Lý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết XácLý thuyết Xác suất và Thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau thì ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết Xác
BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI BÀI GIẢNG (LÝ THUYẾT) MƠN HỌC: TỐN V (XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ) GIẢNG VIÊN: Th.S ĐẶNG VÕ PHÚC TP Hồ Chí Minh - 2014 Bộ mơn Toán - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Toán IVa - Phương trình vi phân Mở Đầu Lý thuyết Xác suất Thống kê phận Toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Ta hiểu tượng ngẫu nhiên tượng khơng thể nói trước xảy hay khơng xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên phép thử ta rút kết luận khoa học tượng Lý thuyết Xác suất sở để nghiên cứu Thống kê - môn học nghiên cứu phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút kết luận định cần thiết Ngày nay, với hỗ trợ tích cực máy tính điện tử cơng nghệ thơng tin, lý thuyết Xác suất Thống kê ngày ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội Do đối tượng sinh viên đa dạng với trình độ Tốn khác nên tơi cố gắng soạn giảng theo cách tiếp cận đơn giản hợp lý Vì lý đó, tơi buộc phải bớt phần chặt chẽ hình thức (vốn đặc trưng cho Toán học) để giúp sinh viên tiếp cận dễ dàng chất xác suất vấn đề đặt tăng cường kỹ phân tích, xử lý tình huống, từ hình thành hệ thống khái niệm đầy đủ để sâu giải toán phức tạp Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân BÀI GIẢNG CHƯƠNG XÁC SUẤT §1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT GIỚI THIỆU Trong giảng gồm nội dung sau: Nhắc lại số kiến thức Giải tích Tổ hợp 1.1 Quy tắc cộng 1.2 Quy tắc nhân 1.3 Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử 1.4 Hốn vị 1.5 Nhị thức Newton Biến cố quan hệ biến cố 2.1 Hiện tượng ngẫu nhiên 2.2 Phép thử biến cố 2.3 Quan hệ biến cố Xác suất biến cố 3.1 Mở đầu xác suất 3.2 Định nghĩa xác suất (Định nghĩa cổ điển) Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân NỘI DUNG Nhắc lại số kiến thức Giải tích Tổ hợp 1.1 Quy tắc cộng • Giả sử cơng việc có k trường hợp để thực hiện: (+) Trường hợp có n1 cách thực (+) Trường hợp có n2 cách thực (+) Trường hợp k có nk cách thực • Khi đó, ta có n = n1 + n2 + + nk cách thực công việc cho 1.2 Quy tắc nhân (i) Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn để thực hiện: (+) Có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất; (+) Có n2 cách thực giai đoạn thứ hai; (+) Có nk cách thực giai đoạn thứ k Khi đó, ta có n = n1 n2 nk cách thực công việc cho (ii) Giả sử có k cơng việc A1 ; A2 ; ; Ak khác (+) Có n1 cách thực cơng việc A1 ; (+) Có n2 cách thực cơng việc A2 ; (+) Có nk cách thực cơng việc Ak Khi đó, ta có n = n1 n2 nk cách thực tồn k cơng việc 1.3 Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử (n phần tử coi khác chất chúng giống nhau) Đó là: (+) Chọn lần k phần tử không để ý đến thứ tự chúng (Tổ hợp) (+) Chọn lần k phần tử để ý đến thứ tự chúng (Chỉnh hợp) (+) Chọn k lần, lần phần tử khơng hồn lại (số cách chọn Chỉnh hợp) (+) Chọn k lần, lần phần tử có hồn lại (Chỉnh hợp lặp) Tổ hợp ⃝ • Tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) nhóm (bộ) khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân • Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu tính theo cơng thức: Cnk = n! k!