SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức: với a > 0, a 1. a) Chứng minh rằng b) Tìm tất cả các giá trị của a để biểu thức nhận giá trị nguyên. Câu 2: (1,5 điểm) Cho parabol và đường thẳng a) Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi A là giao điểm của và (d) có hoành độ bằng 1, B là giao điểm của (d) và trục tung. Biết rằng tam giác OAB có diện tích bằng 2, tìm a và b. Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho phương trình (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn . b) Giải phương trình: . Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi M là điểm thuộc đường tròn , nằm ngoài đường tròn , khác với A, B và không thuộc đường thẳng . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M cắt đường thẳng AB tại I. Đường tròn tâm I bán kính IM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N, cắt đường tròn tại P và Q trong đó P nằm bên trong đường tròn . Gọi H là giao điểm của OI với MN, K là giao điểm của với PQ. Chứng minh rằng: a) và IQ là tiếp tuyến của đường tròn . b) Tứ giác nội tiếp. c) Các đường thẳng MN, PQ, AB đồng quy. Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên không âm thỏa mãn b) Bên trong hình vuông cạnh bằng 1, lấy 9 điểm phân biệt tùy ý sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá . ------- Hết -------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN (CHUN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) a a a 1 a a a a 1 M a a a a a a Cho biểu thức: với a > 0, a a) Chứng minh M b) Tìm tất giá trị a để biểu thức N M nhận giá trị nguyên Câu 2: (1,5 điểm) Cho parabol (P) : y 2x đường thẳng (d) : y ax b a) Tìm điều kiện b cho với số thực a, parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt b) Gọi A giao điểm (P) (d) có hồnh độ 1, B giao điểm (d) trục tung Biết tam giác OAB có diện tích 2, tìm a b Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2(m 3)x 2m (x ẩn số) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x 1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2 b) Giải phương trình: x x x 3x x Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O ') cắt hai điểm phân biệt A, B Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) , nằm ngồi đường tròn (O ') , khác với A, B không thuộc đường thẳng OO ' Tiếp tuyến đường tròn (O) điểm M cắt đường thẳng AB I Đường tròn tâm I bán kính IM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N, cắt đường tròn (O') P Q P nằm bên đường tròn (O) Gọi H giao điểm OI với MN, K giao điểm O'I với PQ Chứng minh rằng: a) IM IA.IB IQ tiếp tuyến đường tròn (O ') b) Tứ giác HKO 'O nội tiếp c) Các đường thẳng MN, PQ, AB đồng quy Câu 5: (2,0 điểm) x, y, z thỏa mãn a) Tìm tất số ngun khơng âm xyz xy yz zx x y z 2017 b) Bên hình vng cạnh 1, lấy điểm phân biệt tùy ý cho khơng có điểm chúng thẳng hàng Chứng minh tồn điểm số tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh: ………………………………… Chữ ký giám thị 1:…………………………Chữ ký giám thị :…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN (CHUN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (Nội dung có 04 trang) Câu Đáp án Điểm a a a 1 a2 a a a 1 M a a a a a a Cho biểu thức: với a > 0, a 0,75 a) Chứng minh M a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a Ta có Do a > 0, a nên: 0,25 a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a) a (1 a) a a a a a a a a a (1,5 M a a a a a điểm) Nên a M a 0, a � ( a 1) � a a a Do nên: N 0,25 0,25 M nhận giá trị nguyên? 0,75 b) Với giá trị a biểu thức 0 N M N nhận giá trị nguyên Ta có Khi (1,5 điểm) N 1� 0,25 a � a a 1 � a hay a a 1 a � a a Cho parabol (P) : y 2x đường thẳng (d) : y ax b a) Tìm điều kiện b cho với số thực a , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt 2 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d là: 2x ax b � 2x ax b (1) (1) phương trình bậc có a 8b 0,25 0,25 0,5 0,25 Với a �R , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt � với a �R a2 �b � a 8b với a �R với a �R � b Điều kiện b để với a �R , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt b b) Gọi A giao điểm (P) (d), B giao điểm (d) trục tung Biết điểm A có hồnh độ tam giác OAB có diện tích Tìm a, b Ta có A(1;2) Hồnh độ điểm A thỏa phương trình (1), tức a b 0(2) (d) cắt trục tung điểm B(0;b) Gọi H(0;2) chân đường cao kẻ từ A tam giác AOB Ký hiệu SOAB diện tích tam giác OAB Khi 1 SOAB � OB.AH b � b � b 2 b 4 Với b 4, từ (2) ta có a 2 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 Với b 4, từ (2) ta có a a 2 a6 � � � � b4 b 4 � � Vậy a) Cho phương trình x 2(m 3)x 2m (x ẩn số) Xác định tất giá trị (2,0 tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x 1, x2 thỏa mãn điểm) 1 x1 x2 0,25 1,0 Phương trình x 2(m 3)x 2m có a b c 2(m 3) 2m nên có nghiệm x1 1, x 2m 0,25 m �2 � 2m �1 � � �� � 2m m � � � Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0,25 1 � x1 x2 1 2m 0,25 � 2m � 2m � m (thỏa mãn) b) Giải phương trình: x x x 3x x 0,25 1,0 3 � 17 x �1, x �2, x �0, x � Điều kiện: 1 2 x 1 x x x Phương trình trở thành 0,25 1 x , ta có phương trình t t Đặt t 1 � � t 3(t 1) (t 1)(t 3) � t 2t � � t 3 � tx 0,25 x 1 � 1 � x x � � x 2 (thỏa điều kiện) x � Với t 1 ta có � 17 x � x 3x � x x (thỏa điều kiện) Với t ta có � 17 x 1; x 2; x Vậy phương trình cho có nghiệm x 0,25 0,25 Cho hai đường tròn (O) (O ') cắt hai điểm phân biệt A, B M điểm (3,0 thuộc đường tròn (O) khác với A, B nằm ngồi đường tròn (O ') Tiếp tuyến điểm) đường tròn (O) điểm M cắt đường thẳng AB I Đường tròn tâm I bán kính IM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N, cắt đường tròn (O ') P Q P nằm bên đường tròn (O) ) Gọi H giao điểm OI với MN, K giao điểm O 'I với PQ Chứng minh rằng: a) IM IA.IB IQ tiếp tuyến đường tròn (O ') Hai tam giác IMB IAM có � AIM � MIB (góc chung), � s�BM � IAM � IMB ( đường tròn (O)) Do IMB~IAM, suy IM IB � IM IA.IB IA