đề tài nghiên cứu hàm điều hòa

1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Hàm khả vi phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Điều kiện Cauchy Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Khai triển chuỗi lũy thừa các hàm chỉnh hình . . . . . 12 1.4 Tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Định lý tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1 Hàm điều hòa và hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Tích phân Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.3 Điều hòa dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Hàm điều hòa dưới và một số tính chất 32 2.1 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Hàm nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 2.1.2 Hàm điều hòa dưới và các tính chất cơ bản . . . . . . . 36 2.1.3 Tính khả tích của hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . 40 2.1.4 Một số định lý hữu ích về hàm điều hòa dưới . . . . . 43 2.2 Thế vị và toán tử Laplace tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Thế vị logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Tập cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.3 Độ đo cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Phương trình Laplace và Pisson tổng quát . . . . . . . . . . . 49 2.4 Phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Một số bài toán ban đầu đối với hàm điều hòa dưới trên C 60 3.1 Bài toán Dirichlet và độ đo điều hoà . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Hàm Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.3 Độ đo điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Dung lượng và đường kính siêu hạn . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, TS.Vũ Việt Hùng, người thầy đáng kính định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình chúng tơi, giúp đỡ tài liệu nghiên cứu động viên chúng tơi có nghị lực hồn thành đề tài này! Trong q trình làm đề tài, chúng tơi nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt thầy Bộ mơn Giải tích, Phòng KHCN & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên Lớp K56 ĐHSP Tốn Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên q thầy cơ, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành đề tài Nhân dịp chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ q báu nói Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Sinh viên thực đề tài Tênh Ly Vang Sua Xênh Vừ A Giông Bùi Thị Châu Nguyễn Hải Yến Nguyễn Thị Thùy Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm khả vi phức 1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann 1.3 Hàm chỉnh hình biến 11 1.3.