Các bài toán đếm – xác suất hay và khó

CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM – XÁC SUẤT HAY VÀ KHĨ Tạp chí tư liệu tốn học Tiếp nối thành công số trước, số cñng tëm hiểu tốn đếm – xác suất hay khó Bên cạnh phương pháp tình xác suất sách giáo khoa, viết giới thiệu cho bạn vài công cụ mạnh để giải toán xác suất Bản pdf đăng blog Chinh phục Olympic toán bạn chò ó đỵn đọc nhé! I HAI BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT CĨ NHIỀU ỨNG DỤNG BÀI TỐN CHIA KẸO EULER Bài toán chia kẹo Euler toán tiếng Lý thuyết tổ hợp Với học sinh chuyên Toán cấp thë tốn quen thuộc có nhiều ứng dụng Dưới cách tiếp cận toán chia kẹo Euler cho học sinh lớp & để thấy tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp nói chung ln tốn mà lời giải chứa đựng hồn nhiên ngây thơ Trước hết, xin phát biểu lại toán chia kẹo Euler Bài toán chia kẹo Euler: Có n kẹo (giống nhau) chia cho k em bé, hỏi có cách chia cho em cỵ kẹo Một cách hợp lì, ta xét toán trường hợp cụ thể, đơn giản để từ đỵ định hướng đưa lời giải cho tốn tổng qt Bài tốn Có 20 kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia cho a) Mỗi em có kẹo b) Mỗi em có kẹo c) Em thứ có kẹo, em thứ hai có kẹo em thứ ba có nhiều kẹo Lời giải a) Nhận thấy rằng, em có kẹo nên số kẹo em thứ nhận nhiều 18 Xét trường hợp Trường hợp Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 18 em thứ ba nhận số kẹo lại sau chia cho em thứ em thứ hai xong, nghĩa trường hợp có 18 cách chia kẹo Trường hợp Em thứ nhận kẹo, đỵ số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 17 em thứ ba nhận số kẹo lại, nghĩa trường hợp có 17 cách chia kẹo … Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ Hồn tồn tương tự cho trường hợp lại, ta nhận thấy số cách chia 20 kẹo cho em bé cho em cỵ kẹo 18  17     171 Phát biểu tổng quát Nếu k  có cách chia kẹo Nếu k  ta trải n kẹo thành dàn hàng ngang, ta dùng  k   thước đặt vào  n  1 khe viên kẹo để chia thành k phần Như có tất C kn 11 cách Cả trường hợp ta có C kn 11 cách chia kẹo Trên lời giải toán chia kẹo Euler – toán đếm tiếng với nhiều ứng dụng toán đếm khác Bài tác giả trình bày tốn gốc số toán đếm dạng ứng dụng mà đếm theo cách thïng thường khỵ khăn, hiểu theo đếm toán Euler tốn lại trở thành đơn giản Sau ta tìm hiểu ứng dụng lớn việc đếm số nghiệm nguyên phương trënh Bài toán Phương trënh k x i 1  n  n  k  có nghiệm nguyên dương? i Coi x i phần kẹo em nhỏ thứ i tốn chia kẹo số nghiệm phương trình số cách chia n kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trënh cỵ C kn 11 nghiệm nguyên dương Bài toán Phương trënh k x i 1  n  n  k  có nghiệm ngun khơng âm? i Ta có x1  x   x k  n   x     x      x k    n  k Đặt x i '  x i  xi ' số nguyên dương Áp dụng tốn gốc ta có tất C kn 1k 1 nghiệm ngun khơng âm phương trënh Bài tốn Bất phương trënh k x i 1 Ta ln có k k i 1 i 1 i  n  n  k   có nghiệm nguyên dương?  xi  n   xi  x'  n  x'  1 Vậy có tất Ckn 1 nghiệm nguyên dương phương trënh Bài toán Bất phương trënh k x i 1 Ta có k x i 1 i i  n  n  k  có nghiệm nguyên dương? k k i 1 i 1  n   xi  x'  n  x'     xi  x''  n   x''  x'  Áp dụng toán Euler ta có C kn nghiệm Bài tốn Phương trënh k x i 1 i  n có nghiệm nguyên thỏa mãn đồng thời k điều kiện xi  di  di   , n   di  k   ? i 1 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 xi '   k Đặt x i '  x i  d i    k x '  n  k  di   i  i 1 i 1 k Đặt D   di theo tốn chia kẹo, phương trënh cỵ C kn 1k D 1 nghiệm i 1 BÀI TỐN ĐẾM HÌNH HỌC Bài tốn Cho đa giác cỵ n đỉnh Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác  Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  n    Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  Khơng có cạnh chung với đa giác C 3n  n  n  n   Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh Số tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác n  2n   Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác tñ tạo thành từ n đỉnh  n  2k  n.C 2n   đa giác   n  2k   n.C n 1  Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác nhọn tạo thành từ n đỉnh đa giác  C 3n  (số tam giác tù + số tam giác vng) Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Cơng thức tổng qt tính số tam giác tù:  Nếu n chẵn  n.C 2n 2  Nếu n lẻ  n.C 2n 1 Bài toán Cho đa giác cỵ n đỉnh Xét tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác  Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  C 2n    n     A  Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  n    n  n  5 B  Cỵ đòng cạnh chung với đa giác n  C  Không có cạnh chung với đa giác C n4   A  B  C  Và ta chứng minh C n4   A  B  C   n C n 5 Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT C 2n Bài tốn Cho đa giác có 4n