chả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cảchả có gì để mô tả cả
MỤC LỤC Chương I Mệnh đề - tập hợp .3 A Tóm tắt lí thuyết B Bài tập CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A Tóm tắt lí thuyết I Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề chứa biến a Mệnh đề Mỗi mệnh đề câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Ví dụ: + Mệnh đề: “Số số chẵn” “Số số vô tỷ” + Không mệnh đề: Số số chẵn phải không? b Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu chứa biến, với giá trị biến thuộc tập đó, ta mệnh đề Ví dụ: x − = mệnh đề chứa biến Với x = 10 cho ta mệnh đề đúng, với x ≠ 10 cho ta mệnh đề sai Phủ định mệnh đề Kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề P P Lúc đó, P P sai, P sai P Ví dụ: Cho mệnh đề P: “3 số nguyên tố” Mệnh đề phủ định P : “3 số nguyên tố” Mệnh đề kéo theo Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng P ⇒ Q Khi đó, ta nói: P giả thiết, Q kết luận howajc P điều kiện đủ để có Q Q điều kiện cần để có P Ví dụ: “Nếu n số chẵn n chia hết cho 2” mệnh đề kéo theo Mệnh đề đảo - hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề tương đương: Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Kí hiệu: P ⇔ Q Đọc là: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q P Q Mệnh đề tương đương hai sai Mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ Dạng phủ định: ∀x ∈ X, P ( x ) = ∃x ∈ X,P ( x ) Dạng phủ định: ∃x ∈ X, P ( x ) = ∀x ∈ X,P ( x ) II Tập hợp Tập hợp phần tử Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Phần tử a nằm tập hợp A, kí hiệu a ∈ A ; phần tử a không nằm tập hợp A, kí hiệu a ∉ A Cách xác định tập hợp - Liệt kê phần tử - Chỉ tính chất đặc trưng phần tử Minh họa tập hợp biểu đồ Ven Tập hợp rỗng: Tập hợp rỗng tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ Nếu tập hợp A ≠ ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A Tập hợp con: Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói tập hợp A tập hợp tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) Nếu A không tập B, ta viết A ⊄ B Tính chất: a) A ⊂ A, ∀A b) Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C c) ∅ ⊂ A, ∀A Tập hợp nhau: Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói tập hợp A tập hợp B, kí hiệu A = B Vậy A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) III Phép toán tập hợp Giao hai tập hợp: Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử có A B, kí hiệu: x ∈ A A ∩ B = { x | x ∈ A vµ x ∈ B} hay x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B Có thể mở rộng cho giao nhiều tập hợp Hợp hai tập hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử có A B, kí hiệu: x ∈ A A ∪ B = { x | x ∈ A h c x ∈ B} hay x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B Hợp hai tập hợp mở rộng cho hợp nhiều tập hợp Hiệu phần bù hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử có A khơng có B, kí hiệu: A \ B = { x | x ∈ A vµ x ∉ B} x ∈ A Vậy với x ∈ A \ B ⇔ x ∉ B Khi B ⊂ A A \ B gọi phần bù B A, kí hiệu C A B IV Các tập hợp số Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên, kí hiệu ¥ = { 0,1, 2,3, } Tập hợp số tự nhiên dương, kí hiệu: ¥ * = { 1, 2,3, } Tập hợp số nguyên