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 11 1.3.2 Khai triển chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình 12 Tích phân Cauchy 14 1.4.1 Tích phân phức 14 1.4.2 Định lý tích phân Cauchy 15 1.5 Hàm nửa liên tục 16 1.6 Hàm điều hòa 18 1.6.1 Hàm điều hòa hàm chỉnh hình 18 1.6.2 Tích phân Poisson 25 1.6.3 Điều hòa dương 28 1.4 Hàm điều hòa số tính chất 2.1 32 Hàm điều hòa 32 2.1.1 33 Hàm nửa liên tục 2.1.2 Hàm điều hòa tính chất 36 2.1.3 Tính khả tích hàm điều hòa 40 2.1.4 Một số định lý hữu ích hàm điều hòa 43 Thế vị toán tử Laplace tổng quát 43 2.2.1 Thế vị logarit 43 2.2.2 Tập cực 46 2.2.3 Độ đo cân 48 2.3 Phương trình Laplace Pisson tổng quát 49 2.4 Phương trình Poisson 55 Một số tốn ban đầu hàm điều hòa C 60 2.2 3.1 3.2 Bài toán Dirichlet độ đo điều hoà 60 3.1.1 Bài toán Dirichlet 60 3.1.2 Hàm Perron 61 3.1.3 Độ đo điều hòa 65 Dung lượng đường kính siêu hạn 68 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích phức ngành cổ điển Toán học bắt nguồn từ khoảng kỉ XIX chí trước Giải tích phức đặc biệt lý thuyết ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng khí Nó sử dụng lý thuyết số giải tích Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức Fractal Một nhánh quan trọng khác giải tích phức lý thuyết vị đa vị Đây nhánh phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước, chẳng hạn Định lý Josefson tương đương tính đa cực địa phương đa cực tồn thể tập Cn Trong năm sau đó, số tác giả tiếp tục trình bày hướng nghiên cứu khác lý thuyết giải toán Dirichlet, thiết lập hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng với hội tụ theo dung lượng, nghiên cứu toán xấp xỉ hàm đa điều hồ Có thể nói, đóng vai đối tượng chủ yếu vấn đề nghiên cứu nói lớp hàm điều hồ, điều hồ nói riêng đa điều hòa nói chung Vì nghiên cứu hàm điều hồ, đa điều hồ để có nhìn ban dầu lớp hàm này, từ tổng hợp lại số kiến thức Hàm biến phức, đồng thời mong muốn tìm hiểu mơn Hàm biến phức ứng dụng đẹp mơn phát triển tốn học nói chung lý thuyết hàm biến phức nói riêng Tại Trường ĐH Tây Bắc, nghiên cứu lớp hàm điều hòa chưa nghiên cứu cách nhiều có tính hệ thống, điều gây khó khăn cho sinh viên tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Ta tìm thấy Thư viện Trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu giới thiệu mục nhỏ thơng qua Cơ sở lí thuyết Đa vị[1], Phương trình đạo hàm riêng[2], Hàm biến phức [3], Giải tích phức phần II hàm nhiều biến[4] The complex Monge-Ampere operatro in pluripotential theory, Lecture notes, unpublish [5] Hơn nữa, tài liệu tiếng Việt viết nghiên cứu hàm điều hòa nói chung Để tìm hiểu khơng phải lúc dễ dàng gây nhiều chở ngại cho bạn sinh viên, bạn sinh viên học Toán Lý Như nói việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến hàm điều hoà, đa điều hoà Cn nói chung C nói riêng giúp cho sinh viên có hiểu biết sâu sắc thêm định hướng, làm quen dần với nội dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho nghiên cứu vấn đề Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài: “Nghiên cứu số tính chất lớp hàm điều hòa C” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận nhằm tìm hiểu hiệu hàm điều hòa C Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu làm sáng tỏ số tính chất hàm điều hồ điều hoà - Nghiên cứu số ứng dụng ban đầu hàm điều hoà - Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tính chất hàm điều hòa C Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu trình bày khái niệm, tính chất hàm điều hòa C 5 Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày seminar với tổ môn, giáo viên hướng dẫn nhóm làm đề tài Từ tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua thực kế hoạch hồn thành đề tài Tính hướng phát triển đề tài 6.1 Tính mẻ đề tài Đây vấn đề thân giải tích phức Đồng thời vấn đề chưa tiếp cận nhiều bạn sinh viên ĐHSP Toán Nhà trường 6.2 Hướng phát triển đề tài Tiếp tục nghiên cứu sâu hàm điều hòa C nói riêng Cn nói chung Những đóng góp đề tài Đề tài tổng hợp nghiên cứu đầy đủ tính chất hàm điều hòa C Cấu trúc đề tài Với mục đích đề tài chia thành chương với nội dung sau đây: Chương 1: Trình bày số kiến thức hàm biến phức C nhằm trang bị kiến thức để thực nhiệm vụ nghiên cứu nội dung đề tài Chương 2: Nghiên cứu trình bày định nghĩa tính chất hàm điều hòa điều hòa C Chương 3: Nghiên cứu số ứng dụng hàm đa điều hòa điều hòa lý thuyết vị C Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày vấn đề hàm chỉnh hình biến, tích phân Cauchy, hàm nửa liên tục hàm điều hòa C 1.1 Hàm khả vi phức Định nghĩa 1.1.1 Cho D tập mở khác rỗng C Hàm f : D → C gọi khả vi phức (C - khả vi) điểm z0 ∈ D tồn giới hạn f (z) − f (z0 ) z → z0 z − z0 Đặt h = z − z0 , f (z0 + h) − f (z0 ) h→0 h f (z0 ) = lim Giới hạn gọi đạo hàm phức hàm f điểm z0 ký hiệu df (z0 ) dz f (z0 ) Ví dụ 1.1.2 a) Xét hàm f (z) = z có đạo hàm f (z) = 2z điểm ∀z ∈ C Thật lấy z ∈ C ta có: f (z + h) − f (z) (z + h)2 − z = lim = 2z h→0 h→0 h h f (z) = lim b) Xét hàm f (z) = z.z, ta thấy f (z0 + h) − f (z0 ) (z0 + h)(z0 + h) − (z0 z ) = h h z0 h + z h + h.h = h h = z0 + z + h h Tại z0 = ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = h→0 h lim Giả sử z0 = 0, lim (z + h) = z z0 h→0 h khơng có giới hạn h → nên h hàm f khả vi z0 = c) Xét hàm f (z) = z = x − iy Cho z số gia tương ứng h = h1 + ih2 , f (z + h) − f (z) (z + h) − z h = = h h h Trường hợp : Cho h ∈ R ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = h→0 h lim Trường hợp : Cho h = ih2 với h2 ∈ R ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = −1 h→0 h lim Do hàm f khơng có đạo hàm điểm z ∈ C 1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy ∈ D với D tập mở khác rỗng C Hàm f gọi R2 - khả vi z hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) theo nghĩa giải tích thực (tồn đạo hàm riêng liên tục) Định lý 1.2.1 Hàm f gọi C - khả vi z = x + iy ∈ D f hàm R2 - khả vi điểm z thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann (x, y):  ∂v ∂u    (x, y) = (x, y) ∂x ∂y    ∂u (x, y) = − ∂v (x, y) ∂y ∂x f (z + h) − f (z) = h→0 h Chứng minh Giả sử f khả vi phức z Khi ta có: lim f (z) Giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách tiến đến h = h1 + ih2 nên chọn h = h1 ta có: u(x + h1 , y) + iv(x + h1 , y) − u(x, y) − iv(x, y) h→0 h v(x + h1 , y) − v(x, y) u(x + h1 , y) − u(x, y) + i lim = lim h→0 h→0 h h f (z) = lim Khi u, v có đạo hàm riêng theo x f (z) = ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x (1.1) ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) ∂y ∂y So sánh hai biểu thức ta điều phải chứng minh Tương tự chọn h = ih2 ta có: f (z) = − Ví dụ 1.2.2 a) Cho hàm f (z) = x4 