IM Hai tam giác IBQ IQA có góc � BIQ chung, mặt khác IQ IM nên IQ IB IQ IA.IB hay IA IQ Suy IBQ ~ IQA Từ suy 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 � � IQB= s�BQ � � IAQ IQB � A C O O' N P H Do IQ tiếp tuyến đường tròn (O') J B K Q M I b) Tứ giác HKO 'O nội tiếp Hai điểm O ' I cách P, Q nên IO ' đường trung trực đoạn thẳng PQ, IO ' PQ Tam giác O 'QI vuông Q QK đường cao IQ IK.IO ' (1) Tương tự ta chứng minh IM2=IH.IO (2) IH IK IH.IO IK.IO ' IO ' IO Do IM=IQ nên từ (1) (2) suy hay IH IK � � Xét hai tam giác IHK IO 'O có HIK O 'IO IO ' IO nên đồng dạng với o � � � � Do IHK IO 'O � IO 'O OHK 180 Vậy tứ giác HKO 'O nội tiếp đường tròn c) Các đường thẳng MN, PQ, AB đồng quy 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 o � � Gọi J C giao điểm PQ OO’ với AB Ta có IKJ ICO ' 90 � CIO � ' KIJ nên IKJ~ ICO ' (g-g) Từ suy IK.IO ' IJ.IC , mặt khác IH.IO IK.IO ' IH.IO IJ.IC hay IH IJ IC IO 0,25 0,25 0,25 IH IJ � � Hai tam giác IHJ ICO có HIJ CIO IC IO nên đồng dạng với o � � Suy IHJ ICO 90 Như JH MH vng góc với OI, suy J, H, M thẳng hàng hay MN, PQ, AB đồng quy J a) Tìm tất số nguyên x, y, z thỏa mãn x �y �z �0 xyz xy yz zx x y z 2017 Ta có xyz xy yz zx x y z 2017 � xy z 1 +y z 1 x z 1 z 1 2018 0,25 0,5 0,25 � (x 1)(y 1)(z 1) 2018 2018.1.1 1009.2.1 Không tổng quát, giả sử x �y �z �0 nên x �y �z �1 Do có hai trường hợp xảy �x 2018 �x 2017 � � � �y �y � �z z 1 � � �x 1009 � � �y � z 1 � Vậy số (x; y; z) 0,25 �x 1008 � �y �z � 0,25 thỏa yêu cầu toán là: (2017;0;0), (0; 2017;0), (0;0;2017), (1008;1;0), (1008;0;1), (1;1008;0), (1;0;1008), (0;1;1008), (0;1008;1) b) Bên hình vng cạnh 1, lấy điểm phân biệt tùy ý cho khơng (2,0 có điểm chúng thẳng hàng Chứng minh tồn điểm) điểm số tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q Chia hình vng cho thành hình M N A vng nhỏ cạnh H B D K Q 0,25 1,0 0,25 C P Trong điểm cho, có điểm nằm hình vng nhỏ (có thể biên) Giả sử có điểm A, B, C hình vng nhỏ MNPQ Khơng tổng qt, giả sử A, B, C xem theo hàng ngang từ trái sang phải, A B C (hình vẽ) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với MN cắt BC D Vẽ BH CK vng góc với AD (H, K thuộc AD) Ta có 1 1 SABC SABD SACD BH.AD CK.AD (BH CK)AD � MN.MQ 2 2 0,25 0,25 0,25 - Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2016 - 2017 Khóa ngày 09 tháng năm 2016 Mơn thi : TỐN (CHUN TỐN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (1,5 điểm) x2 x 2x x 2(x 1) P(x) � x x 1 x x 1 Cho biểu thức a) Tìm x để P(x) xác định rút gọn P(x) b) Tìm giá trị x để biểu thức Q(x) x P(x) nhận giá trị nguyên Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y mx ( m ) đường thẳng (d) : y 2x m a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Khi chứng minh A B nằm phía trục tung b) Với m tìm câu a), gọi x A , x B theo thứ tự hoành độ điểm A, B Tìm m để biểu thức K x A x B 4x A x B đạt giá trị nhỏ Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 3x x x