gie ze y Ol'') Zalil ist, dass O P.O'P 0"P 0"P" at 0"P ntr um / V L zufolge liegen in einer Curve rsi ty He rita g eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od (I) ive rs von ungerader Ordnung die Punkte 1' 1" 1'", in welchen Z von den Monotangenten TT, TT', T"T" berührt wird, in einer geraden Linie; na

x""-'-'-' Folge dessen wird die Gleichung des Gebildes 'K (—1)" tf W folgende: " 'i:7(— 1)^ Denkschriften der mathem.-naturw Cl XIX Bd Abhandl v Nichtmitglied 'Mf> x'"-'-'-' f-^o (1) **^ Anton Müller 398 —f man aus — dem Ausdruck dx-^ gemeinen Form — — '- ^ dy dy eine Reihe von Producten, welche alle mit einander in der all- angezeigt werden, erhält ''- Durch Einführung der Eeiheu, welche durch — — — — — — — — at , ze — — gie die ww w bio lo p ntr um Werthe a ?? 2, und q die Werthe 012 die Summe ;^ c an; es ist also eben so r die Werthe b n -4 c Führt a b man daher 3« 12 p j^ q j^ r immer eine von den Zahlen 12 und für p successive die Werthe a -\- b -\- c ^h ein, setzt sodann ^9 -f g -j- r f>, gibt aber bei jedem WeriUe von p den Grössen ]) q r von den zulässigen ]i^ ;j nimmt enthalten sind Hierin ry o ibr a — — rg/ ; = ^ + + 2' ?'=p man ive rs wobei alle diejenigen, wird, so erhält Producte, welche aus also ist Durch analoge Betrachtungen + ^ = r ry JT^, Ä'M, ^r^»-*-*-^ f eL + _P 1) Z^") ibr a {n-a-p) {n—a-p^\) {q+l) (r+ He rita g S p rsi ty man, dass das Aggregat der aus dem Ausdruck findet d%, d%, dy dx dy fro nlo ad d.e m Th rf23;„ eB iod ive S, (-1)^ htt p:/ /w ww bi dem obigen Ausdruck entspringen Das Aggregat dieser Producte = alle od Werthen ity l rig i {n-a—p-l) (p+1) (j+1) i^i—c—r) A'^i ); O S bri dg q r -\- = iT,'^, 7^) ^^n-,-,.-, _ y, (j (C am 23 -^ e, MA = %\—iy na lD ow entspringenden Producte sich Producte ergebenden ° S + 2) Qj + 1) (n—b—q) {n—c-r) rat (—1)^ (i? mp a Sp K^^, ATf Ä^^) x"^-'-"-" ^ f Mu se um of Co = ive Zo olo gy der aus dem Ausdrucke —rT r -T~ und das Affg-reeat o° ° d.v dy'^ d.« Führt man diese Werthe in der obigen Gleichung (IFJ ein, so erhält man die gezeigte Gleichung des Gebildes TT", und auf diese Weise für die Coefficienten SB*''^ in (I) anin (I) das rL ibr a ry of the sei tM ay Bildung-sgesetz ^o"&' \ ty, Er ns {n-a-p){n-a-p-l){q + l){r^\).K;;''^ K^%Klt ^~2.{n~a-p-l){p+l){q+l)(n-c-r).Kl%K^^i,Ky^ rsi ( Un ive 2òô_SS jj the Ha rva rd ( = h, p+ q + r = [j ] itis ed by a-{-b -^c Bei der Bilduno- der Coefficienten Dig SBi*' nach voi'stehender Vorschrift werden aus der Gleichung %o der Curve L nur die — ^ + s,— Wendepunkte der Bestandtheile Sl^ Stj aller jener 5t„_i '^„ ist Curven den Bestandtheilen in gebraucht, und der letzte Bestandiheil bilde TF'die %t) (— i)"a:„ '^i =o '^n-i vorkommenden Coefficienten ausgeschlossen Daraus folgt, dass in L dem Ge- liegen, deren Gleichungen die Coefficienten mit einander gemein haben, und sich nur durch den letzten Grundgesetze der Configuration der algehraischen Curven Bestandtheil von oinandiM- unterscheiden Diese Curven IiilJen aber, nach 399 (hn- im § 13 ent- Gruppe; miihin durchschneidet das Gebilde TFjedes Glied der Gruppe in seinen Wendepunkten Weil die Gleiclumgen der zu einer Gruppe geliörig-en Curven sicli nur durch den letzten Bestandtheil von einander unterscheiden, so haben keine zwei Glieder der Gruppe einen Punkt mit einander gemein Demzufolge ist jeder Punkt des Gebildes ein Wendepunkt nur von einer einzigen Curve der Gruppe des Gebildes ist ein gemeinsamer Punkt zweier Diameter ö„_, Jeder Punkt und ön^o? welche zu einerlei Transversalenriehtung t* gehören; derselbe gehört also auch zu von TF je nach der Richtung, zu welcher dieser Eiehtung ?