(sở giáo dục) 40 câu nguyên hàm tích phân image marked image marked

Câu 1: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018) ( ) Cho hàm số F ( x ) =  x x + 1dx Biết F ( ) = , F 2 A B 85 C 19 D 10 Đáp án D Có 2  x x + 1dx = 2  x + 1d ( x + 1) = 2 (x + 1) 2 = ( ) ( ) 26 = F 2 − F ( )  F 2 = 10 Câu 2: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018) x Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = cos A F ( x ) = 2sin x B F ( x ) = sin + C 2 x +C C F ( x ) = −2sin x +C x D F ( x ) = − sin + C 2 Đáp án A x x x x Ta có F ( x ) =  cos dx =  cos d   = 2sin + C 2 2 Câu ( Liên trường Sở Nghệ An 2018): Tìm nguyên hàm hàm số y = 1212x A  122x dx = 1212− 4x ln12 + C C  122x dx = B  122x dx = 1212x ln12 + C 1212x +C ln12 D  122x dx = 1212x −1 +C ln12 Đáp án D Ta có  1212x dx = 1212x 1212x −1 12x 12x 12 d 12x = + C = 12 dx = +C ( )  12  12.ln12 ln12 Câu ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x3 A x3 + + C Đáp án B Phương pháp: B (4 + x ) 3 +C C (4 + x ) 3 +C D (4 + x ) 3 +C -Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Cách làm: x + x3 dx = 1 (4 + x + x d ( x + ) =  3 3 ) +C = (4 + x ) 3 +C 100 Câu ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 )): Tích phân  x.e 2x dx A (199e200 + 1) B (199e200 − 1) C (199e200 + 1) D (199e200 − 1) Đáp án A Phương pháp: -Sử dụng tích phân phần Cách làm: dx = du u = x  Ta đặt  x  2x e dx = dv v = e  100 Khi  100 1 x.e dx = x e2 x − 2 2x 100  e dx = x.e2 x 100 2x − e2 x 100 1 1 = 100.e 200 − e 200 + = (199e 200 + 1) 4 Câu ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ):): Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x ( x3 − x ) Hàm số F ( x ) có điểm cực trị? A B C Đáp án C Phương pháp: - Tìm nghiệm F  ( x ) = xét dấu F  ( x ) Cách giải: x = Ta có: F  ( x ) = f ( x ) = e x ( x3 − x ) =  x ( x − ) =    x = 2 D Ta thấy F  ( x ) đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có điểm cực trị Câu ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục  −4;4 biết  f ( − x ) dx = −2 f ( −2 x ) dx = Tính I =  f ( x ) dx  B I = −6 A I = 10 D I = −10 C I = Đáp án B Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến áp dụng công thức b c c a b a  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx Cách giải: Xét tích phân:  f ( − x ) dx −2  x = −2  t = Đặt x = −t  dx = −dt Đổi cận  x =  t =  0 2 −2 0  f ( − x ) dx = − f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 2 Xét tích phân:  f ( −2 x ) dx = x =  t = Đặt 2x = t  2dx = dt Đổi cận  x =  t =   f ( −2 x ) dx = =  4 4 f ( −t ) dt =   f ( − x ) dx =  −  f ( x ) dx =   f ( x ) dx = −8 2 2 2 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = − = −6 Câu 8: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)   Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin 2x F   = Tính F   4 6  A F   = 6  C F   = 6  B F   = 6  D F   = 6 Đáp án D   1    sin 2xdx = cos2x = = F  − F   F  = 1− =   4 4 6 6 6 Câu (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Tính tích phân I =  dx ta kết x 3x + I = a ln3 + bln5 Giá trị S = a + ab + 3b A B C D Đáp án D x = → t = Đặt t = 3x +  t = 3x +  2tdt = 3dx,  x = → t = Suy a = dt  t −1  I = 2 =  − = ln − ln = ln − ln   S=5 dt = ln t −1  t −1 t +  t +1 b = −1 4 Câu 10: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giưới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = x −1 trục tọa x +1 độ Khi giá trị S A 2ln + 1( dvdt ) B ln + 1( dvdt ) C ln −1( dvdt ) Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm x −1 =  x =1 x +1 Suy diện tích cần tính S= x −1 dx =  − dx = ( x − ln ( x + 1) ) = ln − 1( dvdt ) x +1 x +1 D 2ln −1( dvdt ) dx 1+ x2 Câu 11 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Một học sinh làm tích phân I =  theo bước sau Bước 1: Đặt x = tan t, suy dx = (1 + tan t ) dt Bước 2: Đổi x =  t =   ,x =  t =   + tan t   = 0− dt = dt = t =−  + tan t 4 0 Bước 3: I =  Các bước làm trên, bước bị sai A Bước B Bước C Không bước sai D Bước Đáp án A    + tan t   = dt = dt = t −0 =  + tan t 4 0 I= Câu 12 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục f '( x )  x + , x  x A f ( )  + + ln 2 + thỏa mãn f (1) = Khẳng định sau đúng? B f ( )  + ln 2 C f ( 2)  D f ( )  Đáp án B Ta có f ( x ) =  x + dx = x − ln x + C x f (1) =  + C =  C =  f ( x ) = x − ln x  f ( ) = − ln Câu 13: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2018x 2018x e +C 2018 A  f ( x ) = e 2018x ln 2018 + C B  f ( x ) = C  f ( x ) = 2018e 2018x + C D  f ( x ) = e 2018x + C Đáp án B Ta có  f ( x ) =  e 2018x dx = 2018x e +C 2018 Câu 14: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho số thực a  Gỉa sử hàm số f ( x ) liên tục dương đoạn 0;a  thỏa mãn a dx 1+ f (x) f ( x ) f ( a − x ) = Tính tích phân I =  A I = a B I = a C I = a D I = 2a Đáp án B f (a − x ) dx dx =  = dx f ( x ) f ( a − x ) = Ta có I =  1+ f (x) 1+ f (a − x ) 0 1+ f (a − x ) a a a a f (a − x ) f (t) x =  t = a dx =  dt , Khi  Đặt t = a − x  dx = −dt  1+ f (a − x ) 1+ f (t ) x = a  t = 0 a a a a f (t) f (x) dx dx a + dt =  =  dx  I = dx suy 2I =  1+ f (x) 1+ f (x ) 1+ f (t ) 1+ f (x) 0 a a I= Câu 15 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho  f ( x ) dx = Tính tích phân −2  2f ( x ) − 1 dx −2 B −3 A −9 C D C D Đáp án C −2 −2 Ta có I =  f ( x ) dx −  dx = 2.3 − (1 + ) = Câu 16 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Tích phân  ( x + 3) dx A 61 Đáp án B B 61 61  ( x + 3) Ta có: ( x + 3) dx = 3 = 61 Câu 17 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2cos2x A −2sin 2x + C B −sin2x + C D sin2x + C C 2sin2x + C Đáp án D  2cos2xdx = sin 2x + C Câu 18: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho  3x + A − x 9x − dx = a + b 2, với a, b số hữu tỉ Khi giá trị a 26 27 B 26 27 C − 27 26 D − 25 27 Đáp án B  3x + Ta có: x 9x − dx =  ( x 3x − 9x − 9x − 9x + 2 ) dx = 1  =  3x dx −  9x − 1d ( 9x − 1) =  x − 18 18  1 Suy a =  (3x ) − x 9x − dx 26 16 − (9x −1)  = 27 27 3 26 −16 ;b = 27 27 Câu 19: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho hàm số f ( x ) xác định \ −1;1 thỏa mãn: f ' ( x ) = ; f ( −3) + f ( 3) = x −1  1 1 f  −  + f   = Tính giá trị biểu thức P = f ( ) + f ( )  2 2 A P = ln + B P = + ln C P = + ln Đáp án C Ta có: f ( x ) =  f ' ( x ) dx =  dx  1  x −1 =  − +C  dx = ln x −1  x −1 x +1  x +1 1− x + C1 Với −1  x   f ( x ) = ln x +1 D P = ln x  1 x −1  f ( x ) = ln + C2 Với  x +1  x  −1 1 1 ln + C2 + ln + C2 =  C = 1      2 Do f ( −3) + f ( 3) = f  −  + f   =     2 2 C1 =  ln + C + ln + C = 1  2 Do P = f ( ) + f ( ) = + ln Câu 20: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) = 1 x  f ' ( x ) dx =  ( x + 1) e dx = 0 e2 − Tính tích phân I =  f ( x ) dx B I = e − A I = − e C I = e e −1 D I = Đáp án B  u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt   ,  x x dv = x + e dx v = xe ( )     1 0 1 0 = e.f (1) −  xe x f ' ( x ) dx   xe x f ' ( x ) dx = −  ( x + 1) e x f ( x ) dx = Xét tích phân − e2 1 0 x x 2 2x  f ' ( x ) + k.xe  dx =  f ' ( x ) dx + 2k. xe f ' ( x ) dx + k  x e dx =  1 x x x  ( x + 1) e f ( x ) dx = xe f ( x ) −  xe f ' ( x ) dx e2 − 1 − e2 e2 − + 2k + k2 =  k − 2k + =  k =  f ' ( x ) = − x.e x 4 Do f ( x ) =  f ' ( x )dx = −  x.e x dx = (1 − x ) e x + C mà f (1) =  C = 1 0 Casio →I = e − Vậy I =  f ( x ) dx =  (1 − x ) e x dx ⎯⎯⎯ Câu 21: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 0; + ) x2  f ( t ) dt = x sin x ( x ) Tính f ( ) A f ( ) = Đáp án B  −1 B f ( ) =  C f ( ) =  D f ( ) = x2 Lấy đạo hàm vế biểu thức  f ( t ) dt = x sin ( x ) , ta 2x.f ( x ) =  x.sin ( x ) ' → 2.2.f ( ) = d  x.sin ( x ) )  f ( ) = ( dx x −2 Câu 22 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục a;b Diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) xác định công thức sau b A S =  f ( x ) dx a a B S =  f ( x ) dx b b C S =  f ( x ) dx a b D S =  f ( x ) dx a Đáp án C a Ta có S =  f ( x ) dx b Câu 23( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − sin 2x x2 + cos2x + C A x2 + cos2x + C B 2 C x + cos2x + C x2 − cos2x + C D 2 Đáp án B Ta có  ( x − sin 2x )dx = x2 + cos2x + C 2 Câu 24 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục  16 mãn  cot x.f ( sin x ) dx =   A I = f ( x ) dx = Tính tích phân I = x f ( 4x ) dx x 1  B I = Đáp án D    4 A =  cot x.f ( sin x ) dx =  cos x f ( sin x ) dx  sin x C I = D I = thỏa f (t) f (x) dt =   dx = Đặt t = sin x  dt = 2sin x cos xdx, đổi cận suy A =  x 2t 1 2 16 Mặt khác B =  f ( x ) dx = ⎯⎯⎯→ B = u= x x f (u) f (u) 2udu  B = 1 u 1 u du = f (x) dx = x  4 f ( 4x ) f ( v ) dv f ( v ) f (x) v = 4x dx ⎯⎯⎯ →I =  = dv =  dx = A + B = Xét I =  v v x x 1 2 Câu 25( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Biết  1  sin 2x.ln ( tan x + 1) dx = a + b ln + c với a, b, c số hữu tỉ Tính T = a + b − c C T = B T = A T = D T = −4 Đáp án B u = ln ( tan x + 1) dx cos2x  du = Đặt  v = − cos x ( tan x + 1) dv = sin 2xdx   cos 2x.ln ( tan x + 1) 4 cos 2x Khi I = − +  dx 2 cos x tan x + ( ) 0 cos 2x cos x − 1 − tan x cos x = = = = − tan x Ta có cos x ( tan x + 1) cos x ( tan x + 1) tan x + 1 + tan x 2−   cos 2x dx = Suy  0 (1 − tan x )dx cos x ( tan x + 1) Vậy I = −   cos 2x.ln ( tan x + 1) +   (1 − tan x ) dx 2 0   cos 2x.ln ( tan x + 1)  1 =− +  ( x + ln cos x ) = − ln Hay a = ; b = − ;c = 0 2 Câu 26( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Mệnh đề sau sai A Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C  f ( u ) du = F ( u ) + C B  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx (k số k  0) C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D  f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 2 Đáp án C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) + C Câu 27(Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x A e x + C B ex +C C e x + C e2 x +C D Đáp án D Câu 28 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn −1;3 thỏa mãn f ( −1) = ; f (3) = Giá trị I =  f  ( t )dt −1 C I = 10 B I = A I = 20 D I = 15 Đáp án D Câu 29 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  a; b Mệnh đề sai ? A a a a b  f ( x )dx = − f ( x )dx b C B c b a a c  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx, c  R a b  f ( x )dx =  f ( t )dt a a D  f ( x )dx = a a Đáp án B Câu 30 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho  f ( x )dx = 12 , giá trị A 24 B 10 x  f  dx C D 14 Đáp án A Câu 31 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x trục hoành Hai đường thẳng y = m y = n chia ( H ) thành phần có diện tích (tham khảo hình vẽ) Giá trị biểu thức T = ( − m ) + ( − n ) 3 A T = 320 B T = C T = 512 15 D T = 405 75 Đáp án A Gọi S diện tích hình phẳng tạo đồ thị y = − x + x Ox  y = m y = n chia S thành phần theo thứ tự từ xuống S1 ; S2 ; S3 2 1 +) S1 =  ( − x + x − m ) dx = S = 2. ( − x + x ) dx 3 a 2  x3  16   − + x − mx  =  a 3  16  16   a (1)   − − 2m  −  − + 2a − ma  =     Mà x = a nghiệm phương trình: − x + x = m  − a + 4a = m (2) Thay (2) vào (1) ta có: 16 a3 16 − ( −a + 4a ) + − 2a + ( −a + 4a ) a = 3 2a 32 − + 4a − 8a + =0  a  0,613277  m = −a + 4a  2,077 Tương tự: S1 + S = S 2  2. ( − x + x − n ) dx = 2. ( − x + x ) dx b 16 …  − b3 + 4b − 8b + =  b  0, 252839  n = −b2 + 4b  0,947428 T = ( − m) + ( − n) = 3 320 Câu 32 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) liên tục R thoả mãn  f ( x +1 x +1 A )dx = ( x +1 + x+5 x+3 +C ( x2 + 4) B ) + C Nguyên hàm hàm số x+3 +C x2 + Đáp án D Phân tích giả thiết đề cho Đặt x +1 = t   VT =  f ( dx = dt  x +1 ) x + dx x +1 dx = 2dt x +1 =  f ( t ).2dt =  f ( t ).dt C f ( x ) tập R+ 2x + +C ( x + 1) D 2x + +C ( x + 1)  VP = ( x +1 + x +1 + ) = ( t + 3) + C t2 + Mà VT = VP nên  f ( t ).dt = ( t + 3) t2 +   f ( t ).dt = +C t +3 +C t2 + 2t +   f ( 2t ).dt = +C 4t + (Áp dụng công thức  f ( ax + b )dx = F ( ax + b ) +C ) a a+ b Câu 33 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Biết  − x2 + x − số nguyên dương  a + b  Tổng a + b A B C D Đáp án D a+ b I= a+ b  −x + 6x − + 4 dx =  4 − ( x − 3) Đặt x − = 2sin t  dx = 2cos tdt Đổi cận: x = a + b  sin t = x =  sin t = I=  a + b −3  arcsin       a + b −3 2 cos tdt − 4sin t I=  a + b −3  arcsin        a + b −3  arcsin     1.dt = t  dx dx =  , a, b  a + b −3   I = arcsin   − = (theo đề bài)   6  a + b −3   arcsin   =    a + b −3  = sin  a + b −3 = 2  a + b = 3+ a =   a +b = b = Câu 34 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y = 3e− x + x , trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = ln Thể tích khối tròn xoay tạo thành cho (H) quay quanh trục hồnh tính cơng thức sau đây? A  ln  ( 3e− x + x ) dx B ln  3e − x + x dx C  ln  ( 3e− x + x ) dx D  ln  3e − x + x dx Đáp án C Chú ý hàm số y = f ( x ) liên tục  a; b , thể tích hình (H) tạo thành quay phần giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , đường thẳng x = a x = b quanh trục hoành b V =   f ( x ) dx a Câu 35 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x − A 2x e − + C x B 2x e + + C x Đáp án B e2 x x −1 e2 x  e dx −  x dx = − −1 + C = + x + C 2x −2 C e x + + C x x2 D e x − + C x Câu 36 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018)Tích phân I =  ( x + ) dx A I = 56 B I = 60 C I = 240 D I = 120 Đáp án B ( x + 2) I= 4 = 60 1+ ln Câu 37 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho  e f ( x ) dx = 2018 Tính I =  ln A I = 2018 C I = B I = 4036 1009 f ( ln x ) dx x D I = 1009 Câu 38 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường ( P ) : y = 2x2 , parabol tiếp tuyến (P) M (1;2) trục Oy B S = A S = 1 D S = C S = Đáp án B Phương trình tiếp tuyến (P) điểm M: y = ( x −1) + = x − 2 S =  ( x − x + ) dx = Câu 39 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  f ' ( x )  1 dx = f ( ) = , f ( ) = Tính 4;8 f ( x )  0x 4;8 Biết   4   f ( x )  f ( 6) A B C D Đáp án D  f ( x )  f '( x) −2 Ta có:  dx = f x d f x =     ( ) ( ) 4     −1   f ( x )  8 Gọi k số thực Xét −1 =− 1 + = −2 + = f (8) f ( ) 8  f ' ( x )   f '( x)  f '( x) 2 4  f ( x ) + k  dx =4  f ( x ) dx + 2k 4 f ( x ) dx + k 4 dx = + 2k.k + 4k = ( 2k + 1)     2 −1 Chọn k = , ta có  f '( x)   f '( x)  4  f ( x ) −  dx = 0, mà  f ( x ) −   nên      f '( x)  f '( x) −  =  =  f ( x)  f ( x)   f '( x) x x dx = + C  − = + C Với x = , ta có f ( x) f ( x) = + C  −4 = + C  C = −6 f ( 4) − Do đó: f ( x ) = −1 2 = Do f ( ) = = = x 12 − 6 − 12 − x  Câu 40: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho tích phân cos x dx = a + b   − cos x với a, b  Q Tính P = − a − b B P = −29 A P = C P = −7 Đáp án C    2 cos x cos x − +   dx =  − cos x  − cos x dx = 1 − cos x − (1 + cos x ) dx  =  dx 2sin  x − ( x + sin x )   x d   x 2  = −  + = − cot − + = 3− x 2  sin 2 2  Do a = −1; b =  P = − ( −1) − 32 = −7 D P = −27 ... Câu 16 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Tích phân  ( x + 3) dx A 61 Đáp án B B 61 61  ( x + 3) Ta có: ( x + 3) dx = 3 = 61 Câu 17 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Họ nguyên hàm hàm số f... 320 Câu 32 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) liên tục R thoả mãn  f ( x +1 x +1 A )dx = ( x +1 + x+5 x+3 +C ( x2 + 4) B ) + C Nguyên hàm hàm số x+3 +C x2 + Đáp án D Phân tích. .. nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D  f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 2 Đáp án C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) + C Câu 2 7(Sở GDĐT