Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 17-1-0091-0136

ry org /; ww w bio lo gie ze n tru m at 91 /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ÜBER SCHWINGUNGEN GESPANNTER SAITEN ry htt p:/ DIE He rita g eL ibr a Von div ers ity PETZVAL, Prof J m DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 18 MÄRZ 1858 fro IN ); O rig ina lD ow nlo ad VORGELEGT Th e Bio 'WIRKLICHEM MITGLIEDS DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN AB ein Function der Coordinate ist log Spannung bedeuten, welcher der Coordinate x angehört X, Y Z seien die Com- im Punkte, dem die die , rat Faden unterworfen Ebenso mag S x Zo o als eine ive fx y( Ca m bri dg e, sei MA biegsamer und elastischer Faden und jx bezeichne die Masse, die ein Stück desselben von der Länge Eins besitzt Da /i nicht nothwendig constant vorausgesetzt wird, mithin die Eede ist von einem Faden, der auch ungleich dick sein kann; so betrachten wir xlrfs se ist [xds die Masse eines solchen the ds; so Mu Länge kleine Elemente von der um of Co m pa ponenten der beschleunigenden Kräfte, die, bezogen auf die Einheit der Masse, auf die einzelnen Punkte des linearen Systemes wirken Man zerlege dieses, wie üblich, in unendlich of iiXds , fiYds , LiZds rL ibr ary (1) und Componenten der auf dieses Element wirkenden beschleunigenden Kräfte Von den Coordinaten x y z, die dem Punkte m angehören, betrachten wir nur die erste x als aller möglichen Werthe fähig, die beiden anderen hingegen, y und z nämlich, immer als entsprechend klein, d h der Faden soll im Zustande des Gleichgewichtes sowohl, wie auch im Zustande der Bewegung von einer geraden Linie wenig abweichen Die Spannung S im rns tM ay drei , yt zerlegen wir in drei Componenten Diese sind: db m m Dig i tis e Punkte he Ha rva rd Un ive rsi ty , ,E sind die -£ ;• -*; -et Beim Übergange nun vom Anfangspunkte m des Elementes \xds zum Endpunkte desselben wächst x um dx, s um ds und mit einem Worte alle auf das System bezüglichen Variablen um ihre Differentiale, also auch die Spannung 8, die dort in 8+dS übergegangen ist, und die eine Kraft vorstellt, deren Componenten jenen in m der Richtung nach entgegengesetzt sind Diese Componenten sind also: 12* Petzval der drei Coordinatenaxen für sich Null sind, pXd + ±{S±)dx=0 d h d + ±(S £)d X = t>Yds , aufgezeichneten Componenten längs jeder (3) , ^.+l(*£)«fe=0i ry org /; (4) Gleichgewichtes handelt Sie werden es thun, at die drei um Angabe der Position des Summen der unter (1), (2), wenn m wenn nämlich jxds sich das Gleichgewicht halten sollen, tru es sich am Elemente sind es, die ze n und diese Kräfte gie / ww w bio lo 92 die d h ive rsi tyl ibr a Diese sind die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichtes, die integrirt die Kettenlinie geben, Form jener Curve, welche der Faden unter der Einwirkung dieser Kräfte im Gleich/w ww bi od gewichtszustande annehmen wird Wird dieses Gleichgewicht irgendwie gestört, man den Faden ganz z B dadurch, oder theihveise gewaltsam aus seiner Ruhelage bringt und ihn p:/ dass x z 4- C unter f , y gewesen wären, übergegangen seien z , in x ity die in der Gleichgewichtslage He rita g eL ibr a ry htt dann wieder denselben Kräften überlässt, so entstehen Schwingungen von sehr kleinen Amplituden und man kann annehmen, dass am Ende der Zeit t die Coordinaten des Punktes m, sehr kleine Verschiebungen verstanden, in Folge deren der £ y + 37, Faden zwar + , , ers C 7) und da eine tkeilweise Verlängerung oder Verkürzung erfahren kann, die wir aber so gering annehmen wollen, dass dadurch /x keine wesentliche Veränderung erleidet, während gleichwohl die Spannung S dadurch übergeht in S' + T, allwo T ein namhafter Zusatz zu sein kann, den man der Verlängerung des Elementes fids proportional anzunehmen gewohnt ist, weil die Erfahrung vorliegt, dass so lange die Grenze der natürlichen Elasticität nicht überschritten wird, die Verlängerungen elastischer Körper den Spannungen proportional div , Bio fro m Th e hier solchergestalt c , > 5J C kleine längs den drei Coordinatenaxen durchlaufene bri Da Räume Ca m seien dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad = Masse fids des bewegten Theilchens zweiten Differentialquotienten dieser Räume nach der Zeit t genommen, nämlich: pa rat ive in die Zo o log y( darstellen, so sind die folgenden drei Producte aus der Co m fxds— fids^ , fids , — um of (5) wenn dasselbe von dem Bewegung des Theilchens fids übrigen Systeme getrennt vorausgesetzt wird ary zu erzeugen vermag, Kraft, welche die wirkliche the Mu se Componenten derjenigen of die drei rns tM ay rL ibr Diese Kräfte nun, in entgegengesetzter Richtung zu den anderen hinzugesetzt, müssen offenbar das Gleichgewicht wieder herbeiführen, man hat mithin die folgenden drei DifferentialUn ive rsi ty ,E gleichungen der Bewegung: -f ±(B'$g%)dx he Ha rva rd ßds^=fxXds yt i tis e db f = u.Zds ads-— dfi Dig i Hier müssen f ds^=fiYds + US'^-)dx ' , rj , /w ww bi od \ ' ive rsi tyl ibr a -2 gf =Q •" ids + 4-(Sp)dx dx (18)' v Faden aus der heraustrete Die drei Gleichgewichtsgleichungen verwandeln sich unter diesen Voraussetzungen in folgende zwei Von Man tru voraussetzen, weil keine Ursache vorhanden ze n = gie z ww w bio lo kann dann m at meinschaftlich haben und sich von derselben in allen Punkten nur wenig entfernen ina lD ow nlo f MA ); O rig Im Falle die Curve eine sehr flachgespannte ist, so hat man immer nahezu und wenn der Bogen vom tiefsten Punkte gezählt wird auch s = y Diesen Fall ausgesetzt, erhält man durch Integration der vorliegenden Gleichung: = dy hier vor- y( Ca m bri dg e, , c?s dx log = 2gw nicht hinzuzufügen, wenn man of Co m annimmt, dass die y Punkte gezählt werden Durch abermaliges Integriren ergibt sich : the Mu se um tiefsten pa man Eine Constante braucht vom rat ive Zo o C Ty (21) = — x if ibr ary of (22) rL offenbar die Gleichung einer Parabel, deren Parameter Und Un ive rsi ty ,E Linie bezeichnet daher die Position des Gleichgewichtes rd rva Ha db Dig i ' V " I dx in die zwei ersten der = da = ^ d{ + drj Grundvariable auffassend, die folgenden zwei Gleichungen: als ß (Oll G, ferner ist: tis e und zugleich die y S= yt abgeleitet der folgende (23) krumme Acht lassend, weil z +