x x �x 2xy 12y � 2 b) Giải hệ phương trình �8y x 12 Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1 ), (O ) có bán kính khác nhau, cắt hai điểm A B cho O1 , O thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BO1O cắt (O1 ) (O ) K L (khác A B) Đường thẳng AO cắt (O1 ) (O ) M N (khác A) Hai đường thẳng MK NL cắt P cho P B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng KL Chứng minh : a) Tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn b) Điểm A cách hai đường thẳng BK BL c) Điểm P thuộc đường thẳng AB tam giác PKL cân Câu (2,0 điểm) a) Cho x 0, y x y �3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 6x 4y 10xy 4x 3y 2016 y x 1 1 x y z b) Tìm số nguyên dương (x; y; z) biết xyz x y z - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………… ……… Số báo danh : ………………………………… Chữ ký giám thị : ………………… Chữ ký giám thị : …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi : TỐN (CHUN TỐN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Nội dung Cho biểu thức P ( x) Điểm x2 x 2x x 2(x 1) � x x 1 x x 1 1,50 a) Tìm x để P (x) xác định rút gọn P (x) 0,75 �x �x �� �� � x �0 P(x) xác định �x �1 0,25 P(x) x b) Với 0,25 x x x 0,25 x 1 x 1 Tìm giá trị x để biểu thức Ta có x � x 1� x x � x 1� � � � � � � � � x x 1 x x 1 Q(x) Q ( x) x P(x) nhận giá trị nguyên 0,75 x x x 1 0,25 x 0, x �1 , áp dụng BĐT Côsi, ta có x x Suy x x x Do Q(x) Q(x) nhận giá trị nguyên � Q(x) � x x 1 � x 0,25 �3 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y mx ( m ) đường 10 1,50 x y z a b c ; 2x a c ; 2z b c Do để chứng minh (*) đúng, cần 0,25 chứng tỏ : ++ (**) với a b 0׳ Ta có : 0,25 Ta có: � c �a b c ab �a c � b c � ca cb c ab � ca cb c ab (**) B B (***) Đặt: ca cb c A ; ab B , ta có (do a.b0) ta có: (***)+ AB AB Dấu đẳng thức xảy trường hợp số: a, b, c, a + b + c chia làm cặp dấu Ví dụ: ab �0 c a b c �0 Chú ý: Có thể chia trường hợp tùy theo dấu a, b, c (có trường hợp) để chứng minh(*) 0,25 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHĨA NGÀY 19.6.2006 ***** MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh: Phòng: Bài 1: (2,5 điểm) 3 v 2 a) Tìm số thực u, v biết : u v u � b) Giải phương trình : x 1 x 3 x Bài 2: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC (O) vng góc với BD H Gọi P, Q, R, S theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB a) Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 b) Chứng minh tứ giác PQRS tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : PR + QS AB + AD Bài 3: (3 điểm) 1 p q p q 1 q p a) Đặt =; = Chứng tỏ : b) Chứng tỏ : x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx với số thực x, y, z Suy với a, b, c số dương ta ln có : a b c �3 abc c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, thành ba nhóm tuỳ ý, nhóm có ba số Gọi T1 tích ba số nhóm thứ nhất, T tích ba số nhóm thứ hai T3 tích ba số nhóm thứ ba Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ ? Bài 4: (1 điểm) Một thùng sắt đậy kín hình lập phương Biết thùng chứa khối có dạng hình cầu bán kính, làm chất liệu rắn Chứng minh cạnh thùng hình lập phương a đường kính khối cầu bên nhỏ ( )a -Hết - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 ***** MƠN : TỐN THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN Câu 1a (1đ) Nội dung Ta có : 3 u3 v3 nghiệm phương trình: Do : Vậy: 1b (1,5đ) Điểm 0,25 u v u � v 8 u 1; v3 8 u 1; v Viết lại : hoặc u 0,25 x2 x 8; v3 1 0,25 u 2; v 1 0,25 x 1 x x 1 x 3 x 0,25 x 5 x x 3 0,25 t x x , phương trình trở thành: t 5 t 3 hay: t 2t 24 t 6; t 4 Giải : 0,25 Đặt : 2a (1đ) Với t � x x , giải : x 2 � 10 0,25 Với t 4 � x x 4 ,giải : x 2 0,25 HA2+ HB2 = AB2 HB2+ HC2 = BC2 HC2+ HD2 = CD2 HD2+ HA2 = DA2 2(HA2+ HB2+ HC2+ HD2 )= AB2+ AD2 + BC2+ CD2 = 4R + 4R 0,25 A Q P 0,25 B H � � � Tứ giác HPBS nội tiếp : HPS HBS DBC � HAQ � CAD � CBD � HPQ HPAQ hình chữ nhật : Do : � HPS � HPQ � DBC � SPQ O S Vậy : HA2+ HB2+ HC2+ HD2 = 4R2 2b (1đ) 0,25 R C D 0,25 0,25 0,25 0,25 � � Tương tự: SRQ BDC Do 2c (1,5đ) 3a (1đ) 0,25 � � � BDC � 900 DBC nên SPQ SRQ 180 SPQ+SRQ = 1800 0,25 Chú ý: PQRS hình thang cân Ta có : PRHP+HR Gọi E trung điểm AB,ta có:HP HE =AB Gọi F trung điểm CD, HR HF =CD 0,25 0,25 Do : PRAB +CD Tương tự :QSBC +AD Mà : AB=BC ; AD=CD 0,25 0,25 0,25 Do : PR + QS AB +AD 0,25 1 p q p q q p Cần chứng tỏ : p q q � p q � p q �p q 1� q p q � � Hay : (*) 0,25 p2 p q2 p pq q p qp q p q q q p Vế phải (*) : 0,25 Do : =2 ; =2 ; = =2 ; = nên (*) 0,25 0,25 Chú ý : Có thể trục mẫu để chứng tỏ đẳng thức 3b (1đ) x y z x y z xy yz zx Khai triển vế phải: 0,25 Đặt : x = , y = , z = ; x + y + z >0 a, b, c dương 0,25 0,25 Từ (1đ) vế trái 2 x y z xy yz zx � �0 �x y y z z x � � Ta có : x y z xyz �0 hay : ++3 3c (1đ) 0,25 3 Ta có : + + = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70 > 713 0,25 0,25 Do : + + > 213 mà:,,nguyên nên : + + 214 Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ ++ 214 0,25 0,25 Gọi O tâm hình lập phương (L) xét Dựng hình lập phương (L 1) có tâmO, có cạnh song song với cạnh (L) có độ dài cạnh a-2r, với r bán kính hình cầu Chín tâm hình cầu nằm (L1) (hoặc mặt) 0,25 Chia (L1) thành hình lập phương ba mặt phẳng qua O song song với mặt (L1) Phải có hình lập phương (L2) chúng chứa hai tâm hình cầu Đường chéo hình lập phương (L2) :(a-2r) Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn 2r Vì (a-2r) 2r hay : 2r =(-3)a 0,25 SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ CHÍNH THỨC 0,25 0,25 KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1:(3 điểm) a/ Cho a,b số thực không âm tùy ý Chứng tỏ : b/ Xét u, v, z, t + Khi có dấu đẳng thức ? số thực không âm thay đổiù có tổng Hãy tìm giá trò lớn giá trò nhỏ S = +++ Bài 2: (2 điểm) Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông DE = 5cm EH =12cm a/ Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông DEH