PT LUONG GIÁC CƠ BẢN-11

Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cung liên kết a) Cung đối: cos   x   cos x; sin   x    sin x; b) Cung bù: cos    x    cos x; sin    x   sin x; c) Cung phụ:        cos   x   sin x; sin   x   cos x; tan(  x)  cot x; cot   x   tan x 2  2  2  d) Cung  : cos    x    cos x; sin    x    sin x; e) Cung       x    sin x; sin   x   cos x; 2  2  : cos  Công thức lượng giác a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b sin 2a  2sin a.cos a sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b cot a cot b  cot( a  b)  cot a  cot b cos 2a  cos a  sin a c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  4cos3 a  3cos a e) Cơng thức tích thành tổng cos(a  b)  cos(a  b) 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a cos b  Hằng đẳng thức thường dùng sin a  cos a  1  tan a  cos a  2cos a    2sin a tan 2a  tan a  tan a  cos 2a  cos 2a ; cos a  2 3sin a  sin 3a 3cos a  cos3a sin a  ; cos3 a  4 sin a  f) Cơng thức tổng thành tích ab ab cos 2 ab ab cos a  cos b  2sin sin 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 ab ab sin a  sin b  2cos sin 2 cos a  cos b  2cos sin a  cos a   sin 2a 1+cot a  sin a sin a  cos a   sin 2a  sin 2a   sin a  cos a  Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 x HS LG Sinx Cosx Tanx Cotx 3 2 180 o 120o 270 o 360 o -1 0 || 3 ||      0o 30 o 45 o 60 o 90 o 3 || 2 2 1 -1 || 3 || − − − 2 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIC C BN Giải biện luận phương trình sin x m (1) Bước1: Nếu |m|>1 phương trình v« nghiƯm B­íc 2: NÕu |m|  ,ta xÐt khả - Khả 1: Nếu m biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử phương trình có dạng đặc biệt  x    k 2 sin x  sin    ,k   x   k - Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua sin góc đặc biƯt ®ã ta cã:  x  arcsinm  k 2 sin x  m   ,k   x    arcsinm  k 2 - Các trường hợp đặc biệt:   k 2 , k   ; +) sin x   x  k , k   ; +) sin x  1  x   +) sin x   x    k 2 , k   ; Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a ) sin x  sin Giải  12 b ) sin x   sin 36 c) sin x  d ) sin x      x   k 2 x   k 2    12 12 a) sin x  sin    k   12  x      k 2  x  11  k 2  12 12   x  360  k 3600 0 b) sin x   sin 36  sin x  sin  36    0  x  180   36   k 360  x  360  k 3600  x  180  k1800   k    0 0  x  216  k 360  x  108  k180   2   3x   k 2 x  k    18 c)sin 3x   sin 3x  sin    k   3x  5  k 2  x  5  k 2 18    x  arcsin  k 2  d ) sin x    k    x    arcsin  k 2 Giải biện luận phương trình lượng gi¸c cos x  m (b ) B­íc 1: NÕu m phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu m ta xét khả năng: - Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi phương trình có dạng Nguyn Hu Tun- 0963897355  x    k 2 cos x  cos    ,k   x   k - Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua cos góc đặc biệt ®ã  x  arccos m  k 2 Ta cã: cos x  m   ,k   x  arccos m  k 2 - Các trường hợp đặc biệt: +) cos x  1  x    k 2 , k   ;   k , k   ; +) cos x   x  k 2 , k   ; +) cos x   x  Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Giải phương trình sau: a ) cos x  cos Giải a ) cos x  cos     b) cos x  450    x  2 c)cos4 x   ; d ) cos x   k 2  k     x  450  450  k 360  x  450  k 360  cos x  450  cos450    k    0 0  x  45  45  k 360  x  90  k 360   b ) cos x  450   3 3 3   cos4 x  cos  4x    k 2  x    k , k   4 16 3 d ) cos x   x   arccos  k 2 , k 4 Giải biện luận phương trình lượng giác tan x m (c) c )cos4 x Bước 1: Đặt điều kiện cos x   x    k , k Bước 2: Xét khả - Khả 1: Nếu m biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử tan x tan   x    k , k phương trình có dạng - Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua tan góc đặc biệt , ta tan x  m  x  arctan m  k , k  NhËn xÐt: Nh­ vËy víi mäi gi¸ trị tham số phương trình có nghiệm Vớ dụ minh họa: Giải phương trình sau: a ) tan x  tan Giải   b) tan x   3   c) tan x  200    k ,  k    3 1   1  1 b) tan x    x  arctan     k  x  arctan     k ,  k    4  3  3 0 0 c) tan x  20   tan x  20  tan 60  x  20  60  k1800  x  80  k180 a ) tan x  tan  x     x  200  k 450 ,  k    Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 Giải biện luận phương trình lượng giác cot x m (d ) Bước1: Đặt điều kiện sin x   x  k k  Bước 2: Xét khả -Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cot góc đặc biệt , gi¶ sư cot x  cot   x    k , k   ®ã phương trình có dạng -Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua cot góc đặc biệt , ta cot x m x  arccot m  k , k   NhËn xét: Như với giá trị tham số phương trình (d) có nghiệm Vớ d minh ha: Giải phương trình sau: 3   b) cot x  3 a ) cot x  cot c ) cot  x    6  Giải 3 3   a ) cot x  cot  3x   k  x   k ,  k    7  b) cot x  3  x  arctan  3   k  x  arctan  3   k ,  k    4           c ) cot  x     cot  x    cot  x    k  x   k  x   k ,  k    6 6 6 6   B CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Giải phương trình sau: cos2 x  sin2x  sin x  cos 2x  sin(2x  350 )  Lời giải sin(2x  1)  cos(3x  1)    2   x   k  2x   x  k2   Phương trình  cos 2x  sin x  cos(  x)   , k   x     k2   2x     x  k2    2 Phương trình cos2 x  2sinxcosx     cos x   x   k  cos x   ,k    cos x(cos x  sin x)      tan x  1 sin x  cos x   x  arctan  k    950 x  k.1800 0   2x  35  60  k360 0   Phương trình  sin(2x  35 )   sin 60     2x  350  1800  600  k3600 1550  k.180 x     Phương trình  cos(3x  1)  sin( 2x  1)  cos   2x   2       x    k2   3x    2x   k2    x     k 2  3x      2x   k2  10  Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình sau: 1) sin  x  1  sin  x  1     2) cos  x    cos  x   4 2   3) tan  x    tan  Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 3   4) cot  450  x    cos x  250  6)  8) cot  x     7) sin x  sin x  5) sin x   10) sin 8x  600  sin x    13) tan x  cot   x  4  16) sin x   cos x 19) tan  3x    cot x  22) sin 2 x  cos2 x  x 24) cos x  sin  11) cos  9) tan x  150  x   cos x  300   3 12) sin x  cos x  17) sin x   sin x  2  15) sin  x    cos2 x   18) sin 2 x  sin x 20) sin x  cos5x  21) sin x  sin x  14) sin x  cos3x 23) sin x.cos3 x  sin x.cos x   25) tan  3x   cot  5x     2  26) tan x.tan x    28) tan   sin x  1   4   ;  cho: tan  3x    2     Bài 3: Tìm x   0;3  cho: sin  x    cos  x    3 6     27) sin  cos x   4    Bài 2: Tìm x    BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình lượng giác sau đây: 1 1) sin x  2) sin 2x   2 4) sin 5x  2 2     5 3) sin x  5) sin x  6) sin(2x  30 )  8) sin(x  450 )    10) 2 sin x  11) sin(2x  1)     12) sin   2x    5    14) sin 5x         15) sin 4x      5   13) sin 2x     6 1 1 17) sin 2x  4 Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) sin(x  1)  sin 2x 2) sin(2x  1)  sin(x  3) 16) sin x  4) sin(2x  1)  sin(2x  3) 5) sin(2x  30 )   7) sin(3x  2)  8) sin x  cos x Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos x  2 4) cos 2x   2) cos 5x   5)  cos(2x  1)  9) sin(x  1)   2 7) sin(3x  2)  18) sin x  6 3) sin x  sin 2x  6) sin (2x  )  9) sin 4x  cos 5x  3) cos 2x  2 6) cos(x  2)  3 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 2 8) cos(x  300 )  2    2  1 10) cos 3x    11) cos   4x     8  10  4.Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos(3x  1)  cos x 2) cos x  cos 2x  7) cos x  4) cos x  sin 2x 5) cos 4x  sin 5x  7) cos(x  2)  1 8) cos(2x  7)   10) cos x  cos 3x  11) cos 2x  cos(5x  1)  Giải phương trình lượng giác sau đây: 9) cos(3x  2)    12) cos   6x    3  3) cos(2x  1)  cos(x  1) 6) cos2 2x  9) cos(3x  1)  cos 2x  12) sin x  cos 3x  1) tan x  2) tan x   3) tan(x  10 )  4) tan x   5) tan x   6) tan x   7) cot x   8) cot x  9) cot x  10) 11) cot x    14) tan 5x    2  3 12) cot2 x   15) tan 2x     17) tan 5x     6   18) cot2 3x     4 20) tan 5x cot x  21) tan x   cot x   2  13) cot 7x         16) cot 2x       5 19) tan 3x tan x  Giải phương trình lượng giác sau đây:   1) sin 5x    sin 2x   3   5   3) sin 7x    cos 3x      6 3    2  5) sin 3x    sin   4x    6  3   4  5  7) sin 2x    cos 3x      3 4   5   9) tan 6x    cot 4x      6 3 Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) (2  cos x )(3 cos 2x  1)  3) (cot x  1)sin 3x  5) sin 3x 0 cos 3x    1      2) cos 4x    cos   3x    4  3   9  3  4) tan 4x    cot 2x      8 4   3  3  6) cos 4x    cos   6x    2  5   3     cos 5x    8) sin 7x     6   4  5    cot 3x    10) tan 5x     14   2) cos 2x cot(x  )  4) tan(2x  60 ) cos(x  75 )  6) tan x cos x   cos x  tan x 7) sin x cos x  sin 2x  8) sin x cos x   cos x  sin x Giải PTLG sau với điều kiện x ra: 1) sin(2x  150 )  2) sin(x  1)  1 2 với điều kiện 1200  x  900 với điều kiện  7  x  2 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 4) cos(2x  1)   5) cos(3x  )  3) sin x    x  2 với điều kiện   x   với điều kiện  với điều kiện   x  x 2 II Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng 1: a sin x  b sin x  c  ( a  0; a , b , c   ) (1) tan(3x  2) vi iu kin Cách giải: Đặt t sin x , điều kiện | t | Đưa phương trình (1) phương trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x Dạng 2: a cos x  b cos x  c  (a  0; a, b, c  ) (2) Cách giải: Đặt t cos x điều kiện | t | ta đưa phương trình (2) phương trình bậc hai theo t , giải tìm t tìm x Dạng 3: a tan x  b tan x  c  ( a  0; a, b, c   ) (3) Cách giải: Điều kiện cos x x k , k Đặt t  tan x  t    ta đưa phương trình (3) phương trình bậc hai theo t , ý tìm nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mÃn hay không D¹ng 4: a cot x  b cot x  c  ( a  0; a , b, c ) (4) Cách giải: Điều kiện sin x   x  k k   §Ỉt t  cot x (t   ) Ta đưa phương trình (4) phương trình bậc hai theo Èn t Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau a ) sin x  sin x   0(1) Đặt t  sin x , điều kiện t  Phương trình (1) trở thành: Với t=1, ta sin x   x  k 2  k    t   nhân  2t  t     t   loai   2 b ) cos x  3cosx      3  13  nhân  t  2  Đặt t  cosx , điều kiện t  Phương trình (2) trở thành: t  3t     3  13  loai  t   3  13 3  13 3  13 Với t  ta cosx   x   arccos  k 2  k    2 Các câu cịn lại giải tương tự Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a )3sin 2 x  cos x   Giải b)7 tan x  cot x  12 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355   a )3sin 2 x  cos x     cos 2 x  cos x    cos x   3cos 2 x  cos x   cos x  3cos x      3cos x   *) Giải phương trình: cos x   x    k  x  *) Giải phương trình: 3cos x    cos x  Vì  k  nên phương trình 3cos x   vô nghiệm Kết luận: nghiệm phương trình cho x  b)7 tan x  cot x  12 1  k   2 ,k   ,k   Điều kiện: sin x  cos x  Khi đó:  12   tan x  12 tan x   1  tan x  tan x Đặt t  tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t  4t 12 Ví dụ 3: Giải phương tr×nh sau: 1) cos x  5cos x   3) cot x  cot x   Lêi gi¶i 1) Đặt t cos x , điều kiện: t 2)  5sin x  cos x  4)  tan x   cos x t  Ta có phương trình trở thành: 2t 5t    t   (lo¹i)  VËy t =  cos x   x  k 2 , k  Phương trình có họ nghiệm 2) Ta có:  5sin x  2cos2 x    5sin x   sin x   2sin x  5sin x       x   k 2   sin x    ,k   x  5  k 2  (Chó ý: ta cã thĨ kh«ng cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác nh­ lµ mét Èn nh­ vÝ dơ sin x  sin x (loại) này) 3) §iỊu kiƯn: sin x   x  k , k Đặt cot x t , phương trình trở thành: t  cot x  x   k   3t  4t     ,k     t cot x   x   k   3  Ta thÊy hai hä nghiÖm thoả mÃn điều kiện Vậy phương trình có hai hä nghiƯm  4) §iỊu kiƯn: cos x   x   k , k   Ta cã:  tan x    1  tan x   tan x    tan x  tan x   cos x Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355    x   k  tan x    tan x  tan   ,k    tan x    x    k (tan   )  tan x  tan    Ta thấy hai họ nghiệm thoả mÃn điều kiện Vậy phương trình có họ nghiệm Bi đề nghị: Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) sin x  sin x   2) cos2 x  cos x   3) cot2 x  cot x   5) cos2 x x  cos   3 4) sin2 x  sin x   6) sin2 x x  sin   2 7) sin 2x  sin 2x   8) cos2 x  cos x   9) tan 3x  tan 3x   10) sin2 2x  sin 2x   11) cos2 4x  cos 4x   12) cos2 2x  cos 2x   13) cos2 2x 2x  cos 2  3 14) sin x x  sin   2 15) sin x  sin x   16) sin 5x  sin 5x   17) tan2 x  tan x   18) cos2 x  cos x   19) cot2 x  cot x   20) tan x  tan x   21) cos2 x  cos x   22) sin2 2x  sin 2x   23) cot2 x  cot x   24) tan 2x  tan x   25) sin x  sin x   26) cos2 2x  cos 2x   Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos2 x  2(  2) cos x   2) tan x  tan x   3) tan 2x  (1  3) tan 2x   4) sin x  (2  3) sin x   5) cos2 x  2(  1) cos x   6) sin x  (4  ) sin x   7) 2 sin x  (2  2) sin x   8) cos2 x  2(  2) cos x   9) sin x  sin x   10) cos2 2x  cos 2x   11) cos2 2x  2(  1) cos 2x   12) sin x  3 sin x   10 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 13) sin 2x  sin 2x   14) cos2 x  (2  1) cos x   15) sin x  2 sin x   Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos2 x  sin x   2) cos2 x  sin x   3) sin2 x  cos x 4) sin x  cos2 x  sin x   5) sin 2x  cos 2x   6) sin x (sin x  1)  cos2 x  7) cos2 x  sin x  cos x   8)  sin x  cos2 x  9) sin 2x  cos 2x   10) cos2 x  sin x   11) 25 sin x  100 cos x  89 12)  cos2 x  sin x  13) cos2 x  sin x   14) sin x  sin x  cos2 x  15) cos2 x  sin x   16) cos x (cos x  2 tan x )   17) cos x  cos x  sin 2x Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos 2x  cos x  2) cos 2x  sin x  sin x  x 1 3) cos 2x  sin x   4) cos x  sin 5) cos 2x  cos x   6) cos 2x  sin x  7) cos 2x  sin x   8) cos 2x  cos x   9) cos x  cos 11) x 1  x x cos  cos  2 10) cos(10x  12)  sin(5x  6)   12) cos x x  cos  13) cos(4x  2)  sin(2x  1)      14) cos x    cos x      3 6 15) cos 2x  sin x   16) cos 4x  cos 2x   17) cos 2x  sin x   Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos 2x  sin x  cos x   2) sin 2x  sin x  cos 2x   3) cos 2x  sin x  cos x   4) sin 2x  cos2 x   5) sin x  sin 2x  6) cos 2x  sin x  sin x  11 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 7) sin2 2x  