Trên con đường học vấn cũng vậy, tự học là cách học luôn được đánh giá cao và nguồn tài liệu phong phú là yếu tố cần thiết để tự học. Chính vì thế những chuyên đề này ra đời với mục đích giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tiếp cận tri thức và chinh phục ước mơ của mình. Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày các định lý về mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, đưa ra các khái niệm mới về tỷ số lượng giác. Ngoài ra, chuyên đề còn giới thiệu thêm về các tính chất khác trong tam giác bất kỳ thông qua những ví dụ nhỏ. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian và chuyên đề này hiếm khi xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi nên nguồn bài tập có phần hạn chế cũng như không tránh khỏi những sai sót, mong các bạn thông cảm. Mọi đóng
Trang 1The ART of MATHEMATICS
KHOÁ TỰ HỌC MIỄN PHÍ TAoM
Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Phạm Hữu Hiệp
CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 Rút gọn biểu thức không chứa biến.
Bài tập 1 Rút gọn biểu thưcs au:
A=
√
6+2√2
2+»4+2√3
−
√
6−2√2
2−»4−2√3.
(HSG 9, tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu, 2011-2012)
Bài tập 2 Cho A=»3 7+5√2 ; B=»320−14√2 Tính A+B.
(HSG 9, tỉnh Hải Phòng, bảng A, 2011-2012)
Bài tập 3 Rút gọn biểu thức:
A=
»
6+√
12−√8−√24
√
2+√
3+1 .
(HSG 9, tỉnh Phú Yên, 2013-2014)
Bài tập 4 Tính giá trị của biểu thức A= 1
√
2+»2+√
3
√
2−»2−√3.
(HSG 9, tỉnh Bình Định, 2012-2013)
Bài tập 5 Rút gọn biểu thức A=
√
2Ä3+√
5ä
2√2+»3+√
5 +
√
2Ä3−√5ä
2√2−»3−√5.
(HSG 9, tỉnh Bến Tre, 2017-2018)
Bài tập 6 Rút gọn biểu thức P= 4+√
5
√
2+»3+√
5+
4−√5
√
2−»3−√5.
(HSG 9, tỉnh Kon Tum, 2017-2018)
Bài tập 7 Rút gọn biểu thức P=»109−36√7+»109+36√7.
(HSG 9, tỉnh Nam Định, 2017-2018)
Bài tập 8 Tính giá trị của P=
2+√
3 2
1+
»
4+2√3 2
+
2−√3
2
1−
»
4−2√3 2
.
(HSG 9, tỉnh Phú Yên, 2017-2018)
Bài tập 9 Cho trước số hữu tỷ m sao cho√3
m là số vô tỷ Tìm các số hữu tỷ a, b, c để:
a√3 m2+b√3
m+c=0
Trang 2(HSG 9, quận Đống Đa, TP Hà Nội, 2011-2012)
Bài tập 10 a) Rút gọn biểu thức
√
5−
q
3−»29−12√5
b) Tìm các số nguyên a, b sao cho
3
a+b√3−
2
a−b√3 =7−20
√
3
(HSG 9, tỉnh Hà Tĩnh, 2011-2012)
Bài tập 11 Tính Tổng:
S=
1+ 1
12 + 1
22 +
s
1+ 1
22 + 1
32+ +
s
1+ 1
20122 + 1
20132
(HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, 2012-2013)
Bài tập 12 Rút gọn biểu thức
P= 3
√
2+»7+2√10+»33√3 4−3√3
2−1
√
5+√
2+1 .
(HSG 9, tỉnh Quảng Ninh, 2017-2018)
Bài tập 13 Cho
S= 1
√
1.2012 +
1
√
2.2011+ +
1
»
k(2012−k+1) + + 1
√
2012.1,(k∈N;1≤k≤2012)
So sánh S và 4024
2013.
(HSG 9, tỉnh Yên Bái, 2011-2012)
2 Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến
Bài tập 14 Cho a= 13
»
19+8√3 Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:
A= a4−6a3−2a2+18a+23
a2−8a+15 .
(HSG 9, tỉnh Quảng Bình, 2017-2018)
Bài tập 15 Cho x= (
√
5−1)»316+8√5
3
»
10+6√3−√3 Tính giá trị biểu thức A= (77x
2+35x+646)2017.
