Trên con đường học vấn cũng vậy, tự học là cách học luôn được đánh giá cao và nguồn tài liệu phong phú là yếu tố cần thiết để tự học. Chính vì thế những chuyên đề này ra đời với mục đích giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tiếp cận tri thức và chinh phục ước mơ của mình. Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày các định lý về mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, đưa ra các khái niệm mới về tỷ số lượng giác. Ngoài ra, chuyên đề còn giới thiệu thêm về các tính chất khác trong tam giác bất kỳ thông qua những ví dụ nhỏ. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian và chuyên đề này hiếm khi xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi nên nguồn bài tập có phần hạn chế cũng như không tránh khỏi những sai sót, mong các bạn thông cảm. Mọi đóng
Trang 1The ART of MATHEMATICS
KHOÁ TỰ HỌC MIỄN PHÍ TAoM
Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Phạm Hữu Hiệp
CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Giới thiệu
You might well remember that nothing can bring you success but yourself.
Tạm dịch:
Hãy nhớ rõ rằng không gì có thể mang đến cho bạn thành công ngoại trừ chính bản thân bạn
Napoleon Hill Trên con đường học vấn cũng vậy, tự học là cách học luôn được đánh giá cao và nguồn tài liệu phong phú là yếu tố cần thiết để tự học Chính vì thế những chuyên đề này ra đời với mục đích giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tiếp cận tri thức và chinh phục ước mơ của mình
Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày các định lý về mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, đưa ra các khái niệm mới về tỷ số lượng giác Ngoài ra, chuyên đề còn giới thiệu thêm về các tính chất khác trong tam giác bất kỳ thông qua những ví dụ nhỏ
Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian và chuyên đề này hiếm khi xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi nên nguồn bài tập có phần hạn chế cũng như không tránh khỏi những sai sót,
mong các bạn thông cảm Mọi đóng góp chân thành xin gởi về cho các HLV của group Toán
Chuyên 2k4 Xin chân thành cảm ơn
Nhóm HLV Toán Chuyên 2k4, những ngày cuối hè!
2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định lý 2.1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Khi đó ta có các hệ thức sau
(a) BA2=BH.BC và CA2=CH.CB.
(b) BC2=AB2+AC2(định lý Pythagoras).
(c) H A2=HB.HC.
(d) AB.AC=H A.BC.
(e) 1
AH2 = 1
AB2 + 1
A
Hơn nữa, hệ thức(b)có định lý đảo Hệ thức(a),(c),(d)và(e)có định lý đảo nếu ta bổ sung thêm điều kiện H nằm giữa B và C.
Trang 2Chứng minh. Gợi ý: Sử dụng tam giác đồng dạng
Ví dụ 1 a) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, đường cao BD (D∈ AC) Chứng minh rằng
BC2=AB2+AC2−2AC.AD
a) Cho tam giác ABC có C tù, đường cao BD (D∈ AC) Chứng minh rằng
AB2=AC2+BC2+2AC.CD
(Theorem 3.28, 3.29, page 242, [ 4 ]) Chứng minh.
D
B
B
Hình 1.2 a) Trong tam giác BCD vuông tại D có
BC2=BD2+DC2 Trong tam giác BAD vuông tại D có
BD2=AB2−AD2 Mặt khác, DC=AC−AD(Hình 1.1) hoặc DC=AD−AC(Hình 1.2) nên
DC2= (AC−AD)2=AC2−2AC.AD+AD2
Từ các đẳng thức trên ta có
BC2=ÄAB2−AD2ä+ÄAC2−2AC.AD+AD2ä=AB2+AC2−2AC.AD
b) Tương tự như câu a)
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ HD⊥AC tại D Chứng minh rằng
a) H A
HC =
AD
CD.
b) AC3=CD.BC2.
Trang 3d) 1
AB2 + 1
AC2 + 1
HC2 = 1
HD2 Chứng minh.
a) Trong tam giác AHC vuông tại H, đường cao
HDcó
H A2=AD.AC và HC2=CD.AC
Suy ra
H A2
HC2 = AD.AC
CD.AC =
AD
CD hay
H A
HC =
s AD
CD.
H
A
D
b) Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có
AC2=CH.CB⇒AC4=CH2.CB2
Mặt khác, trong tam giác AHC vuông tại H, đường cao HD có CH2=CD.AC
Khi đó
AC4=CD.AC.BC2⇒AC3=CD.BC2 c) Trong các tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và tam giác AHC vuông tại H, đường cao HD có
BH.HC=AH2=AD.AC
d) Trong các tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và tam giác AHC vuông tại H, đường cao HD có
1
HD2 = 1
H A2 + 1
HC2 = 1
AB2 + 1
AC2 + 1
HC2
Định nghĩa 2.1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đặt ˆB=α và ˆC=β Khi đó ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc α (tương tự cho góc β) như sau
(a) Tỉ lệ giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của
góc α và ký hiệu là sin α, nghĩa là
sin α= cạnh đối
cạnh huyền =
AC
BC.
(b) Tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin
của góc α và ký hiệu là cos α, nghĩa là
cos α= cạnh kề
cạnh huyền =
AB
BC.
A
cạnh huyền
cạnh
kề cạnh
đối
Trang 4(c) Tỉ lệ giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α và ký hiệu là tan α (hay tg α), nghĩa là
tan α= cạnh đối
cạnh kề =
AC
AB.
(d) Tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cotang của góc α và ký hiệu là cot α (hay cotg α), nghĩa là
cot α= cạnh kề
cạnh đối =
AB
AC.
Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có một số nhận xét sau
(i) Với mỗi góc nhọn α ta luôn có
0<sin α<1 và 0<cos α<1
sin2α+cos2α=1
tan α= sin α
cos α ; cot α=
cos α sin α và tan α cot cot α=1.
(ii) sin α=cos β và cos α=sin β; tan α=cot β và cot α=tan β.
Ví dụ 3 Cho góc nhọn α Chứng minh rằng
a) sin2018α+cos2019α<1.
b) sin5α+cos α< 5
4.
Chứng minh a) Với mỗi góc nhọn α ta có 0<sin α<1 và 0 cos α<1 nên
sin2016α<1 và cos2017α<1
Suy ra
sin2018α<sin2α và cos2019α<cos2α Vậy
sin2018α+cos2019α<sin2α+cos2α=1
b) Với mỗi góc nhọn α ta có 0<sin α<1 nên
sin3α<1⇒sin5α<sin2α=1−cos2α Khi đó
sin5α+cos α<1−cos2α+cos α=5
4 −
Ç cos2α−cos α+1
4
å
=5
4 −
Ç
cos α−1
2
å 2
≤ 5
4.
Vậy sin5α+cos α< 5
4.
Trang 5Định lý 2.2 Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotag góc kia Chứng minh. Vì hai góc phụ nhau bao giờ cũng bằng hai góc nhọn trong một tam giác vuông nào đó nên theo nhận xét(ii)ta có điều phải chứng minh
Hệ quả 2.2 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng
(a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cosin góc kề.
(b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cotag góc kề.
Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A ta có
AB=BC sin C=BC cos B
=AC tan C=AC cot B
AC=BC sin B=BC cos C
=AB tan B=AB cot C
A
Chứng minh. Dễ dàng suy ra từĐịnh nghĩa 2.1
Ví dụ 4 Xét tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, ˆC=α<45◦, đường trung tuyến AM, đường cao
AH Chứng minh các công thức sau
a) sin 2α=2 sin α cos α.
b) 2 cos2α=1+cos 2α.
c) 2 sin2α=1−cos 2α.
Chứng minh.
Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
nên AM=MB=MC= BC
2 Hơn nữa,4MACcân tại M
và do đó sinBMA÷ =2÷ACB=2α.
Xét các tam giác AHC vuông tại H và tam giác AHM
vuông tại H, ta có các đẳng thức sau
sin α= AH
AC; cos α=
HC
AC. và
sin 2α= AH
AM; cos 2α=
HM
AM.
H
A
M
α
a) Khi đó
2 sin α cos α=2· AH
AC ·
CH
AC =
2AH.CH CH.BC =
2AH 2AM =sin 2α.
Trang 6b) 2 cos2α=2
Ç CH AC
å 2
= 2CH2 BC.CH =
2CH 2AM =
CH
AM Mặt khác,
1+cos 2α=1+ HM
AM =
AM+HM
AM =
MC+HM
AM =
CH
AM. Vậy 2 cos2α=1+cos 2α.
c) Từ b)suy ra
2Ä1−sin2αä
=1+cos 2α⇔2 sin2α=1−cos 2α.
Định lý 2.3 — Định lý hàm cosin Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c ta có
a2=b2+c2−2bc cos A.
b2=a2+c2−2ac cos B
c2=a2+b2−2ab cos C
A
a
Chứng minh. Gợi ý: Suy ra từVí dụ 1
Hệ quả 2.3 Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c ta có
cos A= b2+c2−a2
2bc .
cos B= a2+c2−b2
2ac .
cos C= a2+b2−c2
2ab .
Ví dụ 5 Cho tam giác ABC nhọn, đường trung tuyến AM (M∈BC) Chứng minh các đẳng thức sau
a) AM2= 2(AB2+AC2) −BC2
b) AB
sin C =
BC sin A =
CA sin B.
c) SABC= 1
2·AB·AC·sin A.
d) 4SABC(cot A+cot B+cot C) = AB2+BC2+CA2.
Chứng minh.
Trang 7a) Áp dụng định lý cosin cho tam giác AMB ta được
AM2=AB2+BM2−2AB.BM cosABM÷ =AB2+ BC2
4 −2AB·
BC
2 ·cos÷ABC
=AB2+ BC2
4 −AB·BC·cos÷ABC.
Áp dụng hệ quả định lý cosin cho tam giác ABC
ta được
cos÷ABC= AB2+BC2−AC2
2AB.BC .
Từ hai đẳng thức trên suy ra
AM2=AB2+ BC2
4 −AB·BC·cos÷ABC
=AB2+ BC2
4 −AB·BC·
AB2+BC2−AC2 2AB.BC
= 2(AB2+AC2) −BC2
H
A
M
b) Vẽ BH⊥ACtại H Xét tam giác HAB vuông tại H và tam giác BHC vuông tại H có
BC sin A=BH=AB sin A⇒ BC
sin A =
AB sin C.
Tương tự ta có BC
sin A =
AC sin B. Vậy AB
sin C =
BC sin A =
CA sin B. c) Ta có
SABC= 1
2·BH·AC=
1
2·AB sin A·AC=
1
2·AB·AC sin A.
d) Xét tam giác HAB vuông tại H và tam giác HBC vuông tại H có
cot A= AH
BH và cot C=
HC
BH. Suy ra
cot A+cot C= AH
BH +
HC
BH =
AC
BH =
AC2 BH.AC =
AC2 2SABC. Tương tự, ta cũng có
cot B+cot C= BC2
2SABC
và cot C+cot A= AB2
2SABC
Trang 8Do vậy
2(cot A+cot B+cot C) = AB
2+AC2+BC2 2SABC , hay
4SABC(cot A+cot B+cot C) =AB2+BC2+CA2
Trang 9
3 BÀI TẬP
Bài tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6 cm, AC=8 cm Từ A kẻ đường cao AH xuống
cạnh BC.
a) Tính BC, AH.
b) Tính ˆ C.
c) Kẻ đường phân giác AP của÷BAC (P∈ BC) Từ P kẻ PE và PF lần lượt vuông góc với AB và
AC Hỏi tứ giác AEPF là hình gì?
Bài tập 2 Cho hình thang ABCD có ˆB=Cˆ=90◦
, hai đường chéo vuông góc với nhau tại H Biết rằng
AB=3√5 cm, H A=3 cm Chứng minh rằng
a) H A : HB : HC : HD=1 : 2 : 4 : 8.
b) 1
AB2 − 1
CD2 = 1
HB2 − 1
HC2.
Bài tập 3 Cho tam giác ABC vuông góc tại A Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G Biết AB=√
6 cm Tính cạnh huyền BC.
Bài tập 4 Cho tam giác ABC, AB=1, ˆA=105◦, ˆB=60◦ Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=1.
Vẽ EDk AB (D∈AC) Chứng minh rằng
1
AC2 + 1
AD2 = 4
3.
Bài tập 5 Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng
CD tại F Chứng minh rằng
1
AB2 = 1
AE2 + 1
4AF2
Bài tập 6 Cho hình thoi ABCD có ˆA=120◦ Một đường thẳng d không cắt các cạnh của hình thoi Chứng minh rằng tổng các bình phương hình chiếu của 4 cạnh với hai lần bình phương của đường chéo
AC trên đường thẳng d không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.
Bài tập 7 Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm O ở trong tam giác, vẽ OD⊥BC, OE⊥CA
OF⊥AB Hãy xác định vị trí của O để OD2+OE2+OF2nhỏ nhất.
Bài tập 8 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thoả mãn BD.CE=2BI.CI.
Bài tập 9 Cho tam giác ABC nhọn, G là trọng tâm, M là điểm nằm trong tam giác (M6=G) Đường
thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C0, A0, B0 Chứng minh rằng
MA0
GA0 +
MB0
GB0 +
MC0
GC0 =3.
Bài tập 10 Cho4ABC vuông tại A Kẻ AH⊥BC với H∈BC Kẻ HE⊥CA, HF⊥BA với E∈CA,
F∈ BA
a) Chứng minh rằng 2
HE.HF =
1
SABH
+ 1
SACH
Trang 10b) Chứng minh rằng 1
HE.HF =
Ç
H A HB.AB+
1 AC
å Ç
H A HC.AC +
1 AB
å
Bài tập 11 Cho4ABC vuông tại A Kẻ AH ⊥BC với H∈BC.
a) Chứng minh rằng AH+BC= HB.AB−HC.AC
AB−AC .
b) Chứng minh rằng BC−AH= HB.AB+HC.AC
AB+AC .
c) Chứng minh rằng√3 AB2.HB2+√3
AC2.HC2=√3
BC4
Bài tập 12 Cho 4ABC vuông tại A Kẻ AH⊥BC, H∈BC Kẻ HE⊥AB, HF⊥AC với E∈AB,
F∈ AC Kẻ EM⊥BC, FN⊥BC với M, N∈BC.
a) Chứng minh rằng H A3=BC.BE.CF=BC.AE.AF.
b) Chứng minh rằng BE
CF =
AB3
AC3
c) Chứng minh rằng HM=HN; MN=2√BM.CN;√BM+√
CN=√
BC
Bài tập 13 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Tia phân giác của góc A cắt BD ở I Biết IB=10√5 cm, ID=5√5 cm Tính diện tích tam giác ABC.
Bài tập 14 Cho góc xOy vuông tại O Trên tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho OA+OB=
const Trên AB lấy điểm M sao cho OA=BM.BA Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AB
tại M luôn đi qua một điểm cố định.
Bài tập 15 Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết I A=2√5 cm,
IB=3 cm Tính độ dài AB.
Bài tập 16 Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD, biết AH=14 cm,
BH=HC=30 cm.
Bài tập 17 Xét các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC=2a Gọi AH là đường cao của tam giác,
D và E là hình chiếu của H trên AC và AB Tính giá trị lớn nhất của
a) Độ dài DE.
b) Diện tích tứ giác ADHE.
Bài tập 18 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với A qua B Gọi
E là điểm thuộc tia đối của tia H A sao cho HE=2H A Chứng minh rằng ÷DEC=90◦.
Bài tập 19 Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O và không vuông góc với nhau Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BOC và AOD.
a) Gọi E là trọng tâm tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK Chứng minh rằng các tam giác
IEG và HFK đồng dạng.
b) Chứng minh IG vuông góc với HK.
Trang 11Bài tập 20 Cho tam giác nhọn ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng trong ba tam giác ADF, BDE, CEF tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay bằng 1
4 diện
tích của tam giác ABC Khi nào ba tam giác đó có cùng diện tích bằng 1
4 diện tích tam giác ABC?
Bài tập 21 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh rằng nếu cot B=3 cot C thì
AM=AC.
Bài tập 22 Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD Chứng minh rằng
tan B·tan C=2.
Bài tập 23 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE Chứng minh rằng
a) SADE=SABCcos2A.
b) SBCDE=SABCsin2A.
Bài tập 24 Cho tam giác ABC nhọn Từ một điểm M nằm trong tam giác vẽ MD⊥BC, ME⊥AC,
MF⊥AB Chứng minh rằng
max{MA, MB, MC} ≥2 min{MD, ME, MF}
Bài tập 25 Cho tam giác ABC và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba đường thẳng BC, CA, AB sao cho AP, BQ, CR đồng quy tại O Chứng minh rằng
PO
PA +
QO
QB +
RO
RC =1.
Bài tập 26 Cho tam giác ABC Trên ba cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho MC= 2MB, N A=2NC, PB=2PA Ba đường thẳng AM, BN, CP tạo thành một tam giác Hãy so sánh diện
tích của tam giác này với diện tích tam giác ABC.
Bài tập 27 Cho tam giác ABC vuông tại A Các cạnh của tam giác ABC thoả mãn điều kiện BC2= 2BC.AC+4AC2 Tính số đo góc÷BAC.
Trang 12Tài liệu tham khảo
[1] Bộ GD và ĐT, Sách giáo khoa Toán 9, tập 1, NXB giáo dục Việt Nam
[2] Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9, NXB giáo dục, 2008
[3] Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển Toán 9, tập 1, NXB giáo dục Việt Nam, 2017
[4] Kiselev, Kiselev’s Geometry, Book I: Planimetry, adapted from Russian by Alexander Givental, Sumizdat, 2006