D10 c6 b2

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC - CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung Ð AM α có sđ Ð AM = α (còn viết ) y B M K a A' A x O H B' • Tung độ y = OK điểm M gọi sin α kí hiệu sin α sin α = OK • Hồnh độ x = OH điểm M gọi côsin α kí hiệu cos α cos α = OH • • cos α ≠ 0, Nếu tỉ số sin α tan α = cos α Nếu cotg α ): sin α ≠ 0, tỉ số cosα cot α = sin α Các giá trị sin α cos α cos α sin α gọi tang α kí hiệu gọi cơtang sin α , cos α , tan α , cot α α tan α kí hiệu Hệ cos α sin α α ∈¡ 1) xác định với Hơn nữa, ta có sin ( α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢; cos ( α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢ −1 ≤ OK ≤ 1; −1 ≤ OH ≤ (người ta dùng kí hiệu cot α nên ta có ) (người ta dùng kí hiệu gọi giá trị lượng giác cung Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin 2) Vì tg α α −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cos α ≤ 3) Với 4) 5) tan α cot α m∈ ¡ mà −1 ≤ m ≤ α≠ xác định với tồn α β π + kπ ( k ∈ ¢ ) cho sin α = m cos β = m α ≠ kπ ( k ∈ ¢ ) xác định với 6) Dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung Ð AM = α đường tròn lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV + − − + sin α + + − − tan α + − + − cot α + − + − Giá trị lượng giác cos α Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” Giá trị lượng giác cung đặc biệt Góc α sin α π π π π 2π 3π 450 2 600 900 300 1200 1350 2 2 2 3 || 00 cosα tana cot a 3 || - - - 3 2 –1 –1 π 3π 2π 1800 2700 3600 –1 –1 || || 0 || II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG tan α Ý nghĩa hình học t 'At A Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc Gọi T A giao điểm OM với trục t ' At tan α biểu diễn độ dài đại số vectơ t 'At Trục gọi trục tang y M O a uuur AT tan α = AT t 'At trục Viết: t A x T t' cot α Ý nghĩa hình học s 'Bs B Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách B chọn gốc s 'Bs S OM Gọi giao điểm với trục cot α biểu diển độ dài đại số vectơ s 'Bs Trục gọi trục côtang uuu r BS cot α = BS s 'Bs trục Viết: s' y B O s S a M x tan ( α + kπ ) = tan α , ∀k ∈ ¢; cot ( α + kπ ) = cot α , ∀k ∈ ¢ Nhận xét: III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin α + cos α = sin α π α ≠ + kπ , k ∈ ¢ cos α , cos α cot α = sin α α ≠ kπ , k ∈ ¢ , kπ α≠ , k ∈¢ tan α cot α = 1, tan α = + tan α = π , α ≠ + kπ , k ∈ ¢ cos α + cot α = , sin α α ≠ kπ , k ∈ ¢ Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Góc đối ( α −α ) Góc bù nhau( α π −α ) α Góc phụ nhau( π  sin  − α ÷ = cos α 2  cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α π  cos  − α ÷ = sin α 2  tan( −α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α π  tan  − α ÷ = cot α 2  cot( −α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π  cot  − α ÷ = tan α 2  π −α ) Góc π α ( π +α π π +α α Góc ( ) π  sin  + α ÷ = cos α 2  ) sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α ÷ = − sin α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α ÷ = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α ÷ = − tan α 2  π Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, tang π côtang, chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị khơng nhắc đối B CÁC DẠNG TỐN: DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC α I PHƯƠNG PHÁP: Dấu giá trị lượng giác góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm Ð AM = α ngọn) cung đường tròn lượng giác Vì cần xác định vị trí điểm M đường tròn lượng giác sử dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Vị trí điểm M thuộc góc phần tư I II III IV + − − + sin α + + − − tan α + − + − cot α + − + − Giá trị lượng giác cos α II VÍ DỤ MINH HỌA: π −π 0> −α > −   ⇒ 2 ⇒  π  π π π cos  − + α ÷ > thuộc góc phần tư thứ tư đường tròn lượng giác Khẳng định sau ? A sin α > B cos α > C tan α > D cot α > Câu Điểm cuối góc lượng giác II IV A Thứ B Thứ sin α , cos α α góc phần tư thứ dấu? III IV II I C Thứ D Thứ sin α , tanα α Câu Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ trái dấu? I III IV IV II II I A Thứ B Thứ C Thứ D Thứ α cos α = − sin α Câu Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ II II III IV I II I A Thứ B Thứ C Thứ D Thứ α sin α = sin α Câu Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ III III II IV I I III A Thứ B Thứ C Thứ D Thứ 5π 2π < α < Câu Cho Khẳng định sau đúng? tan α > 0; cot α > tan α < 0; cot α < A B tan α > 0; cot α < tan α < 0; cot α > C D π 2 2   A B C D π → cot α >  → sin α < cos α <    tan α > → cot α >  → sin α < cos α >    tan α < → cot α <  → Chọn A Chọn A Chọn B Câu Chọn D Câu Chọn C Câu Ta có cos α = − sin α ⇔ cos α = cos α ⇔ cos α = cos α ⇔ cos α cos α ⇔ cos α  → cos α ≥  → Đẳng thức IV I Chọn D điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ Câu Ta có sin α ⇔ sin α ⇔ sin α = sin α sin α = sin α  → sin α ≥  → Đẳng thức II Chọn C 2π < α < Câu Ta có  tan α >  → cot α > 5π →  điểm cuối cung điểm cuối góc lượng giác α −π Chọn A π π   2 Chọn D Câu 11 Ta có π  cot  − α ÷ = sin α ; sin ( π + α ) = − sin α ; cos ( −α ) = cos α ; tan ( π + α ) = tan α 2  Do sin α >  cos α < π 3π 3π π tan  − α ÷ >  ÷ π  2 2     π < α < π → < π − α < π  → tan ( π − α ) >  2  → M > Chọn B I III  → Câu 14 Ta có :  3π 3π π π π  π   2  → M 0; t anA < 0;cot A < A Ta có: tù nên M > 0; N < 0; P > 0; Q < Do đó: Chọn B Câu 15 sin a = Thay cosa = - vào Câu 5.Chia tử mẫu P P P= , ta cosa cho ta 31 11 Chọn B 3tan a - 3.2 − = = P= 5+ 7tan a + 7.2 19 Chọn D = 3+ 4cot a P= 2- 2- 5cot a = 13 3+ Câu 6.Chia tử mẫu P sina cho ta Chọn D Câu 7.Ta có P = ( sin2 a - cos2 a ) ( sin2 a + cos2 a ) = sin2 a - cos2 a ( *) ( *) Chia hai vế cho cos2 a ⇔ P ( 1+ tan a ) = tan a - ⇔ 2 P sin2 a = - cos2 a cos2 a ta P= tan2 a - 52 - 12 = = 1+ tan a 1+ 52 13 Chọn D 25 25 1+ 2sin a.cosa = ( sin a + cosa ) = 16 ⇔ 16 Câu 8.Từ giả thiết, ta có → P = sin a.cosa 32 = Chọn B a + b = ( a + b) - 3ab( a + b) 3 Câu 9.Áp dụng , ta có P = sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) - 3sin a cosa ( sin a + cosa ) Ta có Vì ( sin a + cosa ) = sin2 a + 2sin a cosa + cos2 a sin a + cosa > Thay sin a + cosa = vào 24 49 = 25 25 nên ta chọn ìï ïï sin a + cosa = ïï í ïï 12 ïï sin a cosa = 25 ợù = 1+ ổử 7ữ 12 P =ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố5ứ 25 P = 91 125 , ta Chọn A 2 ( sin a - cosa ) +( sin a + cosa ) = ( sin α + cos α ) = Câu 10.Ta có = 2 ( sin a - cosa ) = 2- ( sin a + cosa ) = 2- 4 Suy 0< a < Do p sin a < cosa suy P =- sin a - cosa < nên Vậy Chọn D Câu 11.Ta có 2 2 ( sin a - cosa ) +( sin a + cosa ) = ( sin α + cos α ) = 2 ( sin a - cosa ) = 2- ( sin a + cosa ) = 2- m2 Suy → ( ) P = sin a - cosa = − m Câu 12.Ta có Chọn D P = tan2 a + cot2 a = ( tan a + cot a ) - 2tan a.cot a = 22 - 2.1 = Chọn B Câu 13.Ta có Câu 14.Ta có P = tan3 a + cot3 a = ( tan a + cot a ) - 3tan a cot a ( tan a + cot a ) = 53 - 3.5 = 110 2 sin a + cosa = ( sin a + cosa ) = → P= sin2 a cos2 a + cos2 a sin2 a = Khi = ⇔ sin α + cos α sin α cos α ( sin a + cos a ) Chọn B sin a cosa = - 2 2 - 2sin a.cos a = − ( sin α cos α ) sin a.cos a ( sin α cos α ) 2 = 14 Chọn B Câu 15.Ta có tan a - cot a = ⇔ Do p sin α > 0; cos α < C 2π < a < Câu B D sin α < 0; cos α < sin α < 0; cos α > 5π Cho Kết tan a > cot a > tan a < cot a < A , B , tan a > cot a < tan a < cot a > C , D , π   15π M = sin α tan  + α ÷ 7π < α < 2  Câu Cho Xác định dấu biểu thức M ≥ M > M ≤ M < A B C D π  cos  + ( 2k + 1) π  3  Câu Tính giá trị π  π  cos  + ( 2k + 1) π  = − cos  + ( 2k + 1) π  = 3  3  A B π  π  cos  + ( 2k + 1) π  = cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  3  C D tan α = cot α Câu Cho biết Tính 1 cot α = cot α = cot α = cot α = A B C D π tan α sin α = sin α > 0; cos α < C Điểm cuối α sin α < 0; cos α < B sin α < 0; cos α > D thuộc góc phần tư thứ hai 2π < a < Câu thuộc góc phần tư thứ hai đường tròn lượng giác Hãy chọn kết Lời giải sin α >  → cos α <  → Chọn C 5π Cho Kết tan a > cot a > A , tan a > cot a < C , tan a < cot a < B , tan a < cot a > D , Lời giải Chọn A 5π ⇒ tan a > cot a > Vì , π  15π M = sin α tan  + α ÷ 7π < α < 2  Câu Cho Xác định dấu biểu thức M ≥ M > M ≤ M < A B C D 2π < a < Lời giải Chọn B 15π ⇒ tan  π + α  <  ÷ 2  sin α < Vì , π   cos  + ( 2k + 1) π  3  Câu Tính giá trị π  π  cos  + ( 2k + 1) π  = − cos  + ( 2k + 1) π  = 3  3  A B π  π  cos  + ( 2k + 1) π  = cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  3  C D 7π < α < Ta có π cos  3 Lời giải π  π  π  + ( 2k + 1) π  = cos  + π + k 2π ÷ = cos  + π ÷ = − cos = −  3  3  Chọn C tan α = Câu A Cho biết cot α = B Tính cot α = cot α cot α = C D cot α = Lời giải Chọn A Câu A Cho góc P = - a sin α = thỏa mãn P= p