Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 27-2-0063-0082

Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 63 BEITRAG ZUE IM THEORIE DES CRÖSSTEN KLEINSTEN DER FINCTIONEN MEHRERER VARIABLEN NEBST EINIGEN ERÖRTERUNGEN ÜBER DIE COMBINATORISCHE DETERMINANTE Lorenz Zmurko, K K PKOFKSSOR TEK MATHEMATIK AN DKR TECHNISCHEN ANSTALT VORGELEGT IN UN LEUBERG, TllAllUEM UITOLIEDF, DER OALIZISCHEN LANDWIRTHSCHAFTS-GESELLSCHAFT DER SITZUNG DER MATHEMATISCHNATUR'WISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM Đ 15 MRZ 1S66 Theorie des Grössten und Kleinsten Eine Function erreicht für solche Werthe ihrer Grundvariablen einen Maximal- oder M inimal werth, für welche der zugehörige Functionswerth — Nachbarwerthe übertrifft im zweiten Nachbarwerthen übertroffen wird im nächsten seinen nächsten ersten Falle alle seine Falle hingegen von allen Die hieher gehörigen Betrachtungen mögen zunächst blos den primären (reellen) Werthen sowohl der Function Es seien nun selbst, als XiCC., cCj auch ihrer Grundvariablen gelten .x„ solche Werthe der Grundvariablen, welche u=f{x,x.,x, zu einem Maximum oder Minimum machen; ^, x„,) (1) ferner seien: = ra,, = ra^, = ra^, i, die Function: i, i„ = ra„ (2) gehörig kleine primäre, sonst aber beliebige positive oder negative Zusätze, so erhalten wir die Darstellung aller Nachbarwerthe der Function u im folgenden Ausdruck: u=f{x,-irra^,x^ + ra.,, x„ + ra„) (3) : : Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Lorenz Zimirko C4 Da wir zur Darstellung aller möglichen Naclibarwerthe blos einander unabhängiger Zusätze $0 .S„, benöthigen, so steht es uns gehörig kleiner unter frei unter den (m+l) Grưssen Zwecke der Discussion mưo-lichst ß,„ fưrdernde Eelation zu etabliren, und etwa die Einrichtung derart zu veranstalten, dass man r a^ a a^ (4) ?i m eine beliebige, somit auch eine die bei einem sehr kleinen r die Grössen a^ cu .«,„ endlieh belässt, und nebstbei zur Erfüllung einer geeigneten Eelation verwendet Der eben gegebenen Erklärung gemäss muss unabhängig von S speciellen Werthen der mit bezeichneten Zusätze im Zustande des Maximums A^ u — u-"«: (14) mit der einzigen Bedingung: (oCi ! a"' erst a° A.,„ dx' dj.\^ + a, + a3+ +a„,^2?^) in Bezug auf beliebige Werthe von a die Stabilität seines Vorzeichens beurkundet oder nicht n^l hervorgeht, und nur dann Gegenstand der welcher aus (14) für Untersuchung sein kann, wenn er nicht unabhängig von den a-Werthen verschwindet, hat Herr Professor Dr Joseph Petzval erschöpfend behandelt, und gelangte mittelst einer zweck- Den Ausdruck A.,^ mässigen Ausübung des in in Aussicht gestellten Anrechtes zu einfachen (4) geprägten Kriterien [siehe weiter entscheiden Den welche über die (48)], Grundpfeiler dieser über A Stabilität und präcis aus- oder NichtStabilität von A^ angestellten Untersuchung bildet nämlich die Aufstellungo der Relation: = ^^_^„^^„^+ +«^^ (15) welche der Beliebigkeit der mit in ^ l, bezeichneten Zusätze unbeschadet durch die Werthe von a Erfüllung zu gehen hat In der Erwartung eines ebenfalls günstigen Erfolges habe ich bei der Untersuchung des Vorzeichens von A.>,^ folgende der (15) analoge Relation: (16) (^^cc:'-;-a:^-ir .^cr::=^l zu Grunde gelegt, und hiedurch die Werthe von a in der Art eingeschränkt, dass die einzelnen a-Werthe blos innerhalb der positiven und der negativen Einheit variiren dürfen Setzt man in (14) ô^ ^ ^ = ô^ "3 zeichen die numerischen Werthe der in ^ ôằ = A.,,^ 2n ""'^ summirt ohne Rücksicht auf die Vor- spielenden Coefficienten von der Form: d-"u ! a Ja, !