XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Lý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết Xác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

BÀI GIẢNG (LÝ THUYẾT)

MÔN HỌC: TOÁN V (XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ)

GIẢNG VIÊN: Th.S ĐẶNG VÕ PHÚC

TP Hồ Chí Minh - 2014

Lý thuyết Xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê - môn học nghiên cứu cácphương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luậnhoặc quyết định cần thiết Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử vàcông nghệ thông tin, lý thuyết Xác suất và Thống kê ngày càng được ứng dụng rộngrãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội.

Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ Toán cơ bản khác nhau nên tôi đã

cố gắng soạn bài giảng này theo cách tiếp cận đơn giản và hợp lý nhất Vì lý do đó,tôi đã buộc phải bớt đi phần nào sự chặt chẽ hình thức (vốn rất đặc trưng cho Toánhọc) để giúp sinh viên tiếp cận dễ dàng hơn bản chất xác suất của các vấn đề đặt ra vàtăng cường kỹ năng phân tích, xử lý các tình huống, từ đó dần dần hình thành một hệthống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toán phức tạp

BÀI GIẢNG CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT

GIỚI THIỆU

Trong bài giảng này gồm các nội dung chính sau:

1 Nhắc lại một số kiến thức về Giải tích Tổ hợp

2 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

2.1 Hiện tượng ngẫu nhiên

2.2 Phép thử và biến cố

2.3 Quan hệ giữa các biến cố

3 Xác suất của một biến cố

3.1 Mở đầu về xác suất

3.2 Định nghĩa xác suất (Định nghĩa cổ điển)

(i) Giả sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn để thực hiện:

(+) Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất;

(+) Có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai;

.

(+) Có n k cách thực hiện giai đoạn thứ k.

Khi đó, ta có n = n1.n2 n k cách thực hiện công việc đã cho

(ii) Giả sử có k công việc A1; A2 ; ; A k khác nhau

(+) Có n1 cách thực hiện công việc A1;

(+) Có n2 cách thực hiện công việc A2;

.

(+) Có n k cách thực hiện công việc A k

Khi đó, ta có n = n1.n2 n k cách thực hiện toàn bộ k công việc đó.

1.3 Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử

Có 4 cách chọn ra k phần tử từ tập hợp có n phần tử (n phần tử này luôn được coi

là khác nhau mặc dù bản chất của chúng có thể giống nhau) Đó là:

(+) Chọn một lần ra k phần tử và không để ý đến thứ tự của chúng (Tổ hợp) (+) Chọn một lần ra k phần tử và để ý đến thứ tự của chúng (Chỉnh hợp).

(+) Chọn k lần, mỗi lần một phần tử và không hoàn lại (số cách chọn như Chỉnh

hợp).

(+) Chọn k lần, mỗi lần một phần tử và có hoàn lại (Chỉnh hợp lặp).

1

⃝ Tổ hợp

• Tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm (bộ) không phân biệt thứ

tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.

• Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu và tính theo công thức:

phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.

• Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu và tính theo công thức:

• Hoán vị của n phần tử phân biệt là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau

được chọn từ n phần tử đã cho hoặc gồm đúng n phần tử đã cho

• Số các hoán vị của n phần tử phân biệt là:

P n = n!.

• Số các hoán vị của n phần tử phân biệt được lấy

2 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

2.1 Hiện tượng ngẫu nhiên

• Người ta chia các hiện tuợng xảy ra trong đời sống hàng ngày thành hai loại: tất nhiên (không ngẫu nhiên) và ngẫu nhiên.j

(+) Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng một điều kiện sẽ cho ra kết

quả như nhau được gọi là những hiện tượng tất nhiên.

Chẳng hạn, khi ta đun nước ở điều kiện bình thường đến 1000C thì nước sẽ bốc hơi;một người nhảy ra khỏi máy bay đang bay thì người đó sẽ rơi xuống là tất nhiên

(+) Những hiện tượng mà cho dù khi được thực hiện trong cùng một điều kiện vẫn

có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên.

