Đề thi HSG Toán 7 - Rất chất lượng

phòng gd&đt Nam đông đề thi chọn học đội tuyển sinh giỏi năm học 2008 2009 môn: toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(1điểm ) Tìm x biết 313 313 311 309 4 101 103 105 107 x x x x + + + = Bài 2(1điểm) Cho các số nguyên dơng x, y, z. Chứng minh rằng: 1 x y z x y y z z x + + > + + + Bài 3 (3 điểm) a) Tìm a,b, c biết : 2a = 3b; 5b = 7c; 3a+5c-7b = 30 b)Tìm số nguyên tố p để p +1 và p+5 cũng là số nguyên tố. Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H,K thuộc đờng thẳng BD). Chứng minh rằng : a) BH=CK b) Tam giác MHK vuông cân Bài 5 (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: xy +x-y = 4 §¸p ¸n Bµi ý Néi dung §iÓm 1 313 313 311 309 1 1 1 1 0 101 103 105 107 x x x x− − − − + + + + + + + = 416 416 416 416 0 101 103 105 107 x x x x− − − − + + + = ( ) 1 1 1 1 416 0 101 103 105 107 x   − + + + =  ÷   x=416 0,25 0,25 0,25 0,25 2 x x x y x y z > + + + y y y z x y z > + + + z z z x x y z > + + + Suy ra 1 x y z x y y z z x + + > + + + 0,25 0,25 0,25 0,25 3 a ; 3 2 7 5 a b b c = = 21 14 10 a b c ⇒ = = 3 7 5 30 2 21 14 10 3.21 7.14 5.10 15 a b c a b c− + ⇒ = = = = = − + Suy ra 42; 28; 10a b c= = = 0,25 0,25 0,5 0,5 b Víi p = 2 th× p+1=3(Lµ sè nguyªn tè ) vµ p+5=7(Lµ sè nguyªn tè ) Víi p=3 th× p+1=4( Kh«ng lµ sè nguyªn tè) vµ p+5=8( Kh«ng lµ sè nguyªn tè) NÕu p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p=3k+1 hoÆc p=3k+2(k ∈ * N ) +) Khi p=3k+1 th× p+5=3k+1+5=3(k+2) chia hÕt cho 3 +)Khi p=3k+2 th× p+1=3k+2+1=3(k+1) chia hÕt cho 3 VËy khi p=2 th× p+1 vµ p+5 lµ sè nguyªn tè. 0,25 0,25 0,5 0,5 4 Vẽ hình D A B C M K H 0,25 a ABH BCK = (Cạnh huyền-Góc nhọn) BH=CK( Hai cạnh tơng ứng) 1 0,25 b ã ã KBM KCA= Mà ã ã KCA HAM= nên ã ã HAM KBM= Chứng minh HAM KBM = (c-g-c) MH MK = Có ã ã ã 0 90HMK AMK KMB= + = HMK vuông cân tại M 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 5 x(y+1)-(y+1)=3 (x-1)(y+1)=3 Vì 3=3.1=1.3=(-3)(-1)=(-1)(-3) nên: Trờng hợp 1: 1 3 4 1 1 0 x x y y = = + = = Trờng hợp 2: 1 1 2 1 3 2 x x y y = = + = = Trờng hợp 3: 1 3 2 1 1 2 x x y y = = + = = Trờng hợp 4: 1 1 0 1 3 4 x x y y = = + = = Kết luận 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 . HMK vuông cân tại M 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 5 x(y+1 )-( y+1)=3 (x-1)(y+1)=3 Vì 3=3.1=1.3= (-3 ) (-1 )= (-1 ) (-3 ) nên: Trờng hợp 1: 1 3 4 1 1 0 x x y y = = . phòng gd&đt Nam đông đề thi chọn học đội tuyển sinh giỏi năm học 2008 2009 môn: toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(1điểm )