PHÉP ĐẾM HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP NHỊ THỨC NIU TƠN phần 2

DẠNG 2: SẮP XẾP NGƯỜI HOẶC ĐỒ VẬT Xếp học sinh A, B, C, D, E, F vào ghế dài, có cách xếp nếu: a) học sinh ngồi b) A F ngồi hai đầu ghế c) A F luôn ngồi cạnh d) A, B, C luôn ngồi cạnh e) A, B, C, D luôn ngồi cạnh f) A F luôn ngồi cạnh LỜI GIẢI a) Xếp học sinh vào ghế thành hàng ngang hoán vị phần tử Số cách xếp 6! cách b) Bước 1: Xếp A F ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp Bước 2: Xếp bạn cịn lại vào ghế cịn lại có 4! cách xếp Theo quy tắc nhân có: 2!4! 48 cách xếp c) Vì A F ln ngồi cạnh nên gom bạn thành nhóm X Bước 1: Xếp X bạn cịn lại ngồi vào ghế có 5! cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 2! cách xếp bạn nhóm X Theo quy tắc nhân có: 5!2! 240 cách d) Vì A, B, C ln ln ngồi cạnh nên gom ba bạn thành nhóm Y Bước 1: Xếp Y bạn lại ngồi vào ghế có 4! cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 3! cách xếp bạn nhóm Y Theo quy tắc nhân ta có: 4!3! 144 cách xếp e) Vì A, B, C, D ln ngồi cạnh nhau, nên gom người thành nhóm Z Bước 1: Xếp Z hai người cịn lại, có 3! cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 4! cách xếp phần tử Z Theo quy tắc nhân có 3!4! 144 cách f) Bước 1: Xếp bạn B, C, D, E ngồi vào ghế có 4! cách xếp Bước 2: Giả sử bạn B, C, D, E vách ngăn Giữa bạn có vị trí, thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí trống để xếp hai bạn A F Chọn vị trí vị trí, sau xếp bạn A F , có A cách Theo quy tắc nhân có: 4!A 480 cách Một tổ có nam nữ, có bạn A B Hỏi có cách xếp tổ thành hàng ngang cho: a) A B đứng cách hai người b) Giữa người nữ có người nam c) Khơng có người nữ đứng gần LỜI GIẢI a) Bước 1: Chọn người người cịn lại, có C62 cách chọn, để tao thành nhóm X thỏa điều kiện AabB đứng kề với a b người vừa chọn Bước 2: Xếp X người lại (bỏ người A, a, b, B) có 5! cách xếp Bước 3: Ứng với cách xếp bước có 2! cách xếp hai người A B, có 2! cách xếp hai người a b Theo quy tắc nhân có C62 5!.2!.2! 7200 cách xếp thỏa u cầu b) Vì bạn nữ có vị trí trống, để xếp thỏa u cầu phải có dạng AaBbC Trong A, B, C bạn nữ, a, b bạn nam Bước 1: Chọn bạn nam bạn nam, có C 25 cách Bước 2: Gọi nhóm AaBbC X Xếp X bạn nam lại thành hàng ngang có 4! cách Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 2! cách xếp bạn nam X 3! cách xếp bạn nữ X Theo quy tắc nhân có C 25 4!.2!.3! cách xếp thỏa yêu cầu c) Bước 1: Xếp bạn nam thành hàng dọc có 5! cách xếp Bước 3: Coi bạn nam vách ngăn, bạn nam có vị trí trống thêm vị trí ngồi cùng, suy có vị trí để xếp người nữ, chọn vị trí vị trí có A 36 cách chọn Theo quy tắc nhân có 5!.A 63 14400 cách Có ơng già, bà lão, em bé Có cách xếp vào ghế dài nếu: a) Ơng già, bà lão, em bé ngồi b) ông già ngồi cạnh nhau, bà lão ngồi cạnh nhau, em bé ngồi cạnh c) bà lão ngồi cạnh nhau, em bé ngồi cạnh LỜI GIẢI 12! 479001600 cách xếp a) Xếp 12 người vào ghế dài có b) Bước 1: Xếp ơng già ngồi cạnh nhau, có 5! cách xếp Bước 2: Xếp bà lão ngồi cạnh nhau, có 4! cách xếp Bước 3: Xếp em bé ngồi cạnh có 3! cách xếp Bước 4: Hốn vị nhóm có 3! Cách Theo quy tắc nhân có: 5!4!3!3! 