Chẳng hạn, khi ta gieo một hạt lúa ở điều kiện bình thường thì hạt lúa có thể nảymầm cũng có thể không nảy mầm

• Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất.

2.2 Phép thử và biến cố

• Để quan sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho các hiện tượng này

xuất hiện nhiều lần Việc thực hiện một quan sát về một hiện tượng ngẫunhiên nào đó, để xem hiện tượng này có xảy ra hay không được gọi là một

phép thử.

• Khi thực hiện một phép thử, ta không thể dự đoán được kết quả xảy ra Tuy

nhiên, ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra

Z Định nghĩa không gian mẫu:

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không

gian mẫu của phép thử đó và được ký hiệu là ω.

Z Cách mô tả không gian mẫu:

(+) Khi không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê những phần

tử (+) Khi không gian mẫu có vô hạn phần tử hoặc các phần tử có thuộc

tính chung, ta có thể mô tả bằng mệnh đề hoặc quy tắc.

Z Định nghĩa biến cố:

• Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố.

• Biến cố của một phép thử chính là mỗi tập con của không gian mẫu

• Ký hiệu biến cố: Dùng các chữ cái A; B;

⃝ Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương

ứng với chính không gian mẫu Ω nên biến cố chắc chắn cũng được ký hiệu là Ω.

Ví dụ 1.1 Xét một sinh viên thi hết môn XSTK, thì hành động của sinh viên này

(+) Các tập con của Ω :

A = {4; 4, 5; ; ; 10}, B = {0; 0, 5; ; ; 3, 5}

là các biến cố

2.3 Quan hệ giữa các biến cố

Trong lý thuyết xác suất, người ta xét các quan hệ sau đây cho các biến cố

1

⃝ Quan hệ kéo theo

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B

cũng xảy ra

2

⃝ Quan hệ tương đương

Biến cố A được gọi là tương đương biến cố B, ký hiệu là A = B, nếu A xảy ra thì

B cũng xảy ra và ngược lại.

3

⃝ Quan hệ biến cố đối

Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu là A, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không

xảy ra và ngược lại khi A không xảy ra thì A xảy ra Vì thế, ta có

A = Ω \ A.

4

⃝ Hợp (tổng) của hai biến cố

Hợp (tổng) của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B (hoặc A + B), là biến cố xảy

ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Định nghĩa hợp của n biến cố: A1∪ A2∪ ∪ A n cũng được định nghĩa tương tự

5

⃝ Giao (tích) của hai biến cố

Giao (tích) của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B (hoặc AB), là biến cố xảy ra

nếu cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.

Nếu A1; A2 ; ; A n là các biến cố liên quan đến một phép thử thì giao (hay tích) của chúng được ký hiệu là A1∩ A2∩ ∩ A n

6

⃝ Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅.

Chú ý 1.3

Nếu B là biến cố đối của biến cố A thì chúng xung khắc với nhau nhưng điều

ngược lại nói chung là không đúng

7

⃝ Hệ đầy đủ các biến cố

Dãy các biến cố A1; A2 ; ; A n được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu:

(i) Xung khắc từng đôi một, tức là A i ∩A j = A i A j =∅ với mọi i ̸= j = 1; 2 ; ; n.

(ii) Tổng của chúng là biến cố chắc chắn, tức là ∪n

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy

ra của biến cố này không ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cốkia

• Tổng quát các biến cố A1; A2 ; ; A n được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy

ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ k (1 ≤ k ≤ n) biến cố không làm ảnh

hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại

Chú ý 1.4

(A, B); (A, B); (A, B) cũng độc lập

Ví dụ 1.2 Khi gieo một con xúc xắc thì nếu biến cố A: “Xuất hiện số chấm chẵn”

thì biến cố A: “Xuất hiện số chấm lẻ”.

Ví dụ 1.3 Xét không gian mẫu

Ví dụ 1.4 Xét phép thử là gieo một con xúc xắc cân đối và các biến cố:

(+) Các biến cố A1; A2 ; ; A6 đôi một xung khắc

Ví dụ 1.5 Gieo một con xúc xắc Gọi A i : “Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện i

(+) Ba biến cố A; B; C là độc lập nhưng không xung khắc.