sin2 x  8) sin2 2x  cos2 x  0 9) sin x   cos 4x 10) cos2 2x  cos 2x  sin2 2x cos2 x 11) cos 3x cos x   sin 2x  12) 10 cos2 x  cos 4x   Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) tan x  cot x  2) tan x  cot x  12 3) tan x  cot x  4) tan x  cot x   5) 6) tan x  cot x  sin 2x  tan x  cot x   sin 2x 7) tan x  cot x  Giải phương trình lượng giác sau đây: 1)  cot x  sin2 x 2)  cot x  sin x 3)  (  1) tan x    cos2 x 4)  cot2 x   cos x 5)  (3  3) tan x    cos2 x Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) sin 2x  tan x  2) cos 6x  tan 3x  3) cos 2x  tan x  4) (1  tan x )(1  sin 2x )   tan x 5) cos 2x  tan2 x   6) sin 2x  tan x  7) cot x  tan x  sin 2x  sin 2x Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) (3  cot x )2  5(3  cot x ) 3) 4(sin2 x  5) 1 )  4(sin x  )7 sin x sin2 x  tan2 x  tan x  cot x   sin x 7) tan2 x  9 cos x 2)  4 sin x cos x sin x cos x 4) tan x  cot2 x  2(1  tan x  cot x )  6) tan x  cot2 x  tan x  cot x   8) tan2 x  7  cos x 12 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 9) tan x   cos x 10 Giải phương trình lượng giác sau đây: 2 0  cot2 x 1) sin x  sin x  2)  (2  2)sin x  3) tan x  tan x   4) sin5 x cos x  cos5 x sin x  sin2 4x 5) sin x  12 cos2 x  6) cos 2x  cos x  cos2 7) sin 3x  cos12x  8) cos x (cos x  2 tan x )  x 9) sin x  sin x  sin x III Phương trình bậc sin x,cos x a) Định nghĩa: Phương trình a sin x  b cos x  c (1) ®ã a, b, c  vµ a  b gọi phương trình bậc sin x,cos x b) Cách giải Ta lùa chän c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c b­íc B­íc 1: KiĨm tra 2 -Nếu a b < c phương trình vô nghiÖm 2 -NÕu a  b  c để tìm nghiệm phương trình ta thực hiƯn tiÕp b­íc B­íc 2: Chia c¶ vÕ phương trình (1) cho a b , ta a b a b c Vì ( )2 ( ) nên tồn góc  cho sin x  cos x  2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b  cos ,  sin  2 a b a b2 c c Khi phương trình (1) có dạng sin x.cos sin cos x   sin( x   )  2 a b a b2 Đây phương trình sin mà ta đà biết cách giải Cách 2: Thực theo bước x B­íc 1: Víi cos   x   k (k ) thử vào phương trình (1) xem có nghiệm hay không? x  x    k 2 (k  Z ) x 2t t2 Đặt t tan suy sin x  , cos x  1 t2 1 t2 B­íc 2: Víi cos 2t 1 t2  b  c  (c  b)t  2at  c  b  (2) 2 t t Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x cos x   x    k (k ) Khi phương trình (1) có dạng a sin x  cos x   x    k (k ) Chó ý: Tõ cách ta có kết sau 13 Nguyn Hu Tuấn- 0963897355  a  b  a sin x  b cos x  a  b từ kết ta áp dụng tìm GTLN GTNN hàm số có d¹ng y  a sin x  b cos x , y  a sin x  b cos x phương pháp đánh giá cho số phương c sin x d cos x trình lượng giác Ví Dụ minh hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin x  3cos x  (1) Chia hai vế phương trình (1) cho 12 32 10 ta 3 sin x  cos x  10 10 10  sin  ,  cos Lóc ®ã phương trình (1) viết dạng 10 10 cos  sin x  sin  cos x  sin   sin(2 x   )  sin x Đặt x k x      k 2     x   k  x        k 2  Vậy phương trình có nghiệm k Ví Dụ 2: Giải phương trình: cos x sin x  3(cos5 x  sin x ) Gi¶i: (4)  cos x  sin x  cos x  sin x     (4) 3  cos7 x  sin x  cos5x  sin5x 2 2    cos(7 x  )  cos(5 x  )         x   k 2  x  12  k  x   x   k 2   k Z  12 x  3  k 2  x    k  x      (5 x   )  k 2    6 Vậy phương trình có hai họ nghiÖm  cos cos7 x  sin sin x  cos cos5 x  sin sin5 x 3 6 Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) sin x  cos x  Lêi gi¶i: 1) Ta cã: a  b  12   3 2) 5cos x  12sin x  13  Chia hai vÕ phương trình cho