(HSG 9, tỉnh Thái Bình, 2017-2018)
Bài tập 16 Cho hàm số f(x) = (x4+√
2x−7)2012 Tính f(a)với
a=4+√
15 √5−√3 »4−√15
(HSG 9, tỉnh Hưng Yên, 2011-2012)
Trang 3Bài tập 17 Tính giá trị của biểu thức
P= 4(x+1)x2018−2x2017+2x+1
2x2+3x
tại x=
s
1
2√3−2−
3
2√3+2.
(HSG 9, tỉnh Thanh Hóa, 2017-2018)
Bài tập 18 Cho x=
Ã
1
2√3−2−
3
2Ä√3+1ä .
Tính giá trị của biểu thức
A= 4(x+1)x2016−2x2012+2x+1
2x2+3x .
(HSG 9, tỉnh Thái Bình, 2012-2013)
Bài tập 19 Cho x=»4+√
7−»4−√7 Tính
A=Äx4−x3−x2+2x−1ä2017
(HSG 9, tỉnh Hà Giang, 2017-2018)
Bài tập 20 Cho
x=
Ä√
3−1ä»3 10+6√3
»
21+4√5+3 ,
tính giá trị của biểu thức P= (x2+4x−2)2013.
(Tuyển sinh 10, chuyên Bắc Ninh, 2013-2014)
Bài tập 21 Cho x=
»
3+√
5+»3−√5
√
P=Ä1+5x2015−x2017ä2018
(HSG 9, tỉnh Tuyên Quang, 2017-2018)
Bài tập 22 Cho f(x) = (x3+12x−31)2013 Tính f(a)với a=»3 16−8√5+»3 16+8√5.
(HSG 9, TP.Hải Dương, 2012-2013)
Bài tập 23 Cho f(x) = (2x3−21x−29)2012 Tính f(x)khi
x= 3
Ã
7+
s
49
8 +
3
Ã
7−
s
49
8 .
(HSG 9, TP Hà nội, 2011-2012)
Bài tập 24 Cho −3
2 ≤x≤
3
2; x6=0 và
√
3+2x−√3−2x=a.
Tính giá trị biểu thức sau theo a
P=
»
6+2√9−4x2
x .
(HSG 9, tỉnh Quảng Ngãi, 2013-2014)
Trang 4Bài tập 25 Cho
x= 3
»
7+5√2+ 3
»
7−5√2.
Chứng minh x là nghiệm của phương trình sau:
x3+3x−14=0
(HSG 9, tỉnh Quảng Bình, 2013-2014)
Bài tập 26 Cho
a=
1+
√
3 2
1+
s
1+
√
3 2
+
1−
√
3 2
1−
s
1−
√
3 2
Chứng minh rằng a là một nghiệm của phương trình
2013x2−2014x+1=0
(HSG 9, tỉnh Hải Phòng, bảng A, 2013-2014)
Bài tập 27 Giả sử a là một nghiệm của phương trình√2x2+x−1=0 không giải phương trình, hãy
tính giá trị của biểu thức:
A= 2a−3
»
2(2a4−2a+3) +2a2
(HSG 9, tỉnh Phú Thọ, 2011-2012)
Bài tập 28 Cho hàm số: y= f(x) = (x3+9x−11)2013 Tính f(a), biết
a= 3
»
5+2√13+ 3
»
5−2√13
(HSG 9, quận Cầu Giấy, TP Hà Nội, 2012-2013)
Bài tập 29 Cho x=1+√3
2+√3
4 Chứng minh rằng:
P=x3−3x2−3x+3 là một số chính phương.
(HSG 9, tỉnh Quảng Ninh, 2011-2012)
Bài tập 30 Cho a= 1−√2
2 Tính giá trị biểu thức
»
16a8−51a.
(HSG 9, tỉnh Quảng Ngãi, 2011-2012)
Bài tập 31 Cho biểu thức
P=
√
x−1
3+√
x−1+
x+8
10−x
!
: 3
√
x−1+1
x−3√x−1−1−
1
√
x−1
!
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi
x= 4
Ã
3+2√2
3−2√2 −
4
Ã
3−2√2
3+2√2.
