1_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 Bất đẳng Cauchy có phương pháp hay hấp dẫn đố Phương pháp:” Điểm rơi Cauchy”.Mặc dầu khơng sách nói phương pháp nhìn chung nhiều bạn chưa hiểu phương pháp trước hết xin trinh bày sơ lược Bất đẳng thức(BĐT) phương pháp điểm rơi: 1.Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số dương, a1,a2,a3,……,an Ta có: a1 a a a nn a1 a2 a3 an (Bất đẳng thức CauChy cổ điển) n Hoặc phát biểu dạng khác sau: nn ni 1 a i Từ ta suy dạng hay sử dụng là: 1 1 n2 a1 a a n a1 a a n (1) Dấu Bất đẳng thức xẩy a1=a2….=an Và rõ ràng để sử dụng BĐT CauChy ta phải ý đến “Điều kiện xẩy dấu bằng”,và phương pháp “Điểm rơi CauChy” đống vai trò quan trọng,và học thấy BĐT CauChy xoay quanh “Điểm rơi CauChy”mà thôi.Sau ta xét số ví dụ để thấy rõ điều đó: Ví dụ 1:Cho a tìm Giá trị nhỏ (Min) P= a + Suy nghĩ tìm lời giải: a Rõ ràng PMin=3/2 a = 2.Thế áp dụng BĐT CauChy trực tiếp ta thấy P a 2 a Nhưng dễ thấy dấu “=” không xảy a Do ta phải sử dụng BĐT CauChy cách khéo léo tinh tế a Như ta thấy a=2 1/a =1/2, mà ta tách a P= 3a ;ư 3a a * a (Theo BĐT CauChy kết hợp a>=2) 4 a 4 a Dấu “=” xảy a=2.Vậy PMin=5/2 a=2 Ví dụ 2: Cho x,y>0, x x y ;Tìm Min A= ; y y x (Đề thi vào 10 chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 20072008(vòng1)) Suy nghĩ tìm lời giải: Đây dang BĐT đối xứng ta dự đoán dấu”=” xảy x =1/2,y=2; Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com Gmail:Chamluongtu11@gmail.com 2_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 Khi x=1/2,y=2 x/y=1/4 y/x = để dùng BĐT CauChy y y 15 y ; Trước hết theo BĐT CauChy,ta có: x 16 x 16 x x x 1 x 1 ;vì mà tìm Min A ta phải kết hợp điều y y y ta phải tách: y 15 y x y x 15 17 2 16 x 16 x y 16 x y 16 y (Theo CauChy theo đề ) x kiện này.Ta tách P= Vậy toán chứng minh Ta xét toán phức tạp hơn; VD3: Cho số a,b,c>0,và a + b+ c = 9: tìm giá trị nhỏ P= a2 b2 c2 bc bc ab Suy nghĩ tìm lời giải Đây bất đẳng thức đỗi xứng mà ta thấy phương pháp giải khơng xa lắm: ta dự đoán dấu “=” xảy a = b = c = 3,và Pmin thấy a = b = c = a2 b2 c2 32 b c a c a b 33 Trước hết ta tìm cách rút gọn mẫu ta cộng thên lượng để khử mẫu; a2 bc a (b c ) 2 a (Theo BĐT CauChy); 4.(b c ) bc Tương tự: ab b2 ac c2 b, c ac ab Cộng BĐT lại, ta được: P abc abc a b c Hay P 2 Dấu “=” xảy a=b=c =3 Nhận xét: ta không cộng thêm a+c,b+c,a+b, mà lại công thêm ab bc ac , , ta dự đốn dấu “=” xảy a=b=c=3, 4 Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com Gmail:Chamluongtu11@gmail.com 3_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 rõ ràng để a2 b2 c2 32 a b b c c a ta b c a c a b 33 phải chia cho Bây ta xét dạng tổng quát này; Dạng tổng quát cho số; VD4: Cho a,b,c số dương thoả mãn : a + b + c = k (k>0); Tìm giá trị nhỏ P an bn cn bc ac ab ( để đơn giản ta xét n nguyên dương.n>1) Nhận xét: bất đẳng thức đối xứng nên suy đoán dấu “=” xẩy a=b=c=k/3: kn k n1 2k 2.3 n 1 3n ( ) n 1 bc ac ab k ta cộng thêm lượng ý mẫu ttt 2.3 n1 Nên theo hướng : an bn cn bc ac ab có a+b;b+c;c+a đố mà ta cộng thêm lần bc ac ab ; ; ; lại nảy sinh vấn đề làm để sử dụng ttt tổng a + b+ c =k; Và khơng thể tính giá trị nhỏ nhất??? Rõ ràng ta chứng minh theo suy đoán a = b = c nên ta cơng thêm số lượng kn 1 sau ta trừ khơng ảnh hưởng mà lại đem 2.3 n 1 P>= q.k Giải: Ta có: kn (b c) kn (b c) an an kn 1 k n1 bc bc n 4.3 n 2.3 n1 2.3 n 1 2n2 n a 2n (k n ) (k n1 ) n k n2 a n (4.3 n ) (2.3 n 1 ) n 2.3 n Tương tự ta có