b/ Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có bán kính r, tiếp xúc tiếp xúc với cạnh tam giác vuông DEH hình Tính độ dài r D r H r E Bài 3:(2 điểm) a/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : 2x + 9y = 2005 (*) b/ Chứng minh : x.y 55833 (x,y ) nghiệm nguyên (*) Bài 4: (2 điểm) Với giá trò tham số m, xét hàm số : y = x – 2mx – – m2 a/ Chứng tỏ với giá trò m tuỳ ý, đồ thò hàm số cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành hai điểm phân biệt B, C giao điểm khác gốc tọa độ O b/ Đường tròn qua giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm điểm K khác A Chứng minh m thay đổi, K điểm cố đònh Bài 5: (1 điểm) Có hộp, hộp chứa trái banh Chứng tỏ ghi số tất trái banh cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau : 1/ Mỗi banh ghi số nguyên, chọn số nguyên từ đến 23 2/ Trong hộp, hai banh ghi số 3/ Với hai hộp bất kì, có nhiều số xuất đồng thời hai hộp - Heát - Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên toán Thừa Thiên Huế Môn: toán - năm học 2005-2006 Đề thức Đáp án thang điểm ý Nội dung §iĨ m Bµi 3,0 1.a 0,50 + + ab 0,25 + Dấu đẳng thức a=0 hoaëc b=0 0,25 ++ a+b - 20 -)2 ( + Dấu đẳng thức a=b 1.b 0,25 Giá trò nhỏ S: +Dùng câu a/ S=++++ = 1.(do u+v+z+t=1) + Dấu đẳng thức xảy chỉ: (u hay v 0) vaø ( z hay t 0) vaø (u v hay z t 0) vaø (u v z t 1) Khi u=1,v=z=t=0 u+v+z+t=1và S=1 Vậy : MinS=1 0,50 0,25 0,25 Giá trò lớn S: +Dùng câu a/ S=++++ = 0,50 + Dấu đẳng thức xảy khi: u v, z t , 2(u v) 2( z t ), u v z t 1 � u v z t S 0,25 Vậy : MaxS=2 2,0 2.a (1đ) Câu a + DH = 13 + dt(DEH)= 30 0,25 + Gọi I tâm đường tròn nội tiếp Ta có : dt(DEH)= dt(IDE)+ dt(IEH)+ dt(IDH) + Gọi R bán kính đường tròn nội tiếp.Ta có : 30 = R.5+R.12 +R.13 0,25 0,25 R=2 (cm) 0,25 2.b Câu b (1đ) D r r J r r r H E + Goïi J tâm đường tròn có tiếp xúc với cạnh DH Khoảng cách từ J đến cạnh DH, HE, ED : r; r; 3r + dt(DEH)= dt(JDH) +dt(JHE) 0,25 +dt(JED) 0,25 � 30 = r.13+ r.12 +3r.5 r== 1,5 (cm) 0,50 2,0 3.a + Ta có: 2005 chia 55 dư 7, nên: (1đ) 2005 222 � 9� 111 � 111 � 503 � 111 Suy ra: (503;111) nghiệm + 2x+9y=2005 2x+9y=2.503 + 9.111 2(x-503)=9(111-y) + Vì (2;9) =1 nên tồn số nguyên t để x-503=9t hay x=503 +9t 0,25 0,25 0,25 0,25 + Nghiệm phương trình : x=503 +9t , y=111-2t ; t số nguyên tuỳ ý 3.b (1ñ) + 55833 – xy= 55833 –(503 +9t).( 111-2t) = 18t2 +7t 0,25 + Khi t 18t2 +7t 0,25 + Khi t -1 18t2 +7t = t(18t+7) > 0,25 + Vì với số nguyên t có : 55833 xy Dấu đẳng thức t=0 x=503 ;y=111 2,0 4.a (1đ) + Đồ thò hàm số cắt trục tung A( 0; -1-m 2) A phía trục hoành + Đồ thò hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt B(x 1;0), C(x2;0) +Vì : x1.x2 < nên B, C khác O O û B, C 4.b (1đ) 0,25 + Xét phương trình : x2 - 2mx – - m2= Do = +2 m2 >0 nên phương trình có hai nghiệm:x 1;x2 0,25 0,25 0,25 0,25 + K phía trục hoành 0,25 + Hai tam giác vuông OBA OKC đồng dạng cho : OB.OC = OA.OK 0,25 + OB.OC=== = OA 0,25 + Do OK=1 K( 0;1) K điểm cố đònh 0,25 1,0 + Ở