PT LUONG GIÁC cơ bản 11CB

Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cung liên kết cos ( − x ) = cos x; sin ( − x ) = − sin x; a) Cung đối: cos ( π − x ) = − cos x; sin ( π − x ) = sin x; b) Cung bù: c) Cung phụ: π π  π  π  cos  − x ÷ = sin x; sin  − x ÷ = cos x; tan( − x) = cot x; cot  − x ÷ = tan x 2  2  2  d) Cung π cos ( π + x ) = − cos x; sin ( π + x ) = − sin x; : π cos  π + x  = − sin x; sin  π + x  = cos x;  ÷  ÷ 2  2  e) Cung : Công thức lượng giác a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b sin 2a = 2sin a.cos a sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b tan(a + b) = − tan a tan b cot a cot b − cot(a + b) = cot a + cot b cos 2a = cos a − sin a c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc sin 3a = 3sin a − 4sin a cos3a = 4cos3 a − 3cos a e) Cơng thức tích thành tổng [ cos(a + b) + cos(a − b)] −1 sin a sin b = [ cos( a + b) − cos( a − b) ] sin a cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b) ] cos a cos b = = 2cos a − = − 2sin a tan a tan 2a = − tan a − cos 2a + cos 2a ; cos a = 2 3sin a − sin 3a 3cos a + cos3a sin a = ; cos3 a = 4 sin a = f) Cơng thức tổng thành tích a+b a −b cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = 2cos sin 2 cos a + cos b = 2cos Hằng đẳng thức thường dùng Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 sin a + cos a = − sin 2a 1+cot a = sin a sin a + cos a = 1 + tan a = cos a x sin a + cos a = − sin 2a ± sin 2a = ( sin a ± cos a ) π π π π π 0o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 120o 2 3π 2π 270 o 360 o 0 HS LG Sinx Cosx Tanx Cotx 3 || 2 2 1 1 3 || - - || || 3 || Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x = m Giải biện luận phơng trình (1) Bớc1: Nếu |m|>1 phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu |m| ,ta xét khả - Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử phơng trình có dạng đặc biƯt α ®ã  x = α + k 2π sin x = sin α ⇔  ,k ∈¢  x = π − α + k 2π - Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt ta có: x = arcsinm + k 2π sin x = m ⇔  ,k ∈¢  x = π − arcsinm + k 2π - Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − +) π + k 2π , k ∈ ¢ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈¢ +) ; ; sin x = ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ +) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau: π a) sin x = sin b) sin x = − sin 360 12 ; c) sin 3x = d ) sin x = Giải Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 π π   x = + k 2π x = + k 2π   π 12 12 a )sin x = sin ⇔  ⇔ ( k ∈¢) 12  x = π − π + k 2π  x = 11π + k 2π  12 12  ( b) sin x = − sin 36 ⇔ sin x = sin −36 0 )  x = −360 + k 360 ⇔ 0  x = 180 − −36 + k 360 ( )  x = −360 + k 3600  x = −180 + k1800 ⇔ ⇔ ( k ∈¢)  0 0  x = 216 + k 360  x = 108 + k180 π π 2π   x = + k 2π x = +k   π 18 c )sin x = ⇔ sin x = sin ⇔  ⇔ ( k ∈¢) 3 x = 5π + k 2π  x = 5π + k 2π   18  x = arcsin + k 2π  d )sin x = ⇔  ( k ∈¢)  x = π − arcsin + k 2π  cos x = m (b) Giải biện luận phơng trình lợng giác m >1 Bớc 1: Nếu Bớc 2: Nếu m m phơng trình vô nghiệm ta xét khả năng: - Khả 1: Nếu đợc biểu diễn qua phơng trình có dạng x = α + k 2π cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi ,k  m - Khả 2: Nếu không biểu diễn đợc qua x = arccos m + k 2π cos x = m ⇔  ,k ∈¢ x = − arccos m + k π  Ta cã: - Các trường hợp đặc biệt: cos cña góc đặc biệt cos x = x = π + k 2π , k ∈ ¢ +) cos x = ⇔ x = +) π + kπ , k ∈¢ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ +) ; ; ; Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Giải phương trình