(+) Biến cố M = ABC = A ∩ B ∩ C: “Cả ba xạ thủ đều bắn trúng”.

(+) Biến cố N = A B C = A ∩ B ∩ A: “Cả ba xạ thủ đều bắn trượt”.

(+) Biến cố P = A + B + C = A ∪ B ∪ C: “Có ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”.

(+) Biến cố V = AB C = A ∩ B ∩ C: “Chỉ có xạ thủ X bắn trúng”.

Chú ý 1.5

• Việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của một phép thử

là điều không thể biết hoặc đoán trước được Tuy nhiên bằng những cách khác nhau,

ta có thể định lượng khả năng xuất hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến

cố Xác suất của biến cố là con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện của biến

cố đó khi thực hiện phép thử.

(+) Dựa vào bản chất của phép thử (đồng khả năng) ta có thể suy luận về khả năng

xuất hiện của biến cố, với cách tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp

cổ điển.

(+) Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử, ta có thể tính được tầnsuất xuất hiện (số lần xuất hiện) của một biến cố nào đó Tần suất thể hiện khả năng

xuất hiện của biến cố, với cách tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo thống kê.

(+) Trường hợp ta biểu diễn không gian mẫu và các biến cố bởi các miền hình học

có độ đo, ta sẽ có định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học.

(+) Ngoài ra, xác suất của một biến cố còn được định nghĩa theo Tiên đề Kolmogorow.

• Trong toàn bộ bài giảng này, chúng ta chỉ tiếp cận định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển.

3.2 Định nghĩa xác suất (Định nghĩa cổ điển)

Xét một phép thử với không gian mẫu (có hữu hạn phần tử)

Ω = {ω1; ω2 ; ; ω n }

và biến cố A ⊂ Ω có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp ω1; ω2 ; ; ω n có cùng khả năng

xảy ra (đồng khả năng) thì xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A) được xác định bởi

P (A) = Số trường hợp A xảy ra

Số trường hợp có thể xảy ra của =

Các bước tìm xác suất của một biến cố A

Bước 1: Xác định phép thử, từ đó suy ra không gian mẫu (đếm tất cả số trường

hợp có thể xảy ra của phép thử): Tính n.

Bước 2: Xác định chính xác biến cố A.

Bước 3: Đếm tất cả số trường hợp xảy ra của biến cố A (tính k).

Bước 4: Tính xác suất P (A) = k

n .

Ví dụ 1.6 Lấy ngẫu nhiên 5 lá bài trong bộ bài 52 lá Hãy tìm xác suất để trong

đó có 2 quân Át và 3 quân J

Lời giải:

• Gọi biến cố A : “Trong 5 lá bài có có 2 quân Át và 3 quân J”.

(+) Vì lấy ngẫu nhiên 5 lá bài trong bộ bài 52 lá nên không gian mẫu là

Ω = C552 = 2598960.

• Ta biết rằng, trong bộ bài 52 lá thì có 4 quân Át và 4 quân J nên:

(+) Số cách lấy được 2 quân Át từ 4 quân Át trong bộ bài là C42 = 6.

(+) Số cách lấy được 3 quân J từ 4 quân J trong bộ bài là C43 = 4.

Khi đó, theo quy tắc nhân, ta có được số cách để rút 5 lá bài có có 2 quân Át và 3

Ví dụ 1.7 Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ

nhớ được rằng chúng khác nhau Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng

số cần gọi

Lời giải:

• Gọi biến cố A : “Quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”

(+) Số các trường hợp có thể nhớ được hai số cuối của số điện thoại chính là số cáccặp hai chữ số khác nhau (có tính thứ tự) từ 10 chữ số (0 đến 9) Nó bằng số các chỉnh

hợp 10 chập 2 Do đó, không gian mẫu là: Ω = A2

Z Yêu cầu: SV làm bài tập các Trang: 27, 37, 46, 63.