«,! djK'dx: so erhält man einen endlichen Zahlenwerth — und = 8, welcher ganz gewiss den jeweiligen numeri- kann behauptet werden, dass der Werth von 4.,,, für alle möglichen Annahmen der der Bedingung (16) genügenden primären Werthsysteme von Ä bis -\- S variiren kann, und hiemit ct,„ nur innerhalb der endlichen Grenzen von a^a.^a.i schen Werth von A.,^ übertrifft, es — nothwendifi-er Weise mindestens Einen endlichen Mini mal werth Maximal- und Einen endlichen aufweisen muss Hierauf fussend notiren wir folgende den Ausdruck ^„„ betreffenden Schlussfolgerungen: a) Gibt es Werthsysteme von aia.,a^ .«,„, welche ein positives A.,„ liefern, so gibt es auch ^ ) ganz gewiss solche, welche einen positiven Maximalwerth veranlassen L) Gibt es Werthsysteme, von a,a., .«,„, welche ein negatives A„ gewiss auch solche, welche einen negativen Miiiimalwerth von A.,„ liefern, so gibt es veranlassen ganz Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc 67 kein c) Ist Maximum noch Minimum von und beurkundet hiemit die den Maximalzustand von u positiv, so Stabilität des negativen fähig, d) Ist kein A,^,^ Maximum noch Minimum von Vorzeichens von A, und schliesslich negativ, so 4.,,, positiver Wertlie nicht ist ^,,„ ist A.,^ negativer Werthe nicht fähig, und beurkundet hiemit die Stabilität des positiven Vorzeichens von A, den Minimalzustand von e) Ist diessfällig überhaupt und schliesslich u auch negativer Werthe fähig, so befindet sich die Function u weder im Zustande des Älaximums noch dem des Minimums A.,„ sowohl positiver als Demzufolge läuft unsere Untersuchung darauf hinaus, das Vorzeichen blos von denjenigen Werthen von A.,,^ zu erforschen, welche in Bezug auf die primären Werthsysteme von «j a., .a^ den Vorbedingungen wie (8) des Maximal- oder Minimalzustandes von A,,^ entsprechen, und gleichzeitig der Relation (16) genügen Zu diesem Behufe müssen die Werthe von seien bi ba bs a^ a.^ .a„ vor dA-,,, b„ die unendlich kleinen Zusätze zu a^ Allem dAo,, , ^ ^b,-f-^b,+ und ausserdem wegen (16) noch +b für sehr kleine Zusätze bi b, Zieht man o, .a„,, so dA.,n .+—^b,„ = o (18) die Gleichungen: ar+af+ôr+ +ô::= (ô a., die Gleichung: J-'" + (a, + b,) "" (19) + + (a„, Ky"= -I- b„ erfüllen Gleichung von der zweiten in (19) die erste ab, so erhält man nach Weglassung der höheren Potenzen der kleinen Zusätze b: 2naf-'i), + 2;^a;r-'b„, = (20) Gleichung (20) mit einem erst später näher zu bestimmenden Factor und subtrahirt selbe dann von der Gleichung (18), so erhält man: Multiplicirt i-, man + 2»«^— b, + die [^-2.M«r-')b,+[^-2«Wr-]b,+ +[^-2. (23) die zur Bestimmung der s-Werthe dienende Gleichung, welche bereits im § sub (47) besprochen wurde Über die Functions-Determinante Denken wir uns aus dem Tableau (1) ein anderes dadurch abgeleitet, dass man ganz allgemein setzt: - [r6)-[Ka^) (24) wo a und X ^^^_^ , gegebene Functionen von x vorstellen Hiedurch erhält man folgendes Tableau (Xa,), (^a,) < | andeuten Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 81 Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Fanction''n etc Füi" {ji^-2) erhält man {la,){la,r r aus (25) mit Ilücksicht auf die entsprechendt! Deteniiinauto = )m, — ila.;)''^ {Xr,,)(>) {\a,) = \a, (ka.) durch "Weglassung der we""' Verticalreihe und der Determinante für beliebiges r dem Fall n=:.m — r"^" an, Horizontalreihe entsteht, so gehört diese und mau hat (h^r Hypothese (29) gemäss ym~\ (31) (Ij (>•) Setzt man Kürze G = Xf"'-''a, "; halber: h("'70 X