Tiểu luận Kí hiệu Jacobi

Đề tài tiểu luận tìm hiểu về Kí hiệu Jacobi Trong quá trình Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa đất nước, con người luôn phát triển theo thời đại. Kiến thức từ đó cũng được con người khai phá nhiều hơn, nhất là về mảng Toán học. Có thể nói rằng: Ký hiệu Jacobi là mảng kiến thức rất hay và khó, liên quan đến lý thuyết đồng dư. Ký hiệu Jacobi được sử dụng chính trong lý thuyết số tính toán, kiểm tra các số nguyên tố và phân tích thành nhân tử nguyên tố, những ứng dụng trong lý thuyết mật mã. Đặc biệt trong học phần “Toán học 3” mà chúng tôi đang học thì chúng ta có thể sử dụng ký hiệu Jacobi thay vì sử dụng ký hiệu Lengendre. Nhờ ký hiệu Jacobi, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc 2 đơn giản hơn so với sử dụng ký hiệu Legendre.

Một lần nữa chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, ngày tháng 01 năm 2016

Sinh viênTrần Thị Thúy Ngân Lưu Thị Thùy

5 Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

6 Cấu trúc của tiểu luận

CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN.

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ, CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỦA KÝ HIỆU JACOBI.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KIẾN THỨC, ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TẬP CHO HỌC SINH, SINH VIÊN.

nguyên tố và phân tích thành nhân tử nguyên tố, những ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

Đặc biệt trong học phần “Toán học 3” mà chúng tôi đang học thì chúng

ta có thể sử dụng ký hiệu Jacobi thay vì sử dụng ký hiệu Lengendre Nhờ ký hiệu Jacobi, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc 2 đơn giản hơn

so với sử dụng ký hiệu Legendre

Vì những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài: “Ký hiệu Jacibi”

2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề

Với đề tài liên quan đến “Ký hiệu Jacobi”, qua tìm hiểu chúng tôi được biết các tác giả sau đã nghiên cứu

2.1 Sinh viên: Triệu Thị Vy Vy

Sinh viên Triệu Thị Vy Vy, tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học với đề tài:

“Thặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và ứng dụng” (năm 2011) Tại trường Đại học Đà Nẵng

2.2 Sinh viên: Hoàng Thị Hải Yến

Sinh viên Hoàng Thị Hải Yến, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và một vài cách chứng minh của luật thuận nghịch bậc 2” (năm 2015) Tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

→ Các đề tài trên hầu hết đã giải quyết được các vấn đề đặt ra cho bạn đọcbiết đến ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và ứng dụng của cuả chúng Qua

đó giúp học sinh, sinh viên có thể phần nào giải quyết các bài toán liên quan Nhưng chưa có đề tài nào đi sâu vào việc nghiên cứu “Ký hiệu Jacobi”

3. Mục tiêu nghiên cứu

Ở chương 1 và chương 2 của tiểu luận, theo cách hiểu của chúng tôi, chúng tôi sẽ nêu một số khái niệm, lý thuyết liên quan; đồng thời nêu các bài toán và cách giải về lý thuyết đồng dư

Trong chương 3 chúng tôi sẽ tìm cách đưa ứng dụng Jacobi vào một số bàitoán, từ đó có thể đưa ra cách giải hợp lý nhất, góp phần giúp các bạn học sinh, sinh viên có định hướng đúng đắn khi giải bài tập liên quan đến lý thuyết đồng dư, ký hiệu Jacobi

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của ký hiệu Jacobi dựa trên lý thuyết đồng dư và các bài toán liên quan.

5 Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là ký hiệu Jacobi và ứng dụng trong các bài toán liên quan đến lý thuyết đồng dư

5.2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên cũng như học sinh, sinh viên về các mảng trong ký hiệu Jacobi, trong đó có áp dụng vào các bài toán, ví dụ minh họa

6 Cấu trúc của tiểu luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tiểu luận gồm có 3 chương:

Chương 1: Ký hiệu Jacobi và các lý thuyết liên quan

Chương 2: Lý thuyết đồng dư, các bài toán cơ bản và phương pháp giải của ký hiệu Jacobi

Chương 3: Một số giải pháp nâng cao kiến thức, định hướng giải bài tập cho học sinh, sinh viên

CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT

LIÊN QUAN.