Tập hợp số ngun, kí hiệu: ¢ = { , −3, −2, −1, 0,1, 2,3, } + Tập hợp số ngun dương, kí hiệu: ¢ = { 1, 2,3, } − Tập hợp số nguyên âm, kí hiệu: Z = { ; −3; −2; −1} Tập hợp số hữu tỉ Số hữu tỉ số biểu diễn dạng diễn dạng Ví dụ: a b ( a, b ∈ ¢, b ≠ ) a b ( a, b ∈ ¢, b ≠ ) , kí hiệu gọi số vơ tỉ = 1,5 = 0, ( 3) số vơ tỉ Còn số như: : hay π ≈ 3,1416 … số vô tỉ Tập hợp số thực Tập hợp số thực bao gồm số hữu tỉ số vơ tỉ, kí hiệu: ¡ Trục số: ¤ Số không biểu Các tập hợp ¡ Kí hiệu: −∞ đọc âm vơ cực (hoặc âm vơ cùng), kí hiệu +∞ đọc dương vô cực (hoặc dương vô cùng) * Khoảng: ( a; b ) = { x ∈ ¡ | a < x < b} * Khoảng: ( a; +∞ ) = { x ∈ ¡ | a < x} * Khoảng: ( −∞; b ) = { x ∈ ¡ | x < b} * Đoạn: [ a; b ] = { x ∈ ¡ | a ≤ x ≤ b} * Nửa khoảng: [ a; b ) = { x ∈ ¡ | a ≤ x < b} * Nửa khoảng: ( a; b ] = { x ∈ ¡ | a < x ≤ b} * Nửa khoảng: [ a; +∞ ) = { x ∈ ¡ | a ≤ x} * Nửa khoảng: ( −∞; b ] = { x ∈ ¡ | x ≤ b} V Số gần - Sai số Số gần đúng: Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối a Sai số tuyệt đối số gần đúng: Nếu a số gần số a ∆ a = a − a gọi sai số tuyệt đối số gần a b Độ xác số gần đúng: Nếu ∆ a = a − a ≤ d −d ≤ a − a ≤ d hay a − d ≤ a ≤ a + d Ta nói a số gần a với độ xác d, qui ước viết gọn a = a±d Chú ý: Sai số tuyệt đối số gần nhận phép đo đạc không phản ánh đầy đủ tính xác phép đo đạc Vì sai số tuyệt đối ∆ a số gần a, người ta viết tỉ số δa = ∆a , gọi a sai số tương đối số gần a Qui tròn số gần a Ơn tập qui tắc làm tròn số Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta thay chữ số bên phải số Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn ta làm trên, cộng thêm vào chữ số hàng qui tròn b Cách viết số qui tròn số gần vào độ xác cho trước • Cho số gần a số a Trong số a, chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) sai số tuyệt đối số a không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số • Cách viết chuẩn số gần dạng thập phân cách viết chữ số chữ số Nếu ngồi chữ số có chữ số khác phải qui tròn đến hàng thấp có chữ số B Bài tập Dạng 1: Mệnh đề - Tính sai mệnh đề Phương pháp + Dựa vào khái niệm: “Mỗi mệnh đề câu khẳng định hoặc sai” Câu khẳng định mệnh đề đúng, câu khẳng định sai mệnh đề sai + Mệnh đề P ⇒ Q sai P mà Q sai + Mệnh đề P ⇔ Q P Q sai Câu Trong câu sau, câu mệnh đề? A + = B − < C Số số âm, số dương D Số chẵn chia hết đẹp số lẻ Giải Đáp án A Là mệnh đề sai + = Đáp án B Là mệnh đề Đáp án C Là mệnh đề Đáp án D Là câu nhận xét nên mệnh đề Chọn đáp án D Câu Trong câu sau, câu mệnh đề chứa biến? A Số 13 số chẵn B + x = C x + y > D Số 2x + số nguyên dương Giải Chọn đáp án A Câu Cho mệnh đề sau: a) 1794 chia hết cho b) số hữu tỉ c) π < 3,15 d) −125 ≤ Có mệnh đề mệnh đề trên? A B C D Giải Mệnh đề a) tổng chữ số 1794 + + + = 21 chia hết cho Mệnh đề b) sai số vơ tỉ Mệnh đề c) π ≈ 3,14 Mệnh đề d) sai −125 = 125 > Chọn đáp án B Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Số 16 số phương B Số 31 số nguyên tố C Hai tam giác đồng dạng D Hai tam giác đồng dạng Giải Đáp án A Là mệnh đề sai Đáp án B, C, D Là mệnh đề chứa biến Chọn đáp án A Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A 16 chia hết cho B 31 chia hết cho 62 C 22 bội 11 D chia hết cho 13 Giải Chú ý: Nếu a chia cho b mà có số dư ta nói a chia hết cho b hay b chia hết cho a Khi a gọi bội b b ước a Như đáp án D, chia hết cho 13 sai Chọn đáp án D Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu tam giác có góc vng tổng ba góc 270° B Nếu x < x + > C Nếu > > D Nếu < 10 > Giải Đáp án A Mệnh đề có dạng P ⇒ Q với P: “tam giác có góc vng” mệnh đề sai; Q: “tổng ba gốc 270°” mệnh đề sai nên P ⇒ Q mệnh đề “sai suy sai” Vậy mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Đáp án B Tương tự mệnh đề kéo theo “Sai suy đúng” Nên đáp án B Đáp án C Đây mệnh đề kéo theo “đúng suy sai” Nên đáp án C sai Chọn đáp án C Câu Cho mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? A Một tam giác vng có góc tổng góc B Một tam giác có trung tuyến góc 60° C Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh D Một tứ giác hình chữ nhật chúng có góc vng Giải µ =B µ +C µ Đáp án A Giả sử tam giác ABC có A µ +B µ +C µ = 180° nên 2A µ = 180° ⇒ A µ = 90° mà A µ =B µ +C µ hay tam giác ABC vuông Ngược lại, tam giác ABC vuông A suy A Vậy đáp án A Đáp án B Một tam giác có trung tuyến suy tam giác cân Lại có: góc 60° nên tam giác Vậy đáp án B Đáp án C Sai ví dụ tam giác ABC đồng dạng A 'B 'C ' có AB = B'C ' khơng kết luận chúng Chọn đáp án C Câu Cho mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo đúng? A Nếu tứ giác ABCD hình thang cân góc đối bù B Nếu a = b a.c = b.c C Nếu a > b a > b D Nếu số nguyên chia hết cho 10 chia hết cho Giải Đáp án A “Nếu tứ giác ABCD hình thang cân góc đối bù nhau” có mệnh đề đảo “Nếu tứ giác ABCD có góc đối bù ABCD hình thang cân” Mệnh đề đảo sai hình bình hành, hình thoi, … có hai góc đối bù Đáp án B “Nếu a = b a.c = b.c ” có mệnh đề đảo “Nếu a.c = b.c a = b ” Mệnh đề đảo sai c = a, b tùy ý Đáp án C “Nếu a > b a > b ” có mệnh đề đảo “Nếu a > b a > b ” Mệnh đề đảo sai a = −2, b = Chọn đáp án D Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo A “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” B “Tam giác cân có góc 60° tam giác đều” C “Nếu tích số số dương số số dương” D “Hình thoi có góc vng hình vng” Giải Đáp án A “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” có mệnh đề đảo “Một số tự nhiên chia hết cho tận 6” Mệnh đề đảo sai số tự nhiên chia hết cho tận 0, 2, 4, 6, Đáp án B “Tam giác cân có góc 60° tam giác đều” có mệnh đề đảo “tam giác tam giác cân có góc 60°” Mệnh đề đảo chứng minh sau: Giả sử tam giác ABC cân A Xét hai trường hợp: µ =C µ = 120° = 60° µ = 60° B µ +C µ = 120° mà B µ =C µ nên B Nếu A Vậy tam giác ABC µ = 60° (hoặc C µ = 60° ) mà B µ =C µ nên B µ =C µ = 60° Nếu B Vậy tam giác ABC Chọn đáp án B Bài tập tự luyện Câu Trong câu sau, câu mệnh đề? A Hôm lạnh nhỉ? B 151 số vơ tỷ C Tích vectơ với số số D 100 số chẵn Câu Trong mệnh đề sau mệnh đề mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q ? A P ≠ Q B P ⇔ Q C P ⇒ Q Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề chứa biến D Q ⇒ P A Hình bình hành có hai đường chéo B 36 số phương C 19 số lẻ D 2x − ≥ Câu Xác định mệnh đề sai A ∃x ∈ Q : 4x − = B ∃x ∈ ¡ : x > x C ∀n ∈ ¥ : n + khơng chia hết cho D ∀n ∈ ¥ : n > n Câu Cho mệnh đề sau, mệnh đề sai A Nếu a chia hết cho a chia hết cho B Nếu tam giác