( phần bonus) 19 bài toán thực tế image marked image marked

Câu 1(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Một người tham gia đặt cược đua ngựa với cách cược sau: Lần đầu người đặt cược 20.000 đồng, lần sau đặt cược gấp đôi lần đặt trước, thua cược người số tiền đặt, thắng cược thêm số tiền đặt Người thua lần liên tiếp thắng lần thứ 10 Hỏi người cá cược hay thua tiền? B.Thua 20.000 đồng C.Thắng 20.000đ A Hòa vốn D Thua 40.000 đồng Chọn C Tự luận: Đặt số tiền đặt lần u1 = 20 x20.000; u2 = 21 x20.000; u3 = 22 x20.000; , u10 = 29 x20.000 Lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 20.000; q = − p10 − 210 Tổng số tiền tham gia cược S10 = u1 = 20.000 1− q 1− Số tiền người có sau ván thứ 10 thắng cược T = 2u10 − S10 = 210.20000 − 20000 ( 210 − 1) = 20000 Vậy sau 10 ván cược trên, người thắng cược 20000đ Câu (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = t + 3t - 9t + 27 , t tính giây (s ) S tính mét (m) Gia tốc chuyển động thời điểm vận tốc triệt tiêu bao nhiêu? A 0m/s2 B 6m/s2 C 24m/s2 Chọn D Tự luận: / Vận tốc chuyển động lúc t là: v (t ) = S ' = (t + 3t - 9t + 27) = 3t + 6t - / Gia tốc chất điểm lúc t là: a (t ) = v ' = (3t + 6t - 9) = 6t + Vận tốc triệt tiêu v (t)= Û 3t + 6t - = , suy Do a (1)= 6.1 + = 12m/s2 t = D 12m/s2 Câu 3(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 400 ( km ) Vận tốc dòng nước 10 ( km/h ) Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v ( km/h ) lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t , c số, E tính jun Tìm vận tốc cá nước đứng yên để lượng tiêu hao B 15 (km / h) A 12 (km / h) C 18 (km / h) D 20 (km / h) Chọn B Tự luận: Với vận tốc tự thân v ( km/h ) , vận tốc dòng nước 10 ( km/h ) Vận tốc di chuyển ngược dòng cá hồi : v − 10 (km/h) Thời gian để cá hồi vượt 400 ( km ) ngược dòng nước : t = 400 (km) v − 10 Như lượng lượng tiêu hao cá hồi là: E ( v ) = cv 3t = 400c  2v ( v − 15 ) v3 Xét hàm số f ( v ) = với v  10 ta có f  ( v ) = v − 10 ( v − 10 ) Bảng biến thiên f ( v ) khoảng ( 10; + ) 10 15 – E ( v ) nhỏ  f ( v ) nhỏ  v = 15 + ( v  10 ) v3 (jun) v − 10 Vậy vận tốc tự thân cá hồi 15 (km/h) lượng tiêu hao thấp Câu 4(ĐỀ THI THỬ 2018)Một người thả bèo vào ao, sau 12 bèo sinh sơi phủ kín mặt ao Hỏi sau bèo phủ kín mặt ao, biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng khơng đổi A 12 − log (giờ) B 12 (giờ) C 12 − log (giờ) D 12 + ln (giờ) Đáp án A Gọi t thời gian bèo phủ kín 1012 1012 mặt ao, 10t =  t = log = 12 − log 5 5 Câu 5(ĐỀ THI THỬ 2018): Một chất điểm cuyển động với vận tốc v0 = 15m / s tăng vận tốc với gia tốc a ( t ) = t + 4t ( m / s ) Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68, 25m B 70,25m C 69,75m D 67,25m Đáp án C Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  ( t + 4t ) dt = t3 + 2t + C ( m / s ) Do bắt đầu tăng tốc v0 = 15 nên v( t −0) = 15  C = 15  v ( t ) = t3 + 2t + 15 3    t3 t4  Khi quãng đường S =  v ( t ) dt =  15 + + 2t  dt = 15 + + t  12    0 = 69, 75m Câu 