hình dưới, đường tượng trưng cho hộp, điểm đường tượng trưng cho caùc banh 0,25 13 10 14 + Có đường; đường chứa giao điểm có tất 23 giao ñieåm 15 20 18 22 11 16 19 21 23 12 17 0,25 + Moãi cách đánh số 23 giao điểm, từ đến 23, cho ta cách ghi số banh hộp thỏa điều kiện toán Ví dụ : Hộp I : Hoäp II : 10 11 12 13 14 15 16 17 Hoäp III : Hoäp VI : 13 18 19 Hoäp V : 14 20 21 Hoäp VI : 10 15 22 23 0,25 0,25 Baøi 3: Caùch 2: a) x y 2005 � x 2005 y Maø 2005 lẻ, nên 9y phải số lẻ, suy y số lẻ: y 2t t �Z � x 2005 9(2t 1) � x 998 9t t �Z Vậy: nghiệm phương trình là: x 998 9t , y 2t t �Z � 1987 � 1987 4.18.998 xy 998 9t 2t 1 18t 1987t 998 18 � t � 4.18 � 36 � b) 1987 4.18.998 xy � 55833, 68056 � xy 55833 4.18 1987 � � t� 55 � xy 998 9.55 2.55 1 55833 36 � � Với , ta có: Do đó: xy �55833 SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THỪA THIÊN_HUẾ Năm học 2005-2006 ***** ĐỀ DỰ BỊ Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) BÀI 1:(3 điểm) a/ Chứng tỏ rằng: a3 – b3 + c3 + 3abc = (a-b+c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc - ca), với số thực a,b,c 3 b/ Chứng minh d, e, f số nguyên thoả: d + e + f = d= e = f= 33 b/ Tìm số hửu tỉ p, q, r để có đẳng thức : = p + q +r BÀI 2:(2 điểm) Xét hệ phương trình : (m tham số) a/ Giải hệ cho m=1 b/ Chứng minh m>1 hệ xét có nghiệm thoả điều kiện xy BÀI 3: (2 điểm) Tam giác nhọn ABC có trực tâm H; AH cắt BC D a/ Chứng tỏ đường tròn nội tiếp tam giác BDH ADC bán kính hai tam giác BDH ADC baèng b/ Cho BC = 221cm; HD = 65cm Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC, biết tam giác BDH ADC BÀI 4: (2 điểm) a/ Tìm số nguyên dương x , y, z thoả điều kiện sau : x < y < z x ++=1 b/ Chứng tỏ tìm 2005 số nguyên dương đôi khác mà tổng tất nghòch đảo chúng BÀI 5: (1 điểm) Với a, b, c số thực dương Đặt : A =; B= ; C =; Chứng minh : D= A + B C+ D - Heát - SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THỪA THIÊN_HUẾ Năm học 2005-2006 ***** ĐỀ DỰ BỊ Môn : TOÁN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM BÀI (3đ) Câu a + Khai triển vế phải + So sánh kết với vế trái Câu b +Đặt x=,Ta có x3=2 ; d+ex+fx2=0 (1) ; dx+ex2+2f=0 (2) + Khử x (1) , (2) : x(e 2-df)=2f2-de vaø 2(e2-df) =(2f2-de)3 (3) + Do d,e,f số nguyên nên từ (3) cho :e 2-df= 2f2-de = (Dùng phản chứng ) +Từ : e3=2f3 , suy e=f= d=0 Câu c 3 3 + Dùng a/ với a= 1;b = ; c= : = (1 - + )( + ) hay : = (1 +) 33 + Do : 1 = (3-3 )( (1 +)) = -1 + 3 + Caâu b cho thấy có : p = -1 ; q = ; r = -1 BÀI 2(2đ) Câu a + (1) – (2) : (3+m)(x-y) = (x-y)(x+y) x=y x+y= 3+m + Với x=y ta có : 3x –mx = x x=0 hoaëc x= 3-m Với m = , trường hợp hệ có nghiệm : (x;y) = (0;0) ; (2;2) x2 -4x +4= x=2 + Với x+y=3+m=4 ,ta có : 3x –(4-x) = x + Nghiệm hệ phương trình m=1 : ( x= , y = ) ; ( x= , y = ) Câu b + Nếu hệ có nghiệm (x;y) mà xy : x+y= 3+m + (1) + (2) : (3-m)(x+y) = (x+y) – 2xy Suy xy = m(m+3) + x ,y nghiệm cuûa : t2 – (3+m)t +m(m+3) = (3) + Khi m > = (3+m)(3-3m)