103680 cách xếp Có người đàn ông, người đàn bà đứa trẻ xếp ngồi vào bảy ghế đặt quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp cho: a) Đứa trẻ ngồi hai người đàn bà? b) Đứa trẻ ngồi hai người đàn ơng? LỊI GIẢI a) Bước 1: Chọn ghế xếp em bé, có cách (vì ngồi xung quanh bàn trịn) Bước 2: Xếp người phụ nữ ngồi ghế kề em bé, có 2! cách Bước 3: Xếp người đàn ơng vào ghế cịn lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân có 2!.4! = 48 cách xếp b) Bước 1: Chọn người đàn ông người, có C 24 cách Bước 2: Chọn ghế xếp em bé, có cách (vì ngồi xung quanh bàn trịn) Bước 3: Xếp người đàn ơng vừa chọn ngồi ghế kề em bé, có 2! cách Bước 4: Xếp người lại vào ghế lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân có C 24 2!.4! 288 cách xếp Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu: a) Ghế xếp thành hàng ngang? b) Ghế xắp quanh bàn tròn? LỜI GIẢI a) Bước 1: Xếp bạn nam thành dãy, có 6! cách Bước 2: Xem bạn nam vách ngăn, bạn nam có vị trí thêm vị trí hai đầu Tổng cộng có vị trí để xếp bạn nữ Chọn vị trí vị trí để xếp bạn nữ, có A74 cách Theo quy tắc nhân có 6!.A74 604800 cách b) Bước 1: Xếp bạn nam ngồi quanh bàn trịn, có 5! cách Bước 2: Xem bạn nam vách ngăn, bạn nam có vị trí để để xếp bạn nữ Chọn vị trí vị trí để xếp bạn nữ, có A64 cách Theo quy tắc nhân có 5!.A64 43200 cách Một nhóm học sinh có em nam em nữ Hỏi có cách xếp 10 em hàng ngang yêu cầu sau đây: a) Giữa hai bạn nữ khơng có em nam nào? b) Hai vị trí đầu cuối hàng em nam khơng có em nữ ngồi cạnh nhau? LỜI GIẢI a) Vì bạn nữ khơng có bạn nam nào, có nghĩa bạn nữ đứng cạnh Gọi nhóm bạn nữ nhóm X Bước 1: Xếp X bạn nam hàng ngang, có 8! cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 3! cách xếp bạn nữ X Vậy có 8!.3! = 241920 cách xếp b) Bước 1: Xếp bạn nam thành hàng ngang, có 7! cách xếp Bước 2: Xem bạn nam vách ngăn, bạn nam có vị trí để xếp bạn nữ Chọn vị trí vị trí để xếp ba bạn nữ có A63 cách Theo quy tắc nhân có !.A63 604800 cách Có cách xếp bạn nam bạn nữ ngồi xung quanh bàn trịn, cho khơng có bạn nữ ngồi cạnh LỜI GIẢI Ta thực công đoạn sau: Bước 1: Xếp bạn nam ngồi quanh bàn trịn, có (5 – 1)! = 4! Cách Bước 2: bạn nam có khoảng trống (xem bạn nam vách ngăn), sau xếp bạn nữ vào khoảng trống có A 35 cách Theo quy tắc nhân có 4!.A 35 1440 cách Nhóm có 10 học sinh có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc,sao cho học sinh nam phải đứng liền LỜI GIẢI Do nam đứng cạnh nên ta xem họ vị trí x Bước 1: xếp x nữ có 4! cách Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 7! cách xếp nam x Do số cách xếp cần tìm 4!7! 120960 cách Xếp nam, nữ vào ghế Có cách, : a Nam nữ xếp ngồi tùy ý b Xếp người ngồi kề c Xếp nam ngồi kề, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống LỜI GIẢI a Chọn ghế ghế xếp người ngồi vào : có A85 cách xếp b Ta có trường hợp sau :  Ghế thứ 6, 7, trống ;  Ghế thứ 1, 7, trống ;  Ghế thứ 1, 2, trống ;  Ghế thứ 1, 2, trống Mỗi cách xếp có 5! cách xếp người ngồi vào Vậy có tất 4.5! cách xếp Cách 2: Gọi nhóm người nhóm A Nhóm A chiếm ghế cịn lại ghế trống Bây ta xem nhóm A ngồi ghế Bước 1: Cách xếp A vào ghế (3 ghế trống ghế ngồi), có cách Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 5! Cách xếp bạn nhóm A Theo quy tắc nhân có 4.5! cách c) Xem ba ghế nam ngồi nhóm; ghế nữ ngồi nhóm; mội ghế trống nhóm Ta có nhóm Chọn nhóm ghế để xếp nam nữ có A 25 cách Trong số có cách xếp nhóm nam nhóm nữ ngồi kề Do ta có 20  12 cách chọn vị trí để xếp nam nữ thỏa toán Ứng với cách xếp , ta có 3! cách xếp chỗ cho nam vào ba ghế dành cho nam có 2! cách xếp nữ ngồi vào vị trí dành cho nữ Vậy ta có tất 12.3!.2! cách xếp thỏa yêu cầu tốn Cách 2: Gọi nhóm nam X, nhóm nữ Y Tổng cộng hai nhóm chiếm ghế, ghế trống (ta coi nhóm X ngồi ghế, nhóm Y ngồi ghế) Bây toán trở thành xếp X Y vào ghế cho X Y không ngồi gần Trường hợp 1: Xếp X Y Bước 1: Chọn ghế ghế để xếp X Y, có A 25 cách Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 3! Cách xếp phần tử X, 2! Cách xếp bạn nữ Y Theo quy tắc nhân có A 25 3!.2! 240 cách Trường hợp 2: Xếp X Y ngồi cạnh Vì X Y ngồi cạnh nhau, nên gom nhóm thành nhóm A Bước 1: Xếp A vào ghế có cách Bước 2: Ứng với cách xếp bước 1, có 2! Cách xếp nhóm X Y Bước 3: Ứng với cách xếp bước 2, có 3! Cách xếp bạn nam X, 2! Cách xếp bạn nữ Y Vậy có 4.2!.3!.2! 96 cách xếp hai nhóm X Y ngồi cạnh Kết luận có 240 – 96 = 144 cách xếp thỏa yêu cầu Có người đàn ông , người đàn bà đứa trẻ Có cách xếp thành hàng ngang : a) Sao cho người đàn bà đứa trẻ đứng cạnh b) Sao cho đứa trẻ đứng hai người đàn bà c) Sao cho đứa trẻ đứng hai người đàn ông d) Đứa trẻ không đứng hai người đàn bà e) Hai người đàn bà đứa trẻ không đứng gần LỜI GIẢI a) Vì người đàn bà đứa trẻ đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Bước 1: Số cách xếp người đàn ông X P5 5! 120 cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp có 3! 6 cách xếp người đàn bà đứa trẻ Theo qui tắc nhân ta có 120.6 720 cách xếp thỏa mãn yêu cầu tốn b) Vì đứa trẻ đứng hai người đàn bà có nghĩa người đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Bước 1: Số cách xếp người đàn ông X P5 5! 120 cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp có 2! 2 cách xếp người đàn bà Theo qui tắc nhân ta có 120.2 240 cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán c) Đầu tiên chọn người đàn ơng người đàn ơng có C 24 6 cách chọn Vì đứa trẻ đứng hai người đàn ơng có nghĩa người đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Số cách xếp người gồm đàn ông lại, đàn bà X P5 5! 120 cách xếp Ứng với cách xếp có 2! 2 cách xếp người đàn ơng Theo qui tắc nhân ta có 120.2.6 1440 cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán d) Bước : Xắp sếp người 7! Bước : Xếp đứa trẻ đứng hai người đàn bà 240 cách Suy số cách xếp hai đứa trẻ không đứng hai người đàn bà : ! 240 4800 cách e) Hai người đàn bà đứa trẻ không đứng gần Bước 1: Xếp người đàn ơng thành hàng, có 4! Cách xếp Bước 2: Xem người đàn ông vách ngăn, người có vị trí thêm vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí để xếp phụ nữ trẻ em Chọn vị trí vị trí để xếp, có A 34 cách chọn Theo quy tắc nhân có 4!.A 34 576 cách xếp thỏa yêu cầu Xếp bạn nam bạn nữ thành hàng dọc Hỏi có cách xếp : a) Nữ đứng cạnh b) Nam nữ đứng xen kẽ c) Khơng có nữ đứng cạnh d) Nữ đứng thành cặp hai cặp không đứng cạnh LỜI GIẢI 10 a) Gọi bạn nữ thành nhóm X Cách xếp bạn nam X 7! cách Ứng với cách xếp có 4! cách xếp bạn nữ Theo quy tắc nhân có 7!.4! cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán c) Bước xếp bạn nam có 6! cách Vì bạn nữ khơng đứng cạnh , nên phải xếp bạn nữ xen bạn nam bạn nam có vị trí thêm vị trí hai đầu , tổng cộng có vị trí để xếp bạn nữ Vậy có tất A74 cách Theo qui tắc nhân có 6!.A74 604800 cách xếp thỏa mãn u cầu tốn d) Có C 24 6 cặp nữ a, b,c,d   a, b ,  c,d ,  a,c ,  b,d ,  a,d ,  b,c tập có cặp mà phần tử tập khác  a, b  c,d ,  a,c  b,d ,  a,d  b,c Bước xếp bạn nam có 6! cách Giữa bạn nam có vị trí thêm vị trí hai đầu , tổng cộng có vị trí để xếp cặp bạn nữ , có A72 cách xếp Ứng với cách xếp cặp bạn nữ có 2! cách xếp cặp bạn nữ thứ có 2! cách xếp cặp bạn nữ thứ hai Vì cách xếp cặp Theo quy tắc nhân có 3.6!.A72 2!.2! 362880 cách xếp Có người đàn ông , người đàn bà đứa trẻ Có cách xếp thành hàng ngang : a) Sao cho người đàn bà đứa trẻ đứng cạnh b) Sao cho đứa trẻ đứng hai người đàn bà c) Sao cho đứa trẻ đứng hai người đàn ông d) Đứa trẻ không đứng hai người đàn bà LỜI GIẢI a) Vì người đàn bà đứa trẻ đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Số cách xếp người đàn ơng X P5 5! 120 cách xếp Ứng với cách xếp có 3! 6 cách xếp người đàn bà đứa trẻ Theo qui tắc nhân ta có 120.6 720 cách xếp thỏa mãn u cầu tốn b) Vì đứa trẻ đứng hai người đàn bà có nghĩa người đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Số cách xếp người đàn ơng X P5 5! 120 cách xếp Ứng với cách xếp có 2! 2 cách xếp người đàn bà Theo qui tắc nhân ta có 120.2 240 cách xếp thỏa mãn yêu cầu tốn c) Đầu tiên chọn người đàn ơng người đàn ơng có C 24 6 cách chọn Vì đứa trẻ đứng hai người đàn ông có nghĩa người đứng cạnh nên gom người thành nhóm X Số cách xếp người gồm đàn ông đàn bà X P5 5! 120 cách xếp Ứng với cách xếp có 2! 2 cách xếp người đàn ông Theo qui tắc nhân ta có 120.2.6 1440 cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán d) Bước : Xắp sếp người 7! Bước : Xếp đứa trẻ đứng hai người đàn bà 240 cách Suy số cách xắp hai đứa trẻ không đứng hai người đàn bà : ! 240 4800 Có nam, nữ có ba bạn tên A, B, C Hỏi có cách xếp thành hàng dọc để vào lớp cho: a) Các bạn nữ không đứng cạnh b) Đầu hàng cuối hàng nam c) Đầu hàng cuối hàng phái d) Đầu hàng cuối hàng khác phái e) A, B, C đứng gần f) A, B, C không đứng gần g) A, B đứng cách người h) A, B cách người LỜI GIẢI a) Các bạn nữ không đứng cạnh Bước 1: Xếp bạn nam thành hàng có 6! cách Xem bạn nam vách ngăn, bạn nam có vách ngăn, thêm vị trí đầu cuối tổng cộng có vị trí để xếp bạn nữ Bước 2: Xếp chọn vị trí trống vị trí để xếp bạn nữ vào, có A76 cách Theo quy tắc nhân có 6!.A76 3628800 cách xếp thỏa yêu cầu b) Đầu hàng cuối hàng nam Bước 1: Chọn bạn nam xếp vào đầu hàng cuối hàng có A62 cách Bước 2: Xếp bạn nữ bạn nam lại vào có 10! Cách xếp Theo quy tắc nhân có A62 10! 108864000 cách xếp c) Đầu hàng cuối hàng phái Trường hợp 1: Đầu hàng cuối hàng nam Theo câu b) có 108864000 cách xếp Trường hợp 1: Đầu hàng cuối hàng ln nữ Cách xếp hồn tồn tương tự câu b) số cách xếp 108864000 cách Theo quy tắc cộng có 108864000  108864000 217728000 cách d) Đầu hàng cuối hàng khác phái Bước 1: Nếu đầu hàng nam cuối hàng nữ, cịn đầu hàng nữ cuối hàng nam Vậy có cách chọn giới đầu hàng Có cách chọn bạn nam để xếp vào đầu hàng cuối hàng, có cách chọn bạn nữ để xếp vào đầu hàng cuối hàng Bước 2: Còn lại 10 bạn xếp vào có 10! Cách xếp Theo quy tắc nhân có 2.6.6.10! 261273600 e) A, B, C đứng gần Vì nhóm A, B, C ln đứng gần nhau, nên gọi nhóm X Bước 1: Xếp X người lại vào thành hàng dọc có 10! cách xếp Bước 2: Ứng với cách xếp bước có 3! cách xếp bạn nhóm X Theo quy tắc nhân có 10!.3! 21772800 cách f) A, B, C không đứng gần Bước 1: Xếp bạn cịn lại (khơng có bạn A, B, C) vào thành hàng có 9! cách xếp Xem bạn vách ngăn, bạn có vách ngăn, thêm vị trí đầu cuối tổng cộng có 10 vị trí để xếp bạn A, B, C Bước 2: Có A10 cách xếp bạn A, B, C vào 10 vị trí 261273600 cách xếp thỏa yêu cầu Theo quy tắc nhân có 9!.A10 g) A, B đứng cách người Bước 1: Chọn người 10 người cịn lại, có 10 cách chọn, để tao thành nhóm X thỏa điều kiện AaB đứng kề với a người vừa chọn Bước 2: Xếp X người lại (bỏ người A, a, B) có 10! cách xếp Bước 3: Ứng với cách xếp bước có 2! cách xếp hai người A B Theo quy tắc nhân có 10.10!.2! 72576000 cách xếp thỏa yêu cầu Cách 2: Bước 1: Xếp 10 người (bỏ A, B) thành hàng dọc có 10! cách xếp Bước 2: Ta xem 10 người 10 vách ngăn, có 11 khoảng trống kề tức có 10 cặp khoảng trống để xếp bạn A B vào Tức có 10 cách xếp Bước 3: Ứng với cách xếp bước có 2! cách xếp hai người A B Theo quy tắc nhân có 10.10!.2! 72576000 cách xếp thỏa yêu cầu h) A, B cách người Bước 1: Chọn người 10 người cịn lại, có C10 cách chọn, để tao thành nhóm X thỏa điều kiện AabB đứng kề với a b hai người vừa chọn Bước 2: Xếp X người lại (bỏ người A, a, b, B) có 9! cách xếp Bước 3: Ứng với cách xếp bước có 2! cách xếp hai người A B, có 2! cách xếp hai người a b 9!.2!.2! 65318400 cách xếp thỏa yêu cầu Theo quy tắc nhân có C10 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm học sinh từ 50 học sinh dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm chọn khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn nhóm LỜI GIẢI Bước 1: Chọn em 50 em có C 350 cách Bước 2: Chọn em có cặp anh em sinh đơi Đầu tiên chọn cặp anh em sinh đơi có cách chọn sau chọn em 48 em cịn lại có 48 cách Vậy có 4.48 192 cách chọn em có cặp anh em sinh đơi Vậy có C 350  192 19408 cách chọn thỏa yêu cầu (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với LỜI GIẢI 1) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: B A B A A B B A A B B A B A A B B A A B B A A B Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách 2).Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách Một đồn tàu có ba toa chở khách : toa 1, toa 2, toa Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tàu Biết toa có ghế trống Hỏi có : a cách xếp cho vị khách lên toa tàu ? b cách xếp cho vị khách lên tàu để có toa có vị khách ? LỜI GIẢI a Mỗi vị khách có cách lên toa Vậy có 34 81 cách xếp cho vị khách lên toa tàu b Ta có :  Chọn vị khách vị xếp vào toa : có C 34 cách ;  Xếp vị khách lại lên hai toa cịn lại : có cách Vậy có C 34 3.2 4.6 24 cách xếp thỏa u cầu tốn Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giống vào hộc có trống a) Hỏi có cách xếp khác Nhận xét: sử dụng phương pháp gián tiếp giải đơn giản phương pháp trực tiếp nhiều Một lớp học có 10 học sinh nam 15 học sinh nữ a) Có cách chọn từ đội gồm 12 người b) Chọn từ đội văn nghệ gồm 13 người cho có 10 nữ phải có nam nữ LỜI GIẢI 12 a) Chọn 12 người 25 người, có C 25 cách chọn b) Có trường hợp sau xảy theo yêu cầu: 10 Trường hợp 1: Chọn 10 nữ nam, có C15 C10 cách 11 Trường hợp 2: Chọn 11 nữ nam, có C15 C10 cách 12 Trường hợp 3: Chọn 12 nữ nam, có C15 C10 cách 10 11 12 Theo quy tắc cộng có: C15 C10 + C15 C10 + C15 C10 = 426335 cách Một lớp có học sinh nam 12 học sinh nữ a) Chọn từ học sinh cho có đủ nam nữ Hỏi có cách chọn b) Chọn từ 10 học sinh cho có học sinh nam Hỏi có cách chọn LỜI GIẢI a) Chọn học sinh 20 học sinh bất kỳ, có C 20 cách Chọn học sinh nam, có C8 cách Chọn học sinh nữ, có C12 cách   6 Vậy có C 20  C8  C12 37808 cách 10 b) Chọn 10 học sinh 20 học sinh, có C 20 cách 10 Chọn 10 học sinh nữ, có C12 cách Chọn 10 học sinh có nữ nam, có C12 C8 cách   10 10 Vậy có C 20  C12  C12 C8 182930 cách Một đơi niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ LỜI GIẢI (Nhận xét tỉnh khơng có tên nên khơng hốn vị) C13 cách Bước 1: Chọn nam nữ cho tỉnh thứ nhất, có C12 Bước 2: Chọn nam nam lại và1 nữ nữ cho tỉnh thứ hai, có C84 C12 cách Bước 3: nam cịn lại nữ lại giúp cho tỉnh thứ 3, có cách C13 C84 C12 207900 cách Số cách chọn theo yêu cầu toán C12 (ĐH khối B 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng LỜI GIẢI Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ 3, nên có trường hợp sau: 2 C10 C15 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 C110 C52 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 C110 C15 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 Vậy tất có: 2 C15 C10 C15 + C15 C110 C52 + C15 C110 C15 = 23625 + 10500 + 22750 = 56875 đề (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? LỜI GIẢI Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho là: C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp học sinh  Số cách chọn là: C 25 C14 C13 = 120  Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp học sinh:  Số cách chọn là: C15 C42 C13 = 90  Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp học sinh:  Số cách chọn là: C15 C14 C 32 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là:120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B học sinh khối C chọn học sinh cho khối có học sinh Tính số cách chọn LỜI GIẢI + Trường hợp 1: khối có học sinh khối cịn lại khối có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có cách - Bước 2: khối chọn ta chọn học sinh có C 34 4 cách - Bước 3: khối cịn lại khối có cách chọn Suy có 3.4.4.4 = 192 cách + Trường hợp 2: khối có học sinh khối cịn lại