HE THONG TRAC NGHIEMCO DAP AN

có đáyABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA=2 và SA vuông góc với mặt phẳngđáy ABCD... Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng SD

Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA=2 và SA vuông góc với mặt phẳngđáy (ABCD Gọi M , ) N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho

x y

Xét f x( ) 23 x2 28

x

+

=+ với x∈[ ]1;2 , ( ) (2 )2

1

S AMCN

x y

x y

1

S AMCN

x y

x y

Lời giải

Chọn B

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD )

Ta có: SAO∆ = ∆SBO = ∆SCO= ∆SDO (tam giác vuông, SO là cạnh chung, SA

.

1

.3

3a

Câu 3: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC , với ) ϕ < °45 Tìm giá trị lớn nhấtcủa thể tích khối chóp S ABCD

A 3

3

83

a

3

43

a

3

23

a

Lời giải

Gọi D′ là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD′.

Khi đó DD SA′// mà SA⊥(SBC) (vì SA⊥SB, SA⊥BC ) nên D′ là hình chiếu vuông góc của

Câu 4: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD ,

trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC=3BM ,3

V

2

2619

V

2

319

V

2

1519

V

V = .

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi V ABCD =V , I =MN∩CD , Q IP= ∩AD ta có Q=AD∩(MNP).

Thiết diện của tứ diện ABCD được cắt bởi mặt phẳng (MNP là tứ giác MNQP )

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và ACD ta có:

V

V = .

-HẾT -Câu 5: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC

có AB a= , AC a= 3, SB>2a và ·ABC BAS=· =·BCS = °90 Sin của góc giữađường thẳng SB và mặt phẳng (SAC bằng 11)

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD và)

(ABCD bằng ) 60 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc củao

đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD nằm trong hình vuông ) ABCD Khoảng cách giữa hai đườngthẳng SM và AC là

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa (SCD và)

(ABCD bằng ) 60 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc củao

đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD nằm trong hình vuông ) ABCD Khoảng cách giữa hai đườngthẳng SM và AC là

Gọi I là trung điểm cạnh CD, khi đó AB SM AB (SMI)

33

,

5154

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh 2a , gọi M là

trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′ sao cho

14

a

3

113

a

3

113

a

Lời giải Chọn B

Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp

Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′, gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA′, BB′,

CC′ Mặt phẳng (MPN cắt cạnh DD) ′ tại Q Khi đó:

.

Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD≡ AMNP ABCD ta có:

Diện tích hình thang DPNC là

1

.2

Xây dựng bài toán tổng quát

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam

giác cân, suy ra: AI ⊥NC,AI ⊥DM ⇒AI ⊥(CDMN)

15 74

7

Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc

với mặt phẳng (ABC Trên ) d lấy điểm S và đặt AS=x, (x>0) Gọi H và K

lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Biết HK cắt d tại điểm

S′ Khi SS′ ngắn nhất thì khối chóp S ABC có thể tích bằng

với mặt phẳng (ABC Trên ) d lấy điểm S và đặt AS=x, (x>0) Gọi H và K

lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Biết HK cắt d tại điểm

S′ Khi SS′ ngắn nhất thì khối chóp S ABC có thể tích bằng

A m∈(2;+∞) B m∈ −( 2;2) C m∈¡ D m∈ −∞ −( ; 2)

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị ( )C của hàm số y x= − +3 3x m cắt trục hoành tại

đúng 3 điểm phân biệt

A m∈(2;+∞) B m∈ −( 2; 2) C m∈¡ D m∈ −∞ −( ; 2)

Lời giải Chọn B

Câu 16: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC′) bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC′) và (BCC B′ ′) bằng α với 1

2 3cosα = (tham khảo hình vẽ dưới đây) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bằng

38

Câu 17: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC′) bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC′) và (BCC B′ ′) bằng α với 1

2 3cosα = (tham khảo hình vẽ dưới đây) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bằng

38

Lời giải Chọn C

Gọi O là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC

Trong mp C CO( ′ ) kẻ CH ⊥C O′ tại H

Khi đó d C ABC( ,( ′ =) ) CH =a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ, gọi 2x là độ dài cạnh của tam giác ABC ta có

Câu 18: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E , F lần lượt là trung điểm

AA′ và BB′; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A′ ′ tại E′, đường thẳng CF cắt đườngthẳng C B′ ' tại F′ Thể tích khối đa diện EFA B E F′ ′ ′ ′ bằng

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a= và vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), α là góc giữahai mặt phẳng (AMN và ) (SBD Giá trị sin) α bằng

Câu 20: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E , F lần lượt là trung điểm

AA′ và BB′; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A′ ′ tại E′, đường thẳng CF cắt đườngthẳng C B′ ' tại F′ Thể tích khối đa diện EFA B E F′ ′ ′ ′ bằng

Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a= và vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), α là góc giữahai mặt phẳng (AMN và ) (SBD Giá trị sin) α bằng

Gọi O= AC∩BD, trong mặt phẳng (SAC , gọi ) K =SO∩MN , suy ra K là trung điểm của

α chính là góc giữa KA và KO , suy ra sinα =sin AKO·

Gọi H là hình chiếu của A lên SO

Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên

2

2

32

62

a a

364

a AH AKO

AK a

Câu 23: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

Gọi x ( )m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 mx( ) và h( )m là chiều cao bể

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin =96

Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 96.500000 48000000= đồng

Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể

2

2562

Câu 24: Cho tứ diện ABCD Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai

đoạn thẳng BC và BD sao cho 2 BC 3BD 10

N

1 2

1

31

Câu 26: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC′) bằng

a , góc giữa hai mặt phẳng (ABC′) và (BCC B′ ′) bằng α với cos 1

N

Câu 27: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC′) bằng

a , góc giữa hai mặt phẳng (ABC′) và (BCC B′ ′) bằng α với cos 1

3

α = (tham khảo hình vẽdưới đây)

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bằng

Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ABC

Trong mặt phẳng (DBC vẽ ) MN cắt CD tại K

Trong mặt phẳng (ACD vẽ PK cắt AD tại Q )

Theo định lý Mennelaus cho tam giác ∆BCD cát tuyến MNK ta có KC ND MB 1

KD NB MC =

3

KC KD

Theo định lý Mennelaus cho tam giác ∆ACD cát tuyến PKQ ta có KC QD PA. . 1

KD QA PC =

32

QA QD

5

QA AD

BMN

BCD

S S

AB MNPQ

MNPQ

V V

Gọi O AC BD= ∩ , M là trung điểm SA và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

a

b M

O