Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 26-2-0063-0112

— — — : — — - ; Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at GQ ÜBER ORDNUNG DIE FLÄCHEN ZAVEITER IT ZUGRUNDELEGUNG EINES MIT AXENWINKELN BELIEBIGEN C00RDINATENS1STEMS VERSEHENEN XEBST EINER EINLEITUNG AUS DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE IM RÄUME, VON/ LORENZ ZMURKO, K K PROF PER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN AKADEMIE VORGELEGT IN IN LEMBERG , UND THÄTIGEM MITGLIEDE DER GALIZISCHEN LANDWIRTHSCHAFTS-GESEI-LSCHAFT DER SITZUNG DER MATHEM.-NATURW CLASSE AM EINLEITUNG NOVEMBER 30 1865 * Einige Eigenschaften eines schiefwinkeligen Coordinatensystems = = a, sOx Axensystem [Ox, Oy, Oz] mit den Axenwinkeln: yOz ß, xOy=-(, und den von c a, [xy, yz\ =b; [yz,sx] je zwei Coordinatenebenen eingeschlossenen Winkeln: [zx, xy\ bietet ein sphärisches Dreieck dar, dessen Elemente folgende für uns wichtige Relationen Jtliin = = (1) eingehen Nach Einführung der Bezeichnungen: A = cos a — cos ß cos y B = cos ß — cos y cos a ; M= — cos a — cos — cos erhält ß y+ ; C= cos y — cos a cos ß (2) cos a cos ß cos y man: cos a A = -—ß— —7 - sin sin sin a ' cos o ß , ; sin B — : — a ; cos c sin VIT ; ; tan ff —— = Vm = C = ' sin c a tang ß ($\ : sin a : sin Vm— = sin sin a sin = Vm — sin sin Vm = sin tanga , : sm p \ Vm c ferner lassen sich sehr leicht folgende Relationen bewahrheiten: J/=sin cc —5 cos ß C cos y =sin ß C cos y A cos a = sin y A cos et B cos ß / — p — Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Lorenz Zmurko 64 BC+A sin »« M (4) CA+B sin cos a „ sin "a iß 9n (5) oder sin a cos ß sin ß cos = B-\-C = C-\-B cos a = C+.4 — A-\-B — cos ß — — B cos a = C cos ß = ß cos a — £ A cos y = y cos ß — sin # cos sin Von den Bestimmungsarten Von den Coordinaten c B-\-A cos B cos y = sin -^4 cos cos cos « 7? * cos « = 4+ C cos — — cos a = — C A cos = sin cos cos ß sin Y cos a B4- cos cos sin y cos cos ß sin -ß , -( ^4 eines Punktes eines auf ein in (1) beschriebenes im Räume Axensystem bezogenen Punktes, wollen wir hier hauptsächlich zwei Sorten unterscheiden: Die ersteren erhalten I EJ/yOz; E //zOx', Ej/xOy Durchschnittspunkte x (6) = Op v y = Op pu p z 2, legen, 2, — Op wir ; wenn wir durch den gegebenen Punkt und die hiebei auf den Axen Ox, Oy, Oz m drei sich Ebenen ergebenden Endpunkte der vom Ursprünge auslaufenden Axensegmente als charakterisiren Die so erhaltenen Coordinaten xyz nennen wir Parallelcoordinaten des Punktes m , oder schlechtweg Coordinaten dieses Punktes Sie bilden die in den Eichtungen Ox, Oy, Oz genom- menen Distanzen des Punktes m von den Ebenen yOz, zOx, xOy Aus den Längen xyz kann man die Lage des Punktes m auf mehrere Arten bestimmen a) Ein im Ursprünge liegender Punkt bewege sich dem Vorzeichen des x gemäss längs der Axe Ox bis zum Endpunkte^; von da aus bewege er sich dem Vorzeichen von y gemäss in einer zu Oy parallelen Eichtung um die Länge =y; von dem so erreichten Orte bewege er sich dem