ta phương trình:      sin x  cos x   sin x cos  cos x sin   sin  x    sin 2 3 3       x    k 2  x    k 2    ,k   x        k 2  x    k 2   VËy phương trình có hai họ nghiệm 2) Ta có: 5cos x  12sin x  13  12sin x  5cos x  13 Cã: :  a  b2   12   52  169  13 Chia hai vÕ phương trình cho 13 ta phương trình 12 sin x  cos x  13 13 2 12  12    V× Đặt cos ; sin ta phương trình: 13 13 13 13 14 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 sin x cos   cos x sin    sin  x      x       k 2    k , k Vậy phương trình có mét hä nghiÖm x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải phương trình lượng giác sau đây: x x  cos  2 1) sin x  cos x  2) cos x  sin x  3) sin 4) cos x  sin x  1 5) cos x  sin x  6) sin 3x  cos 3x  7) sin x  cos x  8) cos x  sin x  2 9) sin x  cos x  10) cos x  sin x  2 11) cos 2x  sin 2x  12) sin x  cos x   13) cos 3x  sin 3x  14) sin 16) cos x  sin x  17) cos 7x  sin 7x  18) cos x  sin x  5 19) sin x   cos x 20) tan  sin x  cos x  21) sin x  cos x  22) cos x  sin x  23) sin x  sin x  24) cos 2x  12 sin 2x  13 25) sin 2x  cos 2x  26) sin x  cos x  27) sin x  cos x  28) cos x  12 sin x  13 29) sin x  cos x  30) cos 2x  sin 2x  x x  cos  1 2 Bài Giải phương trình lượng giác sau đây: 15) sin x  cos x  1) (sin x  1)(1  cos x )  cos2 x   2) sin   2x   sin(  2x )  2  3) 2(cos x  sin x )  cos x  sin x 4) sin 2x  cos 2x  sin 3x 5) sin x  sin 5x  cos x 6) sin x  cos x  2 sin x cos x 7) sin 8x  cos 6x  3(sin 6x  cos 8x ) 8) cos 3x  sin x  3(cos x  sin 3x ) 9) sin x  sin 2x   10) sin x  cos (x  )  4 11) sin 3x  cos 9x  1+ sin x 12) (1  3) sin x  (1  3) cos x  13) sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  14) sin 3x  ( 2) cos 3x IV Phương trình bậc hai sin x cos x 15 Nguyn Hu Tun- 0963897355 a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai sin x , cos x phương trình a sin x b sin x.cos x  c cos2 x  d (1) ®ã a, b, c, d   b) Cách giải : Chia vế phương trình (1) cho mét ba h¹ng tư sin x,cos2 x sin x.cos x Chẳng hạn chia cho cos2 x ta làm theo bước sau: Bước 1: KiÓm tra: cos x   x    k , k  xem nã cã ph¶i nghiệm phương trình(1) hay không? Bước 2: Víi cos x  chia c¶ hai vÕ cho cos x lúc phương trình (1) trở thành a tan x  b tan x  c  d (1  tan x )  ( a  d ) tan x  b tan x c d Đây phương trình bậc hai theo tan ta đà biết cách giải Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x  cos2 x ; cos2 x   cos2 x ; sin x.cos x  sin x 2 đưa phương trình đà cho phương tr×nh b sin x  (c  a)cos2 x d c a Đây phương trình bậc sin cos ta đà biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát A(sin n x ,cos n x,sin k x cos h x )  ®ã k  h  n; k , h, n   Khi ®ã ta cịng lµm theo b­íc : B­íc 1: KiĨm tra xem cos x có phải nghiệm phương trình hay không? n Bước 2: Nếu cos x Chia hai vế phương trình cho cos x ta phương trình bậc n theo tan Giải phương trình ta nghiệm phương trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : cos2 x 6sin x.cos x (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) 3(1 cos x )  3sin x    cos x  sin x       x    k 2 x   k 2 3     cos x  sin x   cos(2 x  )   2      x     k 2 x k Vậy phương trình cã hai hä nghiƯm C¸ch 2: +) Thư víi cos x   x  lÝ.VËy x    k 2   k 12 k k vào phương trình (1) ta cã    v« k không nghiệm phươngtrình +)Với cos x Chia hai vế phương trình cho cos x ta tan x  (3  3)(1  tan x)  (3  3) tan x  tan x     tan x    x   k     k   tan x    tan     x   k 3 Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình dạng ta phải thực số phép biến đổi thích hợp Ví dụ: Giải phương trình: 1) 2sin x 5sin x cos x  3cos x  2) 2sin x  5sin x cos x  cos x  2 Lêi gi¶i 1) 2sin x  5sin x cos x  3cos x  Vt cos x = không thoả mÃn phương trình Nhận xét: cos x   Vp   16 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 Chia c¶ hai vÕ cho cos x ta phương trình: x  k  tan x   tan x  tan x      ,k   tan x   x  arctan  k  Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2) 2sin x  5sin x cos x  cos x  2  2sin x  5sin x cos x  cos x  2 sin x  cos x   (*)  4sin x  5sin x cos x  cos x  Vt    cos x không thoả mÃn phương trình Nhận xét: cos x    Vp  Chia c¶ hai vÕ cho cos x  ta phương trình: x k tan x    tan x  tan x      ,k   tan x  1  x  arctan  k   Vậy phương trình có hai họ nghiệm BI TP NGHỊ BÀI Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2) cos2 x  sin 2x  sin x  3) sin x  sin x cos x  cos x  4) sin2 x  sin x cos x  cos2 x 5) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  6) sin x  sin 2x  cos2 x  7) cos2 x  sin x  sin x cos x  8) sin x  sin 2x  cos2 x  9) sin x  sin 2x  (8  9) cos x  10) cos2 x  sin x  sin x cos x 11) sin x  cos2 x  cos 2x  sin 2x 12) cos2 x  cos 2x  sin x  BÀI Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2 2) sin2 x  sin 2x  3) sin x  3 sin 2x  cos2 x  4) cos 2x  sin 2x  5) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  6) cos2 x  sin 2x   7) sin x  sin x cos x  cos2 x  8) cos 2x  sin x cos x  9) sin2 x  sin 2x  cos2 x  10) cos2 x x  sin x  sin2  2 11) cos2 x  sin x cos x  sin x   12) sin x  sin 2x  13) sin x  sin x cos x  cos 2x   14) sin 2x  cos 2x  sin x   15) 42 cos2 x  10 sin 2x  cos 2x   16) sin x  sin x cos x  cos2 x  17 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 17) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  18) cos2 x  sin 2x  sin x  19) sin2 x  sin x cos x  cos2 x  20) sin x  sin 2x  cos2 x  21) 3 sin 2x  cos 2x  cos2 x  22) cos2 x  sin 2x   sin x 23) sin 2x  4(2  3) cos2 x   24) cos2 x  sin 2x  sin x   25)  sin x  cos x cos x 26) sin x cos x cos x V-Phương trình ®èi xøng ®èi víi sin x vµ cos x a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng sin x cos x phương trình dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  ®ã a, b, c (1) b) Cách giải: Cách 1: Do a (sin x cosx )   sin x cos x nªn ta đặt t sin x cos x  sin( x  )  cos(  x) §iỊu kiƯn | t | 4 t2 phương trình (1) viết lại: Đó phương trình bậc hai đà biết cách giải Suy sin x cos x Cách 2: §Ỉt t   bt  at  (b  2c )    x th× sin x  cos x  cos(  x)  cos t 4 1  1 sin x cos x  sin x  cos(  x)  cos 2t  cos t nên phương trình (1) trở thành 2 2 b b cos2 x  cos x c Đây phương trình bậc hai đà biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải áp dụng cho phương tr×nh a(sin x  cos x)  b sin x cos x c cách đặt t  sin x  cos x  sin x cos x   t VÝ Dô Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x  2sin x cos x  Giải: (1) t2 Cách 1: Đặt sin x  cos x  t ®iỊu kiƯn | t | Lóc ®ã sin x cos x  2 Khi phương trình (1) có dạng t  2( t  1)    t  t    Với t không thoả mÃn điều kiện nªn (*)  t  1  sin x  cos x  1  t  1 t   (*)   x    k 2   sin( x  )  1  sin( x  )    k   4  x   k Cách 2: Đặt z x Khi phương trình cã d¹ng  cos(  x)  sin x    cos z  sin 2(  z )   4 18 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355   cos z  sin(  z )    cos z  cos z    cos z  (2cos z  1)   cos z   