(n − k)! Chú ý 1.1 (i) Quy ước: 0! = (ii) Cnk = Cnn−k k−1 k (iii) Cnk = Cn−1 + Cn−1 Chỉnh hợp ⃝ • Chỉnh hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho • Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu tính theo cơng thức: Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n! (n − k)! Chỉnh hợp lặp ⃝ • Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử không thiết khác chọn từ n phần tử cho • Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Chú ý 1.1 Cnk < Akn < nk 1.4 Hoán vị • Hốn vị n phần tử phân biệt có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho gồm n phần tử cho • Số hoán vị n phần tử phân biệt là: Pn = n! Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân • Số hoán vị n phần tử phân biệt lấy k lần liên tiếp là: n Pk = Akn = n! (n − k)! • Số hốn vị n phần tử phân biệt xếp theo vòng tròn là: (n − 1)! 1.5 Nhị thức Newton (a+b)n = n ∑ Cnk ak bn−k k=0 Biến cố quan hệ biến cố 2.1 Hiện tượng ngẫu nhiên • Người ta chia tuợng xảy đời sống hàng ngày thành hai loại: tất nhiên (không ngẫu nhiên) ngẫu nhiên.j (+) Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, ta đun nước điều kiện bình thường đến 1000 C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên (+) Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, ta gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm • Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất 2.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử • Khi thực phép thử, ta dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Định nghĩa khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu ω Cách mô tả không gian mẫu: (+) Khi khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta liệt kê phần tử (+) Khi không gian mẫu có vơ hạn phần tử phần tử có thuộc tính chung, ta mơ tả mệnh đề quy tắc Định nghĩa biến cố: • Các kết xảy phép thử gọi biến cố • Biến cố phép thử tập khơng gian mẫu • Ký hiệu biến cố: Dùng chữ A; B; Chú ý 1.2 Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp ⃝ Biến cố biến cố không xảy thực phép thử, ký ⃝ hiệu ∅ Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, tương ⃝ ứng với khơng gian mẫu Ω nên biến cố chắn ký hiệu Ω Ví dụ 1.1 Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử (+) Tập hợp điểm số Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu (+) Các phần tử: ω1 = 0; ω2 = 0, 5; ; ; ω21 = 10 biến cố sơ cấp Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân (+) Các tập Ω : A = {4; 4, 5; ; ; 10}, B = {0; 0, 5; ; ; 3, 5} biến