đỉnh Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH VNG n Chứng minh Tứ giác có cạnh chung với đa giác Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Chọn cạnh n cạnh đa giác nên cỵ n cách Chọn đỉnh lại n  đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có C 2n  đỉnh khïng liên tiếp nên trừ cho n  (vì đỉnh liên tiếp tạo nên cạnh mà có n  đỉnh lại nên có n  cạnh) Vậy trường hợp có n  C 2n    n    tứ giác Tứ giác có cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Vì hai cạnh kề cắt đỉnh, mà đa giác cỵ n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Chọn đỉnh lại n  đỉnh (bỏ đỉnh tạo nên hai cạnh kề đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ) Do đỵ trường hợp có n  n   tứ giác Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên cỵ n cách Trong n  đỉnh lại (bỏ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề cạnh chọn, tham khảo hình vẽ) tạo nên n  cạnh Chọn cạnh n  cạnh đỵ nên cỵ n  cách Tuy nhiên trường hợp số tứ giác mënh đếm đến lần Do đỵ trường hợp có | Chinh phục olympic tốn n  n  5 n  n  5 tứ giác Vậy có n  n    tứ giác thỏa mãn 2 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Tứ giác có cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự đỉnh đa giác, ta cỵ n số:  1; 2; 3;  ,  2; 3; 4;  , .,  n  3; n  2; n  1; n  ,  n  2; n  1; n;  ,  n  1; n; 1;  ,  n; 1; 2;  Vậy trường hợp có n tứ giác thỏa mãn II CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Câu 1: Cho tập A  1; 2; 3; ; 2018 số a, b, c  A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a  b  c a  b  c  2016 Lời giải Xét phương trënh a  b  c  2016 Ta biết phương trënh cỵ C 22015 nghiệm ngun dương  TH1: Xét cặp nghiệm số trñng nhau: a  b  c  672  TH2: Xét cặp nghiệm cỵ a  b , c  a  2a  c  2016 Suy c số chẵn thỏa  c  2016 nên có 1007 giá trị c Do đỵ cỵ 1007 cặp, mà cỵ cặp trừ cặp  672, 672, 672  (loại) Do đỵ cỵ  1006 cặp Tương tự ta suy cỵ 1006.3 cặp nghiệm cỵ số trñng Do số tập hợp gồm ba phần tử cỵ tổng 2016 C 22015  3.1006   337681 3! (Chia cho ! a  b  c nên khïng tình hốn vị ba  a, b, c  ) Câu 2: Cho tập A  1; 2; 3; ; 100 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tình xác suất để số chọn khïng cỵ số số nguyên liên tiếp Lời giải Số cách chọn ngẫu nhiên số C 10 Ta tëm số cách chọn số  a; b; c  thỏa mãn, theo giả thiết ta cỵ  a  b   c   Đặt b'  b  1; c'  c    a  b'  c'  Mỗi cách chọn  a; b'; c' từ tập 1; 2; ; 8 tương ứng với ba số  a; b; c  thỏa C83 mãn Vậy cỵ tất C cách chọn thỏa mãn Xác suất cần tëm  C10 15 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 3: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số lập thành từ tập X  1; 2; ; 8 Ròt ngẫu nhiên từ tập X số tự nhiên Tình xác suất để số ròt số mà số đỵ chữ số đứng sau luïn lớn chữ số đứng trước? Lời giải Số số thuộc tập S 8.9.9  648 Số ròt cỵ dạng abc với  a  b  c  Đặt a'  a  1; c'  c    a'  b  c'  Mỗi cách chọn  a; b'; c' từ tập 0; 1; 2; ; 9 tương ứng với ba số  a; b; c  thỏa mãn Vậy cỵ tất C 10 cách chọn thỏa mãn Vậy xác suất cần tình 27 Câu 4: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Tình xác suất để số ròt số mà số đỵ chữ số đứng sau luïn lớn chữ số đứng trước ba chữ số đứng đïi khác nhau? Lời giải Số số thuộc tập S 9.10 Số chọn cỵ dạng abcde với  a  b  c  d  e  Đặt a'  a  1; e '  e    a'  b  c  d  e '  10 Đến thực tương tự câu ta tëm C 11 số Vậy xác suất cần tình 77 1500 Câu 5: Từ 12 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập nhóm làm tập lớn khác nhau, nhóm học sinh Tính xác suất để nhỵm cỵ học sinh giỏi học sinh Lời giải C 93 C 63 C 33 Ta có số phần tử không gian mẫu n()  C 12 Đánh số nhóm A, B, C, D  Bước 1: xếp vào nhóm học sinh có ! cách  Bước 2: xếp học sinh giỏi vào nhóm có nhóm có học sinh giỏi Chọn nhóm có học sinh giỏi có cách, chọn học sinh giỏi có C 25 cách, xếp học sinh giỏi lại có ! cách  Bước 3: Xếp học sinh trung bình có ! cách Đáp số: 4!.4.C 25 3!.3! 36  C 12 C 93 C 63 C 33 385 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Câu 6: Trí chơi quay bánh xe số chương trënh truyền hënh ‚Hãy chọn giá đòng‛ kênh VTV3 Đài truyền hënh Việt Nam, bánh xe số cỵ 20 nấc điểm: , 10 , 15 , , 100 với vạch chia giả sử khả chuyển từ nấc điểm cỵ tới nấc điểm cín lại Trong lượt chơi cỵ người tham gia, người quyền chọn quay lần, điểm số người chơi tình sau:  Nếu người chơi chọn quay lần thë điểm người chơi điểm quay  Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay khïng lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay  Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay lớn 100 thë điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người cỵ điểm số cao thắng cuộc, hòa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi Lời giải Cách 1: Ta có