sau: Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 a) cos x = cos Giải a ) cos x = cos π ( d ) cos x = 2 c)cos4 x = − 2 d ) cos x = ; π π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 b) cos ( x + 450 ) = c)cos4 x = − ) b) cos x + 450 =  x + 450 = 450 + k 3600  x = 450 + k 3600 ⇔ cos ( x + 450 ) = cos450 ⇔  ⇔ ( k ∈ ¢)  0 0  x = −90 + k 360  x + 45 = −45 + k 360 3π 3π 3π π ⇔ cos4 x = cos ⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = ± + k ,( k ∈¢) 4 16 3 ⇔ x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢ 4 tan x = m (c) Gi¶i biện luận phơng trình lợng giác cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈  Bớc 1: Đặt điều kiện Bớc 2: Xét khả m - Khả 1: Nếu đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k  - Khả 2: Nếu đợc m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , ®ã ta tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ , k ∈ ¢ NhËn xét: Nh với giá trị tham số phơng trình có nghiệm Vớ d minh ha: Gii phương trình sau: π a ) tan x = tan Giải a ) tan x = tan b) tan x = − c) tan ( x − 200 ) = π π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 3 1 π  1  1 b) tan x = − ⇔ x = arctan  − ÷+ kπ ⇔ x = arctan  − ÷+ k , ( k ∈ ¢ ) 4  3  3 ( ) ( ) c ) tan x − 200 = ⇔ tan x − 200 = tan 600 ⇔ x − 200 = 600 + k1800 ⇔ x = 800 + k1800 ⇔ x = 200 + k 450 , ( k ∈ ¢ ) cot x = m (d ) Giải biện luận phơng trình lợng gi¸c Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 sin x ≠ x k k  Bớc1: Đặt điều kiện Bớc 2: Xét khả m -Khả 1: Nếu đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng cot x = cot α ⇔ x = α + k , k  -Khả 2: Nếu đợc m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biƯt , ®ã ta cot x = m ⇔ x = arccot m + kπ , k ∈ ¢ Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình (d) có nghiệm Vớ d minh họa: Giải phương trình sau: 3π a ) cot 3x = cot b) cot x = −3 Giải a ) cot x = cot π  c) cot  x − ÷ = 6  3π 3π π π ⇔ 3x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 7 b) cot x = −3 ⇔ x = arctan ( −3 ) + kπ ⇔ x = π arctan ( −3) + k , ( k ∈ ¢ ) 4 π π π π π π π π   c ) cot  x − ÷ = ⇔ cot  x − ÷ = cot ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 6 6 6 6   B CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Giải phương trình sau: sinx − cos2x = 0 2sin(2x − 35 ) = Lời giải 2 cos x − sin2x = sin(2x + 1) + cos(3x − 1) =  π  π 2π x = + k  2x = − x + k2π ⇔ ⇔ π  x = − π + k2π  2x = − π + x + k2π ⇔ cos2x = sin x = cos( − x)    2 Phương trình , k∈¢ 2 Phương trình cos x − 2sinxcosx =  π  x = + kπ cosx =  cosx = ⇔ ,k ∈ ¢ ⇔ cosx(cosx − 2sinx) = ⇔  ⇔ 1   x = arctan + kπ  2sinx = cosx  tanx =    950 + k.1800 x = ⇔  2x − 350 = 600 + k3600  1550 ⇔ x = + k.1800  0 0 ⇔ sin(2x − 350) = = sin600  2x − 35 = 180 − 60 + k360   Phương trình π  ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷ 2  Phương trình Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355  π  π  3x − = + 2x + 1+ k2π  x = + + k2π ⇔ ⇔  x = − π + k 2π  3x − = − π − 2x − 1+ k2π   10 Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình sau: sin ( x − 1) = sin ( 3x + 1) 1) 2) ( ) cot 450 − x = 4) ( ) cos 2x + 250 = 7) 3 π π   cos  x − ÷ = cos  x + ÷ 4 2   sin2x = 5) 11) π  tan x = cot  − x ÷ 4  14) sin4x = − cos x 17) tan( 3x + 2) + cot2x = 20) sin2 2x + cos2 3x = cos x − 2sin2 24) 23) x =0 25) π  sin cos x÷ = 4  Bài 2: Tìm (  −π π  x∈  ; ÷  2 28) x = − cos x − 300 ( ) 12) sin2x = cos3x 15) sin5x = − sin2x 18) sin4x + cos5x = 21) 3 sin x − cos x =  2π sin x −   ÷ = cos2x  sin2 2x = sin2 3x 2sin x + 2sin2x = sin5x.cos3x = sin6x.cos2x  