có góc 60° tam giác tam giác C Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác D 23 < ⇒ 23 < 2.5 Câu Trong câu sau, có câu mệnh đề? a) Huế thành phố Việt Nam b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế c) Bạn cố lên! d) + 19 = 24 e) + 81 = 25 f) Bạn có rỗi tối khơng? g) x + = 11 A B C D Câu Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề đúng? A π số hữu tỉ B Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba C Bạn có chăm học khơng? D Con thấp cha Câu Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Hai tam giác chúng đồng dạng có góc B Một tứ giác hình chữ nhật chúng có góc vng C Một tam giác vng có góc tổng hai góc lại D Một tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 60° Câu Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề có mệnh đề đảo đúng? A Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c B Nếu tam giác diện tích C Nếu a chia hết cho a chia hết cho D Nếu số tận số chia hết cho Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo sai? A Tam giác ABC cân có hai cạnh B Nếu ABCD hình bình hành AB song song với CD C Nếu a chia hết cho a chia hết cho µ =B µ =C µ = 90° D Nếu ABCD hình chữ nhật A Câu 11 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? A n số lẻ n số lẻ B n chia hết cho tổng chữ số n chia hết cho C ABC tam giác AB = AC có góc 60° D ABCD hình chữ nhật AC = BD Câu 12 Phát biểu sau mệnh đề đúng? A Nếu 2.5 = 10 Ln Đơn thủ Hà Lan B Nếu số lẻ chia hết cho C Nếu 81 số phương 81 số nguyên D Số 141 chia hết 141 chia hết cho Câu 13 Mệnh đề sau sai? A Nếu ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD có ba góc vng B ABC tam giác A = 60° C Tam giác ABC cân A nên AB = AC D Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O OA = OB = OC = OD Câu 14 Tìm mệnh đề đúng: A Đường tròn có tâm đối xứng có trục đối xứng B Hình chữ nhật có hai trục đối xứng C Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 45° D Hai tam giác vuông ABC A ' B'C ' có diện tích ⇔ ∆ABC = ∆A ' B'C ' Câu 15 Tìm mệnh đề sai: A 10 chia hết cho hình vng có hai đường chéo vng góc B Tam giác ABC vng C AB2 = CA + CB2 C Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) ABCD hình thang cân D Nếu 63 chia hết cho hình bình hành có hai đường chéo vng góc Câu 16 Cho tam giác ABC cân A, I trung điểm BC Mệnh đề sau đúng? A ∃M ∈ AI, MA = MC B ∀M, MB = MC C ∀M ∈ AB, MB = MC D ∃M ≠ AI, MB = MC Câu 17 Với giá trị n, mệnh đề chứa biến “ P ( n ) = n chia hết cho 12” đúng? A 48 B C D 88 Câu 18 Cho n số tự nhiên, mệnh đề sau đúng? A ∀n, n ( n + 1) số phương B ∀n, n ( n + 1) số lẻ C ∃n, n ( n + 1) ( n + ) số lẻ D ∀n, n ( n + 1) ( n + ) số chia hết cho Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) = 3x − 4x + Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A y = f ( x ) hàm số chẵn B y = f ( x ) hàm số khơng có tính chẵn lẻ C y = f ( x ) hàm số lẻ D y = f ( x ) hàm số vừa chẵn vừa lẻ Câu 20 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Nếu x số tự nhiên x số hữu tỷ B Nếu x khơng số tự nhiên x số thực C Nếu x số tự nhiên x khơng số thực D Nếu x khơng số hữu tỷ mà x số thực x số vô tỷ Đáp án 10 A D D D D B D A C B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C