n     100    20 Để Bình thắng ta cỵ ba trường hợp  Trường hợp Bình quay lần điểm số lớn 75, ta cỵ khả thuộc tập hợp 80; 85; 90; 95; 100 Do đỵ xác suất P1   20  Trường hợp Bình quay lần đầu điểm số a  75 , ta có 15 khả 15 Do đỵ xác suất P2   20 Khi đỵ để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn 75, ta cỵ khả thuộc tập hợp 80  a; 85  a; 90  a; 95  a; 100  a Do đỵ xác suất P3   20 Vậy xác suất để Bình thắng lượt P  P1  P2 P3    4 16 Cách 2:  TH1: Bình quay lần thắng ln Vì An quay vị trí 75 nên Bình quay vào số 20 vị trì để thắng Do đỵ P  A    20  TH2: Bình quay hai lần thắng Nghĩa lần Bënh quay kết nhỏ 75 quay tiếp để tổng hai lần quay lớn 75 đồng thời nhỏ 100 Giả sử lần Bënh quay a điểm, lần quay b điểm Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ  a  75 Cần có:   a  b  80, 85, 90, 95, 100 Khi đỵ: Chọn a có 15 cách, chọn b có cách Suy chọn cặp a, b có 15.5  75 cách Khơng gian mẫu cho TH2 có 20.20 cách Do đỵ P  A   Kết luận: P  A   P  A   P  A   75  20.20 16   16 16 Câu 7: Một số tự nhiên gọi số thú vị số có chữ số đïi khác lập thành tự tập 1; 2; ; 8 số đỵ chia hết cho 1111 Hỏi có số tự nhiên thú vị thế? Lời giải Số cần tëm cỵ dạng i  a 1a a a b1 b b b Ta cỵ tổng chữ số số cần tëm tổng chữ số từ đến 36 chia hết số cần tëm chia hết cho Do 1111 cỵ ước chung lớn nên theo giả thiết thë i chia hết cho 9999 Đặt x  a 1a a 3a , y  b b b b Ta có i  x.10  y  9999x  x  y chia hết cho 9999 từ đỵ suy  x  y  chia hết cho 9999 Mặt khác  x  y  2.9999  x  y  9999 Do đỵ a  b1  a  b  a  b  a  b  Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 cỵ cặp  1;  ,  2;7  ,  3;  ,  4;  nên cỵ cách chọn a ; cách chọn a ; cách chọn a cách chọn a tức chọn a k có ln b k Vậy số số thò vị 8.6.4.2  384 số Câu 8: Cho tập A  1; 2; 3; ; 18 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Cỵ cách chọn số tập A cho hiệu số bất kë số đỵ cì trị tuyệt đối khïng nhỏ 2? Lời giải Các số chọn xếp theo thứ tự tăng dần Giả sử dãy số chọn thỏa mãn a  a  a  a  a Theo giả thiết ta có:  a  a   a   a   a   14 Đặt a '  a  1, a3 '  a3  2, a4 '  a4  3, a5 '  a5  Đến thực tương tự câu 2, ta có số cách chọn C 14 cách chọn Câu 9: Có bạn cđng ngồi xung quanh bàn trín, bạn cầm đồng xu Tất bạn cñng tung đồng xu mënh, bạn cỵ đồng xu ngửa thë đứng, bạn cỵ đồng xu sấp thë ngồi Xác suất để khïng cỵ hai bạn liền kề cđng đứng Lời giải Gọi A biến cố khïng cỵ hai người liền kề cñng đứng | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Số phần tử khïng gian mẫu n      256 Rð ràng nhiều đồng xu ngửa thë biến cố A không xảy Để biến cố A xảy cỵ trường hợp sau:  TH1: Cỵ nhiều đồng xu ngửa Kết trường hợp    TH2: Có đồng xu ngửa Hai đồng xu ngửa kề nhau: cỵ khả Suy số kết trường hợp C 82   20  TH3: Có đồng xu ngửa Cả đồng xu ngửa kề nhau: cỵ kết Trong đồng xu ngửa, cỵ đòng cặp kề nhau: cỵ 8.4  32 kết Suy số kết trường hợp C 83   32  16  TH4: Có đồng xu ngửa Trường hợp cỵ kết thỏa mãn biến cố A xảy Như n  A    20  16   47 Xác suất để khïng cỵ hai bạn liền kề cđng đứng P  n A  n   47 256 Câu 10: Cho đa giác 20 cạnh Hỏi cỵ tất hënh chữ nhật khïng phải đỉnh hënh vụng cỵ đỉnh đỉnh đa giác cho? Lời giải 20 Số hënh vụng cỵ đỉnh đa giác 5 Đa giác cỵ tất 10 đường chéo qua tâm, hënh chữ nhật tạo hai đường chéo qua tâm nên cỵ tất C 10 hënh chữ nhật Vậy số hënh chữ nhật khïng phải hënh vụng cỵ đỉnh đỉnh đa giác cho 45   40 Chú ý: Số đa giác cỵ m cạnh cỵ đỉnh đỉnh đa giác n cạnh cỵ thể cỵ n m Câu 11: Từ chữ số thuộc tập hợp S  1; 2; 3; ; 8; 9 có số có chín chữ số khác cho chữ số đứng trước chữ số , chữ số đứng trước chữ số chữ số đứng trước chữ số ? Lời giải Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C 92 cách Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C72 cách Chọn vị trì để xếp chữ số , (số đứng trước ): có C 25 cách chữ số lại có ! cách Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Vậy có 3!.C 92 C 72 C 52  45360 số Câu: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D, đỉnh A có sâu, lần di chuyển bò theo cạnh hình hộp chữ nhật đến đỉnh kề với đỉnh nỵ đứng Tính xác suất cho lần di chuyển dừng đỉnh C’ Lời giải Khơng tính tổng quát giả sử tọa độ đỉnh A  0; 0;  C  1; 1;  Ta thây: lần sâu di chuyển cộng thêm vị trì hồnh độ, tung độ cao độ từ vị trì sâu đứng Do đỵ số phần tử khơng gian mẫu n     39  19683 Sau lần di chuyển sau đứng vị trí  1; 1;  sâu di chuyển số lần tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ :  3; 3;  ; hoán vị  1; 3;  ; hoán vị  7; 1;  Do đỵ số trường hợp thuận lợi biến cố A : sâu C sau bước di chuyển n  A   C 93 C 63 C 33  6.C 95 C 34 C 11  3.C79 C12 C11  4920 Câu 12: Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đỵ Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho bao nhiêu? Lời giải Ta có số tam giác tạo từ đỉnh 12 đỉnh: C 12  Số tam giác cỵ đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: đỉnh liên tiếp cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác cỵ đỉnh đỉnh liên tiếp đa giác tức có cạnh cạnh liên tiếp đa giác, cạnh cắt đỉnh, mà đa giác cỵ 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)  Số tam giác cỵ đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: Trước tiên ta chọn cạnh 12 cạnh đa giác nên cỵ 12 cách chọn; chọn đỉnh lại đỉnh (trừ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề với cạnh chọn) Do đỵ trường hợp có 8.12 tam giác 3 C 12  12  12.8 n     C 12  P  Ta có  3 C 12 n  A   C 12  12  8.12 Câu 13: Cho đa giác  H  có n đỉnh  n  , n   Biết số tam giác có đỉnh đỉnh  H  khơng có cạnh cạnh  H  gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh  H  cỵ đòng cạnh cạnh  H  Khẳng định sau đòng? A n   4; 12  B n   13; 21 C n   22; 30  D n   31; 38 Lời giải 10 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ  n2  n  2y    n   n   n  2m  1, m     y 1  n4  n  2y     n   n   n  2m, m  *   y 1 Với số x,y,z thỏa mãn  *  xuất phát từ đỉnh đa giác đỉnh đáy nhỏ hình thang ứng với cạnh x theo chiều thuận kim đồng hồ ta có hình thang thỏa mãn 1  n  n   n   n  2m  1, m  Vậy tổng số hình thang thỏa mãn   n  n   n   n  2m, m  *    Áp dụng vào toán ứng với n  20 tức đa giác 20 cạnh, số hình thang khơng phải hình chữ nhật tạo thành từ đỉnh đa giác 20.18.16  720 Câu 67: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên cỵ tám chữ số đïi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc A , tình xác suất để số tự nhiên chọn chia hết cho 45 Lời giải Ta có n     A  A 10 Gọi A tập hợp số a có chữ số khác chia hết cho 45 Khi đỵ a chia hết cho (tổng chữ số chia hết cho số hàng đơn vị )  Trường hợp 1: a cỵ hàng đơn vị ; chữ số lại có chữ số số 1; 8 , 2;7 , 3; 6 , 4; 5 , có 4.7 ! số  Trường hợp 2: a cỵ hàng đơn vị ; chữ số lại có chữ số số 0; 9 , 1; 8 , 2;7 , 3; 6 Khơng có 0; 9 , có ! số Có 0; 9 , có C 23  ! 6! số  n  A   4.7 ! C 23  ! 6! số  P  A   4.7! C 23  7! 6! A A 10  53 2268 Câu 68 : Một khối lập phương cỵ độ dài cạnh 2cm chia thành khối lập phương cạnh 1cm Hỏi cỵ tam giác tạo thành từ đỉnh khối lập phương cạnh 1cm Lời giải Có tất 27 điểm Chọn điểm 27 có C 327  2925 44 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Có tất  8.2  6.2  4.2        49 ba điểm thẳng hàng Vậy có 2925  49  2876 tam giác Câu 69: Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vï địch thi cờ tướng Người giành chiến thắng người thắng năm ván cờ Tại thời điểm người chơi thứ thắng ván người chơi thứ hai thắng ván, tình xác suất để người chơi thứ giành chiến thắng Lời giải Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua ván đấu 0, 5; 0, Xét thời điểm người chơi thứ thắng ván người chơi thứ hai thắng ván Để người thứ chiến thắng thë người thứ cần thắng ván người thứ hai thắng khơng q hai ván Có ba khả năng:  TH1: Đánh ván Người thứ thắng xác suất 0,  TH2: Đánh ván Người thứ thắng ván thứ hai xác suất  0,   TH3: Đánh ván Người thứ thắng ván thứ ba xác suất  0,  Vậy P  0,   0,    0,   Câu 70: Cho 100 tờ vé số đỵ cỵ 20 vé tròng thưởng 50 ngàn, 10 vé tròng thưởng 100 ngàn , vé tròng thưởng 150 ngàn 65 vé khïng tròng thưởng Tình xác suất để mua vé tròng thưởng 200 ngàn ? Lời giải Số cách mua ngẫu nhiên vé số C 100 Gọi x1 , x , x , x   x , x , x , x   vé số tròng thưởng 50 ngàn, 100 ngàn, 150 ngàn khïng tròng thưởng mua vé 50x1  100x2  150x3  0x  200 x1  2x  3x  Theo giả thiết ta có   x1  x  x  x  x  x  x  x   3x   x  0; 1 x  2x   Nếu x3      x1 ; x2 ; x ; x    1; 0; 1;  x  x  x  x1  2x  x  x  Nếu x     x1  x  x  x1  2x2    x1 ; x ; x ; x    4; 0; 0;  ;  2; 1; 0;  ;  0; 2; 0;  2 C 15C 65  C 20 C 010 C 05C 065  C 220 C 110 C 05C 165  C 020C 10 C 05C 65 Suy số cách mua C 120 C 10 Vậy xác suất cần tính 28663 261415 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 45 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 71 : Cho đa giác 2018 đỉnh Cỵ tam giác cỵ đỉnh đỉnh đa giác cho cỵ gỵc lớn 120 độ ? Lời giải Số đo góc tâm ứng với cạnh đa giác 2  rad  , góc nội tiếp nửa 2018 góc tâm Để chọn tam giác có góc lớn 120 độ ta làm sau Chọn đỉnh làm đỉnh có góc lớn 120 o có C 12018 cách, giả sử đỉnh A Với đỉnh lại giả sử B C số đo gỵc B C y x ,  x, y  1 , Số 2.2018 2.2018 y   2018  x đo gỵc A       xy   x  y  672  x  y  z  673 với   2.2018 2.2018  z  1, z  Số cách chọn hai đỉnh B C số cách chọn nghiệm nguyên dương phương trënh x  y  z  673 C 672 Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề 2018C 672 Câu 72 : Xét bảng ï vuïng gồm  ï vuïng Người ta điền vào ï vụng đỵ hai số 1 cho tổng số hàng tổng số cột Hỏi cỵ cách? Lời giải Nhận xét 1: Trên hàng cỵ số số 1 , cột cỵ số số 1 Nhận xét 2: Để tổng số hàng cột đồng thời cỵ khïng q hai số ba hàng xếp số thë ta cỵ cách xếp hàng thứ tự Do ta tëm số cách xếp ba hàng Phương pháp giải xếp theo hàng (Hënh vẽ) Các hàng đánh số sau: Hàng Hàng Hàng Hàng Nếu xếp tự thë hàng cỵ 4!  cách điền số mà tổng số 0, đỵ 2!.2! cách xếp sau (Ta gọi số từ   đến   ): 11     ,   11   , 1  111   , 11  11   ,  11    , 111    Giả sử hàng xếp   Số cách xếp hàng cỵ khả sau  Khả 1: Hàng xếp giống hàng 1: Cỵ cách xếp (   ) Hàng có cách (   ) Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.1.1  cách xếp 46 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018  Khả 2: Hàng xếp đối xứng với hàng 1: Cỵ cách xếp (bộ   ) Hàng có cách ( lấy thoải mái từ vë tổng hai hàng ) Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.6.1  cách xếp  Khả 3: Hàng xếp trñng với cách xếp hàng vị trì: Cỵ cách xếp ( cín lại) Khi đỵ, với cách xếp hàng thứ , hàng có cách.Hàng có cách Vậy cỵ 1.1.6.1  cách xếp Vë vai trí số nên số cách xếp thỏa mãn ycbt      90 cách Câu 73: Thầy X cỵ 15 sách gồm sách tốn, sách lì sách hỵa Các sách đïi khác Thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh Tình xác suất để số sách cín lại thầy X cỵ đủ mơn Lời giải Gọi A biến cố ‚Số sách lại thầy X cỵ đủ mïn‛, suy A biến cố ‚Số sách lại thầy X khïng cỵ đủ mïn‛= ‚Thầy X lấy hết số sách môn học‛ Số phần tử không gian mẫu là: n     C 815  6435     n A  C 44 C 11  C 55 C 10  C 66 C 92  486  P A    54 661  P A    P A  715 715 Câu 74 : Một thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B cách qua điểm nòt (trong lưới cho hình vẽ) di chuyển sang phải lên (mỗi cách di chuyển xem cách đi) Biết thỏ di chuyển đến nút C bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến vị trí B B C A Lời giải B J I C A Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 47 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Chú ý : Nếu di chuyển lưới theo hướng lên sang ngang thë từ O  0;  đến n A  m; n  có C m m  n  C m  n cách Số cách di chuyển từ A đến I C 25 , số cách di chuyển từ I đến B C 24 Số phần tử không gian mẫu: n     C 25 C 24  60 Gọi X biến cố thỏ đến vị trí B Số cách di chuyển từ A đến I C 25 , số cách di chuyển từ I đến J cách, số cách di chuyển từ J đến B C 13 Ta có n  X   C 25 1.C 13  30 Vây P  X   n X n   Câu 75: Mỗi lượt, ta gieo sòc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tình xác suất để lượt gieo vậy, cỵ ìt lượt gieo kết xòc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Lời giải Trước hết ta tình xác suất để lượt gieo thứ k khïng kết xòc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Số phần tử không gian mẫu C 12 C 16  12 Số cách gieo để kết xúc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất 12  11 mặt sấp C 11 C 11  Vậy P  A k    12 12 Gọi A biến cố lượt gieo có lượt gieo kết xúc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp 397  11  Khi đỵ P  A    P  A 1A 2A        12  1728 Câu 76: Lớp 12A cỵ 25 học sinh chia thành nhỵm A B cho nhỵm cỵ học sinh nam nữ, nhỵm A cỵ học sinh nam Chọn ngẫu nhiên nhỵm học sinh, xác suất để chọn học sinh nam 0,54 Xác suất để chọn học sinh nữ ? Lời giải Ta cần tìm xác số học sinh nam nữ nhóm dựa vào điều kiện xác suất chọn học sinh nam 0,54 Gọi x,y số học sinh nữ nhóm A nhóm B, đỵ  16  x  y  số học sinh nam nhỵm B cỵ điều kiện để nhỵm có học sinh nam nữ x  1, y  1, 16  x  y  1; x, y  Xác suất để chọn học sinh nam C19 C16 xy C1x9 C16 x 3x2  71x  368  0, 54  y  50 Ta có cặp nghiệm nguyên thỏa mãn điều kiện  x; y    6;  ,  1;  48 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Từ tình xác suất chọn học sinh nữ trường hợp 25 Câu 77: Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ ‘THANH HOA‛ thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứng cạnh Lời giải Cách Xét trường hợp chữ xếp bất kë, đỵ ta xếp chữ sau  Có C 83 cách chọn vị trí xếp có chữ H  Có C 25 cách chọn vị trí xếp có chữ A  Có ! cách xếp chữ T, O, N Do đỵ số phần tử không gian mẫu n     C 83 C 25 3! Gọi A biến cố ‚cỵ ìt hai chữ H đứng cạnh nhau‛  Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có cách xếp chữ H  Nếu đòng hai chữ H đứng cạnh + Khi hai chữ H hai vị trì đầu cuối có cách xếp chữ H lại + Khi hai chữ H đứng vị trí có cách xếp chữ H lại Do đỵ cỵ 2.5  5.4  30 cách xếp chữ H cho cỵ đòng hai chữ H đứng cạnh Như có 30   36 cách xếp chữ H, ứng với cách xếp ta có C 25 cách chọn vị trí xếp chữ A ! cách xếp T, O, N Suy n  A   36.C 25 3! Vậy xác suất biến cố A P  A   Cách Số phần tử không gian mẫu n     n A  n   14 8!  