cố 2.3 Quan hệ biến cố Trong lý thuyết xác suất, người ta xét quan hệ sau cho biến cố Quan hệ kéo theo ⃝ Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy Quan hệ tương đương ⃝ Biến cố A gọi tương đương biến cố B, ký hiệu A = B, A xảy B xảy ngược lại Quan hệ biến cố đối ⃝ Biến cố đối biến cố A, ký hiệu A, biến cố xảy A không xảy ngược lại A khơng xảy A xảy Vì thế, ta có A = Ω \ A Hợp (tổng) hai biến cố ⃝ Hợp (tổng) hai biến cố A B, ký hiệu A ∪ B (hoặc A + B), biến cố xảy có hai biến cố A B xảy Định nghĩa hợp n biến cố: A1 ∪ A2 ∪ ∪ An định nghĩa tương tự Giao (tích) hai biến cố ⃝ Giao (tích) hai biến cố A B, ký hiệu A ∩ B (hoặc AB), biến cố xảy hai biến cố A B xảy Nếu A1 ; A2 ; ; An biến cố liên quan đến phép thử giao (hay tích) chúng ký hiệu A1 ∩ A2 ∩ ∩ An Biến cố xung khắc ⃝ Hai biến cố A B gọi xung khắc A ∩ B = ∅ Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Toán IVa - Phương trình vi phân Chú ý 1.3 Nếu B biến cố đối biến cố A chúng xung khắc với điều ngược lại nói chung khơng Hệ đầy đủ biến cố ⃝ Dãy biến cố A1 ; A2 ; ; An gọi hệ đầy đủ biến cố nếu: (i) Xung khắc đôi một, tức Ai ∩Aj = Ai Aj = ∅ với i ̸= j = 1; ; ; n (ii) Tổng chúng biến cố chắn, tức n ∪ i=1 Ai = Ω Đặc biệt, với biến cố A hệ {A, A} hệ đầy đủ biến cố Tính độc lập biến cố ⃝ • Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố • Tổng quát biến cố A1 ; A2 ; ; An gọi độc lập với việc xảy hay khơng xảy nhóm k (1 ≤ k ≤ n) biến cố không làm ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy biến cố lại Chú ý 1.4 Nếu A B hai biến cố độc lập cặp biến cố: (A, B); (A, B); (A, B) độc lập Ví dụ 1.2 Khi gieo xúc xắc biến cố A: “Xuất số chấm chẵn” biến cố A: “Xuất số chấm lẻ” Ví dụ 1.3 Xét khơng gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} biến cố (tập không gian mẫu) A = {2; 4; 6}, B = {4; 5; 6}, C = {1; 2; 4; 6} Khi đó: (+) Biến cố A kéo theo biến cố C, tức A ⊂ C (+) A ∪ B = {2; 4; 5; 6}, Th.S Đặng Võ Phúc A = {1; 3; 5}, B = {1; 2; 3}, A ∩ B = {4; 6} Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Ví dụ 1.4 Xét phép thử gieo xúc xắc cân đối biến cố: Ai : “Xuất i chấm”, A: “Xuất chấm chẵn”, B: “Xuất chấm chia hết cho 3” Khi đó: (+) A = A2 ∪ A4 ∪ A6 (+) A ∩ B = AB = A6 (+) Các biến cố A1 ; A2 ; ; A6 đôi xung khắc Ví dụ 1.5 Gieo xúc xắc Gọi Ai : “Mặt xúc xắc xuất i chấm”; i = 1, Khi đó: A1 ∪ A2 ∪ ∪ A6 = Ω Ai ∩ Aj = ∅; i, j = 1, Do đó, hệ {A1 ; A2 ; ; A6 } Ví dụ 1.6 Có xạ thủ X; Y ; Z bắn vào mục tiêu Gọi biến cố: A: “Xạ thủ X bắn trúng”, B: “Xạ thủ Y bắn trúng”, C: “Xạ thủ Z bắn trúng” Khi đó: (+) Ba biến cố A; B; C độc lập không xung khắc (+) Biến cố M = ABC = A ∩ B ∩ C: “Cả ba xạ thủ bắn trúng” (+) Biến cố N = A B C = A ∩ B ∩ A: “Cả ba xạ thủ bắn trượt” (+) Biến cố P = A + B + C = A ∪ B ∪ C: “Có ba xạ thủ bắn trúng” (+) Biến cố Q = AB + AC + BC = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C): “Có hai xạ thủ bắn trúng” [ ] [ ] [ ] (+) Biến cố R = B C + AA