Z Đọc trước: Mục 2.5 2.8 chuẩn bị cho Bài 2

Một số phép toán xác suất

Hết

BÀI GIẢNG CHƯƠNG 1

2 Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất

2.1 Xác suất có điều kiện

2.2 Quy tắc nhân xác suất

2.2.1 Trường hợp độc lập

2.2.2 Trường hợp tổng quát

3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

3.1 Công thức xác suất đầy đủ

3.2 Công thức Bayes

NỘI DUNG

Z Chúng ta đã biết một số khái niệm cơ bản về xác suất Từ đó, chúng ta sẽ thấymột số điểm sau:

(i) Xác suất có thể thay đổi theo thời gian.

(ii) Xác suất phụ thuộc vào thông tin.

(iii) Xác suất phụ thuộc vào điều kiện.

(iv) Xác suất phụ thuộc vào người quan sát.

Z Việc tính xác suất của một biến cố nào đó sẽ dễ dàng hơn nếu ta dựa vào xácsuất đã biết của các biến cố khác

⃝ P (A) = 1 − P (A), A là biến cố đối của biến cố A.

Ví dụ 2.1 Có một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu

nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm Tìm xác suất để có không quá 1 phếphẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra

Lời giải:

• Gọi các biến cố:

A : “Không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”.

B : “Có đúng 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”.

C : “Có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”.

• Khi đó, A và B là hai biến cố xung khắc.

(+) Không gian mẫu là: Ω = C106 = 15.

(+) Xác suất của biến cố A là: P (A) = C

6 8

⃝ Nếu A; B; C là ba biến cố bất kỳ trong một phép thử thì

P (A ∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C).

Ví dụ 2.2 Xác suất để Nam thi đỗ môn Toán là 2

3 và môn Anh văn là 4

9 Giả sửrằng xác suất để Nam thi đỗ cả hai môn Toán và Anh văn là 1

4 Tính xác suất để:

(i) Nam thi đỗ ít nhất một môn

(ii) Nam không thi đỗ môn nào

(iii) Nam thi trượt ít nhất một môn

(iv) Nam thi đỗ đúng một môn

Lời giải:

• Gọi các biến cố:

R : “Nam thi đỗ môn Toán”.

Q : “Nam thi đỗ môn Anh văn”.

Khi đó, biến cố RQ : “Nam thi đỗ môn Toán và Anh văn”.

A : “Nam thi đỗ ít nhất một môn”.

Khi đó, A = R ∪ Q.

B : “Nam không thi đỗ môn nào”.

2 Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất

2.1 Xác suất có điều kiện

• Xác suất của biến cố B được tính khi biết biến cố A nào đó đã xảy ra được

gọi là xác suất có điều kiện và được ký hiệu là P (B | A).

• Ký hiệu P (B | A) thường được đọc là “xác suất để B xảy ra với điều kiện

A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A”.

• Công thức tính xác suất của biến cố B sau khi biến cố A (P (A) > 0) đã xảy ra (xác suất của B với điều kiện A) được xác định như sau:

P (B | A) = P (A ∩ B)

P (A) .

Ví dụ 2.3 Giả sử xác suất để một chuyến máy bay khởi hành đúng giờ là P (D) =

0, 83, xác suất để nó đến đúng giờ là P (A) = 0, 82, xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là P (A ∩ D) = 0, 78 Tính xác suất để một chiếc máy bay

(i) Đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ

(ii) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến đúng giờ

(iii) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ.

⃝ Khi tính P (B | A) với điều kiện A đã xảy ra, tức là ta đã hạn chế không

gian mẫu xuống còn A và hạn chế B xuống còn A ∩ B.

2.2 Quy tắc nhân xác suất

Từ công thức xác suất có điều kiện, ta nhận được quy tắc nhân xác suất quan trọng

sau, nó cho phép chúng ta tính xác suất để hai biến cố cùng xảy ra

Ví dụ 2.4 Giả sử ta có một hộp chứa 20 chiếc cầu chì, trong đó có 5 chiếc bị hỏng.