1 Đôi nét về nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi (10/12/1804 – 18/02/1851) là một nhà toán học người Đức, được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại Ông là người tôn giáo từ đạo Do Thái chsuyển sang Kito giáo, ông học tại đại học Berlin – nơi ông đậu Ph.D vào năm 1825, luận văn của ông là về giải tích của các phân

số Nhắc đến ông, người ta liền liên tưởng đến Jacobian

Ông được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại

Vào năm 1827, ông trở thành giáo sư toán tại đại học K , một vị trí ông nắm cho đến năm 1842 Jacobi bị ngã quỵ vì làm việc quá căng thẳng vào năm

1843 Sau đó ông ghé thăm Ý một vài tháng để lấy lại sức khỏe Khi trở lại Berlin, ông sống bằng tiền lương hưu của hoàng gia đến khi qua đời Jacobi được chôn cất ở một nghĩa trang trong khu Kreuzberg của thành phố Berlin

Mộ của ông gần mộ của Johann Encke – một nhà thiên văn học

Trong cách mạng 1848 Jacobi có dính đến chính trị và không thành công trong việc trở thành một nghị sĩ đại diện cho một nhóm Tự do Điều này dẫn đến việc ông bị mất tiền hưu hoàng gia sau khi cách mạng bị dập tắt, nhưng

uy tín và tiếng tăm của ông lớn đến nỗi tiền hưu được nối lại không lâu sau đó

• Đóng góp cho Toán học

Ông đã có đóng góp cơ bản cho các lĩnh vực: hàm elliptic, động lực học, phương trình vi phân, lý thuyết số Jacobi viết một cuốn sách kinh điển (năm 1829) về hàm số elliptic với nhiều ứng dụng quan trọng trong toán lý Phương

trình chuyển động dưới dạng quay chỉ tích phân Jacobi được trong ba trường hợp: con lắc, phần đỉnh đối xứng của một trường trọng lực và một vật xoay tự

do, tất cả các nghiệm đều được viết dưới dạng hàm số elliptic

Jacobi là nhà toán học đầu tiên áp dụng hàm số elliptic vào số học, ví dụ chứng minh định lý Fermat về tổng 2 bình phương hay là định lý Lagrange vềtổng 4 bình phương Ông cũng chứng minh các kết quả tương tự cho 6 hay 8 bình phương Hàm số Theta của Jacobi, thường được dùng trong chuỗi

hypergeometric được đặt theo tên ông

2 Ký hiệu Jacobi

Ký hiệu Jacobi là một mở rộng của ký hiệu Legendre, và được sử dụng để tính ký hiệu Legendre, cũng như trong nhiều vấn đề nghiên cứu các số giả nguyên tố

2.1 Định nghĩa và tính chất

2.1.1 Định nghĩa: Cho a là số nguyên, m là mộ số tự nhiên lẻ, m > 1

Gỉa sử m có công thức tiêu chuẩn là 1 2 3

Là lẻ nên các ký hiệu ở vế phải của ( * ) được hiểu là ký hiệu Legendre.

Như vậy mỗi ký hiệu Legendre là một ký hiệu Jacobi đặc biệt, khi số lẻ m là

một số nguyên tố Vì thế nếu ta có thể tính được mọi ký hiệu Jacobi thì ta

cũng sẽ tính được mọi ký hiệu Legendre.

Ví dụ: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( )

J

Tuy nhiên cần chú ý rằng khác với ký hiệu Legendre, khi n là hợp số, ký hiệu

Jacobi không cho ta biết phương trình đồng dư x2 ≡ a ( mod p ) có nghiệm hay không.Mặc dù vậy ký hiệu Jacobi có nhiều tính chất tương tự với ký hiệu

Legendre

Nhận xét:

• Từ (*) ta suy ra: Nếu ( )a m J = − 1 thì a không là thặng dư bậc 2 của pi

nào đó i = (1,2, , ) k vì nếu mọi ( )a1 s i 1

P (i=1,2, ,k) Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên

có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi

• Nếu a là số chính phương mô đun m thì ta kí hiệu : ( )a 1

Chứng minh: a b ≡ (mod ) P cho nên ta cũng có a b ≡ (mod ) Pi ,

i = 1,2,…,r Từ đó theo tính chất của ký hiệu Legendre ta được

(ii) ( )1p = 1 (hiển nhiên)

( 1)