Trang 5(HSG 9, tỉnh Thanh Hoá, 2011-2012)
Bài tập 32 Tính giá trị của biểu thức sau:
1+4x
1+√
1+4x +
1−4x
1−√1−4x,
biết x=
√
2
9 .
(HSG 9, tỉnh Bắc Giang, 2011-2012)
Bài tập 33 Cho x, y thỏa mãn x=q3
y−»y2+1+q3
y+»y2+1.
Tính giá trị của biểu thức A=x4+x3y+3x2+xy−2y2+1
(Tuyển sinh 10, chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm 2012-2013)
3 Rút gọn biểu thức chứa biến
Bài tập 34 Rút gọn biểu thức
P= 3x+√
16x−7
x+2√x−3 −
√
x+1
√
x+3−
√
x+7
√
x−1
!
: 2−
√
x
√
x−1
!
,
với x>0, x6=1, x6=4.
(HSG 9, tỉnh Quảng Bình, 2017-2018)
Bài tập 35 Cho biểu thức
P=
√
n+1−1
√
n+1+1 +
√
n+1+3
√
n+1−3−
n−√n+1+7
n−2√n+1−2
với n∈N,n6=8.
n+3√n+1+1 với n∈N,n6=8.
b) Tìm tất cả các giá trị n ( n∈N,n6=8 ) sao cho P là một số nguyên tố.
(HSG 9, TP Đà Nẵng, 2012-2013)
Bài tập 36 Rút gọn biểu thức:
M=2√ab
a+b
Ã
1+1
4(
a
b −
s
b
a)
2
(HSG 9, tỉnh Ninh Bình, 2013-2014)
Bài tập 37 a) Cho x>0; x6=1 Chứng minh rằng:
Ç
1
x−√x +
1
√
x−1
å
:
√
x+1
x−2√x+1 <1.
Trang 6b) Cho
A= 2−√3
4x
x−√3 2x2
!
:√3 2+√3
x− √31
x
với x6=0;−2.
Tìm x nguyên sao cho A3nguyên.
(HSG 9, TP Đà Nẵng, 2013-2014)
Bài tập 38 Cho biểu thức:
P= x√x+26√x−19
x+2√x−3 −
2√x
√
x−1+
√
x−3
√
x+3.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
(HSG 9, tỉnh Quảng Bình, 2012-2013)
Bài tập 39 Cho biểu thức:
P= a2−√a
a+√
a+1 −
3a−2√a
√
a +
a−4
√
a−2.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
(HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, 2012-2013)
Bài tập 40 Cho biểu thức
M= (2x√x+x−√x
x√x−1 −
x+√
x
x−1 )
x−1 2x+√
x−1+
√
x
2√x−1.
a) Tìm x để M có nghĩa.Rút gọn M.
b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M.
(HSG 9, tỉnh Bình Phước, 2012-2013)
Bài tập 41 Cho biểu thức:
P= 4√x
2+√
x +
8x
4−x
!
:
√
x−1
x−2√x −
2
√
x
!
a) Rút gọn P.
b) Tìm m để với mọi giá trị x>9 ta có mÄ√x−3äP>x+1.
(HSG 9, tỉnh Lạng Sơn, 2011-2012)
Bài tập 42 Cho biểu thức
P= x√x−3
x−2√x−3 −
2(√
x−3)
√
x+1 +
√
x+3
3−√x.
Trang 7a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x.
(HSG 9, tỉnh Thanh Hoá, 2012-2013)
Bài tập 43 Cho biểu thức:
Q=
q
x−»4(x−1) +qx+»4(x−1)
»
x2−4(x−1)
Ç
1− 1
x−1
å
a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với x=2013.
(HSG 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, 2011-2012)
Bài tập 44 Rút gọn biểu thức:
A= x2−5x+6+3√x2−6x+8 3x−12+ (x−3)√
x2−6x+8.
(HSG 9, tỉnh Hải Dương, 2011-2012)
Bài tập 45 Cho biểu thức:
P= a2−√a
a+√
a+1 −
3a−2√a
√
a +
a−4
√
a−2.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
(HSG 9, tỉnh Ninh Bình, 2011-2012)
Bài tập 46 Cho biểu thúc :
P= x−2√x
x√x−1 +
√
x+1
x√x+x+√
x +
1+2x−2√x
x2−√x
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
(HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, 2011-2012)
Bài tập 47 Cho biểu thức:
M= (
√
x−√y
√
x+√
y −
√
x+√
y
√
x−√y).(
1
x −
1
y).