Nếu lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 chiếc theo phương thức không hoàn lại thì xác suất cảhai chiếc đều bị hỏng là bao nhiêu?

Lời giải:

• Gọi các biến cố

A : “Chiếc cầu chì thứ nhất lấy ra bị hỏng”.

B : “Chiếc cầu chì thứ hai lấy ra bị hỏng”.

• Khi đó:

(+) A ∩ B : “Cả hai chiếc cầu chì lấy ra đều bị hỏng”.

(+) B | A : “Chiếc cầu chì thứ hai lấy ra là hỏng sau khi chiếc cầu chì thứ nhất lấy

ra là hỏng”.

(+) Xác suất để lấy lần thứ nhất được chiếc cầu chì hỏng là:

P (A) = C

1 5

C201 =

1

4.(+) Xác suất để lấy lần thứ hai được chiếc cầu chì hỏng trong 4 chiếc cầu chì hỏngcòn lại là:

P (B | A) = C41

C1 19

19.

• Từ đó, xác suất để lấy được (theo thứ tự) cả hai chiếc cầu chì hỏng là:

P (A ∩ B) = P (A)P (B | A) = 1

19.

Ví dụ 2.5 Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen Hộp thứ hai có 8 bi trắng và 4

bi đen Từ mỗi hộp lấy ra một viên bi Tìm xác suất để:

(i) Cả hai viên bi lấy ra đều màu trắng

(ii) Một viên lấy ra là trắng, một viên là đen

Lời giải:

• Gọi các biến cố:

T : “Cả hai viên bi lấy ra đều màu trắng”.

T i : “Lấy được viên bi trắng từ hộp thứ i”; i = 1, 2.

D i : “Lấy được viên bi đen từ hộp thứ i”; i = 1, 2.

A : “Một viên lấy ra là trắng, một viên là đen”.

P (A) = P (T1D2) + P (T2D1) = P (T1)P (D2) + P (T2)P (D1) = 11

18.

3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

3.1 Công thức xác suất đầy đủ

Nếu {A1; A2 ; ; A n } là một hệ đầy đủ các biến cố và B là biến cố bất kỳ

trong một phép thử thì xác suất của biến cố B được xác định như sau:

Ví dụ 2.6 Trong một dây chuyền sản xuất ba máy B1; B2; B3tạo ra 30%; 45%; 25%sản phẩm tương ứng Biết rằng tỷ lệ phế phẩm được tạo bởi mỗi máy tương ứng là

2%; 3%; 2% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để nó là phế phẩm.

Nếu {A1; A2 ; ; A n } là một hệ đầy đủ các biến cố và B là biến cố bất kỳ

trong một phép thử sao cho P (B) > 0 thì xác suất của biến cố A k sau khi

B đã xảy ra được xác định như sau:

Nhận xét: Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện P (B | A)

khi biết xác suất có điều kiện P (A | B) và một số thông tin khác.

Chú ý 2.3

Phân biệt các bài toán áp dụng công thức:

Nhân xác suất - Xác suất đầy đủ - Bayes

1

⃝ Nếu bài toán yêu cầu tìm xác suất của biến cố A1∩B; A2∩B thì chúng

ta áp dụng công thức nhân xác suất.

2

⃝ Nếu bài toán yêu cầu tìm xác suất của biến cố B và hệ {A1; A2} là hệ

đầy đủ các biến cố thì chúng ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ.

3

⃝ Nếu bài toán yêu cầu tìm xác suất của biến cố của A1; A2 và cho biết

B đã xảy ra, đồng thời hệ {A1; A2} là hệ đầy đủ các biến cố thì chúng

ta áp dụng công thức Bayes.

Ví dụ 2.7 Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau Tỷ

lệ chi tiết do nhà máy thứ nhất cung cấp là 60% và nhà máy thứ hai cung cấp là 40%.

Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy thứ nhất là 90% và của nhà máy thứ hai là 85% Lấy

ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền và thấy rằng nó tốt Tìm xác suất để chi tiết

đó do nhà máy thứ nhất sản xuất

Lời giải:

• Gọi các biến cố:

A : “Nhận được sản phẩm tốt”.