P p

x i i

p p

i i

p p

(mod 2)

x

i i

p p

Bằng cách đổi lấy tích và dựa vào định nghĩa ký hiệu Jacobi ta được:

p p

8 8

r

i i

p p

Vì p vi à qj là những số nguyên tố lẻ, cho nên ký hiệu Legendre cho ta

(mod 2)

r i i

p P

=

−

− ≡ ∑

Và tương tự

1 1

(mod 2)

s

j j

q Q

=

−

− ≡ ∑Cho nên ta được

1 1

q p

2.1.3 Luật thuận nghịch bình phương đối với ký hiệu Jacobi

Gỉa sử m, n là các số nguyên dương lẻ, nguyên tố cùng nhau, khi đó:

q n b

=

− ≡ −

∑

Từ đó suy ra (đpcm)

3 Luật thuận nghịch bình phương

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa các ký hiệu Legendre ( ) ( )q

p

à

p

q v Định lý này thương được sử dụng khi tính toán với các ký hiệu Legendre

Định lý 1: ( Luật thuận nghịch bình phương) Gỉa sử p và q là các số nguyên

Nhận xét: Định lý luật thuận nghịch bình phương thường được dùng để tính

ký hiệu Legendre Chẳng hạn, từ định lý ta có thể suy ra rằng,

q = p trong các trường hợp có ít nhất một trong hai số p hoặc q

đồng dư với 1 modulo 4

Định lý 2: ( Kiểm tra Pepin)

Số Fermat Fm là số nguyên tố khi và chỉ khi 3 m2 1 1(mod )

Ta gọi a là một thặng dư bậc 2 modulo p nếu phương tình (1) có nghiệm,

và a là bất thặng dư bậc 2 modulo p nếu phương trình (1) không có

nghiệm

Ví dụ: 2 là một thặng dư bậc hai modulo 7 vì (2,7)=1 và phương trình

2 2(mod 7)

x ≡ có nghiệm, cụ thể nghiệm đó là x ≡ ± 3(mod 7)

3 là một bất thặng dư modulo 7 vì (3,7)=1 và phương trình x2 ≡ 3(mod 7)

không có nghiệm

4.2 Hệ qủa

- Nếu a là thặng dư bậc 2 modulo p thì mọi số của lớp thặng dư a (mod ) p

Cũng đều là thặng dư bậc 2 modulo p

- Nghiệm của phương trình (1), nếu có, đều nguyên tố với p

4.3 Định lý 1: Nếu a là một thặng dư bậc 2 modulo p thì phương trình (1) có

p −

Bất thặng dư bậc hai

4.5 Định lý 3:Nếu a là thặng dư bậc hai modulo p thì 21 1(mod )

CHƯƠNG 2: THUẬT TOÁN TÍNH KÝ HIỆU JACOBI VÀ CÁCH

TÍNH KÝ HIỆU JACOBI TRÊN MÁY TÍNH

2.1 Thuật toán tính ký hiệu Jacobi

Gỉa sử a,b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, a>b.Đặt

Trong đó S j là các số nguyên không âm, R jlà các số nguyên lẻ bé hơn R j−1

Ta chú ý rằng số các phép chia đòi hỏi trong thuật toán trên là không vượt quá

số phép chia cần thiết khi dùng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của a và b

Tiếp tục quá trình đó ta đi đến công thức cần chứng minh.

2.1.2 hệ quả Gỉa sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, a>b

Khi đó,Ký hiệu Jacobi ( )a

b có thể tính được với O((log ) )2b 3 phép tính bit/

Chứng minh: Như ta đã nhận xét, số các phép chia trong thuật toán xác định R(a,b) không vượt quá số phép chia trong thuật toán Euclid để tính ước chunglớn nhất của a và b.Theo định lý Lame, cần có R sj, jphép chia Mỗi phép chia

J1 (Kiểm tra B≠ 0) Nếu b=0, in ra 0 nếu a ≠ 1, in ra 1 nếu a=1 và kết thúc

thuật toán

J2 (Tách các lũy thừa của 2 khỏi b) Nếu a và b đều chẵn, in ra 0 và kết thúc

thuật toán Ngược lại đặt v¬ 0, và khi b chẵn, 1,

J3 (Kết thúc?) (Ở bước này ta có b lẻ và b>0) Nếu a=0, in ra 0 nếu b>1, in

ra k nếu b=1 và kết thúc thuật toán Ngược lại, đặt v¬ 0 và nếu a chẵn, đặt

{ 0,1, 0, 1, 0, 1, 0,1 − − }

2.2 Tính lý hiệu Jacobi trên máy tính

2.2.1 Kiểm tra một số là thặng dư bình phương

Cho a,b là các số nguyên, để kiểm tra xem a có phải là thặng dư bình phương của b hay không ta thực hiện dòng lênh như sau:

Ví dụ: 74 có phải là thặng dư bậc hai của 101 hay không?