2cos z  cos z      cos z    2 (*’) Ta thÊy cos z  không thoả mÃn x  k 2 z    k    4  x    k 2 4 Do ®ã (*’)  cos z      k        x  3  k 2  z  3  k 2  x    k 2   4 VËy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 3: Giải phương trình tan x cot x sin x  cos x    (3) Giải:Điều kiện sin x x  k k  (3)  tan x  sin x  3(cot x  cos x)    (sin x  sin x cos x  cos x )  (sin x  sin x.cos x  cos x)  cos x sin x  3 (4) (  )(sin x  sin x.cos x  cos x)    cos x  sin x   cos x sin x sin x  sin x.cos x  cos x     Gi¶i (4)  tan x   x Giải (5): Đặt t sin x cos x Phương trình (5) trở thành t   k cos(   cos(   x) | t | 2 (*)Suy sin x cos x  t  t 1    t  t    t   2 t   KÕt hợp với điều kiện (*) t Víi t   ta cã k  bị loại cos    l 2   , l    x)    cos(  x)  4  x    l 2  x    C¸c nghiƯm phương trình (4) (5) thoả mÃn điều kiện phương trình sin x cos x Ví Dụ 3: Giải phương trình: tan x  cot x (2) sin x Giải: Điều kiện: sin x Phương trình (2) 8(1 sin 2 x )  2sin x ( sin x cos x  ) cos x sin x 1  sin 2 x   6sin 2 x  4sin x 2 sin x  (8  6sin x )sin x   2sin 2 x  3sin x  sin 2 x  4sin x   sin x    (sin x  1)(3sin 2 x  2sin x  2)    3sin x  2sin x   19 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355    sin x  x   k   1   (lo¹i)   x    k sin x     x      k    sin x    sin   C¸c nghiệm thoả mÃn điều kiện sin x k Ví dụ: Giải phương trình :  sin x  cos x   sin x cos x   Lêi gi¶i: Đặt t sin x cos x  sin  x   ; ®iỊu kiƯn t  4  t 1  sin x cos x  t  1 (tm) t 2 Khi phương trình trở thành: 3t     2t  3t     t   (tm)        * Víi t  1  sin  x    1  sin  x      sin    4 4    4       x     k 2 x    k 2    ,k    x           k 2  x    k 2     4     * Víi t    sin  x      sin  x     4 4 2            x   arcsin    x    arcsin     k 2   k 2 2 2       ,k      3     arcsin    x     arcsin   x    k 2   k 2 4  2  2   BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) 3(sin x  cos x )  sin 2x   2) sin x  cos x   sin 2x 3) 2(sin x  cos x )  sin x cos x   4) sin 2x  12(sin x  cos x )  12  5) sin 2x  12  12(sin x  cos x ) 6) sin x  cos x  sin x cos x  7) 2(sin x  cos x )  sin 2x   8) 9) sin 2x  5(sin x  cos x )   10) sin 2x  11(sin x  cos x )   11) sin 2x  6(sin x  cos x )   12) sin x  cos x  13) (2  sin 2x )(sin x  cos x )  14) sin 2x   sin x  cos x 15) sin x  cos x  sin 2x  16) sin x cos x  sin x  cos x  2(sin x  cos x )   sin x cos x 20 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 17) sin x  cos x  sin 2x   18) (sin x  cos x )(2 sin 2x  1)  Bài Giải phương trình lượng giác sau đây: 1) cos x  sin x  sin x cos x  2) sin 2x  12  12(sin x  cos x ) 3) sin 2x  12(sin x  cos x )  12  4) 6(sin x  cos x )  sin x cos x  5) sin 2x  12(sin x  cos x )  6) sin x  cos x  sin x cos x 7) sin x cos x  sin x  cos x   8) sin 2x  sin x     4 9) sin 2x  12(sin x  cos x )  10) (1  2)(1  sin x  cos x )  sin 2x 11) sin x  cos x  sin 2x  21 ... 90 o 3 || 2 2 1 -1 || 3 || − − − 2 Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Gi¶i biện luận phương trình sin x m (1) Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô... lượng giác sau đây: 1) sin(x  1)  sin 2x 2) sin(2x  1)  sin(x  3) 16) sin x  4) sin(2x  1)  sin(2x  3) 5) sin(2x  30 )   7) sin(3x  2)  8) sin x  cos x Giải phương trình lượng giác. .. phương trình lượng giác sau đây: 1)  cot x  sin2 x 2)  cot x  sin x 3)  (  1) tan x    cos2 x 4)  cot2 x   cos x 5)  (3  3) tan x    cos2 x Giải phương trình lượng giác sau đây: 1)