có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có C 23 3 cách - Bước 2: khối chọn ta chọn học sinh có C 24 6 cách - Bước 3: khối cịn lại có cách chọn Suy có 3.6.6.4 = 432 cách Vậy có 192 + 432 = 624 cách Cách khác: 792 cách + Chọn học sinh tùy ý có C12 + Chọn học sinh khối A B (tương tự khối A C, B C) có C85 56 cách Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách Hội đồng quản trị công ty gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ LỜI GIẢI + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A12 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C10 cách 2 C10 Suy có A12 cách bầu loại + Loại 2: bầu người toàn nam - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A72 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C 25 cách Suy có A72 C25 cách bầu loại 2 C10  A72 C25 5520 cách Vậy có A12 Có 16 học sinh gồm học sinh giỏi,5 học sinh khá,8 học sinh trung bình.Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh LỜI GIẢI Vì có học sinh giỏi hai tổ phải có học sinh giỏi nên tổ có học sinh phải có học sinh giỏi,gọi tổ có học sinh giỏi tổ A Số cách lập tổ A Bước 1:chọn học sinh giỏi cho tổ A: có cách Bước 2:chọn học sinh trung bình TH1:Nếu A có học sinh phải có học sinh trung bình.Do ta có C 25 C85 cách chọn TH2:Nếu A có học sinh phải có học sinh trung bình.Do ta có C 35 C84 cách chọn Tóm lại ta có tất cả: 3(C25 C85  C53 C84 ) 3(10.56  10.70) 3780 cách Số cách chọn tổ A cách chia học sinh làm tổ theo u cầu tốn Có người Mỹ, người Pháp, người Anh, người Nhật Cần chọn người nghị Hỏi có cách chọn cho a).Mỗi nước có đại biểu? b).Khơng có nước có đại biểu LỜI GIẢI a).Xét trường hợp: Trường hợp 1: Một nước có đại biểu nước nước có đại biểu Chọn nước, cử đại biểu có C14 cách, chọn người người nước C 34 4 cách Ba nước cịn lại nước có C14 cách chọn đại biểu Vậy ta có C14 C 34 C14 C14 C14 4 1024 cách Trường hợp 2: Hai nước nước đại biểu nước nước đại biểu Bước 1: Chọn nước nước có đại biểu C 24 cách Bước 2: Chọn người nước ta có C 24 6 Bước 3: Hai nước lại, nước chọn người người ta có C14 cách Theo quy tắc nhân có C 24 C 24 C 24 C14 C14 3456 cách Kết luận theo quy tắc cộng ta có 1024  3456 4480 cách chọn b).Xét trường hợp Trường hợp 1: nước, nước đại biểu: Chọn nước để nước chọn đại biểu có C 34 4 cách.Chọn người nước có C 24 6 cách.ba nước có cách Vậy ta có 4.6 cách Trường hợp 2: Có nước, nước có đại biểu nước nước có đại biểu (đã có câu a, ta có 3.4 cách) Theo quy tắc cộng ta có 4.6  3.4 4320 cách Cho tập A có 20 phần tử a Có tập tập hợp A ? b Có tập hợp khác rỗng tập hợp A mà có số phần tử chẵn ? LỜI GIẢI a  Có C020 tập khơng có phần tử ;  Có C120 tập có phần tử ;  Có C 220 tập có phần tử ;  Có C 320 tập có phần tử ; ……………  Có C 20 20 tập có 20 phần tử 20 Vậy có tất C020  C120   C 20 tập A 20 2 b  Có C 220 tập có phần tử ;  Có C 420 tập có phần tử ;  Có C620 tập có phần tử ; ……………  Có C 20 20 tập có 20 phần tử 19 Vậy có tất C 220  C 420   C 20 20 2  tập A 19 20 20 (1  x) 20 Thật vậy, ta có : C020  C120 x  C 220 x   C19 20 x  C 20 x 20 20 Cho x 1 ta có : C020  C120  C 220   C19 20  C 20 2 20  20 20   C020  C 