y + ix3 y với z = x + iy hàm khả vi thực C ∂v ∂u Ta thấy (x, y) = x4 y (x, y) = x3 y ∂x ∂y Theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có:    4x3 y = 4x3 y   3x4 y = −3x2 y Điều tương đương với: 3x2 y (x2 + y ) = hay xy = Do điểm mà f khả vi phức điểm nằm trục tọa độ b) Hàm f (z) := ex cos y + iex sin y với z = x + iy Làm tương tự ví dụ ta thấy f (z) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann với điểm C nên f khả vi phức C Nhận xét 1.2.3 1) Không phải tất hàm khả vi thực u(x, y) phần thực hàm khả vi phức Điều kiện Cauchy-Riemann đưa điều kiện cần cho hàm u để điều xảy 2) Giả sử f = u + iv hàm R-khả vi z ∈ D ⊂ C ∂f ∂f dx + dy Xét vi phân: df = ∂x ∂y Vì dz = dx + idy dz = dx − idy nên: dx = (dz + dz) dy = (dz − dz) 2i Thay vào đẳng thức vi phân ta được: ∂f ∂f df = dz −i ∂x ∂y ∂f ∂f + dz +i ∂x ∂y Ta định nghĩa vi phân phức: ∂f ∂f ∂f = −i ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y (1.2) df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z Bởi ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y = ∂u ∂v −i ∂x ∂y +i ∂v ∂v −i ∂x ∂y nên f = u + iv thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann z ∂f (z) = ∂z Hay nói cách khác hàm R2 -khả vi z hàm C-khả vi ∂f (z) = ∂z 3) Từ điều kiện Cauchy-Riemann biểu thức (1.2), f C-khả vi z 10 Tiếp theo ta định nghĩa tích phân Poisson p∆ φ(z) = 2π 2π p2 − |z − ω|2 φ(ω + peiθ )dθ(z ∈ ∆), iθ |z − ω − pe | với ∆ = ∆(ω, p) hàm liên tục φ Hiển nhiên φ khả tích tích phân có nghĩa hàm điều hoà ∆ (bởi phần thực hàm chỉnh hình) Đặc biệt, u điều hồ lân cận ∆ khơng đồng −∞ u(ω + peit ) khả tích p∆ u điều hồ ∆ Bổ đề 3.1.3 (Poisson) Cho D miền bị chặn C ∆ đĩa mở tâm điểm D cho ∆ ⊂ D Giả sử u điều hoà D với u = inf ty Xác định hàm u=    p∆ u ∆;   u D \ ∆ Khi u điều hồ D, điều hoà ∆ u u D Chứng minh Vì p∆ u điều hồ ∆ bất đẳng thức tích phân Poisson từ Định lý 2.1.15 ta có u p∆ u u u D Bởi u nửa liên tục trên, theo Định lý 2.1.7, ta tìm hàm liên tục ψn cho ψn → u ∆ n → ∞ Khi với ς ∈ ∂∆ ta có lim sup p∆ u(z) z→ζ lim sup p∆ ψn (z) = ψn (ς) z→ζ Cho n → ∞, ta lim sup p∆ u(z) ψn (ς) z→ζ Sử dụng Định lý dán với v = p∆ u, ta u điều hồ Bây chứng minh tính chất quan trọng sau hàm Perron 62 Định lý 3.1.4 Cho D miền bị chặn C φ : ∂D → R hàm bị chặn Khi hàm Perron HD φ điều hồ D sup |HD φ| sup φ D D Chứng minh Bất đẳng thức cần chứng minh dễ thấy Ta chứng minh khẳng định lại Giả sử M = sup |φ| U tập hàm siêu điều hoà D cho D lim sup u(z) φ(ς), ς ∈ ∂D z→ς Nếu u ∈ U lim sup u(z) M, z→ς theo Nguyên lý cực đại u M D, HD φ hàm số thuộc U nên −M M Mặt khác, M HD φ Do sup |HD φ| M D Ta chứng tỏ HD φ điều hồ Từ tính chất địa phương, ta cần chứng tỏ HD φ điều hoà địa mở ∆ với ∆ ⊂ D Cố định ∆ Lấy ω0 ∈ ∆ Theo định nghĩa HD φ, tồn dãy hàm (un ) U cho un (ω0 ) → HD φ(ω0 ) Thay un max(u1 , , un ), ta giả sử un không giảm hiển nhiên fn = max(u1 , , un ) ∈ U , fn (ω) với ω ∈ D Mặt khác, fn (ω0 ) HD φ un (ω0 ) → HD φ(ω0 ) Do fn (ω0 ) → HD φ(ω0 ) Bây áp dụng Bổ đề Poisson 3.1.3 vào hàm un ta dãy không giảm un , (hạch Poisson dương, p∆ un không giảm) Lấy u = lim un Khi n→∞ i) Ta có u HD φ D Thật vậy, un điều hoà D Bởi un = un đủ gần với biên D un ∈ U, un HD φ giới hạn ii) Ta có u(ω0 ) = HD φ(ω0 ) Thực vậy, theo Bổ đề Poisson 3.1.3 un (ω0 ) un (ω0 ) Bởi un (ω0 ) → HD φ(ω0 ), có u(ω0 ) i) ta có u(ω0 ) HD φ(ω0 ) 63 HD φ(ω0 ) Từ theo iii) Ta có u điều hồ ∆ u khơng giảm un điều hoà ∆ (theo Định lý Harnack) Bây chứng minh = HD φ ∆ Vì mục đích này, cố định ω điểm tuỳ ý chọn ∈ U cho (ω) → HD φ(ω) Thay max(u1 , , un , v1 , , ), ta giả sử khơng giảm un Lấy v hàm xác định Bổ đề Poisson 3.1.3 tương ứng với Khi trước ta có i) v HD φ D ii) v(ω) = HD φ(ω) iii) v điều hồ ∆ Theo (i) v(ω0 ) HD φ(ω0 ) = u(ω0 ) Mặt khác, v n un với n nên u Do hàm u − v điều hòa ∆, đạt giá trị cực đại ω0 , v điều có nghĩa theo Nguyên lý cực đại v = u ∆ Tiếp tục theo ii), v(ω) = HD φ(ω), u(ω) = HD φ(ω) Do ω tuỳ ý, u = HD φ ∆ u điều hoà ∆ nên HD φ Hàm Perron đóng vai trò quan trọng Bài toán Dirichlet tho nghĩa sau Nếu toán Dirichlet có nghiệm hàm Perron Thật vậy, h điều hoà lim h(z) = φ(ζ) ∂D với h ∈ U Do h z→ζ Mặt khác u ∈ U lim sup(u − h)(z) HD φ với ζ ∈ ∂D theo z→ζ Nguyên lý cực đại u h D ta suy HD φ h, HD φ = h Tuy nhiên, việc tồn nghiệm khơng phải điều tất nhiên thấy ví dụ chứng tỏ sau Xét Bài tốn Dirichlet D = (0, 1)\0 hàm φ cho φ(ζ) = với |ζ| = ζ(0) = −1 Nếu h ∈ U Nguyên lý cực đại h Cho D, HD (φ) Lưu ý ln |z| ∈ U với ∀ > → có HD φ = 0, hiển nhiên khơng nghiệm Bài tốn Dirichlet Định nghĩa 3.1.5 Cho D miền bị chặn C Điểm ζ ∈ ∂D gọi 64 quy lim sup HD φ(z) = φ(ζ) z→ζ với hàm liên tục φ : ∂D → R Miền có biên chứa điểm quy gọi miền quy (vì nghiệm Bài tốn Dirichlet tồn với điều kiện hàm liên tục biên) Lớp miền quy thực tế rộng Sau chúng tơi trình bày (có thể xem chứng minh [6]) kết quan trọng sau Trước hết, gọi miền đơn liên bị chặn hữa hạn đường biên đường cong đơn đóng kín gọi miền Jordan Định lý 3.1.6 Mọi miền Jordan Tổng quát ta có Định lý 3.1.7 Nếu D miền đơn liên cho C∞ \D chứa hai điểm D miền quy Ở C∞ mặt Riemann Định lý 3.1.8 Cho D miền C∞ , ζ0 ∈ ∂D C phần bù ∂D chứa ζ0 Nếu C = {ζ0 } ζ0 quy Tập hợp điểm kì dị tập cực Kết biết đến Định lý Kellogg (xem [6]) 3.1.3 Độ đo điều hòa Lý thuyết hàm Perron lý thuyết tốt khơng đưa cơng thức rõ ràng cho lời giải Bài toán Drichlet Bây giờ, tiếp cận vấn đề theo phương pháp khác dựa vào tích phân Poisson ánh xạ bảo giác Định nghĩa 3.1.9 (Đo lường điều hòa) Cho D miền thực C với biên quy (và Bài tốn Dirichlet có nghiệm) lấy 65 B(∂D) σ-đại số Borel ∂D Một độ đo điều hòa D hàm ωD : D × ∂D → [0, 1], cho với z ∈ D, ωD (z, )˙ độ đo xác suất B(∂D) thỏa mãn φ : ∂D → R hàm liên tục bị chặn biên D hàm Perron HD φ (tức nghiệm Bài toán Diritchlet với điều kiện biên φ) tích phân Poisson tổng quát HD φ(z) = φ(ζ)dωD (z, ζ) ∂D Ta thấy (chẳng hạn xem [6]), D miền thực C có biên quy tồn suy độ đo điều hòa cho D Cho ∆ đĩa đơn vị ∆(0, 1) φ(eit ) liên tục Khi theo Định lý tích phân Poisson hàm 2π h(z) = 2π φ(eit) − |z|2 dt |eit − z|2 hàm điều hòa ∆ lim h(z) = φ(ζ) với |ζ| = 1, chúng z→ζ nghiệm Bài tốn Dirichlet liên kết Nói cách khác, h = h∆ φ Do đó, cách kiểm tra trực tiếp ta có dω∆ (z, ζ) = 1 − |z|2 dt 2π |eit − z|2 độ đo điều hòa địa đơn vị Chúng ta nhớ lại miền D gọi Jordan miền đơn liên bị chặn hữu hạn đường cong trơn cho ∂D đường cong đơn đóng Mọi miền Jordan quy, độ đo điều hòa Điều lưu ý độ đo điều hòa cho miền Jordan tìm cách sử dụng ánh xạ bảo giác f : D → ∆ tích phân Poisson Kết sau cho ta kĩ thuật đánh giá cần thiết Định lý 3.1.10 (Định lí Caratheodory) Cho D miền Jordan f : ∆ → D ánh bảo giác từ đĩa đơn vị ∆ vào D Khi f có mở rộng liên tục đến biên ∆ mở rộng một-một từ ∆ vào D 66 Sự tồn ánh xạ bảo giác từ ∆ vào D đảm bảo Định lí ánh xạ Riemann Phần mở rộng liên tục tới biên hữu dụng, bối cảnh Bài toán Dirichlet Định lý 3.1.11 Cho f miền Jordan φ : ∂D → R liên tục bị chặn, f ánh xạ bảo giác từ D vào ∆ thu từ mở rộng Định lí Caratheodory Khi hàm g(z) = h(f (z)) với 2π h(ω) = 2π φ(f −1 (eit )) − |ω|2 dt |eit − ω|2 nghiệm Bài toán Dirichlet D với điều kiện biên φ Chứng minh Hàm φ(f −1 (eit )) liên tục, nên theo Định lý tích phân Poisson h điều hòa ∆ h(eit ) = φ(f −1 (eit )) Ngược lại, h(f (z)) = φ(z) với z ∈ ∂D Vì vậy, ta phải chứng minh g(z) = h(f (z)) điều hòa D Thật vậy, ∆ đơn liên nên tồn hàm chỉnh hình F ∆ cho h = Re F g = h ◦ f = Re F ◦ f Rõ ràng F ◦ f hàm chỉnh hình nên phần thực điều hòa Vậy g điều hòa Định lý có hệ trực tiếp để xác định độ đo điều hòa cho miền Jordan Định lý 3.1.12 (Ánh xạ bảo giác bất biến cho độ đo điều hòa) Cho D miền Jordan f ánh xạ bảo giác từ D vào đĩa đơn vị ∆ thu từ việc mở rộng theo Định lý Caratheodory B tập đo Borel ∂D Khi − |f (z)|2 dt |eit − f (z)|2 2π ωD (z, B) = ω∆ (f (z), f (D)) = f (B) Ví dụ 3.1.13 Cho D nửa mặt phẳng phức f (z) = 67 z−i z+i Khi f ánh xạ bảo giác từ D vào ∆ Bởi bất biến bảo giác ta có − |f (z)|2 ds |f (s)| = |f (s) − f (z)|2 2π ωD (z, B) = ω∆ (f (z), f (B)) = B Im z ds |z − s|2 π B Với z = x + iy ta ds y (x − s)2 + y π ωD (x + iy, B) = B Đây Nhân Poisson cho nửa mặt phẳng phức 3.2 Dung lượng đường kính siêu hạn Trước hết, để thuận tiện, chúng tơi nhắc khái niệm độ đo cân sau Với độ đo Borel hữu hạn µ với giá compact, ta gọi lượng I(µ) I(µ) = ln |z − ω|dµ(z)dµ(ω) Chúng ta chứng minh rằng: Nếu E tập compact có độ đo Borel xác suất µE cho I(µE ) I(µ), với độ đo Borel xác suất µ E Ngồi thêm E khơng tập cưucj độ đo Định nghĩa 3.2.1 (Dung lượng logarit) Cho E tập compact C µE độ đo cân Khi dung lượng logarit E định nghĩa Cap(E) = eI(µE ) Nếu E tập cực I(µE ) = −∞ với độ đo cân bằng, Cap(E) = với tập cực (tập cực khơng có dung lượng) Tương tự, nếu Cap(E) = E tập cực 68 Với tập khơng compact E dung lượng định nghĩa cận Cap(K) với K tất tập compact E Theo định nghĩa Cap(E) +∞, nhiên tập compact chúng có dung lượng hữu hạn Ngồi từ định nghĩa ta thấy Cap(E1 ) Cap(E2 ) E1 ⊂ E2 Một điều đáng ngạc nhiên người ta thấy dung lượng có liên quan tới hình học Định nghĩa 3.2.2 (n-đường kính) Cho E tập compact C Khi n-đường kính E cho công thức δ(E) = sup z1 , ,zn ∈E |zk − zj |) n(n−1) , n ( (3.3) j 2, tất điểm nằm biên ∂e E E, tức biên thành phần không bị chặn phần bù E Tính số (3.3) liên quan đến định thức Vandermonde sau det(zjk−1 )nj,k=1 = (zk − zj ), j