B i : “Nhận được sản phẩm do nhà máy thứ i sản xuất”; i = 1, 2.

• Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P (B1 | A).

• Theo giả thiết, ta có:

P (B1) =

0, 6; P (B2) = 0, 4

P (A | B1) = 0, 9; P (A | B2) = 0, 85.

• Vì hệ {B1; B2} tạo thành một hệ đầy đủ các biến cô nên theo công thức Bayes,

ta được xác suất để chi tiết tốt nhất có được trên dây chuyền là do nhà máy thứ nhấtsản xuất:

P (B1 | A) = P (B1)P (A | B1)

P (B1)P (A | B1) + P (B2)P (A | B2) = 0, 614.

Ví dụ 2.8 Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng gói

để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm Chọn ngẫu

nhiên ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng thuộc loại I.

Lời giải:

• Gọi các biến cố:

A : “Sản phẩm được chọn ra thuộc loại I”.

B1 : “Sản phẩm thất lạc thuộc loại I”.

B2 : “Sản phẩm thất lạc thuộc loại II”.

• Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P (B1 | A).

• Vì hệ {B1; B2} lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nên theo công thức Bayes,

ta có xác suất đề sản phẩm thất lạc thuộc loại I là:

Z Yêu cầu: SV làm bài tập các Trang: 44, 53, 61.

Z Đọc trước: Mục 3.1 3.5 chuẩn bị cho Bài 3

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Hết

BÀI GIẢNG CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT

GIỚI THIỆU

Trong bài giảng này gồm các nội dung chính sau:

1 Biến ngẫu nhiên một chiều

1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

1.3 Phân phối xác suất

1.3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

1.3.2 Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc

1.3.3 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

1.3.4 Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên liên tục

2 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

2.1 Định nghĩa

2.2 Phân phối xác suất

2.2.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 2.2.2 Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

3 Phân phối biên duyên

NỘI DUNG

1 Biến ngẫu nhiên một chiều

Z Một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất là khái niệm

biến ngẫu nhiên Trước khi đi vào định nghĩa của biến ngẫu nhiên, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3.1 Gieo ngẫu nhiên một lần đồng tiền cân đối và đồng chất Khi đó, không

gian mẫu của phép thử là:

Ω ={S, N}

trong đó, S chỉ “mặt sấp” của đồng tiền, còn N chỉ “mặt ngửa” của đồng tiền.

• Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong một lần gieo đó Ta thấy rằng, X chỉ có

thể nhận giá trị 0 (tức là không xuất hiện mặt sấp) hoặc giá trị 1 (tức là xuất hiện mặtsấp)

(+) Nếu X = 0 thì đồng tiền sẽ xuất hiện mặt ngửa Điều này có nghĩa là, ứng với phần tử N ∈ Ω thì cho tương ứng X nhận giá trị duy nhất là 0.

(+) Nếu X = 1 thì đồng tiền sẽ xuất hiện mặt sấp Điều này có nghĩa là, ứng với phần tử S ∈ Ω thì cho tương ứng X nhận giá trị duy nhất là 1.

Z Qua ví dụ trên, ta thấy rằng đại lượng X liên quan với phép thử ngẫu nhiên mà

ứng với mỗi kết quả của phép thử(mỗi phần tử thuộc không gian mẫu) sẽ cho tương

ứng với 1 số thực duy nhất và số thực này được gọi là giá trị của X Đại lượng X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên).

1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Giả sử Ω là không gian mẫu của một phép thử nào đó Biến ngẫu nhiên (đại lượng

⃝ Có thể hiểu đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, tùy

thuộc vào kết quả của phép thử

2

⃝ Biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: X; Y ; và chữ

thường tương ứng x; y để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên X; Y ;

3

⃝ Số thực x sao cho tồn tại ω ∈ Ω thỏa mãn: X(ω) = x được gọi là một giá trị mà

X có thể nhận Tập tất cả các giá trị mà X có thể nhận được gọi là tập giá trị của

X và được ký hiệu là X(Ω).