Vorzeichen von z gemäss in der zu Oz parallelen Eichtung um die Länge == z, um so in die Lage des durch xyz bestimmten Punktes zu gelangen b) Eben so wird man durch folgende Bewegung vom Ursprünge aus den Punkt auf fünf verschiedene Arten erreichen können, wenn man nach einander in der successiven Verwendung der gegebenen Coordinaten die Anordnungen: xzy; yxz\ zxy; yzx\ zyx beobachtet z die Ebenen: c) Man lege durch die Endpunkte von x; Op Ojj y; Op : Ej/yQz; E //zQx-, E //xQy, und = — = verlangten Punkt als Durchschnitt dieser drei erhält den Ebenen Die vom Ursprünge bis zum Punkte m reichende Länge bildet mit jeder der Coordinatengruppen, deren Sinn = r heisst der Fahrstrahl, und Verwendung in a) und und b) beschrie- ben wurde, ein geschlossenes Viereck mit den entsprechend angeordneten Seiten (xyz?') IL Die Coordinaten der zweiten Art erhält man, wenn man durch den gegebenen Punkt P1P2P3 (7) m drei Ebenen dadurch E x \_ Ox, kennzeichnet, x= Op\, y=i Op z= Op chenden Punkte E m , ist \_Oy, dass betrachtet einleuchtend E man \_ Oz legt, und die sich hiebei ergebenden Punkte Endpunkte der Axensegmente Der Übergang von den gegebenen xyz zum entspredieselben als : : Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Über die Flächen zweiter Ordnung 65 etc Die Coordinaten dieser Art heissen orthogonale Coordinaten und bilden die orthogonale primäre, seeundäre, tertiäre Componente des zu Axen Ox, Oy, Oz Bildet der zum Punkte m mOz = v, so m gehörigen Fahrstrahles r in Bezug auf die mOx = X, mOy = [x, führende Fahrstrahl klar, dass ist es X, jx, v die Winkel =r hervorgehen die Cosinuszahlen , xyz und somit zu den Gleichungen vorstellen, COS die Axen mit den Messungszahlen, welche aus der Messung der Coordinaten xyz durch die zugehörige Fahrstrahllänge der Winkel Om=r COS 7, COS (A (8) V Grundlage bilden werden wir In analoger Weise vorgehend, {x'.r), (y:r), (z:r) Messungszahlen, welche die andeuten, die schiefen Cosinuse des Winkelsystems einfacheren Schreibweise X, v ja, wir durch nennen, und der wegen durch kx ky kz bezeichnen, Veranlassung gebend zu folgenden , , Relationen X z = ^7 = r X = rk y = rk z = rk K= K = (x: K= — ÄKy fCj x (9) z ; y »); {y :r); ; : :(?: \rj Hat man zwei Punkte im Eaume, und zwar den Punkt m mit den Coordinaten [xyz] den Punkt m' mit den Coordinaten [x'y'z]; die in der Eichtung von m gegen m' hin aufgefasste ; Distanz = tionen von Es dieser Punkte, so in ist Bezug auf die ist es sehr leicht, die Axen Ox, = Parallelprojec- Parallelcomponenten Oy, Oz, zu bestimmen nämlich = Op\ — Op = x — seeundäre =p p' = Ojh — Op =y — o=p p' = Op' — Op = z'—z Man sieht wohl dass eine parallele Verschiebung des Fahrstrahls = mm die primäre „ „ tertiäre Componente von ö=jp j)' „ „ „ „ o 1 x, 2 y, s (1^) im Eaume ö ein, zwar eine Änderung der Lage von m und m', hiemit auch eine entsprechende Änderung der Coordinaten xyz und x'y'z' bewirken wird dass aber diese Verschiebung auf die Längen von o und seiner Componenten