< Wenn nun durch jeden Punkt gehört, eine Transversale TT vorausgesetzt wird, so ergibt sich ein System von Transversaleu, das sich durch besondere Eigenthümlichkeiten von anderen Systemen gerader Linien unterscheidet Eine Linie TT des erwähnten Systems ist eine Wendetangente von von TF geht, und also in jener Curve L der Gruppe, welche mit TT durch den Punkt einen Wendepunkt hat Denn der Voraussetzung gemäss ist die Ricbtung von TT eben diejenige, zu welcher jene Diameter &„_i und i\_2 gehören, welche in einander schneiden: demnacb ist die Richtung von TT auch die zu gehörige Tangentenrichtung jener Curve geht Das Vorausgesetze System von Transversalen ist also das System Z, welche durch der Wendetangenten aller Curven der Gruppe, deren Wendepunkte in dem Gebilde IFliegen von gehört, und xy die Coor5 Wenn u die Richtung ist, zu welcher der Punkt sind, so liat man für die Transversale TT^ welche durch dinaten von nach der Richtung wickelten Kintlioihini;- (iehihle eine W w bio lo gie ze ntr um at cK'r ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita g eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi od ive rs ity l ibr a ry o rg/ ; ww W MA Gleichung o e, die bri dg fj'eht, — cot r^ u = X — y cot u rat Coordinaten se die — sind ive Zo TT xy Mu Gleichung von um von 0, und der Richtung it, zu IC gehörigen Diameter i)„_i TT Zwischen den Coordinaten xy zu welcher gehört, bestehen aber auch die Gleichungen der und &„_2, und mittelst dieser kann man aus der vorstehenden Coordinaten irgend eines Punktes von mp a q die Co ? of wo olo gy (C am a ); O rig i na lD ow nlo W Auf diesem Wege erhält man eine Gleichung, wenn u als gegeben betrachtet eliminiren u und u Indem diese | Werth von ? vj cot u schliessen lässt, ist dieselbe die Gleichung der nach der Richtung u gehenden Linie TT, also des allgemeinen Gliedes des ganzen Systems der Wendetangenten Es ist indessen zu bemerken dass die zu einerlei Richtung ?i gehörigen Diameter mit einander gemein haben Da nun jeder letzte Zonen so lieiien unter drei auf einander folo-enden ffleiebartiff sind, f\t.'v einen Seite, und (7) iuil' i\cv at und erste ntr um tlic ze Zonen 40,") p:/ /w ww 24 Đ Kriimmunff der Curven dem He rita g Wellenform, dfer einen wie in dem anderen Falle geht man von einer eB besteht In Übereinstimmung nicht entgehen, welche zwischen der Deduction der wechselnden tnul rsi ty zwischen der Nach Weisung die grosse ive Aufmerksamkeit bei einiger iod Es kann eL ibr a ry htt Allgemeine Bemerkungen über die Gesetze der Configuration und deren Ableitung m Th Gleichung ad fro = nlo cpfp) na rig i MA Eücksicht der Änderungen, welche e, Erwägung gezogen, bri dg dass in der Curve aus, welche auf einen Punkt die eine p eine Coordinate Bezug haben, von denen aber höchstens in p ); O