1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

• Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên

thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục:

1

⃝ Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là

một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử

Ví dụ 3.3

(i) Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có tập giá trị

X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

(ii) Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm từ 6 bé trai và 4 bé gái Gọi X là số

bé gái trong nhóm chọn được Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có tập giá trị X(Ω) = {1, 2, 3}.

2

⃝ Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tập giá trị của nó lấp

đầy một hoặc một số khoảng hữu hạn trên trục số, thậm chí lấp đầy cả toàn bộtrục số

Ví dụ 3.4

(i) Lượng mưa hàng năm ở một địa phương là một biến ngẫu nhiên liên tục và tập

giá trị của nó X(Ω) = (0, + ∞).

(ii) Trọng lượng của một đứa trẻ sơ sinh là một biến ngẫu nhiên liên tục

• Như vậy, tập giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc sẽ là một dãy số x1; x2 ; ; x n ;

có thể hữu hạn hoặc vô hạn.Tập giá trị của một biến ngẫu nhiên liên tục là một đoạn

[a, b] ⊂ R hoặc là chính R = (−∞, +∞).

1.3 Phân phối xác suất

• Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x là: X = x và xác suất để X nhận

Y : “Số lần xuất hiện mặt 1 chấm khi gieo một con xúc xắc ba lần”

Khi đó, ta nhận thấy:

(+) X(Ω) = Y (Ω) = {0, 1, 2, 3}.

(+) P (X = i) ̸= P (Y = i); i = 0, 3.

• Như vậy, chỉ biết tập các giá trị của một biến ngẫu nhiên là chưa đủ để xác định

nó Vì vậy, đối với một biến ngẫu nhiên ta cần phải biết xác suất để nó nhận giá trị

bất kỳ hay nhận giá trị trong một khoảng bất kỳ là bao nhiêu? Thế thì, quy luật phân

phối xác suất của biến ngẫu nhiên sẽ cho ta biết được điều đó.

• Khi ta biết được quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên thì ta sẽ

nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên này

1.3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Z Định nghĩa

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm phân phối xác suất của X là hàm số thực

f (x) xác định trên R được cho bởi

f (x) = P (X = x).

Z Tính chất

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị X(Ω) = x = {x1, x2, } Khi đó,

hàm phân phối xác suất f (x) của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:

phân phối xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X gồm hai hàng:

(+) Hàng thứ nhất liệt kê các phần tử của X(Ω)

(+) Hàng thứ hai liệt kê các xác suất tương ứng p1; p2 ; ; p n

f (x i ) = 1 nếu X(Ω) là vô hạn đếm được.

Ví dụ 3.6 Một kiện hàng gồm 8 chiếc máy tính giống nhau trong đó có 3 chiếc bị

lỗi Một trường học mua ngẫu nhiên 2 chiếc trong những chiếc máy vi tính đó Hãytìm phân phối xác suất của số chiếc bị lỗi

f (1) = P (X = 1) = C

1

3C51

C2 8

= 1528

• Khi đó, bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

28

1528

328

1.3.2 Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 3.7 Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một túi có 6 viên bi đen và 4 viên bi trắng.

Gọi X là số viên bi trắng trong 3 viên bi vừa chọn thì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc Tìm hàm phân phối xác suất và hàm phân phối tích lũy của X.

Lời giải:

• Tập giá trị của X là: X(Ω) = {0, 1 2, 3}.

• Ta có:

f (0) = P (X = 0) = C

3 6

C3 10

f (3) = P (X = 3) = C

3 4

C3 10

930

130

(+) Hàm phân phối tích lũy của X là:

được điều này?

Chẳng hạn, xét X là biến ngẫu nhiên với tập giá trị X(Ω) của nó là tập hợp chiều cao của tất cả những người trên 21 tuổi Giữa hai giá trị bất kỳ, chẳng hạn 163, 5 cm và

164, 5 cm thì có vô số các giá trị, một trong chúng là 164 cm Nhưng trong tất cả những

người trên 21 tuổi, xác suất để chọn ngẫu nhiên một người có chiều cao đúng 164 cm

là bằng 0, tức là P (X = 164) = 0; 164 ∈ X(Ω) Tuy nhiên, nếu X ∈ (163 cm, 165 cm)

thì P (163 < X < 165) ̸= 0.

