Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 52 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
52
Dung lượng
324,07 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HUYỀN THƯƠNG BẤTĐẲNGTHỨCSẮPXẾPLẠIVÀMỘTSỐỨNGDỤNG THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HUYỀN THƯƠNG BẤTĐẲNGTHỨCSẮPXẾPLẠIVÀMỘTSỐỨNGDỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa số tính chất bấtđẳngthức 1.2 Mộtsố phương pháp giải tốn bấtđẳngthức thường gặp phổ thơng Chương Bấtđẳngthứcxếplạisốứngdụng 2.1 Bấtđẳngthứcxếplại 2.1.1 Khái niệm bấtđẳngthứcxếplại 2.1.2 Ý tưởng vận dụngbấtđẳngthứcxếplại vào giải toán bấtđẳngthức 2.2 Ứngdụngbấtđẳngthứcxếplại vào giải số toán bấtđẳngthức 2.2.1 Sử dụngbấtđẳngthứcxếplại để chứng minh sốbấtđẳngthức quen thuộc 2.2.2 Sử dụngbấtđẳngthứcxếplại vào giải số toán bấtđẳngthức dành cho học sinh khá, giỏi Tài liệu tham khảo 20 20 20 22 23 23 29 48 Lời nói đầu Bấtđẳngthứcxếplại (hay gọi bấtđẳngthức hoán vị) bấtđẳngthứcsơ cấp mạnh Sử dụngbấtđẳngthứcxếplại cho ta lời giải bấtđẳngthức thú vị Trên tạp chí tốn quốc tế Mathematical Excalibur (Vol 4, No 3, tháng 3/1999), Kin Yin Li (công tác Khoa Tốn Đại học Khoa học Cơng nghệ Hồng Kông) viết báo với tiêu đề “Rearrangement Inequality” nhằm giới thiệu bấtđẳngthức này, từ có nhiều tác giả ngồi nước quan tâm, trao đổi bấtđẳngthứcxếplại Với mong muốn làm rõ sở toán học, ý tưởng việc sử dụngbấtđẳngthứcxếplại để chứng minh bấtđẳng thức, chọn hướng nghiên cứu sử dụngbấtđẳngthứcxếplại việc đưa lời giải cho sốbấtđẳngthức đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế làm hướng nghiên cứu luận văn thạc sĩ với tên đề tài “Bất đẳngthứcxếplạisốứng dụng” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất bấtđẳngthức liệt kê vài hướng giải tốn bấtđẳngthức thường gặp chương trình tốn phổ thơng đề thi chọn học sinh giỏi Chương Bấtđẳngthứcxếplạisốứngdụng Nội dung Chương trình bày bấtđẳngthứcxếplại ý tưởng việc vận dụngbấtđẳngthứcxếplại vào việc giải số toán liên quan đến bấtđẳng thức, trình bày cụ thể số ví dụ minh họa cho việc vận dụngbấtđẳngthứcxếplại vào việc chứng minh sốbấtđẳngthức quen thuộc chương trình phổ thơng Cuối chương sưu tầm, chọn lọc đưa số tốn kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bấtđẳngthứcxếplại Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Luận văn tác giả đầu tư nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Trịnh Thanh Hải nhiều lí do, luận văn thiếu sót định Em hy vọng nhận nhiều đóng góp q Thầy cơ, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Huyền Thương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thứcsố kết lý thuyết bấtđẳng thức, kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Định nghĩa số tính chất bấtđẳngthức Trong toán học, bấtđẳngthức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng Ký hiệu a < b có nghĩa a nhỏ b ký hiệu a > b có nghĩa a lớn b Những quan hệ nói gọi bấtđẳngthức nghiêm ngặt; ngồi ta có bấtđẳngthức khơng ngặt: a ≤ b có nghĩa a nhỏ b và; a ≥ b có nghĩa a lớn b Sau số tính chất quen thuộc bấtđẳngthức thường dùng Tính chất 1.1.1 (Tính chất bắc cầu) Nếu a > b b > c a > c Tính chất 1.1.2 a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1.1.3 a > b ⇔ a − c > b − c Hệ 1.1.4 a + c > b ⇔ a > b − c Tính chất 1.1.5 a > b c > d ⇒ a + c > b + d c > : a > b ⇔ ac > bc, Tính chất 1.1.6 c < : a > b ⇔ ac < bc Tính