BC + A CB = (B ∩ C)A ∪ (A ∩ B) ∩ C ∪ A ∩ C) ∩ B : “Chỉ có xạ thủ bắn trúng” (+) Biến cố U = A B ∪ A C ∪ B C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C): “Có nhiều xạ thủ bắn trúng” (+) Biến cố V = AB C = A ∩ B ∩ C: “Chỉ có xạ thủ X bắn trúng” Chú ý 1.5 Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Trường hợp Kiểm định trung bình mẫu (kỳ vọng biến ngẫu nhiên X) chưa biết phương sai σ tổng thể với kích thước mẫu n < 30 tổng thể có phân phối chuẩn Bước 1: Đặt toán H : µ = µ0 H1 : µ ̸= µ0 X − µ0 S √ n Bước 3: Với giả thuyết H0 : µ = µ0 T có phân phối Student với Bước 2: Xét tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết: T = υ = n − bậc tự với mức ý nghĩa α cho trước từ −t α , n−1 P X − µ0 < < t α2 , n−1 =1−α S √ n ta xác định miền bác bỏ Wα = (−∞, −t α2 , n−1 ] ∪ [t α2 , n−1 , +∞) Bước 4: Tính t = t ∈ Wα hay t ̸∈ Wα x − µ0 (s độ lệch chuẩn mẫu) đưa kết luận s √ n Bước (Kết luận): Với mức ý nghĩa α đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 9.8 Một báo cáo khẳng định máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh/1 năm Từ mẫu gồm 12 gia đình nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh năm với độ lệch chuẩn 11, kWh Liệu nói, với mức ý nghĩa 0, 05, trung bình máy hút bụi tiêu thụ khơng 46 kWh năm hay không? Giả sử tổng thể xét có phân phối chuẩn Lời giải: • Theo giả thiết, ta có Th.S Đặng Võ Phúc n = 12 x = 42 s = 11, µ0 = 46 113 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi • Đặt tốn Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân H0 : µ = 46 H1 : µ ̸= 46 Đây tốn kiểm định giả thuyết hai phía cho giá trị trung bình σ chưa biết, n < 30 tng th cú phõn phi chun X à0 Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết: T = S √ n x − µ0 42 − 46 Khi đó, t = = 11, = −1, 16, υ = 11 bậc tự s √ √ n 12 • Với mức ý nghĩa α = 0, 05, tra Bảng A.4, ta có t α2 , n−1 = t0,025, 11 = 2, 201 Miền bác bỏ giả thuyết Wα = (−∞, −2, 201] ∪ [2, 201, +∞) • Kết luận: Vì t = −1, 16 ̸∈ Wα nên với mức ý nghĩa 0, 05, ta chấp nhận giả thuyết H0 , tức trung bình lượng điện mà máy hút bụi tiêu thụ năm 46 kWh Chú ý 9.8 Cũng trường hợp này, tốn kiểm định phía ta có thủ tục tương tự tốn kiểm định hai phía, nhiên xác định miền bác bỏ giả thuyết H0 , cần lưu ý sau: (i) Đối với tốn kiểm định phía H : µ = µ0 H1 : µ > µ Chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 t > tα, n−1 (ii) Đối với tốn kiểm định phía H : µ = µ0 H1 : µ < µ Chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 t < −tα, n−1 Th.S Đặng Võ Phúc 114 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Ví dụ 9.9 Một báo cáo khẳng định máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh/1 năm Từ mẫu gồm 12 gia đình nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh năm với độ lệch chuẩn 11, kWh Liệu nói, với mức ý nghĩa 0, 05, trung bình máy hút bụi tiêu thụ 46 kWh năm hay khơng? Giả sử mật độ số kWh chuẩn Lời giải: • Theo giả