π tan 3x + ÷cot ( 5x − π ) = 2  26) tan5x.tan3x = π  tan  ( sin x + 1)  = 4  tan( 3x + 2) = cho: x ∈ ( 0;3π ) Bài 3: Tìm ) tan x + 150 = 9) cos 19) 27) 6) 8) 10) 22) cot( 4x + 2) = − sin ( x + 60 ) + sin x = 16) 3) π − 2 sin3x = sin x 13) tan ( x + 3) = tan cho: π π   sin x − ÷+ 2cos x + ÷ = 3 6   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình lượng giác sau đây: sin x = 1) sin2x = - 2) 3) 2sin x = Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 4) 2sin5x = 5) 2 sin(3x - 2) = 7) 10) 13) æ 2p ữ ữ 2sinỗ ỗ ữ= ỗx + ứ ố ổ pử ữ ữ sinỗ x = ỗ ữ ỗ ố 6ứ 6) sin(x - 450) = 8) 11) 1) 4) 2 14) ổ pử ữ ữ sin ỗ x + =ỗ ữ ỗ ố 3ứ +1 sin2x = cos5x = 2) 2cos2x + = cosx = 2- 7) 18) ỉ 2p ữ +1 ữ cosỗ x = ỗ ữ ỗ ố 10ứ sin x + sin2x = sin2(2x - p) = 6) 9) sin4x + cos5x = 3) ỉp ÷ ữ cosỗ x =ỗ ữ ỗ ố8 ứ 10) 11) 4.Giải phương trình lượng giác sau đây: cos(3x - 1) = cosx cosx + cos2x = 1) 2) cos4x + sin5x = cosx = sin2x 4) 5) 2cos(x - 2) = - 6- 2+ cos(x - 2) = 3 cos(3x - 2) = 6) cos(x + 300) = 9) 12) ổp ữ ữ cosỗ x =ỗ ữ ỗ ố3 ứ cos(2x + 1) = cos(x - 1) 3) 6) 4cos2 2x = cos(3x + 1) - cos2x = 3cos(2x - 7) + = 8) ỉ pư ÷ ữ sinỗ x =ỗ ữ ỗ ố 5ứ sin x = 3) 2 ỉ p ÷ ữ 6sinỗ x ỗ ữ= ỗ5 ố ứ cos2x = 5) 8) 7) 15) - 3cos(2x + 1) = 9) 12) 16) 17) Giải phương trình lượng giác sau đây: sin(x + 1) = sin2x sin(2x - 1) = sin(x + 3) 1) 2) sin(2x - 1) = sin(2x + 3) 2sin(2x - 300) + = 4) 5) 2sin(3x - 2) = sin x = cosx 7) 8) Giải phương trình lượng giác sau đây: cosx = sin(x + 1) = - 3sin(2x - 1) + = 5- sin x = 2sin(2x - 300) = 3sin x = 9) cos2x + cos(5x - 1) = sin x + cos3x = cosx - cos3x = 10) 11) 12) Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) 4) tan x = 3tan x = - 2) 5) tan x = tan x - 2=0 3tan(x - 100) = 3) 6) 2tan x - 3=0 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 7) cot x = - 10) 8) 3cot x = cot x = 11) ổ 2p ữ ữ cot ỗ 7x =ỗ ữ ỗ ố 5ứ 13) 16) 19) 14) ổ pử ữ ữ cot ỗ x = 1+ ỗ ữ ỗ ố ứ 5 tan3x tan x = 17) 20) cot x = ổ pữ ữ 6tan ỗ x =- ỗ ỗ ố ứ 3ữ ổ pữ ữ tan ỗ x = ỗ ữ ỗ ố 6ø tan5x cot x = 9) 2cot x = 12) 15) 18) 21) cot2 x = æ pữ ữ 3tan2 ỗ x + =1 ỗ ç è ø 5÷ ỉ p÷ ÷ cot2 ç x =3 ỗ ữ ỗ ố 4ứ tan x2 + = Giải phương trình lượng giác sau đây: ỉ ỉ ỉ pư p÷ p ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ sinỗ x + sin2 x = cos x + + cos x ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ= ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ 3 1) 2) ỉ ỉ ỉ ỉ ö 5p ö pö 9p ÷ 3p ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ sin ç x + cos x + = tan x + + cot x =0 ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è è è è 6ø 3ø 8ø 4ø 3) 4) æ æ ö æ æ3p ö 2p ö p 3p ö ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ sinỗ x + sin x = cos x + cos x ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷= ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 5) 6) ỉ ỉ ỉ ỉ 3p pư 4p ÷ 5p ÷ ÷ ÷ ÷ ữ sinỗ 2x + cosỗ 3x =0 sin ỗ 7x + ữ - cosỗ 5x + ữ ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷= ç ç ç ç è è è è 3ø 4ø 4ø 6ø 7) 8) ỉ ỉ ỉ ỉ 5p ÷ p÷ 4p ữ 5p ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ tanỗ x + cot x + = tan x + cot x ỗ ç ç ç ÷= ç ç ç ç è ø è ø è è ø 6÷ 3÷ 7÷ 14ø 9) 10) Giải phương trình lượng giác sau đây: p cos2x cot(x - ) = (2 + cosx)(3cos2x - 1) = 1) 2) (cot x + 1)sin3x = tan(2x + 600)cos(x + 750) = 3) 4) sin3x =0 2tan x cosx + = 2cosx + tan x cos3x - 5) 6) 2sin x cosx + - 2cosx = 3sin x 2sin x cosx - 3sin2x = 7) 8) Giải PTLG sau với điều kiện x ra: sin(2x - 150) = 1) 2 - 1200 £ x £ 900 với điều kiện - sin(x - 1) = - 2) với điều kiện 7p p