p x p\, P2P21 PsPs g ar keinen Einfluss auszuüben vermag Gelangt in Folge einer parallelen Verschiebung der Punkt m in den Ursprung 0, der ; Punkt m Lage m" mit den Coordinaten x'y'z" und den entsprechenden Axenpunkten müssen wir dem Vorhergehenden gemäss folgende Gleichungen einräumen: in die p'i,p'2,p's, so x"= Op'[ =p p = (x — x) = hkx y"= Opl=p p ={y'-y)=lky s" = 0p = p p' = (z —z)= lk sobald man Man 1 2 s die schiefen Cosinuszahlen für die (11) a Eichtung Om"//mm mit kx ky k bezeichnet , , z erhält auch: ±zi = Yr^ = £izf = KX Denkschriften der mathem.-naturw C) XXVI Bd Abhandl von Ky (12) 8; Kg Nichtmitgliedern i : Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Lorenz Zmurko 6G Die schiefen Cosinuszahlen stellen demgemäss die Parallelcomponenten der tung Om"//mm' abgeschnittenen Einheitslänge Wenn man mittelst einer beliebigen Messeinheit die Zahlen kx1 in der Rich- k z durch Längen darstellt, auf den Axen Ox, Oy, Oz die entsprechenden 'Segmente abschneidet, und nach (6) a), b) c) den zugehörigen Punkt P bestimmt, so erhält man die Richtung des Fahrstrahles OP//mm' In diesem Sinne wollen wir die Cosinuse kx , Jc kz von nun an Einheitscomnonenten , y k,„ = Richtungsfactoren = Richtungscoefficienten nennen Richtungscomponenten = In vollkommen übereinstimmender Weise vorgehend, erhalten wir bezüglich der zweiten Gattung von Coordinaten der Punkte m und m' folgende Gleichungen ^-jL = ^-y_ = z-^_^ l (13) COS X COS COS JX V • sobald man annimmt, Axen Ox, Oy, Oz dass die Linie Om"//mm' mit den die Winkel X, fx, v einschliesst Ein vom Ursprünge ausgehender Strahl L sei in Bezug auf seine Richtung durch (X[xv) oder (kjcjcg ) gegeben; ein in L liegender Punkt m habe zu Coordinaten (xyz) oder (xyz) In der Ebene E, welche durch m geht und auf dem Strahle L senkrecht steht, denken wir uns einen Punkt welches m beim mit den Coordinaten (x'y'z) oder {xyz) y ist, k z ) bestimmt Aus dem Dreieck Omm' man erhält einerseits: Om= Om' cos (LL') /-|^\ Om = r Anderseits karrn die Seite welches im Sinne (6) a) auf die Schlussseite Q5\ Omm', und die Seiten Om=r, Om'=r', mm'—h besitzt Die den enthaltende Gerade 11 sei in Bezug auf ihre Richtung durch (X'|xV) oder rechtwinkelig Strahl Om' in sich (k'x k' so erhalten wir ein Dreieck , aus den Seiten Om = r, so erhält (14) aufgebaut [x'y'z'br] und -f y' i hiemit nQ\ (LL) cos Auch r — cos X -\- y' cos x' cos p, -f cos ix -| Für zwei Strahlen L' und cos r > k'x cos X Fällt der Strahl daher aus (19): L +k y cos L würde man wie =k hiemit /i q\ +y cos X cos in die fx x cos X +k |x y + die Seiten x'y'z'b Axe Ox, so hat fx -f z cos v -f 6" cos 4« — cos v cos v fx -f- cos v *' cos v ' k'g = r in (16) finden: fx' + cos X' cos + k' cos v = k z z' r cos X -f kl cos x' (LL) man i i — -|- < k'x = ist: q y\ Projicirt ist man: (15) hat = x cos X cos (LL) = — cos X ' Fünfeckes angesehen werden, man: / cos (LL) \ cos (LL') als Schlussseite eines r=x' cos (xL) +y' cos (yL) + z' cos (zL) -\- cos (o>) Aus