B B D A A D A C Dạng 2: Mệnh đề chứa biến - Phủ định mệnh đề Phương pháp Dạng 1: Nếu mệnh đề P: ∀x, P ( x ) mệnh đề phủ định P : ∃x, P ( x ) Dạng 2: Nếu mệnh đề P: ∃x, P ( x ) mệnh đề phủ định P : ∀x, P ( x ) Câu Mệnh đề “ ∃x ∈ ¡ , x = ” khẳng định rằng: A Bình phương số thực B Có số thực mà bình phương C Chỉ có số thực có bình phương D Nếu x số thực x = Giải Mệnh đề “ ∃x ∈ ¡ , x = ” nghĩa là: Tồn (có nhất) số thực cho bình phương Chọn đáp án B Câu Kí hiệu X tập hợp cầu thủ x đội tuyển bóng rỗ, P ( x ) mệnh đề chứa biến “x cao 180cm” Mệnh đề “ ∀x ∈ X, P ( x ) ” khẳng định rằng: A Mọi cầu thủ đội tuyển bóng rổ cao 180cm B Trong số cầu thủ đội tuyển bóng rổ có số cầu thủ cao 180cm C Bất cao 180cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ D Có số người cao 180cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ Giải Mệnh đề “ ∀x ∈ X, P ( x ) ” khẳng định rằng: Mọi cầu thủ đội tuyển bóng rổ cao 180cm Chọn đáp án A Câu Cách phát biểu sau dùng để phát biểu mệnh đề: A ⇒ B A Nếu A B B A kéo theo B C A điều kiện đủ để có B D A điều kiện cần để có B Bài tập tự luyện Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu a, b, c ba số dương a + b3 + c3 ≥ 3abc B Nếu a.b.c ≠ , chứng minh có ba phương trình sau có nghiệm: ax + 2bx + c = ( 1) bx + 2cx + a = ( ) cx + 2ax + b = ( 3) C Với n số tự nhiên 3n + lẻ n lẻ D Với n số tự nhiên 5n + lẻ n chẵn Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A ∀n ∈ N, n > n B Chứng minh a b hai số dương a + b ≥ ab C ∀x ∈ ¡ : x − ≠ D ∀x ∈ ¡ , x − x + < Câu Mệnh đề sau có mệnh đề phủ định đúng: A ∃x ∈ Q : x = B ∃x ∈ ¡ : x − 3x + = C ∀n ∈ ¥ : 2n ≥ n D ∀x ∈ ¡ : x < x + Câu Phát biểu sau mệnh đề đúng: A 2.5 = 10 ⇒ Luân Đôn thủ đô Hà Lan B số lẻ ⇒ chia hết cho C 81 số phương ⇒ 81 số nguyên D Số 141 chia hết cho ⇒ 141 chia hết cho Đáp án D B D C Dạng Chứng minh quy nạp Phương pháp Chứng minh mệnh đề chứa biến P ( n ) thỏa mãn tính chất T, ∀n ≥ n Ta chứng minh sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = n Bước 2: Giả sử mệnh đề P ( n ) với n = k ≥ n (gọi giả thiết quy nạp) Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Bước 3: Kết luận theo nguyên lí quy nạp P ( n ) thỏa mãn tính chất T, ∀n ≥ n Chú ý: Trong việc giải tốn trắc nghiệm, để chứng minh đẳng thức sử dụng máy tính cầm tay HD: Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS để chứng minh P ( n ) = Q ( n ) , ∀n ≥ n Ta lập quy trình sau: Bước 1: X = X + 1: P ( X ) − Q ( X ) Bước 2: Dùng lệnh CALC tính giá trị biểu thức với X = n − Sau bấm = = = … để kiểm tra Nếu kết chứng tỏ P ( n ) = Q ( n ) Câu Cho md: P: ∀n ∈ ¥ : 2n > n Q: ∀n ∈ ¥ ; n ≥ 1: n + n M2 R: ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1:12 + 2 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) Có mệnh đề mệnh đề cho? A B C D Giải Dùng chứng minh quy nạp để chứng minh Xét mệnh đề P: ∀n ∈ ¥ : 2n > n , Ta có: Với n = , Ta có: 20 = > Vậy 2n > n với n = Giả sử 2k > k Ta chứng 2k +1 > k + Thật Ta có: 2k +1 = 2k.2 = 2k + 2k > k + k > k + (do k ≥ ) Vậy 2n > n, ∀n ∈ ¥ Mệnh đề P Xét mệnh đề Q: ∀n ∈ ¥ ; n ≥ 1: n + n M2 Ta có: n + n = n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích có số chẵn nên chia hết cho