chất 1.1.7 a > b ⇔ −a < −b a b c > : a > b ⇔ > ; c c Tính chất 1.1.8 a b c < : a > b ⇔ < c c a > b > Tính chất 1.1.9 ⇒ ac > bd c > d > Tính chất 1.1.10 a > b > ⇔ < 1 < a b Tính chất 1.1.11 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ an > bn √ √ Tính chất 1.1.12 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ n a > n b Hệ 1.1.13 (i) Nếu a b hai số dương a > b ⇔ a2 > b2 (ii) Nếu a b hai số khơng âm a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2 Tính chất 1.1.14 Với a, b ∈ R ta có: (i) |a + b| ≤ |a| + |b| (ii) |a − b| ≤ |a| + |b| (iii) |a + b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≥ (iv) |a − b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≤ 1.2 Mộtsố phương pháp giải toán bấtđẳngthức thường gặp phổ thơng Trong chương trình phổ thơng, học sinh tiếp cận với số hướng để giải toán bấtđẳngthức như: - Định nghĩa; - Phép biến đổi tương đương; - Mộtsốbấtđẳngthức kinh điển, chẳng hạn bấtđẳngthức Cauchy, Bunhiacopski, Chebyshev, Bernouli; - Tính chất bắc cầu; - Tính chất tỉ số; - Làm trội; - Bấtđẳngthức tam giác; - Tam thức bậc hai; - Quy nạp toán học; - Chứng minh phản chứng; - Biến đổi lượng giác; - Khai triển nhị thức Newton; - Tích phân Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 1.2.1 Chứng minh với m, n, p, q ta có: m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1) m2 m2 − mn + n2 + − mp + p2 4 m m2 + − mq + q + −m+1 ≥0 4 2 m m m m ⇔ −n + −p + −q + −1 2 2 ⇔ Ta thấy bấtđẳngthức cuối hiển nhiên ≥ Dấu xảy m −n=0 m −p=0 2 ⇔ m −q =0 m −1=0 m n = m p= m q= m=2 m = ⇔ n = p = q = Ví dụ 1.2.2 Cho xy ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy 1 1 ⇔ − + − ≥0 2 1+x + xy 1+y + xy xy − y xy − x2 + ≥0 ⇔ (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) x(y − x) y(x − y) ⇔ + ≥0 (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) (y − x)2 (xy − 1) ⇔ ≥ (1 + x2 ) (1 + y ) (1 + xy) Bấtđẳngthức cuối xy ≥ ✷ Ví dụ 1.2.3 Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) ⇔ a12 + a10 b2 + a2 b10 + b12 ≥ a12 + a8 b4 + a4 b8 + b12 ⇔ a8 b2 (a2 − b2 ) + a2 b8 (b2 − a2 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )(a6 − b6 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )2 (a4 + a2 b2 + b4 ) ≥ Bấtđẳngthức cuối ✷ Ví dụ 1.2.4 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥ (1.1) b+c−a c+a−b a+b−c Chứng minh: Theo bấtđẳngthức Cauchy: a b c abc + + ≥33 b+c−a c+a−b a+b−c (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.2) Cũng theo bấtđẳngthức Cauchy: (b + c − a)(c + a − b) ≤ (b + c − a + c + a − b) = c (1.3) Viết tiếp hai bấtđẳngthức tương tự (1.3) nhân với (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc Suy abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.4) Từ (1.2), (1.4) suy (1.1) Dấu “=” xảy a = b = c hay tam giác tam giác ✷ Ví dụ 1.2.5 Cho ≤ n ∈ Z Chứng minh nn+1 > (n + 1)n ... xếp lại vào giải số toán bất đẳng thức 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải số. .. Bất đẳng thức xếp lại 2.1.1 Khái niệm bất đẳng thức xếp lại 2.1.2 Ý tưởng vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải toán bất đẳng thức 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức. .. đẳng thức xếp lại số ứng dụng Nội dung Chương trình bày bất đẳng thức xếp lại ý tưởng việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc giải số toán liên quan đến bất đẳng thức, trình bày cụ thể số