6(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018) Một người công nhân làm việc cho công ty lãnh lương khởi điểm 1,2 triệu đồng/tháng Cứ sau năm người tăng lương thêm 0,4 triệu Hỏi sau 15 năm làm việc người công nhân lãnh tổng tất tiền? A 2160 triệu đồng B 504 triệu đồng C 360 triệu đồng D 100 triệu đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Số tiền người lãnh sau năm đầu là: T1 = 36.1, = 36.u1 Số tiền người lãnh sau năm là: T2 = 36 ( 1, + 0, ) = 36 ( u1 + d ) = 36u2 …… Số tiền người lãnh sau năm cuối là: T5 = 36 ( u1 + 4d ) = 36u5 Ta thấy u1 ; u2 ; ; u5 cấp số cộng với công sai d = 0, 4; u1 = 1, Số tiền người lãnh sau 15 năm là: T = T1 + T2 + + T5 = 36.S5 = 36 ( 2.1,2 + 4.0,4 ) = 360 (triệu) Câu 7(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68.5(cm) Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49.83 ( xm ) Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A  40 (miếng da) B  20 (miếng da) C  35 (miếng da) D  30 (miếng da) Đáp án D Vì thiết diện qua tâm đường tròn có chu vi 68.5(cm), nên giả sử bán kính mặt cầu R ta có: 2R = 68.5  R = 68.5 2  68.5  Diện tích mặt cầu Sxq = 4R = 4    1493.59 ( cm )  2  Vì miếng da có diện tích 49.83 ( cm ) nên để phủ kín mặt bóng số miếng da cần 1493.59  29.97 Vậy phải cần  30 (miếng da) 49.83 Câu 8: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miến tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? A V = 16000 lít B V = 16 2 lít C V = 16000 2 160 2 lít D V = lít 3 Đáp án Đổi 60cm = 6dm Đường sinh hình nón tạo thành l = 6dm Chu vi đường tròn đáy hình nón tạo thành 2.r = Suy bán kính đáy hình nón tạo thành r = 2.6 = 4 dm 4 = dm 2 Đường cao khối nón tạo thành h = l2 − r = 62 − 22 = 1 16 2 16 2 dm = Thể tích phễu V = r h = .22.4 = lít 3 3 Câu 9(TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Ông An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288cm3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ông An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi ơng An trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu? A 108 triệu đồng B 54 triệu đồng C 168 triệu đồng D 90 triệu đồng Đáp án A Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ Gọi ba kích thước bể a, 2a, c Ta có diện tích cách mặt cần xây S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac Thể tích bể V = a.2a.c = 2a 2c = 288  c = Vậy S = 2a + 6a 144 a2 144 864 432 432 432 432 = 2a + = 2a + +  3 2a = 216 a a a a a a Vậy Smin = 216 cm = 2,16 m Chi phí thấp 2,16  500000 = 108 triệu đồng Câu 10: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Một hình vng ABCD có cạnh AB = a, diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 ,C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB, BC, CD, DA ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vng thứ ba A B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S4 ,S5 , Tính S = S1 + S2 + S3 + + S100 2100 − A S = 99 2 a B S = a ( 2100 − 1) 299 C S = a ( 2100 − 1) 299 D