zwischen- zwei veränderlichen Grössen r und lD ow r die von ist Sodann wird Grösse r bei successiven am (Zunahme oder Abnahme) besteht, oder aber ein Wechsel dieses Zustandes vorkommt; dass ferner, wenn in irgend der Curve ein Wechsel in dem Zustande der Änderungen eintritt, die zugeeinem Punkte (C p erfährt, entweder durchaus einerlei Zustand mp a rat ive Zo olo gy Änderungen von der Gleichung = — genügen, also r ein Maximum oder Mini- mum um of p Co hörigen Werthe von r und jedem der behandelten Fälle nachgewiesen, dass nach der Natur der Curven die Grösse r Maxima oder Minima annehmen kann, und daraus auf einen periodischen Wechsel in dem Zustande der Änderungen von r geschlossen cp(p) geknüjjften Erwägungen und Schlüsse sind Die an das Bestehen der Gleichung r se Schliesslich wird in ibr a ry of the Mu ist tM ay rL = Er ns Anwendbarkeit auf besondere Fälle der erwähnten Gleichung nicht beschränkt sein kann So oft also in Beziehung auf eine Curve eine solche Gleichung vorausgesetzt oder abgeleitet werden kann, nach welcher die Grösse r Maxima oder Minima annimmt, eben so oft ergibt sich ein auf die Configuration bezügliches Gesetz Sieht man auf die Bestimmungsweisen der Wendepunkte und der Punkte der stärksten so allo-emeiner Art, dass ihre itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, nun offenbar Übereinstimmung dar In dem einen wie in dem anderen Falle ist das Vorkommen der fraglichen Punkte in der Curve an die Bedingung geknüpft, dass zwei zu einerlei Richtung u gehörige Gebilde (&„_i und i)„_.,, oder i>„_i und £j einander schneiden, und dass einer der Durchschnittspunkte in die Curve Dig und schwächsten Krümmung, so bietet sich ebenfalls eine u aus den Gleichungen der gedachten Gebilde eliminirt, erhält man die Gleichung eines Gebildes (IT oder 95), welches die Curve im ersten Falle in den Wendepunkten, im anderen Falle in den Punkten der stärksten und schwächsten Krüm- falle Indem man ferner mung schneidet die Grösse Denkschriften der mathem.-naturw Cl XIX IJti Abliandl v, Kichtmit^-licd bbb : A7ito72 Mülle)- Grundgesetze der Conßguration der algebraischen Curven 406 Wie aber i)„_i und ö„_o, so können auch überhaupt zwei zu einerlei Transgehörige Diameter ö„_p und &„_p_, (der {n p)^^'^ und der {n p g^)'™ Ordversalenriehtung u nung) einander sehneiden, und wenn man u aus den Gleichungen dieser Diameter eliminirt so ergibt sich die Gleichung für ein Gebilde G, in welchem die Durchschnittspunkte je zweier die Diameter —— — gie ze ntr um at zu einerlei Richtung gehörigen Diameter ö„_^ und &„_p_j liegen Hat aber ein solches Gebilde G Bestand, so ist auch die Möglichkeit vorhanden, dass von demselben die Curve L, zu welcher die Diameter ö„_^ und i)„_^_j gehören, in irgend welchen Punkten g g^ g.^ geschnitten wird Jeder von diesen Punkten ist also ein gemeinsamer Punkt der Curve L und zweier Diameter &„_^ und &„_^_,, eben so wie jeder Wendepunkt lo der gemeinsame Punkt der Curve ibr a ry o rg/ ; ww w bio lo ive rs od /w ww p:/ Man nehme TT voraus, gehende Linie so ergibt TT dieses ry htt an, die durch in F^ P., zweier Diameter &„_p und 9„_p_j ibr a L Systems schneide die Curve &„_p_j gehören, eine Transversale P„, so bestehen, weil ein eL sich nach der Richtung u, zu welcher die bi und 9-„_p ein singuläres Liniensystem G He rita g gehenden Diameter durch ity l und zweier Diameter i}„_i und i}„_.3 ist des Gebildes Setzt man durch jeden Punkt gemeinsamer Punkt zwischen den Segmenten OF^ OFo folgende zwei rsi ty ist, = OP,.)"