ÔN TNghiệp (cho ban CB)

Chuyên đề: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A/ Bảng nguyên hàm: ∫ += Cxkdxk ∫ += Cxdx x 2 1 ∫ + + = + C n x dxx n n 1 1 ∫ +−= −− Cedxe xx ∫ += Cxdx x ln 1 ∫ ++= + Cbax a dx bax ln 11 ∫ +−= C x dx x 11 2 ∫ ++= + Cbax a k dx bax k ln ∫ +−= Cxdxx cos.sin ∫ + − − − = −− C bx ax ba dx bxax ln 1 ))(( 1 ∫ += Cxdxx sin.cos ∫ ++−=+ Cbax a dxbax )cos( 1 )sin( ( ) ∫ ∫ +−=+= Cgxdxxgdx x cotcot1 sin 1 2 2 ∫ ++=+ Cbax a dxbax )sin( 1 )cos( ∫ ∫ +=+= Ctgxdxxtgdx x ).1( cos 1 2 2 ∫ += ++ Ce a dxe baxbax )()( 1 ∫ += Cedxe xx ∫ +−= Cxdxx cosln.tan ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += Cxdxx sinln.cot ∫ += Cxudx xu xu )(ln )( )(' B/ Các phương pháp tích phân, các loại tích phân thường gặp: 1) Tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm: Công thức Niutơn_lípnít: )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ Bài tập: Tính các tích phân sau: 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ dx x x ∫         − 8 1 3 2 3 1 4 1 0 ( ) x e x dx+ ∫ 1 3 0 ( )x x x dx+ ∫ 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ − + ∫ dx xx ∫       + 2 1 32 11 ∫ − 2 1 3 2 2 dx x xx dx x xx e ∫ −+ 2 1 752 2) Phương pháp đổi biến số: a) Dạng 1: Đặt u = ϕ (x) (biến mới theo biến cũ) Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu: 1 Chứa (biểu thức) n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx Chứa x dx Đặt u = lnx Bài tập : Tính các tích phân sau: 1 2 0 1x x dx+ ∫ 1 2 0 1x x dx− ∫ 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 1 1 ln e x dx x + ∫ 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ ∫ + 1 0 22 )31( dx x x 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ ∫ ++ + 1 0 2 3 12 dx xx x 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 2 1 2 0 x e xdx + ∫ ∫ + 1 0 5 )1( dxx ∫ + 1 0 532 )12.( dxxx ( ) 2 4 0 sin 1 cos + ∫ x xdx π dx x e e x ∫ 1 ln2 dx x x ∫ − 2 0 2 cos4 2sin π ( TN 2005-2006) b) Dạng 2: Đặt x = ϕ (t) (biến cũ theo biến mới) Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu: ∫ − 2 1 x dx Đặt x = sint , t       −∈ 2 ; 2 ππ ∫ − 22 xa dx Đặt x = a.sint , t       −∈ 2 ; 2 ππ ∫ + 2 1 x dx Đặt x = tant , t       −∈ 2 ; 2 ππ ∫ + 22 xa dx Đặt x = a.tant , t       −∈ 2 ; 2 ππ Bài tập: Tính các tích phân sau: dxx ∫ − 1 0 2 1 dxx ∫ − 2 0 2 4 dxx ∫ − 3 0 2 9 dx x ∫ − 1 0 2 1 1 ∫ + 1 0 2 1 x dx ∫ + 2 0 2 4 x dx ∫ + 3 0 2 3 x dx ∫ + 2 0 2 2 x dx 2 3) Tích phân từng phần: ∫∫ −= b a b a b a vdxuuvdxvu '.'. Dấu hiệu: ∫ b a dxxxP .sin).( ∫ b a dxxxP .cos).( ∫ b a x dxexP .).( ∫ b a dxxxP .ln).( ∫ b a x dxxe .cos. ∫ b a x dxxe .sin. Đặt:    = = xv xPu sin' )( Đặt :    = = xv xPu cos' )( Đặt :    = = x ev xPu ' )( Đặt :    = = )(' ln xPv xu Đặt u, v’ = cái nào cũng được. Từng phần vòng 2 lần. Bài tập: Tính các tích phân sau: ∫ 2 0 .sin. π dxxx ∫ 1 0 3 . dxex x ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx ∫ 2 0 2sin. π xdxx ∫ e xdxx 1 ln ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( ∫ 3 1 .ln.4 dxxx ∫ + 1 0 2 ).3ln(. dxxx ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx ∫ + 2 0 2 .sin).2( π dxxxx 2 1 ln e x xdx ∫ 2 2 0 x cos xdx π ∫ 1 x 0 e sin xdx ∫ 2 0 sin xdx π ∫ 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 2 2 0 (x sin x) cos xdx π + ∫ ( TN 2004-2005) 4) Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: dx xQ xP b a ∫ )( )( Ghi nhớ: @ 1) ∫ ++= + Cbax a dx bax ln 11 2) ∫ ++= + Cbax a k dx bax k ln 3) ∫ + − − − = −− C bx ax ba dx bxax ln 1 ))(( 1 4) ∫ += Cxudx xu xu )(ln )( )(' @ Phép chia đa thức, tách đa thức. • Phương pháp chung: 3 + Nếu bậc đa thức trên tử ≥ bậc đa thức dưới mẫu thì chia đa thức rồi sử dụng các nguyên hàm dạng 1), 2), 3) . + Nếu bậc đa thức trên tử < bậc đa thức dưới mẫu thì trước hết xem thử mẫu đạo hàm có xuất hiện tử hay không, nếu có thì sử dụng công thức 4) (hoặc đặt u = mẫu), nếu không thì dùng kỹ thuật tách phân thức hoặc p 2 đồng nhất hoá để tách phân thức đưa về dạng tổng các nguyên hàm dạng 1), 2), 3), 4) . Bài tập: Tính các tích phân sau: ∫ + + 1 0 1 32 dx x x ∫ − + 1 0 13 32 dx x x ∫ + +− 1 0 2 1 13 dx x xx ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx ∫ +− − 5 3 2 23 32 dx xx x ∫ + + 1 0 4 3 2 24 dx xx x ∫ −− 1 0 )2)(4( 1 dx xx ∫ −+ 3 2 )1)(4( 3 dx xx ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x ∫ +− − 1 0 2 158 12 dx xx x dx x xx ∫ − ++ 3 2 2 3 1 1 ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x ∫ − +− +− 0 1 2 2 23 992 dx xx xx ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 5) Tích phân hàm lượng giác: Các công thức cần nhớ: cosa.cosb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba ++− sin 2 x = 1 – cos 2 x cos 2 x = 1 – sin 2 x sina.sinb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba +−− sin 2 x = 2 2cos1 x − sina.cosb = [ ] )sin()sin( 2 1 baba ++− cos 2 x = 2 2cos1 x + • Phương pháp chung: Dấu hiệu Hướng giải Chứa cos(ax).cos(bx) sin(ax).sin(bx) sin(ax).cos(bx) Biến đổi tích thành tổng Chứa mũ lẻ đối với sin, cos Tách hàm chứa mũ lẻ để làm xuất hiện cosx.dx rồi đặt u = sinx, hoặc xuất hiện sinx.dx rồi đặt u = cosx Chỉ chứa mũ chẵn đối với sin, cos Sử dụng công thức hạ bậc Bài tập: Tính các tích phân sau: 4 ∫ − 2 2 2sin.7sin π π xdxx ∫ − 2 2 3cos.5cos π π xdxx ∫ 4 0 cos 2 sin π xdx x ∫ − 2 2 3cos.5sin π π xdxx xdxx cossin 2 0 2 ∫ π xdxx 3 2 0 2 cossin ∫ π ∫ 2 0 23 cossin π xdxx dxxx ∫ 2 0 54 cossin π ∫ 2 0 3 cos π xdx ∫ 2 0 3 sin π xdx ∫ 2 0 5 cos π xdx ∫ 2 0 2 cos π xdx ∫ 2 0 2 sin π xdx ∫ 2 0 4 sin π xdx ∫ + 2 0 23 )cos(sin π dxxx ∫ − 2 0 cos2 sin π x xdx ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx ∫ 2 3 sin 1 π π dx x ∫ + 2 0 3 sin2 cos π dx x x ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx ∫ − 2 0 cos2 sin π x xdx ∫ − 2 0 3 cos2 sin π x xdx ∫ −+ 2 0 3 cos21 sin π x xdx 6) Tích phân chứa giá trị tuyệt đối: Cần nhớ: + |A| = A , nếu A ≥ 0 + |A| = - A , nếu A < 0 + Cách xét dấu của đa thức, thường là nhị thức, tam thức bậc hai + Cách xét dấu của hàm lượng giác ( căn cứ vào Đường tròn lượng giác) • Phương pháp chung: + Xét dấu biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. + Dựa vào bảng xét dấu tách cận tích phân trên từng miền. • Cách khác: (dùng khi biểu thức bên trong | | khó xét dấu) Giả sử cần tính tích phân: ∫ b a dxxf )( . 5 Bước 1: Giải pt: f(x) = 0 tìm những nghiệm thuộc [ ] ba; . Giả sử có 2 nghiệm x 1 , x 2 ∈ [ ] ba; , (x 1 <x 2 ). Bước 2: Khi đó: ∫ b a dxxf )( = ∫∫∫ ++ b x x x x a dxxfdxxfdxxf 2 2 1 1 )()()( @ - Trường hợp pt: f(x) = 0 không có nghiệm thuộc [ ] ba; thì: ∫ b a dxxf )( = ∫ b a dxxf )( Bài tập: Tính các tích phân sau: ∫ − − 3 3 2 1dxx ∫ +− 2 0 2 34 dxxx ∫ − 2 0 1dxxx ∫ − 2 2 sin π π dxx 2 2 2 1 sin x dx π π − − ∫ ∫ − − π π dxxcos1 3 4 4 sin 2 x dx π π ∫ 2 0 1 cos x dx π + ∫ ∫ − −−+ 5 2 )22( dxxx ∫ − 3 0 42 dx x − − + ∫ 4 2 1 x 3x 2 dx + − ∫ 2 2 2 1 2 1 x 2 dx x π + ∫ 0 1 cos2x dx dxxx ∫ − 2 0 2 dxxx ∫ +− 2 0 )1(|1| dxxx ∫ − 2 0 5 .|1| ∫ e e dxx 1 .ln ∫ − 3 2 42 dx x ∫ − − 1 1 1dxe x C/ Ứng dụng: 1) Tính diện tích hình phẳng: a) Dạng 1: b) Dạng 2: 6 (H): ( ) 0, (truc hoanh Ox) , y f x y x a x b =   =   = =  (H): ( ) ( ) , y f x y g x x a x b =   =   = =  Phương pháp: Giải pt: f(x) = 0 tìm nghiệm ∈ [ ] ba; Giả sử có 2 nghiệm x 1 , x 2 ∈ [ ] ba; , (x 1 <x 2 ) S (H) = ∫∫∫ ++ b x x x x a dxxfdxxfdxxf 2 2 1 1 )()()( Lưu ý: Trường hợp hình phẳng (H) không có các đường: x = a, x = b thì ta giải pt: f(x) = 0 tìm nghiệm, sử dụng các nghiệm đó làm cận tích phân. Phương pháp: Giải pt: f(x) – g(x) = 0 tìm nghiệm ∈ [ ] ba; Giả sử có 2 nghiệm x 1 , x 2 ∈ [ ] ba; , (x 1 <x 2 ) S (H) = 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) x x b a x x f g dx f g dx f g dx − + − + − ∫ ∫ ∫ Lưu ý: Trường hợp hình phẳng (H) không có các đường: x = a, x = b thì ta giải pt: f(x) – g(x) = 0 tìm nghiệm, sử dụng các nghiệm đó làm cận tích phân. (Cách khác: xét dấu biểu thức bên trong dấu | | ) Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) 3 2 2y x x x= − − và Ox b) 2 4 3y x x= − + và y = x -1 c) 2 2y x x= − ; y = 0; x = -1;x =2 d) 3 18 20y x x= − + + và y = 2x + 20 e) y = e 2x ; y = 1; x = 1 f) 2 siny x= ; y = 0; x = 0; 2 x π = g) 2 2y x x= − và 2 4y x x= − + h) y = e x , y = e -x , x = 1 i) 2 ln x y x = ; y = 0; x = 1; x = e j) ln 2 x y x = ; y = 0; x = 1; x = e Bài tập 2: Cho 2 3 1 1 x x y x + + = + (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :(C), y = 0, x = 0, x = 1. Bài tập 3: Cho 2 2 1 x y x = + (C). Tìm a sao cho hình phẳng giới hạn bởi: (C), y =1, x = 0, x = a có diện tích bằng 4 π . 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay: Dạng 1: Quay quanh Ox → V = 2 [f(x)] b a dx π ∫ Dạng 2: Quay quanh Oy → V = 2 [f(y)] b a dy π ∫ Bài tập: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox. 7 (H) ( ) 0, (truc Ox) , y f x y x a x b =   =   = =  (H) ( ) 0, (truc Oy) , x f x x y a y b =   =   = =  a) 2 2y x x= − ; y = 0; x = -1;x =2 b) 2 2y x x= − ; y = 0. c) siny x= ; y = 0; x = 0; 2 x π = d) ln 2 x y x = ; y = 0; x = 1; x = e e) y = x.e x , x = 2, y = 0 f) 8 . hết xem thử mẫu đạo hàm có xuất hiện tử hay không, nếu có thì sử dụng công thức 4) (hoặc đặt u = mẫu), nếu không thì dùng kỹ thuật tách phân thức hoặc p. loại tích phân thường gặp: 1) Tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm: Công thức Niutơn_lípnít: )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ Bài tập: Tính các