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tính A khi x=»5+2√6 ; y=»5−2√6.
(HSG 9, tỉnh Quảng Trị, 2013-2014)
Trang 8Bài tập 48 a) Cho biểu thức:
A= 2√x+1
x+2√x+1 +
1−2√x
x−1
!
Ç
1+ 1
√
x
å
với x>0; x6=1.
Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.
b) Cho biểu thức:
M=Ä√
x+√
x+1+√
x+2ä Ä√x+√
x+1−√x+2ä Ä√x−√x+1+√
x+2ä Ä−√x+√
x+1+√
x+2ä
Với x là số tự nhiên khác 0 Chứng minh M cũng là số tự nhiên.
(HSG 9,TP Đà Nẵng, 2011-2012)
Bài tập 49 Cho biểu thức M= a+1
√
2 +
a√a−1
a−√a +
a2−a√a+√
a−1
√
a−a√a , với a>0, a6=1.
a) Rút gọn M.
b) Chứng minh rằng M>4.
c) Tìm các giá trị của a để biểu thức N= 9
M có giá trị nguyên.
(HSG 9, tỉnh Ninh Bình, 2017-2018)
Bài tập 50 Cho biểu thức
P=x− √ 1
x−1 +
x−√x−11
x+√
x−2
!
:
√
x+1
√
x+2 −
x−√x−4
x+√
x−2
!
với x≥0, x6=1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.
(HSG 9, tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, 2017-2018)
Bài tập 51 Cho A= x2−√x
x+√
x+1+
x2+√
x
x−√x+1 Rút gọn biểu thức B=1−
»
2·A−4√x+1 với
0≤x≤ 1
4.
(HSG 9, tỉnh Hải Dương, 2017-2018)
Bài tập 52 Rút gọn biểu thức P=
»
x+2√x−1+»x−2√x−1
»
x+√
2x−1−»x−√2x−1, x≥2.
(HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, 2017-2018)
Bài tập 53 Cho biểu thức A= x+8
x√x+8 +
1
x−2√x+4+
»
x+4−4√x
Rút gọn biểu thức A Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.
(HSG 9, tỉnh Quảng Nam, 2017-2018)
Trang 9Bài tập 54 Cho a≥0, a6=1 Rút gọn biểu thức
S=
»
6−4√2·»320+14√2+ 3
q
(a+3)√
a−3a−1 :
a−1
2Ä√a−1ä−1
(Tuyển sinh 10, Chuyên ĐHSP Hà Nội, 2015-2016)
Bài tập 55 Cho biểu thức P=Ä√
x−1ä 1−x
√
x
1−√x +
√
x
!
1−√x
1−x
!2
, với x≥0, x6=1
a) Rút gọn P.
b) Tìm số chính phương x sao cho 2
P là số nguyên.
(Tuyển sinh 10, Chuyên Bắc Ninh, 2014-2015)
Bài tập 56 Cho biểu thức:
A=
√
x+1
√
x−1 +
√
x−1
√
x+1+
3√x+1
1−x
!
:
√
x
√
x−1 −
2
x−1
!
với x≥0, x6=1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
(HSG 9, tỉnh Bắc Giang, 2017-2018)
Bài tập 57 Cho biểu thức P= x2+√
x
x−√x+1−
2x+√
x
√
x +1
a) Rút gọn P.
b) Biết 0<x<1, hãy so sánh P với|P|.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
(HSG 9, tỉnh Sơn La, 2017-2018)
Bài tập 58 a) Tính giá trị của biểu thức A= 3+√
5 2
!3
+ 3−√5
2
!3
.
√
x−3
√
x−2−
2√x−1
√
x−1 +
x−2
x−3√x+2 Tìm x để P≥2.
(HSG 9, tỉnh Vĩnh Long, 2017-2018)
Bài tập 59 Cho biểu thức
P= 1+2√x
(1+x)(1−√x) : 2x+3
√
x+1
1−x +
2x√x+3x+√
x
1+x√x
!
với x≥0; x6=1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P có giá trị nguyên.
Trang 10(HSG 9, tỉnh Hà Nam, 2017-2018)
Bài tập 60 Rút gọn biểu thức:
A=
»
2+√
4−x2ïq(2+x)3−q(2−x)3
ò
4+√
4−x2
với−2≤x≤2.
(HSG 9, quận Đống Đa, TP Hà Nội, 2011-2012)
Bài tập 61 Thực hiện phép tính:
4
»
3+2√2.»√2−1+»3 (x+12)√
x−6x−8
x−√ √x x−1 −»√2+1.»43−2√2 .
(HSG 9, tỉnh Quảng Nam, 2011-2012)
Bài tập 62 Các số thực x, y thỏa mãn xy6=√3
2 và xy6= −√3
2 Chứng minh rằng biểu thức sau không
phụ thuộc vào x, y:
P= 2√3 2xy
x2y2−√3 4+
xy−√3
2 2xy+√3
2
!
· 2xy
xy+√3
2−
xy
xy−√3
2.
(Tuyển sinh 10, Chuyên ĐHSP Hà Nội, 2009-2010)
4 Mô tả về nhóm TAoM - The art of Mathematics.
4.1 TAoM là nhóm được thành lập nhằm mục đích
• Tạo điều kiện để mọi người chia sẻ các bài toán do chính mình sáng tác với mọi người
• Tạo môi trường học tập trao đổi chuyên môn giữa các học sinh, giáo viên chuyên toán trên
cả nước
• Nhóm luôn đồng hành cùng các cuộc thi học sinh giỏi như kì thi vào THPT chuyên, HSG 9 cấp tỉnh, kì thi Olympic toán 30/4, Olympic Duyên hải ĐBBB, kì thi chọn đội tuyển VMO
và kì thi VMO
4.2 Hiện nhóm TAoM bao gồm 3 quản trị viên chính
• Phạm Quốc Sang
• Lê Minh Cường
• Phạm Hữu Hiệp
Ngoài ra, nhóm Toán Chuyên 2k4 có một số thầy HLV hỗ trợ như:
• Nguyễn Thế Út
• Đặng Đức Quý
• Bùi Cảm
Trang 114.3 Nhóm TAoM đến nay có 1 trang và 2 nhóm chính.
Bao gồm:
• Trang The art of Mathematics - đây là nơi lưu trữ các tài liệu mà nhóm đã biên soạn cũng
như các sản phẩm của nhóm
• Nhóm The art of Mathematics - Trao đổi toán học - đây là nhóm mở cho cộng đồng
chuyên toán trên cả nước Là nơi giao lưu trao đổi các bài toán do chính mình sáng tác và các bài toán hay từ các kì thi HSG các cấp
• Nhóm Toán Chuyên 2k4 là nhóm mà chúng tôi thực hiện dạy kháo tự học TAoM hoàn
toàn miễn phí cho các bạn có dự định thi HSG tỉnh 9 hay luyện thi vào 10 chuyên toán Chúng tôi hy vọng rằng, khóa học sẽ giúp đỡ phần nào đối với các bạn vùng sâu - vùng xa, các bạn có hoàn cảnh khó khăn được tiếp cận những kiến thức mới nhất từ các kì thi HSG
ở Việt Nam cũng như thế giới
5 Lưu ý.
Học sinh tham gia nhóm bằng cách yêu cầu tham gia nhóm:
Toán chuyên 2k4
Học sinh cần đọc kỹ nội quy nhóm
6 Lời ngỏ.
Hiện nhóm TAoM cần 4−5 "huấn luyện viên"cho khoá tự học TAoM.
Yêu cầu:
• Có say mê toán chuyên và muốn trao đổi chuyên môn
• Có khả năng nhất định về toán chuyên
Ưu tiên:
• Cựu học sinh chuyên toán
• Có khả năng soạn thảo latex.
Lợi ích:
• Được tặng cuốn sách "Vẻ đẹp toán học qua các kì thi học sinh giỏi toán cấp THCS"(cuốn
sách sẽ ra mắt dự kiến tháng 10-12/2018)
• Nhận nguồn tài liệu chất lượng từ nhóm
• Và một số điều khoản khác, sẽ trao đổi qua tin nhắn