der Vergleichung von =r oder r x kz cos -f man X'= v', ky cos fx' -f k z cos v\ 0, |x'= T , v '=j3, k'x =l, k'v =k' = 0, z — : : Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Über die Flächen zweiter Ordnung =k k =k + & =k & cos \ eben so Aus (20) findet man cos [x cos v Ist in (18) -£||£', so erhält man &* cos y cos ß -(- ^ cos a a cos x z -f- x = y == sin ß coc sin cc cos X ß, — G cos — cos — cos G cos —5 cos —A cos J [x v J5 fx v / "k-\-ky cos |x -|- &., v v X X jx man: kx cos erhält -f~ y jf Ä>8 == sin y cos , J Dasselbe gilt auch in + TilU C !>J J Bezug auf die gefasst wird, so erhält es ist aber nach (24) und (23) ; M[x] daher auch ([x})=Mx; [(x)] - = i/x hiemit schliesslich (29) ([«}) ersichtlich ist, Wenn die erste Gleichung [ W i = Mx, = Mx, , dass beide Klammerfassungen auf einen successive und in beliebiger Ordnung angebracht und M multiplicirt xyz, G= diesen Buchstaben mit Summe von -L-J- runde Klammerfassung {x)=Mx Sei ' man: mern (30) L*iJ runde; dann die erste Gleichung in (24) beiderseits in eckige Klam- in (23) beiderseits in woraus ^3 [aßy, effectuirt, und denselben Buchstaben dasselbe leisten, als wenn man hätte ] + [ßya, yzx ] -+- [yap, zxy ] Weise gebauten Gliedern, von denen jedes nachfolgende aus dem vorhergehenden gebildet wird, wenn man die darin einbegriffenen Gruppen von je drei eine drei auf ähnliche — z — ; : Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Über die Flächen zweiter Ordnung Elementen einem einfachen 69 etc Permutationsgesetze unterwirft Der kürzeren in (30) ersichtlichen Schreibweise wegen wollen wir künftighin von solchen drei Gliedern blos eines hinschreiben, +& zwei hingegen durch das Symbol die übrigen Demgemäss Den eben ist aus (30) G = [afa, ersetzen xyz + & .] erklärten Klammerfassungen, und der (31) Deutung des Symbols & gemäss, können wir die in (18), (22) und (26) angeführten Resultate folgendermassen hinsehreiben: + & = k' cos l -f & = kx [k'x + & = k' [k + & (cos cos A'-f-& (cosX') cos l-{-& = cos (LL)=—- cos =k (LH) x cos X x =— X) = \kjc cos x -f- a.(k k'z -f y Nimmt man k'JcA -f &= {cos X cos • A(cos sin a X' [ man L//L', so braucht x] x ] fx cos v' + cos nur die Striche bei in (32) r ja' X, ja, v (32) cos v) + &] M wegzulassen, um folgende Relationen zu erhalten: a+ & = kx cos cos X (cos ;i)-4-& Si~ Hk'hr& = r7 „ t „ ,„„* x» ( eben so ferner r = {[cos «]+& £ä£ 4-2^,4 cos 2 A sin o— 24 cos cos ja + &} v] M= : 33 ) 1, ist: = x +y cos a.z/s]-|-& == cos a.y«-|-2 cos $.zx-{-2 cos y,a^ = x[V}-|-& = [x = [± sin a + f sin ß + z sin -?— Ayz~2Bzx—2Cxy] if == [x{x) + &] = = [(x sin a—2Ayz) + &] M; 2 -{- 2 -\- 2 -\-2 2 : : (34) ilf 2 : für* man zwei Punkte [x^Sj]; [x 2y2 z ] hat &, = [x —zj hiemit nach (33) o : ; zur Bestimmung der Richtung ihrer Distanzlinie = [y — ky — ^[3— & — ^ ^^ [(x2 hieraus mit Rücksicht auf (29) S2 o Eben _ — {Xi—x^Xi so erhält man ö' und 3o' für die I -r- rr* /y» i //y» U ' oc o : /-y» — = — = kz ; |> s bj] : 8, —^ 'T* ' ' (35) VJ ffr }-