CMR 16 25 = ∆ ∆ CED POQ d Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD Bài 122: Cho đờng
Trang 1Phần 6 : Hình học
Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C Kẻ các đờng kính COA và CO’B Qua trung điểm M của AB , dựng DE ⊥ AB
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G CMR EC đi qua G
d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O’ , vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE
Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vuông góc với CD Từ
điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q
a) Chứng minh ∆ POQ vuông ; ∆ POQ đồng dạng với ∆ CED
b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC=
2
R
CMR
16
25
=
∆
∆
CED POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với nhau Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I là giao điểm của Fx và Ey
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax
c) Hạ BK ⊥ Ax , BK cắt QO tại H CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của
điểm H
Bài 124: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F Vẽ đờng kính BOE
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI =
2
BH
và H ; F đối xứng nhau qua AC
Trang 2Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc trong tại A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E
a) So sánh ∠ AMO với ∠ NMC (∠ - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’P = R ; OP = R’
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’
Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB
Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC ⊥ AD ; OD ⊥ AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A
và B Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với
đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm )
a) Tính các góc của ∆MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 450
b) Gọi I là trung điểm AB CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ MPQ khi M chạy trên d
Bài 128: Cho ∆ ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M
a) CMR OM ⊥ BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F CMR FB EC = FC EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 129: Cho ∆ ABC ( AB = AC , ∠ A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ∆ ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI , MH ,
MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao
điểm của MC , IH
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác ∠ HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy ra PQ // BC
Bài 130: Cho ∆ ABC ( AC > AB ; B ˆ A C > 900 ) I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
Trang 3d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp ∆ AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =R 2 , một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN
a) CMR OI ⊥ MN Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B ,
C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)
Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB Trên cung
AC lấy điểm F bất kì Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF
a) ∆ AFC và ∆ BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR ∆ FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠B;E≠D ) EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N
a) CMR ∆ AMC đồng dạng ∆ ANC
b) CMR : AM.CN = 2R2
c) Giả sử AM=3MB Tính tỉ số ND
CN
Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt là hai
điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP ⊥ AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB
Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ∆ ABC đều Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N
a) CMR ∆ OBM đồng dạng ∆ NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (M ≠A,B) Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P
Trang 4a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B≠C) và vẽ đ-ờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) tại I
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC
(Lớp10- bộ đề toán)
Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa
đờng tròn Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với
đờng kính AB tại N Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm
K cố định
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR: ∆NKD; ∆MAK cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc với AC tại A Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
Trang 5d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di
động
Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H
là điểm chính giữa của cung AM Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đ-ờng tròn (O) tại điểm K Các tia AH ; BM cắt nhau tại S
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB
d) Xác định vị trí của M sao cho M KˆA= 90 0
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung
AB không chứa C và D Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung
Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M
Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR: ∆ O1MO2 vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đ-ờng thẳng d
Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P ,
Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao
điểm của các đờng thẳng PB , QA
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định
Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm )
a) CMR : BM // OP
Trang 6b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao
?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của
PN với OM CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N
Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại các
điểm thứ hai E , F
a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’)
Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của
đoạn AB tại I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM )
a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM
b) CMR : CA và DB vuông góc với AB
c) CMR : ∆AMB đồng dạng ∆COD
d) CMR : AC.BD = R2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn Gọi các
điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ ΙΡ ⊥ ΑΜ Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đ-ờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố
định
Trang 7Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 900 và C OˆD = 90 0 Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại I ,
K CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đờng tròn
Bài 152: Cho ∆ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC Trên cung
BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC ,
CA , AB Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc
b) CMR : MI2 = MH MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy ra PQ ⊥ MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC