TUYỂN CHỌN bất ĐẲNG THỨC từ các kỳ THI vào lớp 10

LATEX LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– https://www.facebook.com/MATHDDT/ Tuyển chọn bất đẳng thức từ đề thi vào lớp 10 Mơn Tốn Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ 2; b ≥ 5; c ≥ 2a2 + b2 + c2 = 69 Tính giá trị nhỏ P = 12a + 13b + 11c =2+x Đặt b = + y     c =5+z Khi từ giả thiết ta có 2x2 + y + z + 8x + 10y + 10z = 11 Giả sử max{y, z} > Nếu x, y, z > V T (∗) > 11 Suy ≤ y, z ≤ Cấ   a     p Hướng  dẫn giải (∗)   4x     ≥ 2x2 Khi ta có 3y ≥ y ⇒ 4x + 3y + z ≥ 2x2 + y + z     z Sơ Từ (∗) ta có x< trái lại V T (∗) ≥ 2.22 + 8.2 > 11 ≥ z2 ⇒ 12x + 13y + 11z ≥ 2x2 + y + z + 8x + 10y + 10z = 11   a     =2 Vậy giá trị nhỏ P 155 b = = nH     c ọc Suy P = 12a + 13b + 11c = 12x +13y + 11z + 144 ≥ 11 + 144 = 155 Câu Cho hai số thực x, y thỏa mãn x > y xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= Hướng dẫn giải Nhận xét 2x2 − 3xy + 2y x−y To √ √ √ Cho hai số dương a, b ta có a + b − ab = a− b M= √ ≥ ⇒ a + b ≥ ab, đẳng thức xảy a = b 2x2 − 3xy + 2y 2(x − y)2 + xy = x−y x−y Do x > y xy = nên Ç M = (x − y) + x−y "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates å ≥ (x − y) = x−y Trang LATEX LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– https://www.facebook.com/MATHDDT/ Đẳng thức xảy    xy      =2 x−y =       x   x    xy =2 ⇔ x−y x − y = >y  =y+1 Kết luận: M =   x = 2, y = x = −1, y = −2 Câu Cho số thực a, b ≥ 0, ≤ c ≤ a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = ab + bc + ca + 3(a + b + c) Cấ  p y = 1, x = ⇔  ⇔   y2 + y − = y = −2, x = −1 Sơ Hướng dẫn giải Ta có Ä ä 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − nên 2P = (a + b + c)2 + 6(a + b + c) − Ä ä ọc Từ đánh giá quen thuộc (a + b + c)2 ≤ a2 + b2 + c2 ⇒ a + b + c ≤ Dấu xảy a = b = c = √ Ta có (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca) ≥ a2 + b2 + c2 = ⇒ a + b + c ≥ Dấu xảy c = hai số a b √ √ Từ suy ≤ 2P ≤ 24 hay 3 ≤ P ≤ 12 nH √ √ Vậy giá trị lớn P 12 a = b = c = giá trị nhỏ P 3 a = 3, b = c = √ a = c = 0, b = Câu Cho a, b, c số đo cạnh tam giác √ √ √ a) Chứng minh a, b, c số đo cạnh tam giác √ √ √ (a + b + c)2 b) Chứng minh (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc > Hướng dẫn giải To a) Giả sử c cạnh lớn tam giác, theo bất đẳng thức độ dài cạnh tam giác ta có a + b > c Khi đó, a, b, c ln dương nên c √ c< √ a+b< » √ … a + ab + b = √ √ a+ b = √ √ a+ b √ c, từ suy đpcm b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có √ √ √ √ √ √ √ √ √ (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc ≥ ab ab + ac ac + bc bc = 2(ab + bc + ac) "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates (1) Trang LATEX LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– https://www.facebook.com/MATHDDT/ Theo ý a) ta lại có √ √ a+ b> √ √ √ √ √ √ √ c, a + c > b, b + c > a nên √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc = a a( b + c) + b b( a + c) + c c( a + b) √ √ √ √ √ √ >a a· a+b b· b+c c· c = a2 + b + c Cộng vế (1) (2) ta có p (2) √ √ √ (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc > a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Cấ = (a + b + c)2 Từ ta có đpcm Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab bc ca + + c a b Sơ P = Hướng dẫn giải ab bc ca a2 b2 b2 c2 c2 a2 Ta có P = + + ⇒ P = + + + 2(a2 + b2 + c2 ) c a b c a b Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với số dương ta có:  2 ab       c2    2 b2 c ≥ 2b2 a2 bc c a2 + ≥ 2c2   a b    2 2  a b c a    + ≥ 2a2 2 b c nH ọc + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có P ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) = ⇒ P ≥ √ Đẳng thức xảy a = b = c = √ √ Vậy P = a = b = c = √ (do P > 0) To x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + z Câu Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x Hướng dẫn giải 1, y 1, z Tìm giá trị lớn Ta có Ta có x, y, z Do vai trò x, y, z nên giả sử x y z Khi x y + z = − x ⇒ y + z + 2yz = − 3x + x2 9 2 2 ⇔ x + y + z = − 3x + 2x − 2yz − 3x + 2x2 = + (x − 1)(2x − 1) 4 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– https://www.facebook.com/MATHDDT/ Ç å Vậy max P = (x, y, z) = 1; ; hoán vị x, y, z Suy P Tìm giá trị nhỏ Cấ p   1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta có x2 + x2 · = x 4 1 2 Tương tự y + y; z + z 4 3 x+y+z = Cộng theo vế bất đẳng thức ta có x2 + y + z + 2 Hay x + y + z Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy P = x = y = z = 2 x2 y2 + y−1 x−1 Sơ Câu Cho x > 1, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Hướng dẫn giải Theo BĐT Cô-si (AM-GM, Cauchy) ta có Ã Ã x2 y2 x2 y2 x2 y2 P = + ≥2 · =2 · y−1 x−1 y−1 x−1 x−1 y−1 ọc Lại có x2 1 =x+1+ =x−1+ + ≥ + = x−1 x−1 x−1 nH y2 ≥ Do P ≥ 8, dấu xảy x = y = Tương tự có y−1 Vậy GTNN P x = y = Câu Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm giá trị lớn biểu thức P =√ Xét To Hướng dẫn giải √ Tương tự ta có x y z √ √ + + y +3 x2 + z2 + x x x » √ = = x + xy + yz + zx x2 + (x + y)(x + z) Ç å Ç å x 1 x x ≤ + = + x+y x+z x+y x+z y Ç å y y √ ≤ + y+x y+z y +3 Ç å z z z √ ≤ + z+x z+y z2 + "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX LIKE PAGE ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– https://www.facebook.com/MATHDDT/ Khi ta có P ≤ Ç x x y y z z + + + + + x+y x+z y+x y+z z+x z+y å = P = » a(b + 1) + p Dấu xảy x = y = z = Vậy Pmax = x = y = z = Câu Cho a, b > thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức » b(a + 1) Sơ Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm » 2a + b + » 2b + a + 2a(b + 1) ≤ ; 2b(a + 1) ≤ 2 √ 3(a + b) + ≤4 ⇒ 2P ≤ √ ⇒ P ≤ 2    2a = b + ⇔ a = b = Dấu "=" xảy ⇔   2b = a + √ Vậy P có GTLN 2 a = b = Cấ Hướng dẫn giải » » √ Có 2P = 2x(b + 1) + 2b(a + 1) Câu 10 Với x, y số dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 33 xy ọc P = x2 + y + Hướng dẫn giải x+y √ ≥ xy ⇒ xy ≤ 33 33 33 92 Từ giả thiết ta có P = (x + y)2 − 2xy + = 36 − 2xy + ≥ 18 + = Đẳng thức xảy x = y = xy xy 92 Vậy giá trị nhỏ P x y Câu 11 Cho x ≥ 0; y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức A = + y+1 x+1 Hướng dẫn giải x2 + y + x + y (x + y)2 − 2xy + x + y − 2xy Ta có A = = = (x + 1)(y + 1) xy + x + y + xy + √ Vì x + y ≥ xy ⇒ 4xy ≤ ⇒ ≤ xy ≤ Đặt xy = t ≤ t ≤ − 2t Ta có A = = −2 + 2+t 2+t Ta có ≤ t ≤ ⇒ ≤ t + ≤ 4    xy =     x = 0; y = Suy A ≤ ⇔ t + = ⇔ t = ⇔  x + y = ⇔    x = 1; y =    x, y ≥ Vậy Amax = (x; y) = (0; 1) (x; y) = (1; 0) To nH Theo bất đẳng thức Cơsi ta có "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang ... p   1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta có x2 + x2 · = x 4 1 2 Tương tự y + y; z + z 4 3 x+y+z = Cộng theo vế bất đẳng thức ta có x2 + y + z + 2 Hay x + y + z Đẳng thức xảy x = y... theo bất đẳng thức độ dài cạnh tam giác ta có a + b > c Khi đó, a, b, c ln dương nên c √ c< √ a+b< » √ … a + ab + b = √ √ a+ b = √ √ a+ b √ c, từ suy đpcm b) Theo bất đẳng thức. .. dụng bất đẳng thức Cơ-si với số dương ta có:  2 ab       c2    2 b2 c ≥ 2b2 a2 bc c a2 + ≥ 2c2   a b    2 2  a b c a    + ≥ 2a2 2 b c nH ọc + Cộng vế với vế bất đẳng thức