-' ,{OF,OF, OF,,)"-"-' = m eB Th {OF, OF, iod ive Gleichungen fro , in welchen das Gebilde G durch die Curve L geht, von den Punkten g g^ g., Segmenten , und zwischen den übrigen 7i verschwindet eines der Segmente OF^^ ad einer — lD na so ow nlo Ist ); O rig i bestehen die vorstehenden Gleichungen MA in analoger Weise, wie die WendeEs geht hieraus hervor, dass die Punkte g g^ punkte, vor allen anderen Punkten der Curve sich auszeichnen So wie aber die Wendepunkte nur eine Folge des Ganges der Curve sind, eben so hat das Vorkommen der Punkte g g^g.^ seinen Grund in dem Laufe der Curve Es besteht also ein Gesetz der Configuration, in Folge dessen die genannten Punkte nicht nur überhaupt, sondern in geordneter Weise periodisch (C am bri dg e, Co mp a rat ive Zo olo gy wiederkehren Besteht aber ein solches Gesetz, so of um welche cp(p), dem oben in se = dasselbe lediglich eine Folge einer bezeichneten Sinne auf die Curve Bezug hat Mu Gleichung r ist of the Die an die Diameter ö„_^ und ö„_p_, geknüpften Betrachtungen finden auch Anwendung, £, zu Grunde legt, welche zur Curve wenn man statt der Diameter ganz andere Gebilde L in einer Beziehung stehen, und zu einerlei Transversalenrichtung u gehören, so dass Be- und Lage dieser Gebilde einerseits von der Curve, anderseits von u abhängen rsi ty, schaffenheit Er ns tM ay rL ibr a ry E bezeichnete , welches bei der Bestim- rd 0'*' in rva der Punkte Anwendung kommt Ha mung Ä Un ive In die Kategorie dieser Gebilde gehört das oben mit vorangehenden Bemerkungen wohl zur Genüge, dass der bisher unbekannte Theil der höheren Geometrie, in welchem die Configuration der Curven zum Gegenstande der Untersuchung gemacht wird, in Folge der Anzahl und Mannigfaltigkeit der the ergibt sich aus den Dig itis ed by Es zu behandelnden Fraa'en eine grosse Ausdehnung anzunehmen fähig ist niv rd U ers ary ibr rL ay tM rns ,E ity of the m se u Mu of tiv eZ ara Co mp gy oo lo e, (C am bri dg rom df loa ow n lD ina rig ); O MA eB Th rsi ty ive iod ry ibr a eL He rita g ry ity lib od ive rs /w ww bi p:/ htt /; w ww org m at tru iez en log bio ('(inliviir.ilKiM rva ili'i Ha llninJ'iesfIZi' the LNInlliM iIit ii>jclir\iisrlicn iiirfii Fiff / )(' f), k»,liiifleM ,l,.rk.\b.l IWis-SPiis-rli F iii.itliPiii iialiim aXE-ßiHMO Litau^ediifcMoMStaatsdriicfere: ... und dass umgekehrt der Gang der Curve den successiven Änderungen der Tangenteurichtung u entspricht Dieser Nexus zwischen den Änderungen der Tangentenrichtung i6 und dem Gange der Curve macht es... kann wohl ein 2)'"^ Ordnung in mehreren Complexen oder der (n Diametersvstera der 1""' oder der 2'"" vorkommen, dagegen ein Diametersystem der (n l)'"" Ordnung lediglich einem Complexe angehören... , so müssen von 5t„ bei der über die Wahl in der Gruppe einander homogen sind, so Constanten linearen Factoreu Denkst Jiriften , ist der Theil St„ oder die algebraische der matljem.-uaturw CI