S = a ( 299 − 1) 299 Đáp án C Dễ thấy S1 = a ; S2 = a2 a2 a2 ; S3 = ; ;S100 = 99 Như S1 ,S2 ,S3 , ,S100 cấp số nhân với công bội q = 2 100  a ( − 1)  1 S = S1 + S2 + + S100 = a 1 + + + + 99  =  299  2 Câu 11: (Toán Học Tuổi Trẻ) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hàng tháng Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng Lần người gửi 2.000.000 đồng Cứ sau tháng người gửi nhiều số tiền gửi tháng trước 200.000 đồng Hỏi sau năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người nhận tổng số tiền vốn lẫn lãi bao nhiêu? A 618051620 đồng B 484692514 đồng C 597618514 đồng D 539447312 đồng Đáp án D U1 = 2.000.000  Đặt d = 200.000 Gọi M i số tiền người có sau i tháng gửi tiền i = 1, 2,3, 60 q = + 0,55%  Ta có: M1 = U1.q M = (U1q + U1 + d ) q = U1q2 + U1q + dq M = (U1q + U1q + dq + U1 + 2d ) q = U1q + U1q + U1q + dq + 2dq M = (U1q + U1q + U1q + dq + 2dq + U1 + 3d ) q = U1q + U1q + U1q + U1q + dq + 2dq + 3dq …… M 60 = U1.q ( q 59 + + q + q + 1) + d ( q 59 + 2q 48 + + 59q ) 58 − q 60 = U1.q + d  ( x + 1) q59− x  = 539447312 1− q x =0 Câu 12(Toán Học Tuổi Trẻ): Cho phí xuất x tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, cơng nhân viên, giấy in…) cho bởi: C( x) = 0,0001x2 − 0, x + 10000, C( x) tính theo T ( x) đơn vị vạn đồng Chi phí phát hành cho nghìn đơng Tỉ số M ( x) = với x T ( x ) tổng chi phí (xuất phát hành) cho x tạp chí, gọi chi phí trung bình cho tạp chí xuất x Khi chi phí trung bình cho tạp chí M ( x) thấp nhất, tính chi phí cho tạp chí A 20.000đ B 15.000đ C 10.000đ D 22.000đ Đáp án D Tổng chi phí: T ( x) = C ( x) + 0, x = 0,0001x2 + 0, x + 10000 (vạn đồng) Suy chi phí trung bình: M ( x) = T ( x) 10000 = 0, 0001x + 0, + x x Theo định lí cossi cho hai số dương ta có: M ( x)  0, + 10000.0, 0001 = 2, Dấu “=” xảy 0, 0001x = 10000  x = 10000 x Vậy chi phí cho tạp chí thấp 22000đ Câu 13: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 600 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? A B 27 C 3 D 64 Đáp án A Ta có: h + h ' = 30(cm) h' h ; R = h cot 600 = 3 1  h '3 h3  V =  h ' r + h.R =   +  = 1000 (cm3 )  3  3  r = h 'cot 600 = ( )  h3 + h '3 = 9000(cm3 ) h + h ' = 30 h ' = 30 − h    h + h ' = 9000 h − 30h + 200 = h ' = 30 − h h ' = 10  h  h '    h = 20   h = 20   h = 10  V ' r h ' h '3 Ta có = = = V R h h3 Câu 14: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi N(t) số phần trăm cacbon 14 lại phận sinh trưởng từ t năm trước ta có cơng thức t A N (t ) = 100.(0,5) (%) với A số Biết mẩu gỗ có tuổi khoảng 3574 năm lượng cacbon 14 lại 65% Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 lại mẫu gỗ 63% Hãy xác định tuổi mẫu gỗ lấy từ cơng trình A 3874 B 3833 C 3834 D 3846 Đáp án B Ta có:  A= 3574 N (3574) = 100.(0,5) A = 65% 3574 log 0,5 0, 65 t A N (t ) = 100.