thiết, ta có • Đặt tốn n = 12 x = 42 s = 11, µ0 = 46 H0 : µ = 46 H1 : µ < 46 Đây tốn kiểm định giả thuyết phía cho giá trị trung bình σ chưa biết, n < 30 tổng th cú phõn phi chun X à0 Tiờu chuẩn kiểm định giả thuyết: T = S √ n x − µ0 42 − 46 Khi đó, t = = 11, = −1, 16, υ = 11 bậc tự s √ √ n 12 • Với mức ý nghĩa α = 0, 05, tra Bảng A.4, ta có tα, n−1 = t0,05, 11 = 1, 796 Từ đối thuyết H1 , ta chọn miền bác bỏ giả thuyết Wα = (−∞, −tα, n−1 ) = (−∞, −1, 796) • Kết luận: Vì t = −1, 16 ̸∈ Wα , nên với mức ý nghĩa 0, 05, ta chấp nhận giả thuyết H0 , tức trung bình lượng điện mà máy hút bụi tiêu thụ năm khơng đáng kể so với 46 kWh Th.S Đặng Võ Phúc 115 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Trường hợp Kiểm định trung bình mẫu (kỳ vọng biến ngẫu nhiên X) chưa biết phương sai σ tổng thể với kích thước mẫu n ≥ 30 Trường hợp ta xét tiêu chuẩn kiểm định Trường hợp 1, kích thước mẫu lớn biết độ lệch chuẩn s mẫu nên ta coi σ ≈ s Khi đó, ta có: X à0 S n Vi mc ý nghĩa α cho trước, từ • Tiêu chuẩn kiểm định: Z = P −z α X − µ0 α < < z2 = − α S √ n ta xác định miền bác bỏ là: Wα = (−∞, −z α2 ] ∪ [z α2 , +∞) BÀI TẬP Y cầu: SV làm tập Trang: 333, 351 Đọc trước: Mục 10.8 đến 10.12 chuẩn bị cho Bài 10 Kiểm định giả thuyết trung bình cho hai mẫu Kiểm định tỷ lệ Hết Th.S Đặng Võ Phúc 116 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân BÀI GIẢNG CHƯƠNG THỐNG KÊ §10 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH CHO HAI MẪU KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ GIỚI THIỆU Trong giảng gồm nội dung sau: Kiểm định hiệu hai trung bình Kiểm định tỷ lệ 2.1 Kiểm định tỷ lệ 2.2 Kiểm định hai tỷ lệ Th.S Đặng Võ Phúc 117 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân NỘI DUNG Kiểm định hiệu hai trung bình • Xét hai tổng thể Ω1 Ω2 Gọi X1 X2 hai biến ngẫu nhiên đo đặc tính chung cá thể hai tổng thể có kỳ vọng (chưa biết) phương sai tương ứng µ1 , σ1 µ2 , σ2 Từ hai biến ngẫu nhiên xây dựng hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với kích thước n1 n2 • Xét tốn kiểm định giả thuyết hai phía hiệu hai kỳ vọng: H : µ1 − µ2 = d0 H1 : µ1 − µ2 ̸= d0 (d0 số biết) Trường hợp Kiểm định hiệu hai trung bình mẫu biết phương sai σ12 , σ22 tương ứng hai tổng thể Bước 1: Đặt tốn H : µ1 − µ2 = d0 H1 : µ1 − µ2 ̸= d0 (d0 số biết) Bước 2: Tiêu chuẩn kiểm định là: Z= Tính z = X − X − d0 σ12 σ22 + n1 n2 x1 − x2 − d0 σ12 σ22 + n1 n2 Bước 3: Với mức ý nghĩa α cho trước giả thuyết H0 Z có phân phối chuẩn tắc Khi đó, miền bác bỏ giả thuyết là; Wα = (−∞, −z α2 ] ∪ [z α2 , +∞) Bước 4: Kiểm tra z ∈ Wα hay z ̸∈ Wα Bước 5: Kết luận: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Th.S Đặng Võ Phúc 118 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Trường hợp Kiểm định hiệu hai trung bình mẫu chưa biết phương sai σ12 , σ22 tương ứng hai tổng thể σ12 = σ22 biến ngẫu nhiên X1 , X2 có phân phối chuẩn Bước 1: Đặt toán H0 : µ1 − µ2 = d0 H1 : µ1 − µ2 ̸= d0 d0 số biết Bước 2: Tiêu chuẩn kiểm định là: T = X − X − d0 √ , 1 Sp + n1 n2 S12 (n1 − 1) + S22 (n2 − 2) n1 + n2 − x1 − x2 − d0 Tính t = √ 1 sp + n1 n2 Bước 3: Với mức ý nghĩa α cho trước giả thuyết H0 T có phân Sp = phối Student với υ = n1 + n2 − bậc tự Khi đó, miền bác bỏ giả thuyết là; Wα = (−∞, −t α2 , υ ] ∪ [t α2 , υ , +∞) Bước 4: Kiểm tra t ∈ Wα hay t ̸∈ Wα Bước 5: Kết luận: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Th.S Đặng Võ Phúc 119 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ môn Toán - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Toán IVa - Phương trình vi phân Trường hợp Kiểm định hiệu hai trung bình mẫu chưa biết phương sai σ12 , σ22 tương ứng hai tổng thể σ12 ̸= σ22 biến ngẫu nhiên X1 , X2 có phân phối chuẩn Bước 1: Đặt tốn H0 : µ1 − µ2 = d0 H1 : µ1 − µ2 ̸= d0 d0 số biết Bước 2: Tiêu chuẩn kiểm định là: T = Tính t = X − X − d0 S12 S22 + n1 n2 x1 − x2 − d0 s22 s21 + n1 n2 Bước 3: Với mức ý nghĩa α cho trước giả thuyết H0 T có phân phối Student với bậc tự xác định ( s s2 + n1 n2 )2 υ= ( )2 ( )2 s21 s22 n n + n − 1 n − 1 Khi đó, miền bác bỏ giả thuyết là; Wα = (−∞, −t α2 , υ ] ∪ [t α2 , υ , +∞) Bước 4: Kiểm tra t ∈ Wα hay t ̸∈ Wα Bước 5: Kết luận: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 10.1 Để so sánh mức độ mài mòn hai loại kim loại khác nhau, người ta lấy 12 miếng kim loại A 10 miếng kim loại B Mẫu ứng với kim loại A có trung bình mài mòn 85 đơn vị với độ lệch chuẩn mẫu 4, mẫu ứng với kim loại B có trung bình mài mòn 81 độ lệch chuẩn mẫu Có thể kết luận với mức ý nghĩa 0, 05 mức độ mài mòn kim loại A kim loại B đơn vị không? Giả sử mật độ xấp xỉ chuẩn với phương sai Th.S Đặng Võ Phúc 120 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phõn Li gii: t à1 v à2 ln lt kỳ vọng cho độ mài mòn kim loại A kim loại B • Theo giả thiết, ta có: • Đặt tốn n1 = 12 x1 = 85 s1 ; =4 n2 = 10 x2 = 81 s1 =5 H0 : µ1 − µ2 = H1 : µ1 − µ2 ̸= • Đây tốn kiểm định (hai phía) hiệu hai giá trị trung bình với σ12 σ22 chưa biết σ12 = σ22 • Chỉ tiêu kiểm định: T = X − X − d0 √ , Sp = 1 Sp + n1 n2 S12 (n1 − 1) + S22 (n2 − 2) n1 + n2 − Khi √ s21 (n1 − 1) + s22 (n2 − 2) 11.16 + 9.25 sp = = = 4, 478 n1 + n2 − 12 + 10 − x1 − x2 − d0 85 − 81 − √ t= √ = = 1, 04 1 1 sp + 4, 478 + n1 n2 12 10 • Với mức ý nghĩa α = 0, 05, tra Bảng A.4 với υ = n1 + n2 − = 12 + 10 − = 20 bậc tự do, ta t α2 , υ = t0,025, 20 = 2, 086 Suy miền bác bỏ giả thuyết Wα = (−∞, −2, 086] ∪ [2, 086, +∞) • Kết luận: Vì t = 1, 04 ̸∈ Wα nên ta chấp nhận giả thuyết H0 , tức độ mài mòn kim loại A lớn độ mài mòn kim loại B đơn vị Chú ý 10.1 (i) Đối với toán kiểm định hai phía Th.S Đặng Võ Phúc H : θ = θ0 H1 : θ ̸= θ0 121 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Miền bác bỏ giả thuyết có dạng Wα = (−∞, −z α2 ] ∪ [z α2 , +∞) Wα = (−∞, −t α2 , υ ] ∪ [t α2 , υ , +∞) (υ số bậc tự do) (ii) Đối với toán kiểm định phía H : θ = θ0 H1 : θ > θ0 H0 : θ = θ0 H1 : θ < θ0 Miền bác bỏ giả thuyết tương ứng có dạng Wα = (zα , +∞) Wα = (tα, υ , +∞) (υ số bậc tự do) Wα = (−∞, −zα ) Wα = (−∞, −tα, υ ) Kiểm định tỷ lệ 2.1 Kiểm định tỷ lệ • Kiểm định giả thuyết tỷ lệ vấn đề xuất nhiều lĩnh vực Chẳng hạn, khách quan tâm đến tỷ lệ cử tri ủng hộ bầu cử, hãng sản xuất ln quan tâm đến tỷ lệ phế phẩm sản phẩm làm ra, • Bài tốn tổng qt: Mỗi phần tử tổng thể mà ta quan tâm mang dấu hiệu A Gọi p tỷ lệ cá thể mang dấu hiệu A tổng thể Từ mẫu với kích thước n lớn (n ≥ 30), với mức ý nghĩa α cho trước kiểm định giả thuyết H0 : p = p0 H1 : p ̸= p0 Đây tốn kiểm định giả thuyết hai phía Ta biết rằng: (+) Nếu lấy ngẫu nhiên cá thể từ tổng thể đặt X số cá thể mang dấu hiệu A p kỳ vọng X X (+) Pˆ = ước lượng không chệch cho p (Pˆ tỷ lệ cá thể mang dấu hiệu A n mẫu) (+) Khi kích thước mẫu n ≥ 30 giả thuyết H0 theo Định lý giới hạn trung tâm, ta có biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc Z= Th.S Đặng Võ Phúc X − np0 Pˆ − p0 √ = √ p0 q0 np0 q0 n 122 X Pˆ = ; q0 = − p0 n Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân • Từ đó, có Thủ tục kiểm định giả thuyết sau: Bước 1: Đặt toán H0 : p = p0 H1 : p ̸= p0 Bước 2: Xét tiêu kiểm định X − np0 Z= √ np0 q0 (q0 = − p0 ) x − np0 Tính tốn z = √ np0 q0 Bước 3: Với mức ý nghĩa α cho trước, tra Bảng A.3, ta tìm giá trị tới hạn z α2 α (ở P (Z > z α2 ) = ) Từ đó, miền bác bỏ giả thuyết là: Wα = (−∞, −z α2 ] ∪ [z α2 , +∞) Bước 4: Kiểm tra z ∈ Wα hay z ̸∈ Wα Bước (Kết luận): Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Chú ý 10.2 (i) Đối với tốn kiểm định tỷ lệ phía H0 : p = p0 H1 : p > p0 Miền bác bỏ giả thuyết có dạng Wα = (zα , +∞), zα xác định P (Z > zα ) = α (tra Bảng A.3) (ii) Đối với toán kiểm định tỷ lệ phía H0 : p = p0 H1 : p < p0 Miền bác bỏ giả thuyết có dạng Wα = (−∞, −zα ), zα xác định P (Z > zα ) = α (tra Bảng A.3) Th.S Đặng Võ Phúc 123 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Ví dụ 10.2 Loại thuốc an thần thường dùng có tác động tới 60% người sử dụng Kết thử nghiệm loại thuốc với 100 người thấy thuốc có tác dụng với 70 người Với mức ý nghĩa 0, 05, tin hay khơng loại thuốc tốt loại thuốc thường dùng? Lời giải: • Gọi p tỷ lệ người nhận tác động loại thuốc • Từ giả thiết, ta có: • Đặt tốn n = 100 x = 70 p0 = 0, H0 : p = 0, H1 : p > 0, • Đây tốn kiểm định phía cho tỷ lệ với kích thước mẫu lớn (n = 100 > 30) X − np0 • Chỉ tiêu kiểm định: Z = √ np0 q0 x − np0 70 − (100.0, 6) Khi đó, z = √ = = 2, 04 np0 q0 100.0, 6.0, • Với mức ý nghĩa α = 0, 05, tra Bảng A.3, ta có zα = z0,05 = 1, 645 Suy miền bác bỏ giả thuyết Wα = (zα , +∞) = (1, 645, +∞) • Kết luận: Vì z = 2, 04 ∈ Wα nên bác bỏ giả thuyết H0 , tức loại thuốc an thần có tác dụng tốt loại thuốc an thần thường dùng 2.2 Kiểm định hai tỷ lệ • Xét toán kiểm định giả thuyết rằng: hai tỷ lệ hai tham số nhị thức Tức ta muốn kiểm định giả thuyết: H0 : p1 = p2 H1 : p > p2 H0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2 