20   C18 Và C020  C120  C 220   C19 20  C 20  2 20  C 20 0  20  219  Một bơ tú lơ khơ có 52 quân , loại , rô, chuồn, bích có 13 qn Cần lấy từ qn có cơ, rơ, khơng có q bích Hỏi có cách lấy LỜI GIẢI  C 220  C 420   C 20 20  Số cách chọn quân 13 quân: C113 13 cách Số cách chọn qn rơ 13 qn, có C13 cách Ta xét tiếp trường hợp sau: TH1: Không có qn bích nào, tức chuồn:có C13 cách Do số cách chọn 13C13 C13 3 C13 TH2: Có qn bích, chuồn, có C113 C13 cách Do số cách chọn 13.C113 C13 2 2 C13 C13 C13 TH3: Có qn bích, chuồn, có C13 cách Do số cách chọn 13 C13 2 (C13  C13 C13  C13 C13 ) 39102206 cách Theo quy tắc cộng ta có: 13.C13 Xét biển số xe dãy gồm hai chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, … , Z ; chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, … , a) Có biển số xe chữ khác chữ O chữ số đơi khác ? b) Có biển số xe có hai chữ khác nhau, có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ giống ? LỜI GIẢI a Có 26 cách xếp hai chữ cái, có cách xếp mà hai chữ chữ O  có 26  cách xếp hai chữ đứng trước chữ khác O Có A10 cách xếp chữ số đôi khác 3402000 biển số xe Vậy có tất (26  1).A10 b Có 26.25 cách xếp chữ khác Chọn số lẻ xếp vào vị trí bốn chữ số có 5.C 24 cách ; Xếp số chẵn vào vị trí cịn lại có 52 cách Vậy tất có 26.25.5.C 24 52 487500 biển số 53 Cho tập M  0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 N tập gồm 26 chữ bảng chữ tiếng Anh Giả sử Hà Nội ta cần lập biển số xe có dạng sau 29 – Xm abcd X  N, m  M\   a, b,c,d  M trùng a Có biển số xe tạo thành ? b Có biển số thỏa a  b  c  d số có tận ? LỜI GIẢI a Ta thấy : có 26 cách chọn chữ X ; có cách chọn số m ; có 10 cách xếp số a, b, c, d Vậy ta có 26.9.10 2340000 biển số xe tạo thành b Ta có : có 26 cách chọn chữ X ; có cách chọn số m ; có 10 cách xếp số a, b, c; có cách chọn d ( a  b  c số có tận e ta chọn d 9  e ) Vậy có 26.9.10 234000 biển số xe Một bảng xe gắn máy thành phố X có cấu tạo sau: -Phần đầu gồm chữ phân biệt viết hoa bảng chữ -Phần sau gồm chữ số chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ví dụ: SA0979, EY 3535, Hỏi có cách cấu tạo bảng số xe theo cấu tạo (giả sử bảng chữ có tất 26 chữ cái) LỜI GIẢI Gọi bảng số xe có dạng X1X x x x x6 , X1, X2 chữ, x3, x4, x5, x6 chữ số Bước 1: Có 26 cách chọn chữ cho X1 Bước 2: Có 25 cách chọn chữ cho X2 (bỏ chữ mà X1 chọn) Bước 3: Mỗi chữ số x3, x4, x5, x6 có 10 cách chọn khơng có phân biệt Theo quy tắc nhân có 26.25.10 6500000 bảng số xe thỏa yêu cầu TỔ HỢP LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC ... có : C 020  C 120  C 22 0   C19 20  C 20 ? ?2 20  20 20   C 020  C 20   C18 Và C 020  C 120  C 22 0   C19 20  C 20  ? ?2 20  C 20 0  20  ? ?21 9  Một bơ tú lơ khơ có 52 qn , loại ,... 20 20 tập có 20 phần tử 19 Vậy có tất C 22 0  C 420   C 20 20 ? ?2  tập A 19 20 20 (1  x) 20 Thật vậy, ta có : C 020  C 120 x  C 22 0 x   C19 20 x  C 20 x 20 20 Cho x 1 ta có : C 020 ... Có C 320 tập có phần tử ; ……………  Có C 20 20 tập có 20 phần tử 20 Vậy có tất C 020  C 120   C 20 tập A 20 ? ?2 b  Có C 22 0 tập có phần tử ;  Có C 420 tập có phần tử ;  Có C 620 tập có phần tử