3360 2!3! Gọi A biến cố ‚cỵ ìt hai chữ H đứng cạnh nhau‛ 5! Đầu tiên ta xếp chữ A ba chữ T, O, N có cách 2! Tiếp theo ta có vị trí (xen hai đầu) để xếp chữ H khơng có chữ H đứng liền nhau, có C 63 cách     5! C  n  A   n     n A  2160 2! n A  Vậy xác suất biến cố A P  A    n    14 Do đỵ n A  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 49 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 78 : Trong thi trắc nghiệm khách quan cỵ 10 câu Mỗi câu cỵ bốn phương án trả lời, đỵ cỵ phương án đòng Mỗi câu trả lời đòng thë điểm, trả lời sai thë bị trừ 0, điểm Một sinh khïng học nên làm cách với câu chọn ngẫu nhiên phương án trả lời Xác suất để sinh đỵ làm số điểm khïng nhỏ bao nhiêu? Lời giải Chọn ngẫu nhiên phương án trả lời cho 10 câu hỏi ta khơng gian mẫu có số phần tử n     10 Gọi A biến cố sinh làm số điểm khơng nhỏ Một sinh làm số điểm không nhỏ thuộc trường hợp sau:  Đòng 10 câu (được 10 điểm) có: cách chọn  Đòng câu sai câu (được 8, điểm) có: C 110  30 cách chọn  32  405 cách chọn Đòng câu sai câu (được điểm) có: C 10 Khi đỵ n  A    30  405  436 Vậy xác suất để sinh làm số điểm không nhỏ Vậy P  A   n A  n   436 109  10 262144 Chú ý: Gọi x số câu đòng (với  x  10 , x  ), 10  x số câu sai thë điểm thí sinh 3x d  x  0,  10  x   5 3x Vì d  nên    x  nên x  8; 9; 10 Do đỵ ta cỵ trường hợp lời giải Câu 79: Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy số tập A Tính xác suất để lấy số lẻ chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     9000000  9.106 số Gọi A biến cố thỏa mãn toán Ta đếm số phần tử A Ta có số lẻ chia hết cho dãy 1000017 , 1000035 , 1000053 ,., 9999999 lập thành cấp số cộng có u  1000017 cơng sai d  18 nên số phần tử dãy 9999999  1000017   500000 Vậy n  A   5.105 18 n  A  5.10 Xác suất cần tìm P  A   Vì A B hai biến cố xung khắc nên hai   n    9.10 18 biến cố khïng đồng thời xảy 50 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Câu 80: Từ chữ số lập số tự nhiên cỵ chữ số cho khïng cỵ chữ số đứng cạnh nhau? Lời giải  TH1: Có chữ số Có số  TH2: Có chữ số , chữ số Có cách xếp chữ số nên có số  TH3: Có chữ số , chữ số Xếp số ta có cách Từ số ta có có chỗ trống để xếp số Nên ta có: C 72  21 số  TH4: Có chữ số , chữ số Tương tự TH3, từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Nên có: C 63  20 số  TH5: Có chữ số , chữ số Từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Nên có: C 54  Vậy có:   21  20   55 số Câu 81: Gọi S tập hợp số tự nhiên nhỏ 10 thành lập từ hai chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số S Xác suất để lấy ìt số chia hết cho bao nhiêu? Lời giải Có: a  ; a , , a6  0; 1 Số phần tử S :  1.2  1.2.2  1.2.2.2  1.2.2.2.2  1.2.2.2.2.2  64 Lấy ngẫu nhiên hai số S , có : C 63 (cách lấy) Gọi A biến cố lấy số chia hết cho  A biến cố không lấy số chia hết cho Ta xét xem 63 số tập S có số chia cho :  TH1: Số có chữ số a : có số hai số khïng chia cho  TH2: Số có chữ số a 1a với a  : có số số khïng chia cho  TH3: Số có chữ số a 1a a với a  : có số đỵ cỵ số chia cho  TH4: Số có chữ số a 1a a a với a  : có số đỵ cỵ số chia cho  TH5: Số có chữ số a1a a a a với a  : có 16 số đỵ cỵ số chia cho  TH6: Số có chữ số a 1a a a a 5a với a  : có 32 số đỵ cỵ 11 số chia cho Do đỵ cỵ 21 số chia cho có 43 số khïng chia cho   Do đỵ: P A  C 243 43 53 Vậy P  A    P A   96 C 64 96 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học   Chinh phục olympic toán | 51 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Câu 82: Trong lễ tổng kết năm học 2017  2018 , lớp 12T nhận 20 sách gồm sách toán, sách vật lý, sách Hóa học, sách mơn học giống Số sách chia cho 10 học sinh lớp, học sinh nhận hai sách khác mơn học Bình Bảo hai số 10 học sinh đỵ Tình xác suất để sách mà Bình nhận giống sách Bảo Lời giải Gọi x , y , z số phần quà gồm sách Tốn Vật lý, Tốn Hóa học, Vật lý x  y  x    Hóa học Khi đỵ theo đề ta có hệ phương trënh x  z    y  z  y  z    C 83 C 55  2520 Số phần tử không gian mẫu n   C 10 Gọi A biến cố sách mà Bình nhận giống sách Bảo Số phần tử A n A  C 22 C 83 C 55  C 82 C 61 C 55  C 82 C 63 C 33  784 Vậy xác suất cần tìm P  A   748 14  2520 45 Câu 83: Trong không gian cho 2n điểm phân biệt  n  3, n   , đỵ khïng cỵ điểm thẳng hàng 2n điểm đỵ cỵ đòng n điểm nằm mặt phẳng Biết cỵ đòng 505 mặt phẳng phân biệt tạo thành từ 2n điểm cho Tëm n ? Lời giải Xem điểm 2n điểm cho lập nên mặt phẳng, ta có C 32 n mặt phẳng Tuy nhiên 2n điểm đỵ cỵ đòng n điểm nằm mặt phẳng nên n điểm có mặt phẳng Vậy số mặt phẳng cỵ  C 32 n  C n3    2n  !  n!  504 3!  2n   ! 3!  n   !  