Vậy mệnh đề Q Xét mệnh đề R: ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1:12 + 22 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) Với n = 1, VT = VP = , nên mệnh đề R Giả sử mệnh đề R với n = k ≥ , tức 12 + 22 + 32 + + ( k − 1) + k = k ( k + 1) ( 2k + 1) Ta phải chứng minh mệnh đề R với n = k + , tức là: 12 + 22 + 32 + + ( k + 1) − 1 + ( k + 1) = 2 ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) Thật vậy: 12 + 22 + 32 + + ( k − 1) + k + ( k + 1) = 12 + 22 + 32 + + ( k − 1) + k + ( k + 1) = 2 k ( k + 1) ( 2k + 1) 2k + 7k + ( k + 1) ( k + ) ( 2k + ) + ( k + 1) = ( k + 1) = 6 Vậy mệnh đề R với số tự nhiên n thuộc ¥ * Chọn đáp án D Câu Tính tổng S = + + + + n A n ( 3n − 1) B n ( n + 1) C n ( 2n + 1) D 3n ( n − 1) Giải Cách 1: Ta có: S = + + + + n ⇒ 2S = 1 + + + + ( n − 1) + n + n + ( n − 1) + + + + 1 = ( + n ) + ( + n − 1) + + ( n − + ) + ( n + 1) = n ( n + 1) Do đó: S = n ( n + 1) Chọn đáp án B Cách 2: Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS Ý nghĩa thuật toán: nhập vào máy số A tính tổng + + + + A Lấy tổng trừ kết đáp án A, B, C, D Đáp án đáp án cho kết với số A nhập vào Với đáp án A A Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) − A ( 3A − 1) Bấm: Bước 2: Nhập A = (máy gán lại A = A + = + = ); nhập X giá trị (chẳng hạn X = , không ảnh hưởng kết quả) Bấm Tiếp tục bấm Kết tức A = đáp án A Tiếp tục bấm máy tăng A = A + = , thử tiếp Kết tức A = đẳng thức sai Vậy đáp án A sai Với đáp án B A Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) − A ( A + 1) cách dùng phím chỉnh sửa từ đáp án A Bước 2: Nhập A = (máy gán lại A = A + = + = ); nhập X giá trị (chẳng hạn X = , khơng ảnh hưởng kết quả) Bấm Tiếp tục bấm Kết tức A = đáp án B Tiếp tục bấm máy tăng A = A + = , thử tiếp Kết tức A = đẳng thức Tiếp tục bấm … thấy đẳng thức Chọn đáp án B Câu Tính tổng S = 12 + 22 + + n A n ( n + 1) ( n + ) B n ( n + 1) ( 2n + 1) C n ( 2n + 1) 3n ( n − 1) D Giải Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS Với đáp án A A Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) − A ( A + 1) ( A + ) Bấm: Bước 2: Nhập A = , nhập X = Bấm Tiếp tục bấm Kết tức A = đáp án A Tiếp tục bấm máy tăng A = A + = , thử tiếp Kết tức A = đẳng thức sai Vậy đáp án A sai Với đáp án B Tương tự dùng phím để kiểm tra, B sai Chọn đáp án C Câu Tính tổng S = + 22 + 23 + + 2n A S = 22n − B S = 3.2n − C S = 2n + − Giải Cách 1: Ta có: S = + 22 + 23 + + 2n ⇒ 2S = ( + 22 + 23 + + n ) = 2 + 23 + + n + n +1 2S − S = 22 + 23 + + n + n +1 − ( + 2 + 23 + + n ) = n +1 − Vậy S = 2n +1 − D S = 2n +1 − ... x ≤ b} V Số gần - Sai số Số gần đúng: Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối a Sai số tuyệt đối số gần đúng: Nếu a số gần số a ∆ a = a − a gọi sai số tuyệt đối số gần a... phải số Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn ta làm trên, cộng thêm vào chữ số hàng qui tròn b Cách viết số qui tròn số gần vào độ xác cho trước • Cho số gần a số a Trong số a, chữ số gọi chữ số. .. Vì sai số tuyệt đối ∆ a số gần a, người ta viết tỉ số δa = ∆a , gọi a sai số tương đối số gần a Qui tròn số gần a Ơn tập qui tắc làm tròn số Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta thay chữ số bên