H0 : p1 = p2 H1 : p1 ̸= p2 • Thủ tục kiểm định hai tỷ lệ nhau: Th.S Đặng Võ Phúc 124 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Bước 1: Đặt tốn (kiểm định hai phía) H0 : p1 = p2 H1 : p1 ̸= p2 Bước 2: Xét tiêu kiểm định Z= Pˆ1 − Pˆ2 [ 1 + pˆqˆ n1 n2 ], x1 + x2 x1 x2 ; qˆ = − pˆ ; pˆ1 = ; pˆ2 = n1 + n2 n1 n2 pˆ1 − pˆ2 Tính tốn z = [ ] 1 pˆqˆ + n1 n2 Bước 3: Với mức ý nghĩa α cho trước, tra Bảng A.3, ta tìm giá trị tới hạn z α2 α (ở P (Z > z α2 ) = ) Từ đó, miền bác bỏ giả thuyết là: pˆ = Wα = (−∞, −z α2 ] ∪ [z α2 , +∞) Bước 4: Kiểm tra z ∈ Wα hay z ̸∈ Wα Bước (Kết luận): Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Chú ý 10.3 Đối với toán kiểm định tỷ lệ phía H0 : p1 = p2 H1 : p > p2 H0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2 Miền bác bỏ giả thuyết tương ứng có dạng Wα = (zα , +∞) Wα = (−∞, −zα ), zα xác định P (Z > zα ) = α (tra Bảng A.3) Th.S Đặng Võ Phúc 125 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân Ví dụ 10.3 Một bỏ phiếu đưa để xác định vị trí xây dựng nhà máy hóa chất thành phố hay ngoại Có 120 200 cử tri thành phố đồng ý cho xây dựng thành phố 240 500 cử tri thành phố ngoại ô đồng ý với đề xuất Với mức ý nghĩa 0, 05, liệu cho tỷ lệ cử tri thành phố ngoại ô đồng ý với đề xuất khơng? Lời giải: • Gọi p1 p2 tương ứng tỷ lệ cử tri thành phố ngoại ô đồng ý với đề xuất • Từ giả thiết, ta có: • Đặt tốn n1 = 200 n2 = 500 x1 = 120 x2 = 240 H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2 • Đây tốn kiểm định phía hai tỷ lệ với kích thước mẫu lớn Pˆ1 − Pˆ2 • Chỉ tiêu kiểm định: Z = pˆ = x1 + x2 n1 + n2 [ 1 + pˆqˆ n1 n2 ; ], qˆ = − pˆ ; pˆ1 = x1 n1 ; pˆ2 = x2 n2 • Ta có: x1 120 = = 0, n1 200 x2 240 pˆ2 = = = 0, 48 n2 500 120 + 240 x1 + x2 = = 0, 51 pˆ = n1 + n2 200 + 500 pˆ1 = qˆ = − pˆ = − 0, 51 = 0, 49 Khi đó, z = pˆ1 − pˆ2 ] = 2, 1 pˆqˆ + n1 n2 • Với mức ý nghĩa α = 0, 025, tra Bảng A.3, ta có zα = z0,025 = 1, 96 [ Suy miền bác bỏ giả thuyết Wα = (zα , +∞) = (1, 96, +∞) Th.S Đặng Võ Phúc 126 Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Toán IVa - Phương trình vi phân • Kết luận: Vì z = 2, 04 ∈ Wα nên bác bỏ giả thuyết H0 , tức tỷ lệ cử tri thị trấn đồng ý với đề xuất lớn tỷ lệ cử tri ngoại ô BÀI TẬP Y cầu: SV làm tập Trang: 354, 355, 358 Hết Th.S Đặng Võ Phúc 127 Email: phucdv@wru.edu.vn ... · · + pk + · · · + pn−1 xn−1 ≤ x < xn x ≥ xn V dụ 3.7 Chọn ngẫu nhiên viên bi từ túi có viên bi đen viên bi trắng Gọi X số viên bi trắng viên bi v a chọn X biến ngẫu nhiên rời rạc Tìm hàm phân... Đặng V Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Bài giảng Tốn IVa - Phương trình vi phân NỘI DUNG Nhắc lại số kiến thức Giải tích Tổ hợp 1.1 Quy tắc cộng • Giả sử cơng việc... Hốn v • Hốn v n phần tử phân biệt có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho gồm n phần tử cho • Số hoán v n phần tử phân biệt là: Pn = n! Th.S Đặng V Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn