D10 c6 b2

6 Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AMÐ  trênđường tròn lượng giác.. Ý nghĩa hình học của cot Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs' với đường tròn l

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Các giá trị sin , cos , tan , cot    được gọi là các giá trị lượng giác của cung 

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

3) Với mọi m  mà   1 m 1 đều tồn tại  và  sao cho sin m và cos m.

4) tan xác định với mọi  

A

M

x y

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AMÐ 

trênđường tròn lượng giác

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3

32

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1 Ý nghĩa hình học của tan

Từ A vẽ tiếp tuyến t At' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách

chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t At'

tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT

trên trục t At' Viết: tan ATTrục t At' được gọi là trục tang.

2 Ý nghĩa hình học của cot

Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cáchchọn gốc tại B

Gọi S là giao điểm của OM với trục s Bs'

cot được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1 Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

sin cos  1

sintan

2

k k

t' T

M

A O

2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau ( và  ) Góc bù nhau( và   ) Góc phụ nhau( và 2  )

cos() cos sin( )sin sin cos

B CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểmngọn) của cung AM 

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác Hãy chọn kết quả đúng

trong các kết quả sau đây.

A sin 0. B cos 0. C tan 0. D cot 0.

Câu 2 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây

là

sai ?

A sin 0. B cos 0. C tan 0. D cot 0.

Câu 3 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây

là

đúng ?

A sin 0. B cos 0. C tan 0. D cot 0.

Câu 4 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos  cùng dấu?

A Thứ II. B Thứ IV. C Thứ II hoặc IV. D Thứ I hoặc III.

Câu 5 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan  trái dấu?

A Thứ I. B Thứ II hoặc IV. C Thứ II hoặc III. D Thứ I hoặc IV.

Câu 6 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu cos  1 sin 2.

A Thứ II. B Thứ I hoặc II. C Thứ II hoặc III. D Thứ I hoặc IV.

Câu 7 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin2 sin 

A Thứ III. B Thứ I hoặc III. C Thứ I hoặc II. D Thứ III hoặc IV.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A tan 0;cot 0. B tan 0;cot 0.

C tan 0;cot 0. D tan  cot 0.

Câu 9 Cho 0 2.





 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin  0. B sin 0. C sin  0. D sin 0

Câu 15 Cho tam giác ABC có góc A tù Cho các biểu thức sau:

(1) M sinAsinBsinC (2) N cos cos cosA B C

(3) cos sin cot2 2 2

P 

(4) Qcot tan cotA B C

Số các biểu thức mang giá trị dương là:

IV HƯỚNG DẪN GIẢI :

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất 

sin 0cos 0tan 0cot 0

Câu 6 Ta có cos  1 sin 2  cos  cos2  cos cos  cos 

Đẳng thức cos  cos   cos   0  điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ

I hoặc IV. Chọn D.

Câu 7 Ta có sin2  sin  sin sin 

Đẳng thức sin sin   sin   0  điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ Ihoặc II. Chọn C.

Câu 8 Ta có

52

  



30

DẠNG 2:

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I PHƯƠNG PHÁP :

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

II VÍ DỤ MINH HỌA :

Ví dụ 1 : Cho

1cos

3

  Khi đó

3sin



C

1

2.3Lời giải

41

 

,

5cos

41

 

4sin

41

 

,

5cos

41

 

,

5cos

41

 

.Lời giải

41



III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho biết

1tan

2

  Tính cot

A cot 2 B

1cot

4

 

1cot

2

  D cot  2

Câu 2 Tính giá trị của cos 2 1

3

 

và

32

5

 

Câu 6 Cho góc  thỏa mãn

12cos

5

  với 0 2

5

 

B

1sin

5

 

C

3sin

5

  D

3sin

P 

B P  1 5. C

3 5.2

P 

D

5 1.2

P 

Câu 9 Cho góc  thỏa

3sin

5

 

C.

5tan

5

 

C.

4sin

Câu 11 Cho góc  thỏa mãn sin  1

P   

A P 2 2. B P 2 2. C

2.4

P 

D

2.4

IV HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu 1 Ta có : tan cot  1

1tan

 cos 0 sin 1: loại (vì sin 0).

 5cos12sin 0, ta có hệ phương trình

5sin

1

1 cot 1 18 19sin       

19



a =

Tính giá trị của biểu thức

tan 3cottan cot

5

 

và 900  1800 Tính giá trị của biểu thức

cot 2 tantan 3cot

a a

a a

54cos

4

 

và

4cot

3

 

cot 2 tantan 3cot

6sin a- 2 1 2sin- a +sin a =1 4sin4a+4sin2a- 3= 0

 (2sin2a- 1 2sin) ( 2a+3) =0 2sin2a - 1=0(Do 2sin2a + > )3 0

sinx+cosx =sin2x+2sin cosx x+cos2x= +1 2sin cosx x (*)

Mặt khác sinx+cosx=m nên m2 = +1 2sin cosa a hay

2 1sin cos

A = x+ x x- x sinxcosx sinx cosx

sin cos sin cos

A = x+ x x- x =(1 2sin cos+ x x) (1 2sin cos- x x)

-III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho góc a thỏa mãn

3 cos

P

=-B.

1.3

P =

C.

7.3

P =

D.

7.3

= ç - ÷+

çè ø

A.

3.2

P =

B.

6 3 2.4

C.

3.2

P

=-D.

6 3 2.4

P =

3.2

P

=-Câu 4 Cho góc a thỏa mãn

4 tan

< <

Tính

2 2

sin cos

sin cos

-= -

30 11

P =

B.

31 11

P =

C.

32 11

P =

D.

34 11

P =

Câu 5 Cho góc a thỏa mãn tana =2.Tính

3sin 2cos

5cos 7sin

P

=-B.

4 9

P =

C.

4 19

P

=-D.

4 19

P =

Câu 6 Cho góc a thỏa mãn

1 cot 3

a =

Tính

3sin 4cos

2sin 5cos

P

=-B.

15.13

P = ×

B

10 13

P = ×

C

11 13

P = ×

D

12 13

P = ×

Câu 8 Cho góc a thỏa mãn

5 sin cos

P = ×

B

9 32

C

9 8

P = ×

D

1 8

P = ×

Câu 9 Cho góc a thỏa mãn

12 sin cos

B

49 25

C

7 5

P = ×

D

1 9

P = ×

Câu 10 Cho góc a thỏa mãn 0 4

p a

< <

và

5 sin cos

P =

B

1 2

P = ×

C

1 2

P =- ×

D

3.2

a =

và 900< <a 1800.Tính

2tan 3cot 1

tan cot

P= +

B.

19 2 2

9

P=

-C.

26 2 2

9

P=

-D.

26 2 2

9

P= +

Câu 17 Cho góc a thỏa mãn

3 cos

5

a =

và 2 0

p a

- < <

.Tính P= 5 3tan+ a+ 6 4cot - a

A P =4. B.P =- 4. C.P =6. D.P =- 6.

Câu 18. Nếu

1sin cos

4



C

5

 hay

5



Câu 19 Biết

2tanx b

ï < <

4 sin 5

a =



4 tan

3

a =



1 3

p

a =

Thay

3 2

p

a =

vào P, ta được

3 2

a a

5

a

=-

4 sin tan cos

5

Thay

4 sin

5

a =

và

3 cos

5

a

vào P , ta được

31.11

1

3 4.

3 1

2 5.

3

+

= -

13



Chọn D.

Câu 7.Ta có P=(sin 2a- cos 2a) ( sin 2a+ cos 2a) = sin 2a- cos 2a ( )*

Chia hai vế của ( )* cho cos a2 ta được

2

sin

1 cos cos

a= a

- P(1 tan + 2a)= tan 2a- 1

2 2

2 2

5 1

1 5

-= +

1213

25



Vì sina+ cosa> 0 nên ta chọn

7 sin cos

5 12 sin cos



p a

< <

suy ra sina<cosa nên sina- cosa<0 Vậy

3.2

Câu 12.Ta có P= tan 2a+ cot 2a ( )2

tana cota 2tan cota a

= + - = 2 2 - 2.12

Chọn B.

Câu 13.Ta có P= tan 3a+ cot 3a ( )3 ( )

tana cota - 3tan cota a tana+ cota

2

a+ a=

co sin s

2



1 cos

4 sina a =- .

Khi đó

sin cos cos sin

1 2 sin cossin cos

2

a=

-¾¾ ®

1 cot

1 5 tan

2

a=

và

2 cot

íï

ïï < <

2 2 cos

3

a

=-

2 tan

4 cot 2 2

a a

ìïï ïï

4 cot 2 2

a a

ìïï ïï

=-íï

ïï

=-ïî vào P, ta được

26 2 2 9

ï - < <

4 sin

5

a

=-

4 tan

3 3 cot

4

a a

ìïï ïïï

3 3 cot

4

a a

ìïï ïïï

 A1 tan 2x  a 2 tanb x c tan2x 

+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử

chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau

II VÍ DỤ MINH HỌA :

cos 750 sin 420sin 330 cos 390

Lời giải

1– sin2 .cot2 1– cot2 

A x x x cot2x cos2 x 1 cot2 x sin x2

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

sin 25

2 01

cos 55

2 01

cos 25

2 01

sin 65

Câu 2. Đơn giản biểu thức

A A2sina B A2cosa C Asin – cosa a D A 0

Câu 3 Tính giá trị biểu thức :

x x

Câu 8. Biểu thức Acos cot2x 2x3cos2x– cot2x2sin2 x không phụ thuộc x và bằng



Câu 12. Biểu thức C2 sin 4xcos4 xsin2xcos2 x 2– sin8xcos8x

có giá trị không đổi và bằng

cos sin cos sin 1 cot

sin cos 2cos

1 cos sin cos 1

Câu 15 Biết A B C, , là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng:

A sin(A C+ )=- sin B B cos(A C+ )=- cos B

C tan(A C+ )= tan B D cot(A C+ )= cot B

Câu 16 Biết A B C, , là các góc của tam giác ABC, khi đó

A sinC=- sin(A B+ ). B cosC= cos(A B+ ).

C tanC= tan(A B+ ). D cotC=- cot(A B+ ).

Câu 17 Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là sai ?

C sin(A B+ )= sin C D cos(A B+ )= cos C

Câu 18 A,B C, là ba góc của một tam giác Hãy tìm hệ thức sai:

2 0cos 252

A

Chọn C

Câu 4 Do 10O+ 80O= 20O+ 70O= 30O+ 60O= 40O+ 50O= 90O nên các cung lượng giác tương ứng đôi

một phụ nhau Áp dụng công thức sin 90( O- x)= cosx

sin 10 cos 10 sin 20 cos 20

sin 30 cos 30 sin 40 cos 40

Câu 8. Ta có:

cos cot 3cos – cot 2sin

A x x x x x cos2 x 2 cot2xcos2x1

cos x 2 cot sinx x

   cos2x 2 cos2x2 Chọn A

Câu 9. Ta có:

2 2

tan sincot cos

2 2

4 tan

1

4 tan

x x

( ) ( ) ( )sin cos sin cos sin cos

Khi đó P Q+ =sin cosa a- sin cosa a=0. Chọn A.

Câu 15 Vì A B C, , là ba góc của một tam giác suy ra A C+ = -p B.

Khi đó sin(A C+ )= sin(p- B)= sin ; cosB (A C+ )= cos(p- B)=- cos B

tan A C+ = tan p- B =- tan ; cotB A C+ = cot p- B =- cot B Chọn B.

Câu 16 Vì A B C, , là các góc của tam giác ABC nên C= 180o- (A B+ ).

Do đó C và A B+ là 2 góc bù nhau Þ sinC= sin(A B+ ); cosC=- cos(A B+ ).

Và tanC=- tan(A B+ ); cotC= cot(A B+ ).

Câu 17 Ta có A B C+ + = Ûp A B+ = -p C

Do đó cos(A B+ )= cos(p- C)=- cos C Chọn D.

Câu 18 A B C, , là ba góc của một tam giác Þ A B C+ + = 1800Û A B+ = 1800- C.

Ta có sin(A B+ + 2C)= sin 180( 0 - C+ 2C)= sin 180( 0 +C)=- sin C

Chọn D.

BÀI KIỂM TRA TỔNG HỢP 15 PHÚT

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác Hãy chọn kết quả đúng

trong các kết quả sau đây

A sin0;cos 0. B sin0;cos 0.

C sin0;cos 0. D sin0;cos 0.

Câu 2. Cho

52

2

  

Kết quả đúng là

A tana 0, cota 0 B tana 0, cota 0

C tana 0, cota 0 D tana 0, cota 0

Câu 3 Cho

157

2

  Tính cot

A cot 2 B

1cot

4

 

C

1cot

2

  D cot  2

Câu 6 Cho góc a thỏa mãn

3sin

P =

C

12 25

P =

D

12 25

P = ×

C

9 65

P =- ×

D

24 29

A  sin B sin C cos  D cos

Câu 9. Tính giá trị của biểu thức Asin6xcos6x3sin2xcos2x

A A  –1 B A  1 C A  4 D A –4

Câu 10 Hệ thức nào sau đây là sai?

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác Hãy chọn kết quả đúng

trong các kết quả sau đây

A sin0;cos 0. B sin0;cos 0.

C sin0;cos 0. D sin0;cos 0.

Lời giải

Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai 

sin 0cos 0

2

  

Kết quả đúng là

A tana 0, cota 0 B tana 0, cota 0

C tana 0, cota 0 D tana 0, cota 0

Lời giải Chọn A

Vì

52

Vì

157

Chọn C.

Câu 5. Cho biết

1tan

2

  Tính cot

A cot 2 B

1cot

4

 

C

1cot

2

  D cot  2

Lời giải Chọn A

Câu 6 Cho góc a thỏa mãn

3sin

P =

C

12.25

P =

D

12.25

5

a

=-¾¾ ®

3 tan

4

a

=-.Thay

3 tan

4

a

vào P, ta được

12 25

P = ×

C

9 65

P =- ×

D

24 29

Lời giải

Ta có Asin6xcos6x3sin2 xcos2xsin2x 3 cos2x33sin2xcos2 x

sin2x cos2x3 3sin cos2x 2xsin2x cos2x 3sin2 xcos2 x 1

sin tan sin cos

1 sin 1 1 cos 1 sin cot