Z Như vậy, đối với biến ngẫu nhiên liên tục thì ta chỉ quan tâm đến xác suất để

nó rơi vào một khoảng nào đó (tức là ta cần xác định P (a < X < b); P (X > c); )

chứ không quan tâm đến xác suất để nó nhận một giá trị cụ thể như trong trường hợpbiến ngẫu nhiên rời rạc

Z Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được xác định bởi một hàm

f (x) gọi là hàm mật độ xác suất.

1.3.3 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm số f (x) xác định trên tập số thực R được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu f (x) thỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ 3.12 Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f (x) là

liên tục và hàm phân phối tích lũy của X có dạng

F (x) = a + b.arctan( x

c ).

trong đó a; b; c(c ̸= 0) là các hằng số.

2 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Z Chúng ta đã biết được các biến ngẫu nhiên mà giá trị của chúng nhận được có

thể biểu diễn bằng một số, đó là các biến ngẫu nhiên một chiều Tuy nhiên, trong thực

tế có thể gặp các biến ngẫu nhiên mà giá trị của chúng nhận được là một bộ gồm hai, ba

, , n số Những biến ngẫu nhiên này được gọi một cách tương ứng là biến ngẫu nhiên hai chiều, ba chiều , , n chiều và được gọi chung là biến ngẫu nhiên nhiều chiều.

Z Trong toàn bộ phần này, chúng ta chỉ xét biến ngẫu nhiên hai chiều

2.1 Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên hai chiều là một bộ có thứ tự (X, Y ) với các thành phần X, Y

là các biến ngẫu nhiên

• Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc thì (X, Y ) được gọi biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc.

• Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục thì (X, Y ) được gọi biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục.

Ví dụ 3.13 Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt

con xúc xắc thứ nhất và Y là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thứ hai Khi đó, (X, Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc và tập giá trị của biến ngẫu nhiên (X, Y )

là

{(i, j) | i = 1, 2 , , 6; j = 1, 2 , , 6}.

2.2 Phân phối xác suất

2.2.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều

rời rạc

Z Tương tự như biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều, khi (X, Y ) là biến ngẫu nhiên

hai chiều rời rạc ta thường biểu diễn phân bố xác suất dưới dạng bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:

Trong bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) thì: (+) x j (j = 1, n) là các giá trị có thể có của X;

Ví dụ 3.14 Gieo 3 đồng tiền cân đối và đồng chất A, B, C Gọi X là số mặt ngửa

xuất hiện của 2 đồng tiền A, B và Y là số mặt ngửa xuất hiện của 3 đồng tiền A, B, C (i) Bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) (ii) P[(X, Y ) ∈ A], trong đó A là miền {(x, y) | x + y ≤ 2}.

Lời giải:

• Chúng ta có bảng 8 kết quả đồng khả năng của việc gieo 3 đồng tiền cân đối và

đồng chất và các giá trị của biến ngẫu nhiên X và Y có thể nhận (trong bảng này, N

18

28

∑

x

18

38

38

1

f (x, y) dxdy với A là miền tùy ý trong mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 3.15 Giả sử biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) có hàm mật độ xác

∫

14

12

4 Phân phối biên duyên

Ta đã biết phân phối xác suất đồng thời f (x, y) của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), thế thì phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần được xác định

như thế nào? Phân phối của xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần còn được

gọi là phân phối biên duyên.

1

⃝ Biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) rời rạc có hàm phân phối xác suất đồng thời

là f (x, y) Khi đó, phân phối biên duyên của X và Y được xác định bởi:

⃝ Biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời là

f (x, y) Khi đó, phân phối biên duyên của X và Y được xác định bởi:

Ví dụ 3.16 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X, Y ) như trong Ví dụ 3.14

với bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) là:

8

18

28

∑

x

18

38

38

1