BĐT Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com Gmail:Chamluongtu11@gmail.com 4_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 bn bn kn (a c) kn (a c ) kn 1 kn 1 k n b n ac ac n 4.3 n 2.3 n 1 2.3 n 1 n cn cn k n (b a) k n (b a ) k n1 k n1 k n c ; n ab ab 4.3 n n 2.3 n1 2.3 n1 n Cộng vế theo vế BĐT Suy ra: 2P 2n P k n kn 1 k n2 kn 1 ( ) ( ) ( ) a b c n a b c 2.3 n 2.3 n 1 4.3 n n kn 1 ; 2.3 n Dấu “=” xẩy a = b = c = k/3 > 0; Bây ta xét dạng tổng quát cho n số: n VD5: Cho n số a1,a2,a3………………… an >0 thoả mãn a i k (k>0); i 1 Tìm GTNN P = a nm a1m a 2m a2 a3 a3 a4 a1 a Nhận xét : Dây BĐT đối xứng nên Dự đoán dấu “=” xẩy ai=k/n với i= 1, n ; Ta dựa vào dự đoán để tìm minP ; Theo dự đốn ta cộng thêm vào lượng để sử dụng giả n thiết a i k i 1 Nếu dấu “=” xâỷ ta xét rằng: a nm a a3 a1m a 2m a a2 (k / n) mkm 1 m 1 a a a3 a a1 a 2(k / n) 2n tt việc tìm t khơng khó cần giải phương trình k m1 2k / n m 1 ; 2n t Giải :; Ta xét: P1= a1m (a a )k m a1m km 2 k ( m1)(m 2) m.a1k m km 1 km 1 m m a2 a3 4.n m 2n m 1 2n m 1 2.n m 2 m 2.n ( m 1)( m 2 ) 2.n m 2 Tương tự ta có: Pn= anm (a a )k m 2 km 1 am km 2 k ( m 1)( m 2) m.an km 2 km 1 2m 2 m 1 . m 1 mmnm 2 m 2 ( m 1)( m 2) a1 a2 4.n 2n 2n nn 2.n m 2 Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com Gmail:Chamluongtu11@gmail.com 5_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 Cộng vế theo vế BĐT lại ta được: n P= Pi i 1 m.k m 2 2.n m n a i i 1 km 2 2.n m 2 n a i n.(m 2) i 1 km 1 km 1 = 2.n m 2 2.n m 1 Dấu “=” xẩy ai=k/n với i= 1, n ; ta tìm GTNN biểu thức ta lại quan tâm đến toán dạng tổng quát hơ cho m số hữu tỷ lớn ta tìm khơng???? Câu trả lời có phức tạp, quan tâm thì:… n tổng quát hơn: Cho Tìm Min P= a i k (k 0) ; i 1 m a nm a1m a a2 a3 a3 a4 a1 a Với ý rằng: m đơn giản số nguên dương > mà ta cho m số hữu tỷ > 2; VD5: Cho số dương a,b,c thoả mãn a2+b2+c2=3; Tìm GTLN,GTNN của: P= ab+bc+ca + 27 a b c ; Ta tìm giá trị lớn cách sử dụng bảng biến thiên,dùng đạo hàm! Nhưng khuôn khổ viết ta dang quan tâm đến việc sử dụng BĐT CauChy nên ta quan tâm đến GTNN; Trước hết ta tìm GTNN; Giải: * Ta tìm GTNN P; Xét 2P + = 2ab+2ac+2bc + 54 + a2+b2+c2 abc 27 27 (a b c) 27 3 27 = (a+b+c) + abc abc (a b c ) 2 (Theo CauChy) P 12 ; Dấu xảy a=b=c=1; ……………………………………………………………………………… ………… Ta xét toán tổng quát sau:(Tổng quát cho 3số): Cho a,b,c >0:Thoả mãn a2+b2+c2=n,(n>0); Tìm GTNN P = ab+bc+ac + 3n ; abc Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com Gmail:Chamluongtu11@gmail.com 6_Kỹ thuật chọn điểm rơi_Dương1A1 Cách giải đơn giản không khác bao nhiêu: Thế khơng người thấy khó? Giải: Xét Q=2P + n = 2(ab+bc+ac) + 2* (a+b+c)2+ 3n n + a2+b2+c2 = abc 3n n 3n n + abc abc Áp dụng BDT CauChy( cho số dương a,b,c): Ta được: (a b c) (3 3n n ) Q 9n ( a b c) Suy P 4n: Dấu “=” xảy a=b=c= Vậy GTNN P 4n a=b=c= n ; n ; Bây ta xét số toán thú vị: (đây tốn tơi tổng quát giải từ số BĐT có điều kiện)! Trước hết ta giải toán cụ thể trước đến toán tổng quát: VD1: Cho xy + yz +zx=5; Cmr: P= 3x2 + 3y2 + z2 10 ; Giải! Đây toấn dùng CauChy nhiên mà dùng dạng trực tiếp khơng thể cho ta kết Vì ta nghĩ tới phương pháp tách: z2 z2 Ta có P= ( x y ) (2 x ) (2 y ) xy yz zx 10 2 2 (Theo CauChy) (Đpcm): Nx: Nhìn tốn q dễ tách khơng đơn giản: Ta xét toán tổng quát sau: Bài toán: Cho số dương x,y,z thoả mãn a xy+byz+czx =A (Với m,n tham số dương A số) Tìm GTNN P=mx2 + ny2 +z2 ( Với t,q tham số dương) Giải: Ta lại chọn hai số k.l thoả mãn: 0