2n  2n   2n    n  n   n    3024  7n  9n  2n  3024   n  Theo đề ta có: C 32 n  C n3   505  Câu 84 : Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ tập A  0; 1; 2; 3; ; 9 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875 Lời giải Số phần tử không gian mẫu số cách lập số có chữ số từ tập A , đỵ số phần tử không gian mẫu n   9.10 Gọi B biến cố chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875  32.5 3.7 Số phần tử B C 62 C 34  60 52 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Suy xác suất P  B   60  9.10 15000 Câu 85: Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần tung (mỗi số số chấm mặt xuất lần tung), tính xác suất cho P không chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n      216 Gọi A biến cố ‚tìch số chấm ba lần gieo số không chia hết cho ‛  Trường hợp Số chấm ba lần gieo chữ số thuộc tập 1, 2, 4, 5 + Cả ba lần số chấm khác có A 34 khả + Có hai lần số chấm giống có C 24 3! khả 2! + Cả ba lần số chấm giống có khả  Có 64 khả  Trường hợp Số chấm ba lần gieo chữ số thuộc tập 1, 3, 5 + Cả ba lần số chấm khác có ! khả 3! + Có hai lần số chấm giống có C 23 khả 2! + Cả ba lần số chấm giống có khả  Có 27 khả Tuy nhiên trường hợp bị trùng khả năng: + Ba lần số chấm giống số chấm : Chỉ có khả + Có hai lần số chấm giống : Chỉ có khả Do đỵ n  A   64  27      83 Vậy P  A   83 216 Câu 86: Một người viết ngẫu nhiên số có bốn chữ số Tính xác suất để chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần ( nghĩa số viết dạng abcd a  b  c  d a  b  c  d ) Lời giải Viết ngẫu nhiên số có chữ số nên số phần tử không gian mẫu n     9.10.10.10  9000 Gọi A biến cố chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần Gọi số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần có dạng abcd Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 53 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ  Trường hợp 1: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm dần Vì a  b  c  d nên chữ số đïi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập X  1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 với chữ số lấy từ X lập số thỏa u cầu tốn Do đỵ số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần C 94  Trường hợp 2: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần Vì a  b  c  d nên chữ số đïi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập Y  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 với chữ số lấy từ Y lập mọt số thỏa u cầu tốn Do đỵ số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm C 10  336 Vậy số phần tử biến cố A n  A   C 94  C 10 Xác suất biến cố A P  A   n A  n  336 14  9000 375  Câu 87: Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh có kích thước thành ba phần, phần viên Xác xuất để khơng có phần gồm viên màu Lời giải Cách 1: Vì xác suất khïng thay đổi ta coi ba phần có xếp thứ tự , , Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh cỵ cđng kìch thước thành ba phần, phần viên sau:  Phần : Chọn viên cho phần có C 93 cách  Phần : Chọn viên cho phần có C 63 cách  Phần : Chọn viên lại cho phần có cách Do đỵ số phần tử khơng gian mẫu n     C 93 C 63  1680 Gọi A biến cố khơng có phần gồm viên cđng màu, đỵ ta chia viên bi thành sau:  Bộ : đỏ, xanh: Có C 24 C 15 cách chọn  Bộ : đỏ, xanh: Có C 12 C 24 cách chọn  Bộ : gồm viên bi lại( đỏ, xanh) Vì có viên bi giống để không phân biệt hai nên có vào phần Do đỵ n  A   Ta P  A   n A  n   54 | Chinh phục olympic toán 3! xếp 2! 3! 1 C C 5C C  1080 2! 1080  1680 14 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Cách 2: Mã hóa:  viên bi đỏ giống , , ,  viên bi xanh giống , , , , + Xếp phần tử hàng ngang có   9!  126 (cách) 5!.4! + Một cách xếp thỏa yêu cầu 1, 1, 1, 0, 1, 0, - Hốn vị nhóm có 3!  (do có nhóm giống nhau) 2! - Rồi hốn vị số nhóm có: 3.3.3  27 Do đỵ biến cố A có: A   27  81 Vậy P  A   A   81  126 14 Câu 88: Cho đa giác  P  có 20 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh  P  , tính xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho, khơng có cạnh cạnh  P  Lời giải Không gian mẫu: Chọn đỉnh từ 20 đỉnh để tạo thành tam giác  n     C 320 Biến cố A : đỉnh lấy tạo thành tam giác vng cho, khơng có cạnh cạnh  P  Ta cỵ đa giác  P  nội tiếp đường tròn, nên tam giác vuông tạo từ đường chéo (qua tâm) điểm khác (tam giác nội tiếp có cạnh đường kính tam giác vuông) Số cách chọn đường chéo qua tâm 10 cách Một đường chéo qua đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba đỉnh nằm cạnh hai đỉnh chọn  có 20    14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đường chéo nữa) Vậy n  A   10  14  140 tam giác Vậy xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vng cho, khơng có cạnh cạnh  P  p  n A  n   140  C 320 57 Câu 89: Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nhiên lúc ba thẻ Hỏi có cách rút cho hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị? Lời giải Giả sử số ghi ba thẻ xếp theo thứ tự tăng dần a  b  c Vì hai ba thẻ lấy đỵ cỵ hai số tương ứng ghi hai thẻ ln a  b    a  b   c   24 đơn vị nên ta có:  b  c   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 55 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Vậy số cách lấy là: C 324  2024 cách Câu 90: Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập A Tính xác suất lấy số lẻ chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     9.10 Gọi B biến cố thỏa yêu cầu tốn Ta có số lẻ có chữ số chia hết cho 100000017 , 100000035 , 100000053 ,……, 999999999 lập thành cấp số cộng với u  100000017 công sai d  18 999999999  100000017   50000000 18 n  B  5.107 Vậy n  B   5.107 Xác suất P  B     n    9.10 18 Nên số phần tử dãy Câu 91: Cho đa giác  H  có 15 đỉnh Người ta lập tứ giác có đỉnh đỉnh  H  Tính số tứ giác lập thành mà khơng có cạnh cạnh  H  Lời giải Kí hiệu đa giác A 1A A 15  TH1: Chọn tứ giác có dạng A 1A m A n A p với  m  n  p  15 Gọi x , x , x , x số đỉnh nằm A với A m , A m với A n , A n với A p A p với A x  x  x  x  11 Khi đỵ ta cỵ hệ  xi  1, i  1, 2, 3,  120 tứ giác Đặt xi  x i  xi  x1  x2  x3  x4  nên có C 10  TH2 : Khơng chọn đỉnh A Giả sử tứ giác chọn A m A n A pA q với  m  n  p  q  15 Gọi x số đỉnh A A m , x số đỉnh A m A n , x số đỉnh A n A p , x số đỉnh A p A q , x đỉnh A q A x1  x  x  x  x  10  330 tứ giác Ta có hệ  Tương tự trường hợp có C 11 x , x , x , x  1, x   Vậy có 450 tứ giác Câu 92: Có số có chữ số tận chia hết cho Lời giải Số tự nhiên có chữ số thỏa mãn đề abcd1 Giả sử abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  Ta có chia hết cho 3.abcd  chia hết cho 56 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ NGÀY 27/8/2018 Khi đỵ, 3.abcd   7k  abcd  2k  k 1 ,k  Suy abcd  7l   1000  7l   9999  số nguyên k  3l  998 9997 có 1286 giá trị l l 7 Vậy có 1286 số thỏa mãn toán Câu 93: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên cỵ năm chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcde đỵ  a  b  c  d  e  Lời giải Có 9.10 số tự nhiên có chữ số tạo thành Từ  a  b  c  d  e    a  b   c   d   e   13 Đặt a  a , a  b  , a  c  , a  d  , a  e    a  a  a  a  a  13 Mỗi cách chọn số  a1 , a , a , a , a  tương ứng ta số abcde thỏa mãn toán  1287 số Số số có dạng abcde thỏa mãn C 13 Vậy xác suất cần tìm P  1287 143  9.10 10000 Câu 94: Cho số , , , , , , lập số tự nhiên cỵ chữ số đïi khác dạng abcdef Tình xác suất để số lập thỏa mãn a  b  c  d  e  f ? Lời giải Số phần tử khïng gian mẫu n     6.6!  4320 Số lập thỏa mãn a  b  c  d  e  f ta cỵ trường hợp sau:  TH1: xét số 0; 6 , 1; 5 , 2; 4 : Nếu a; b  0; 6 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách Nếu a; b  1; 5 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách Nếu a; b  2; 4 có cách xếp Khi đỵ hai cặp số cín lại cỵ: 2.2.2  cách Suy có: 8.5  40 (số)  TH2: xét số 0; 5 , 1; 4 , 2; 3 : tương tự TH1 cỵ 8.5  40 (số)  TH3: xét số 1; 6 , 2; 5 , 3; 4 : có 3.2.8  48 (số) Vậy xác suất P  A   40  40  48  4320 135 Câu 95: Có cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào bàn tròn Tính số cách xếp cho có vợ chồng nhà A ngồi cạnh cặp vợ chồng khác thë hai người vợ chồng khơng ngồi cạnh Lời giải Có cách xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ơng chồng ngồi cố định, bà vợ có cách xếp) Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ  Ta lại xếp cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng đổi chỗ cho nên có ! cách  Bây có tất khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ngồi giữa) Ta xếp cặp vợ chồng khác vào khe nên có A 23  cách  Bây có tất khe trống Ta xếp cặp vợ chồng lại vào khe nên có A 25  20 cách Vậy có    20  480 cách III TÀI LIỆU THAM KHẢO Các bạn ấn vào số trước tên tài liệu để tải nhé! [1] Tổ hợp xác suất Nguyễn Minh Đức [2] Trắc nghiệm nâng cao tổ hợp xác suất – Đặng Việt Đïng [3] Bài toán chia kẹo Euler ứng dụng – Lục Trí Tuyên [4] Tổ hợp xác suất – Nhóm ham học tốn IV LỜI KẾT Chuyên mục tuần xin phép kết thòc đây, thắc mắc vấn đề ïn thi THPT Quốc Gia hay vấn đề bạn thấy khỵ hiểu bạn cỵ thể gửi địa fanpage Tạp chì tư liệu tốn học , xin chào hẹn gặp lại bạn chuyên mục tuần sau  58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học ... chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ  a  75 Cần có:   a  b  80, 85, 90, 95, 100 Khi đỵ: Chọn a có 15 cách, chọn b có cách Suy chọn... olympic toán | 25 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM KHĨ Do có 1010 lần xuất mặt sấp 1010 xuất mặt ngữa nên ứng với cách chọn cố định 1010 vị trí xuất mặt xấp có xác xuất 0, 61010   0,  Vậy xác. .. có cách chọn Vậy có tất 17 cách chọn Xác suất cần tính Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học 17 45 Chinh phục olympic toán | 21 TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ CÁC BÀI TỐN ĐẾM KHĨ Câu 34: Chọn ngẫu nhiên số phân