(0,5) = 63%  t = A log 0,5 0, 63 = 3574 log 0,5 0, 63  3883 (năm) log 0,5 0, 65 Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ) Một sợi dây kim loại dài a (cm) Người ta cắt đoạn dây thành hai đoạn, đoạn có độ dài x (cm) uốn thành đường tròn đoạn lại uốn thành hình vng (a > x > 0) Tìm x để hình vng hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ A x = a (cm) p+ B x = 2a (cm) p+ C x = pa (cm) p+ D x = 4a (cm) p+ Đáp án C Tổng diện tích 2 ỉ x ỉa - x p+ a a2 ap ữ ỗỗ S = p ỗỗ ữ + = x x + nh nht x = ữ ữ ữ ữ ỗố 2p ứ ốỗ ứ 16p 16 p+ Câu 16: (Tốn Học Tuổi Trẻ) Áp suất khơng khí P (mmHg ) tính theo cơng thức P = P0 ekx (mmHg ) , x độ cao (đo mét), P0 = 760 (mmHg) áp suất mức nước biển (x = 0), k hệ số suy giảm Biết độ cao 1000m áp suất khơng khí 672,71mmHg Tính áp suất khơng khí độ cao 3000m A 527,06 mmHg B 530,23 mmHg Đáp án A Ta có P = 760.e 3000 672,71 ln 1000 760 » 527, 06 (mmHg ) C 530,73 mmHg D 545,01 mmHg Câu 17: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = - t + 3t + 9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc chuyển động thời điểm gia tốc triệt tiêu A 12m/s B 0m/s C 11m/s D 6m/s Đáp án A Gọi số hạng thứ hai cấp số cộng u2 số hạng thứ thứ 44 cấp số cộng u9 = u2 + 7d , u44 = u2 + 42d (d công sai cấp số cộng d ¹ u2 , u9 , u44 phân biệt ) ìï u2 u44 = u9 Ta có ïí nên ïïỵ u2 + u9 + u44 = 217 ìï u2 (u2 + 42d )= (u2 + 7d ) ïí Û ïïỵ u2 + u2 + 7d + u2 + 42d = 217 ïíìï u2 = (d 0) ùùợ d = Do ú u1 = u2 - d = Và Sn = n (2u1 + (n - 1)d ) = n (2n + 1) Phương trình n (2n + 1)= 820 có nghiệm nguyên dương n = 20 Câu 18: (Tốn Học Tuổi Trẻ) Mặt tiền ngơi biệt thự có cột hình trụ tròn, tất có chiều cao 4,2m Trong số có hai cột trước đại sảnh đường kính 40cm, cột lại phân bố hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26cm Chủ nhà th cơng nhân để sơn cột loại sơn giả đá, biết giá thuê 380000/1m2 (kể vật liệu sơn phần thi cơng) Hỏi người chủ tiền để sơn hết cột nhà (đơn vị đồng)? (lấy  = 3,14519 ) A  11.833.000 B  12.521.000 C  10.400.000 D  15.642.000 Đáp án A Tổng diện tích cần phải sơn là: S xq = ( 2 r1h ) + ( 2 r2 h ) =  2 ( 0, )( 4, )  + 2 ( 0,13 )( 4, )   31,1394 m Vậy số tiền chủ nhà trả đề sơn cột nhà 380 000  31,1394  11833000 đồng Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Số có ánh sáng thành phố X vĩ độ 40 bắc ngày thứ t năm không nhuận cho hàm số:   dt = 3sin  ( t − 80 )  + 12, t  ,  t  365 Vào ngày năm thành phố X có  182  nhiều ánh sáng nhất? A 262 B 353 C 80 D 171 Đáp án D   Để thành phố X có nhiều có ánh sáng sin  ( t − 80 )  =  t = 171  182  ... 2v ( v − 15 ) v3 Xét hàm số f ( v ) = với v  10 ta có f  ( v ) = v − 10 ( v − 10 ) Bảng biến thiên f ( v ) khoảng ( 10; + ) 10 15 – E ( v ) nhỏ  f ( v ) nhỏ  v = 15 + ( v  10 ) v3 (jun)... là: S xq = ( 2 r1h ) + ( 2 r2 h ) =  2 ( 0, )( 4, )  + 2 ( 0,13 )( 4, )   31,1394 m Vậy số tiền chủ nhà trả đề sơn cột nhà 380 000  31,1394  11833000 đồng Câu 19: (Toán Học Tuổi... Ta có:  A= 3574 N (3 574) = 100 .(0 ,5) A = 65% 3574 log 0,5 0, 65 t A N (t ) = 100 .(0 ,5) = 63%  t = A log 0,5 0, 63 = 3574 log 0,5 0, 63  3883 (năm) log 0,5 0, 65 Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ)