Chuyên đề số PHỨC đầy đủ file word

MỤC LỤC Page MỤC LỤC 1 - Ebook Toán CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA  + Một số phức biểu thức dạng z = a + bi với a,b∈ ¡ i = −1,  i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi + Tập hợp số phức kí hiệu £ £ = a + bi / a,b∈ ¡ ;i = −1 { }  + Chú ý: - Khi phần ảo số thực - Khi phần thực a = ⇔ z = bi ⇔ zlà số ảo - Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo a= c vớ i a,b,c,d ∈ ¡  + Hai số phức nhau: a + bi = c + di ⇔  b = d   + Hai số phức z1 = a + bi; z2 = −a − bi gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z = a + bi với a,b∈ ¡ a − bi kí hiệu z Rõ ràng z = z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z = 1− 2i số phức z = 1− 2i Số phức liên hợp số phức z = 5+ 3i số phức z = 5− 3i BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z = a + bi với a,b∈ ¡ biểu diễn điểm M ( a;b) Ví dụ: • A( 1;−2) biểu diễn số phức z1 = 1− 2i • C ( −3;1) biểu diễn số phức z3 = −3+ i MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC  Môđun số phức z = a + bi ( a,b∈ ¡ - Ebook Tốn ) • B( 0;3) biểu diễn số phức z2 = 3i • D( 1;2) biểu diễn số phức z4 = 1+ 2i z = a2 + b2  Như vậy, mơđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z = a + bi ( a,b∈¡ ) đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: uuuu r OM = a2 + b2 = zz      CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho hai số phức ; z' = a'+ b'i với a,b,a',b'∈ ¡ số k ∈ ¡ + Tổng hai số phức: z + z' = a + a'+ (b + b')i + Hiệu hai số phức: z + z' = a − a'+ (b − b')i + Số đối số phức z = a + bi − z = −a − bi r ur + Nếu u,u' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' r ur ur+ uur' biểu diễn số phức z + z' u − u' biểu diễn số phức z − z' + Nhân hai số phức: z.z' = ( a + bi ) ( a'+ b'i ) = ( a.a'− bb ') + ( a.b'+ a'.b) i  + Chia số phức: −1 + Số phức nghịch đảo: z = Nếu z ≠ z z z' z'.z = z' z≠ z z , nghĩa muốn chia số phức cho số phức ta nhân tử mẫu thương z' cho z z  + Chú ý: i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = −1; i 4k+3 = −i (k ∈¢ ) II CÁC DẠNG TỐN VỚI CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT + Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z = a + bi ( a,b∈ ¡ ) + Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm - Ebook Tốn MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z: a) z = ( + 4i ) + 2i ( 1− 3i ) b) z = ( − 4i ) ( 5+ 2i ) + − 5i 2+ i a) z = ( + 4i ) + 2i ( 1− 3i ) Giải: − 5i 2+ i ( − 5i ) ( − i ) b) z = ( − 4i ) ( + 2i ) + = + 4i + 2i − 6i = + 6i + = 10 + 4i − 20i − 8i + = 8+ 6i ⇒ Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z = 8− 6i = 18 − 16i + = Môđun z = 82 + 62 = 10 8− 14i − 5 22 + 12 93 94 − i 5 ⇒ Phần thực: 93 ; Phần ảo: Số phức liên hợp: z = 94 ; 93 94 + i 5 Môđun 2  93  94  17485 z =  ÷ + ÷ = 5     Bài toán 2: Cho số phức z = 3+ 2i Tìm mơđun số phức w = zi + z( 1+ 2i ) w = zi + z( 1+ 2i ) Giải: = (3 + 2i )i + (3− 2i )(1+ 2i ) = 3i − + 3+ 6i − 2i + = 5+ 7i Vậy w = 52 + 72 = 74 Bài toán 3: Tìm x, y∈ ¡ để số phức z1 = 9y2 − − 10xi z2 = 8y2 + 20i11 liên hợp nhau? - Ebook Toán Giải: Ta có: z1 = 9y2 − − 10xi z2 = 8y2 + 20i11 = 9y2 − − 10xi = 8y2 − 20i Vì z1,z2 liên hợp nên:  9y2 − = 8y2   −10x = −(−20)  x = −2  x = −2 ⇔ hoaë c   y=  y = −2 Vậy số phức z cần tìm là: z = −2 + 2i z = −2 − 2i Bài toán 4: Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1,z2 mặt phẳng phức Mệnh đề sau đúng? uuuu r uuur uuuu r A z1 − z2 = OM + ON B z1 − z2 = MN uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r C z1 − z2 = OM + MN D z1 − z2 = OM − MN Giải: M, N hai điểm biểu diễn số phức z1,z2 mặt phẳng phức uuuu r uuur nên OM biểu diễn số phức z1 , ON biểu diễn số phức z2 uuuu r uuur uuuu r ⇒ OM − ON = NM biểu diễn số phức z1 − z2 uuuu r uuuu r ⇒ z1 − z2 = NM = MN Chọn B Bài tốn 5: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 20 1+ ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + + ( 1+ i ) Giải: 21 1+ i ) − ( 20 P = 1+ ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + + ( 1+ i ) = i 20 10 ( 1+ i ) = ( 1+ i )  ( 1+ i ) = ( 2i ) ( 1+ i ) = −210 ( 1+ i ) −210 ( 1+ i ) − ⇒P= = −210 + 210 + i i Vậy phần thực −210 phần ảo 210 + 21 ( ) Bài tốn 6: Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i 2017 - Ebook Toán A S = 2017 − 1009i C 2017 + 1009i B 1009 + 2017i D 1008 + 1009i Giải: Cách 1: Ta có S = 1009 + i + 2i + 3i + 4i + + 2017i 2017 ( ) ( ) = 1009 + 4i + 8i8 + + 2016i 2016 + i + 5i + 9i + + 2017i 2017 + ( ) ( + 2i + 6i + 10i10 + + 2014i 2014 + 3i + 7i + 11i11 + + 2015i 2015 504 505 504 504 n=1 n=1 n=1 n=1 = 1009 + ∑ ( 4n) + i ∑ ( 4n − 3) − ∑ ( 4n − 2) − i ∑ ( 4n − 1) = 1009 + 509040 + 509545i − 508032 − 508536i = 2017 + 1009i Cách 2: 2017 Đặt f ( x) = 1+ x + x + x + + x f ′ ( x) = 1+ 2x + 3x2 + + 2017x2016 xf ′ ( x) = x + 2x2 + 3x3 + + 2017x2017 ( 1) Mặt khác: x2018 − 2017 f ( x) = 1+ x + x + x + + x = x−1 2017 2018 2018x ( x − 1) − ( x − 1) f ′ ( x) = ( x − 1) ⇒ xf ′ ( x) = x ( ( x − 1) Thay x = i vào ( 1) ( 2) ta được: 2018i 2017 ( i − 1) − ( i 2018 − 1) S = 1009 + i ( i − 1) = 1009 + i ) ( 2) 2018x2017 ( x − 1) − x2018 − −2018 − 2018i + = 2017 + 1009i −2i Bài tốn 6: Tìm số z cho: z + (2 + i )z = 3+ 5i Giải: - Ebook Toán (A,A − 2014) ) Gọi số phức z cần tìm z = a + bi ( a,b∈ ¡ ) Ta có: z + (2 + i )z = 3+ 5i ⇔ a + bi + (2 + i)(a − bi ) = 3+ 5i ⇔ a + bi + 2a − 2bi + − bi = 3+ 5i ⇔ 3a + b + (a− b)i = 3+ 5i 3a + b =  a = ⇔ ⇔ a − b =  b = −3 Vậy z = − 3i Bài tốn 7: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 Giải: Gọi số phức cần tìm z = a + bi ( a,b∈¡ ) Ta có: z.z = z = a2 + b2 = 25 (1) L¹i cã: z − (2 + i) = 10 ⇔ a − + (b − 1)i = 10 ⇔ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10 ⇔ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10 ⇔ a2 + b2 − 4a − 2b + = 10 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 25− 4a − 2b + = 10 ⇔ b = −2a + 10 Nªn a2 + b2 = 25 ⇔ a2 + (−2a + 10)2 = 25 a =  b = ⇔ 5a2 − 40a + 75 = ⇔  ⇔ a = b = Vậy z = 5hoặc z = 3+ 4i Bài tốn 8: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + 1− 2i = z + + 4i z − 2i z+ i số ảo Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R) Theo ta có - Ebook Toán Giải: x + 1+ ( y − 2) i = x + 3+ ( − y) i ⇔ ( x + 1) + ( y − 2) = ( x + 3) + ( y − 4) ⇔ y = x + Số phức w = z − 2i z+ i = x + ( y − 2) i x + ( 1− y) i = x2 − ( y − 2) ( y − 1) + x( 2y − 3) i x2 + ( y − 1)  x2 − ( y − 2) ( y − 1) =  12 x= −     ⇔ w số ảo  x + ( y − 1) >   y = 23 y = x +   12 23 Vậy z = − + i 7 Nhận xét: Trong tốn tìm thuộc tính số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất z) z tốn giải phương trình bậc (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z z Còn chứa hai loại trở lên (z, z , z ) ta gọi z = a + bi ( a,b∈ ¡ ) Từ sử dụng phép tốn số phức để đưa hai số phức để giải III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2  Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b  Tính mơđun số phức bấm qc  Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) Sau tốn điển hình cho dạng tính tốn số phức PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA: Bài tốn 1: Tính z = 1+ i − (3 + 2i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím sau: 1+bp(3+2b) Và ta kết là: - Ebook Tốn Bài tốn 2: Tính z = (1+ 3i )(−3 + 4i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau: Bài tốn 3: Tính z = (−2 + i) 1+ 3i − 7i Hướng dẫn: 1+ 3i Ta nhập biểu thức z = (−2 + i) vào máy ta thu kết quả: − 7i TÍNH MODULE: Bài tốn 1: Tìm mơđun số phức (1− 2i )z + 2i = −6 A B.3 C 2 D.2 Hướng dẫn: −6 − 2i (1− 2i)z + 2i = −6 ⇒ z = z = Nên ta thực bấm sau: 1− 2i qcap6p2bR1p2b= Ta thu kết quả: >>> Chọn D Bài toán 2: Tìm số phức ω = 2.z z Biết z = − 3i + (1− i )3, z = A 18 − 74i - Ebook Toán + 4i − 2(1− i ) B 18 + 74i 1+ i × C 18 + 75i D 18 − 75i Hướng dẫn: - Tính z1 = − 3i + (1− i )3 lưu vào biến A: 4p3b+(1pb)^3qJz - Tính z2 = + 4i − 2(1− i ) 1+ i lưu vào biến B a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx - Tính ω = 2.z1.z2 : 2q22q22Qz)OQx)= >>> Chọn A PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Bài tốn 1: Tìm mơđun số phức z thỏa mãn: ( 1− 3i ) z + 3i = 7i − A z = B z = C z = D z = Giải: Ta chuyển z dạng: z = Quy trình bấm máy: 7i − − 3i tìm mơđun 1− 3i Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: >>> Chọn C Bài toán 2: Cho số phức z thỏa mãn (3 − i )(z + 1) + (2 − i )(z + 3i ) = 1− i 10 - Ebook Toán Acgumen số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Như ϕ acgumen z, acgumen có dạng: ϕ + 2kπ, k ∈ Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi ≠ (a, b ∈ R) Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) r > Để chuyển số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r ϕ; + Ta có : r = |z|  a cosϕ = r + ϕ số thực thoả mãn :  b sinϕ =  r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cosϕ +isinϕ) z' = r’(cosϕ’ +isinϕ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos(ϕ +ϕ’) +isin(ϕ +ϕ’)] r > Công thức Moivre [z = r(cosϕ +isinϕ)]n = rn(cos nϕ +isin nϕ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Cho số phức z = r(cosϕ +isinϕ) (r>0) ϕ  ϕ Khi z có hai bậc hai là: r  cos + isin ÷ ϕ  ϕ - r  cos + isin ÷ = 2   2   ϕ  ϕ  r  cos  + π ÷+ isin  + π ÷÷ 2  2   II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: a z1 = 6+6i b z2 = − + i Giải: 53 - Ebook Toán c 5 + i 2 a) Ta có: r1 = 62 + 62 =   cosϕ = Chọn ϕ số thực thoả mãn   sin ϕ =  2 ⇒ϕ = π π π ⇒ z1 = 2(cos + isin ) 4 b) Ta có r2 =  −1    ÷ =  ÷ +      cosϕ = − 2π 2π 2π Chọn ϕ số thực thoả mãn  ⇒ϕ = ⇒ z2 = 12(cos + isin ) 3 sin ϕ =  2    2 c)Ta có: r3 =   ÷÷ +  ÷ =    cosϕ = ⇒ ϕ = π ⇒ z =  cos π + i sin π  Chọn ϕ số thực thoả mãn   ÷ 6 6  sin ϕ =  Bài toán 2: Viết số phức sau dạng lượng giác: a) (1-i )(1+i) b) 1− i 1+ i c) + 2i Giải:   π  π  a) Ta có: 1- i =2 cos  − ÷+ isin  − ÷  3  3   π π  (1+i) =  cos + i sin  4  Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:   π   π  cos  − 12 ÷+ isin  − 12 ÷        7π   7π   cos  − 12 ÷+ isin  − 12 ÷      (1-i )(1+i) = 2 1− i = 1+ i   π 2  π  π   π  cos  − ÷+ isin  − ÷ c) = (1 − i ) =  cos  − ÷+ isin  − ÷ =  + 2i   4       4 b) 54 - Ebook Tốn Bài tốn 3: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: (1 − i )10 π π  a) b)  cos − i sin ÷i (1 + 3i ) 3 ( + i)  Giải: a) Xét số phức: 10 ( (1 − i )10 3+i )   π π  5π 5π   25  cos+ i sin − ÷   cos- + i sin − ÷ 12 12      = = 3π 3π     π π  29  cos + i sin ÷ c os + i sin ÷   2   6     = 1 =− (cosπ + i sin π ) 16 phần ảo 16 π π  b) Xét số phức:  cos − i sin ÷i (1 + 3i) 3  Vậy: phần thực bằng: − π π   π π   =  cos − i sin ÷i 2  cos + i sin ÷ 3   3    ÷   7π 7π  π  π    = 27  cos  − ÷− i sin  − ÷÷i  cos + i sin 3  3      = 27 [ cos2π + i sin 2π ] i = i Vậy: phần thực bằng: phần ảo 128 Bài toán 4: Tính số phức sau: z = (1 − i )10 ( ( +i −1 − i ) ) 10 Giải: ( ) z= 10 10  π π  π  π    cos  − ÷+ i sin  − ÷÷  cos + i sin ÷        10 4π 4π   210  cos + isin ÷ 3   55 - Ebook Toán   10π 210  cos −   = 5π 5π    10π    ÷ + i sin − ÷÷ cos + i sin ÷      40π 40π   210  cos + isin 3 ÷    5π   5π cos − ÷ + i sin −  3  = 40π 40π cos + isin 3  ÷  = cos(−15p) + isin(−15p) = − III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Đưa máy tính dạng rađian qw4 Để chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, chế độ CMPLX ta bấm q2 chọn Để chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, chế độ CMPLX ta bấm q2 chọn Bài toán 1: Viết số phức z = + 7i dạng lượng giác Hướng dẫn: - Đưa máy tính dạng rađian qw4 - Vào chế độ CMPLX w2 - Nhập số phức z: 7+7b - Nhấn q23 để chuyển sang dạng lượng giác - Kết thu là: - Số phức z chuyển sang dạng lượng giác với r = acgument ϕ = π   π   π    z =  cos  ÷+ isin  ÷ ÷     4   π  π Bài toán 2: Viết số phức z= (cos  − ÷ + isin  − ÷) dạng đại số  4  4 Hướng dẫn: - Đưa máy tính dạng rađian qw4 - Vào chế độ CMPLX w2 56 - Ebook Toán - Nhập số phức z dạng lượng giác chuyển số phức qua dạng đại số sau: s2$qzpaqKR4$ q24= - Màn hình cho kết là: IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC Bài tốn 1: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + = (1) Giải: Ta có: (1) ⇔ z (z + 1) + z (z + 1) + (z + 1) = ⇔ (z+ 1) (z4 + z + 1) =  z = −1 ⇔ z + z +1 = Xét phương trình: z4 + z + = ⇔ z2 = − ± 3i  2π 2π i = cos + i sin z = − + 2 3 ⇔   2π   2π  i = cos  − z = − − ÷+ i sin  − ÷ 2      π π  z = cos + i sin  2π 2π 3 + i sin Từ z2 = cos ⇒ 3  z = − cos π -i sin π  3   π  π  z = cos  − ÷+ i sin  − ÷      2π   2π  Từ z2 = cos  − ÷ + i sin  − ÷ ⇒    π  π      z = −cos  − ÷-i sin  − ÷  3  3  Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: z = -1; z = 3 3 + i; z = − − i; z = − i; z = − + i 2 2 2 2 Bài toán 2: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1 = 1+i z2 = – i a) Xác định dạng đại số dạng lượng giác 57 - Ebook Toán z1 z2 7π b) 7π Từ suy giá trị xác của: cos 12 sin 12 Giải: Ta có z1 + i −  +  = = + i  ÷ ÷ z2   1− i π π Ta có: z1 = 2(cos + isin ); z2 = ⇒ z1 = z2 ⇒ cos 7π 12 (cos = 7π 12 + isin  π  π (cos  − ÷ + isin  − ÷) 4     7π ) 12 7π + 1− sin = 12 2 Nhận xét: Qua tập ta thấy ứng dụng quan trọng số phức, ta tính sin, cos góc cơng cụ số phức thông qua liên hệ dạng đại số dạng lượng giác số phức Bài toán 3: Giải phương trình: z + 64 = Giải: Ta có: : z +64=0 ⇔ z = - 64 Giả sử z = x + yi = r(cosϕ + isinϕ) Ta có: -64 = 64(cos π + isin π ) z6 = -64 ⇒ r6 (cos6 ϕ + isin6 ϕ )= 64(cos π + isin π ) ⇒ r6 = 64 ⇒ r = Và cos6 ϕ + isin6 ϕ = cos π + isin π ⇒ ϕ = π +2k π (k ∈ Z) ⇒ϕ = π + 2k π π   π  Với k = ⇒ z1 =  cos + isin ÷ = 6   π   +i  π    Với k = -1 ⇒ z1 =  cos  - ÷+ isin  − ÷÷ = 6  -i π  π     π  π  Với k = -2 ⇒ z1 =  cos  - ÷+ isin  − ÷÷ = -2i  2      5π   5π   Với k = ⇒ z1 =  cos + isin ÷ = 2i 2 Với k = -3 ⇒ z1 =  cos  - ÷+ isin  - ÷÷ = - - i      58 - Ebook Toán Bài tốn 4: Tìm n số ngun dương n∈ [1,10] cho số phức ( )n số thực z = 1+ i π  π Giải: nπ  nπ  Ta có: + i =  cos + i sin ÷ ⇒ z = 2n  cos + i sin ÷ 3 3    Để z ∈ R ⇒ 2n.sin nπ = ⇒ sin nπ = ⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương ∈ [1;10] ⇒ n ∈ [3;6;9] V BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Số phức z = -1 + i viết dạng lượng giác là: π  π  3π   π  A z = 2 cos + isin ÷ 6 π B z = 2 cos + isin ÷ 4 3π  C z = 2 cos + isin ÷ 4     π π  D z = 3 cos + isin ÷ 6  Câu 2: Số phức z = 8i viết dạng lượng giác là: 3π 3π  + isin ÷ 2  C z = 8( cos0 + isin0)  A z = 8 cos  π π B z = 8 cos + isin ÷ 2   D z = 8( cosπ + isinπ ) π π  Câu 3: Dạng lượng giác số phức z = 2 cos − isin ÷ là: 6  11π 11π  7π 7π    + isin A z =  cos B z = 2 cos + isin ÷ ÷ 6  6   5π 5π  13π 13π    + isin C z = 2 cos + isin ÷ D 2 cos 6 6 ÷    Câu 4: : Số phức z = 8i viết dạng lượng giác là:   π π A  cos + i sin ÷ 6 59 - Ebook Tốn    π π B  cos + i sin ÷ 4   −π −π  π π   C  cos + i sin ÷ D  cos + i sin ÷ 7 5   Câu 6: Cho số phức z = - - i Argumen z (sai khác k2π) bằng: π 3π 5π 7π A B C D 4 4 0 Câu 7: Điểm biểu diễn số phức z = 2( cos315 + i sin315 ) có toạ độ là: A (1; -1) B (-1; 1) C (2; 2) D (-2; 2) 0 0 Câu 8: Cho z1 = 3( cos15 + i sin15 ) , z2 = 4( cos30 + i sin30 ) Tích z1.z2 bằng: A 12(1 - i) B 2( 1+ i ) bằng: A 6(1 - 2i) B 4i C 2( 1− 2i ) D 2( + i ) 0 0 Câu 9: Cho z1 = 3( cos20 + i sin20 ) , z2 = 2( − cos110 + i sin110 ) Tích z1.z2 C 6i D 6(1 - i) 0 0 Câu 10: Cho z1 = 8( cos100 + i sin100 ) , z2 = 4( cos40 + i sin40 ) Thương bằng: A + i ( ) B 1− i C - i z1 z2 D 2(1 + i) 0 0 Câu 11: Cho z1 = 4( cos10 + i sin10 ) , z2 = −2( cos280 + i sin280 ) Thương z1 bằng: z2 A 2i B -2i C 2(1 + i) D 2(1 - i) 20 Câu 12: Tính (1 - i) , ta đợc: A -1024 B 1024i C 512(1 + i) D 512(1 - i) Câu 13: Đẳng thức đẳng thức sau đúng? A (1+ i)8 = -16 B (1 + i)8 = 16i C (1 + i)8 = 16 D (1 + i)8 = -16i Câu 14: Cho số phức z ≠ Biết số phức nghịch đảo z số phức liên hợp Trong kết luận đúng: A z ∈ R B z số ảo C z = D z = Câu 15: Cho số phức z = cosϕ + isinϕ kết luận sau đúng: A zn + ( zn ) = ncosϕ C zn + ( zn ) = 2ncosϕ Đáp án: C C 11.B 60 - Ebook Toán B A 12.A B zn + ( zn ) = 2cosnϕ D zn + ( zn ) = 2cosϕ D B 13.C B C 14.C 10.A 15.B F LUYỆN TẬP Câu 1: Tìm số phức z –1 biết z = (2 − i)2(3− 2i) 18 325 i − i A z−1 = 325− B z−1 = 325 325 18 18 325 − i i C z−1 = D z−1 = 325− 325 325 18 Câu : Tìm số phức z + biết z = (1+ i )2010 A z + = 21005i B z + = −21005i C z + = − 21005i D z + = −21004i (1+ i)2010 Câu 3:Cho số phức z = Tìm số phức 2z−1 + 3z + 1005 1+ 2i −1 A 2z + 3z = + 4i B 2z−1 + 3z = − 4i C 2z−1 + 3z = 3+ 4i D 2z−1 + 3z = 1+ i i Câu 4:Tìm phần thực a phần ảo b số phức (1+ i )10 A a = b = 32 B a = 32 b = C a = b = - 32 D a = - 32 b = (3+ 2i)(1− 3i) + (2 − i ) Câu 5:Tìm phần thực a phần ảo b số phức 1+ i 17 + 11+ 17 − 11− B a = ,b = − ,b = − 4 4 17 − 11+ −17 − −11+ C a = D a = ,b = − ,b = − 4 4 Câu 6: Tìm phần ảo a số phức z, biết z = ( + i ) (1− 2i) B a = −2 A a = A a = 61 - Ebook Toán C a = − D a = −2 (1− 3i )3 Câu 7:Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm mơđun số phức z + iz 1− i A z + iz = B z + iz = C z + iz = 2i D z + iz = Câu 8:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z + 1− 2i = là: A đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = B đường tròn tâm I(–1; -2) bán kính R = C đường tròn tâm I(1; - 2) bán kính R = D đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z − 2z = là: x2 y2 x2 y2 A (E): + = B (E): + = 36 2 x2 y2 x y D (E): + =1 C (E): + = 36 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= là: A đường tròn tâm I(- 3; - 4), bán kính R = B đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = C đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = D.đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z2 − 2z+ | z |2 = + 6i A z = + i B z = C z = - i D z = i | z + z |= (1)  Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình  z + z = (2)   A z = + i B z = 2i C z = + i z = – i, z = – + i z = – – i D z = - 3i Câu 13:Tìm tất số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + i – | = ( ) z.z = A z = - i z = – 2i C z = i z = – – 2i 62 - Ebook Toán B z = + i z = – i D z = + i z = – – 2i Câu 14:Tìm tất số phức z thoả mãn : z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 A z = - 4i B z = + 4i z = C z = + 4i z = D z = 4i z = Câu 15: Tìm số phức z = x + yi, biết hai số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau: x(2 – 3i) + y(1 + 2i)3 = (2 – i)2 50 37 − i − 37i A z = B z = 37 37 50 50 − i C z = D z = − + i 37 37 37 37 Câu 16:Trên tập số phức, tìm x biết : – 2ix = (3 + 4i) (1 – 3i) 5 A x = − 5i B x = 5+ i 2 5 C x = + 5i D x = 5− i 2 Câu 17:Trên tập số phức, tìm x biết: (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) 19 42 19 + i A x = 25+ i B x = 25 25 25 25 19 25 25 + i + i C x = D x = 42 19 42 25 Câu 18:Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z2 – z + = tập số phức Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2 A A = 99 B A = 101 C A = 102 D A = 100 Câu 19:Gọi z1, z2 hai nghiệm phức (khác số thực) phương trình z3 + = 2 Tính giá trị biểu thức: A = |z1 | +|z2 | + |z1z2 | 33 B A = 4 35 C A = D A = 33 Câu 20: Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức: M = z12 + z22 A A = A M = 21 C M = 20 63 - Ebook Toán B M = 10 D M = Lời giải 1.C Ta có: z = (2 − i )2(3− 2i ) = (4 − 4i + i 2)(3− 2i ) = (3− 4i )(3− 2i ) = − 18i + 8i = 1− 18i ⇒ z = 1+ 18i ⇒ z−1 = 1− 18i 18 = = − i 1+ 18i (1+ 18i)(1− 18i) 325 325 2.C 1005 ( z = (1+ i )2010 = ( 1+ i )  = 1+ 2i + i   ⇒ z = −21005i ⇒ z + = − 21005i ) 1005 = (2i )1005 = 21005i1004.i = 21005i 3.A (1+ i )2010  1005  = 1− 2i + 1+ 2i + i z= + = − i + + i ( )  1+ 2i 21005 21005  21005 1 = 1− 2i + 1005 (2i )1005 = 1− 2i + 1005 21005i1004.i = 1− 2i + i 4.201.i = 1− i 2 1+ i ⇒ z = 1+ i z−1 = = 1− i ⇒ 2z−1 + 3z = 1+ i + 3(1+ i ) = + 4i ( ) 1005 4.B Ta có: (1+ i )2 = 1+ 2i + i = 2i Do đó: i i = = 10 (1+ i ) 32i 32 Vậy phần thực số phức 32 phần ảo số phức ( ) (1+ i)10 = (1+ i)2 = ( 2i ) = 25i = 32i ⇒ 5.C Ta có: (3+ 2i )(1− 3i ) (9 − 7i)(1− i 3) + (2 − i ) = + (2 − i ) 1+ i (9 − 3) − (7 + 3)i + 4(2 − i) 17 − 11+ = − i 4 17 − 11+ Vậy phần thực số phức phần ảo số phức − 4 = 64 - Ebook Toán 6.C z = ( + i )2(1− 2i ) = (1+ 2i )(1− 2i) = 5+ 2i Do đó: z = 5− 2i ⇒ Phần ảo số phức z − 7.D (1− 3i )3 1− 3i + 9i + 3i −8 −8(1+ i) z= = = = = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i 1− i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + i(−4 + 4i ) = −8(1+ i) ⇒ z + iz = 8.A Gọi z = x + yi(x, y∈ ¡ ) , ta có: z + 1− 2i = (x + yi ) + 1− 2i = (x + 1) + (y − 2)i Do đó: z + 1− 2i = ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = 9.A Gọi z = x + yi(x, y∈ ¡ ) , ta có: z − 2z = (x − yi ) − 2(x + yi) = − x − 3yi x2 y2 2 2 Do đó: z − 2z = ⇔ (− x) + (3y) = ⇔ x + 9y = 36 ⇔ + =1 36 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có phương trình tắc là: x2 y2 + = 36 10.D Gọi z = x + yi(x, y∈ ¡ ) Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Do đó: z – (3 – 4i) = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3;−4) , bán kính R = 11.A Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: z2 − 2z+ | z |2 = + 6i ⇔ a2 − b2 + 2abi − 2(a − bi ) + (a2 + b2 ) = + 6i 2a2 − 2a = ⇔ 2a − 2a + 2b(a + 1)i = + 6i ⇔  2b(a + 1) = a = −1 a = a = ⇔ ∨ ⇔ 2b(a + 1) = 2b(a + 1) = b = Vậy z = + i 12.C 65 - Ebook Toán Gọi z = a + bi(x, y∈ ¡ ) thì: | z + z |= |2a |= a = ±2  ⇔ ⇔   z − z = |4abi |= b = ±2  Do số phức cần tìm là: + i, – i, – + i – – i ( ) 13.D Gọi z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) Ta có: | z + i − 1|= |(a − 1) + (b + 1)i |= ⇔ 2   z.z = a + b = (a − 1)2 + (b + 1)2 = a2 + b2 − 2a + 2b = a − b = ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 a + b = a + b = a + b = a = b + a = b +  a =  a = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ∨   2 (b + 1) + b = 2b + 2b − = b = b = −2 Vậy có hai số phức thỏa mãn đề tốn z = + i z = – – 2i 14.B Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ z – – i = a – + (b – 1)i Ta có:  z − (2 + i) = 10 (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10  4a + 2b = 20   ⇔ 2 ⇔ 2  a + b = 25   a + b = 25   z.z = 25  b = 10 − 2a a = a = ⇔ ⇔ ∨  a − 8a + 15= b = b = Vậy z = + 4i z = 15.A (1) ⇔ x(2 – 3i) + y(1 + 6i – 12 – 8i) = – 4i – (2x – 11y) + ( – 3x – 2y)i = – 4i ⇔ 50  x =  2x − 11y = 37 ⇔   ⇔ −3x − 2y = −4  y= −  37 50 − i Vậy số phức z cần tìm là: z = 37 37 16.C 66 - Ebook Toán (1) ⇔ 2ix = 5− (3+ 4i)(1− 3i) ⇔ 2ix = 5− (3− 9i + 4i + 12) ⇔ 2ix = 5− (15− 5i) ⇔ 2ix = −10 + 5i ⇔ x = + 5i 17.D (2) ⇔ (3+ 4i)x = (4 + i + 8i − 2) ⇔ (3+ 4i)x = + 9i ⇔ x = + 9i 42 19 = + i 3+ 4i 25 25 18.B Phương trình cho có hai nghiệm là: z1 = 1− 19i 1+ 19i , z2 = 2  1− 19i  −9 − 19i z12 =  = ⇒ z12 = 50 ÷ ÷    1+ 19i  −9 + 19i z =  = ⇒ z = 50 ÷ ÷ 2   z1 + z2 = 1⇒ z1 + z2 = ⇒ A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2 = 101 2 19.A Xét phương trình: z3 + = Ta có: z3 + = ⇔ (z + 2)(z2 – 2z + 4) =  z = −2 ⇔  z − 2z + = ⇒ Hai nghiệm phức (khác số thực) (1) nghiệm phương trình: z2 – 2z + = ⇒ z1 = 1− 3i,z2 = 1+ 3i ⇒ z1.z2 = (1− 3i )(1+ 3i ) = ⇒ 2 Do đó: | z1 | + | z2 | + ( 1 = z1z2 ) 2 1 33 = 12 + − + 12 + + = | z1z2 | 4 20.C z1 = −1− 3, i z2 = −1+ 3i 2 ⇒ z1 + z2 = (−1)2 + (−3)2 + (−1)2 + (3)2 = 20 67 - Ebook Toán ... gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z = a + bi với a,b∈ ¡ a − bi kí hiệu z Rõ ràng z = z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z = 1− 2i số phức z = 1− 2i Số phức liên hợp số phức. .. BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC: LÝ THUYẾT Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w gọi thức bậc w Mỗi số phức w ≠ 0 có hai bậc hai hai số phức đối (z... ¡ số k ∈ ¡ + Tổng hai số phức: z + z' = a + a'+ (b + b')i + Hiệu hai số phức: z + z' = a − a'+ (b − b')i + Số đối số phức z = a + bi − z = −a − bi r ur + Nếu u,u' theo thứ tự biểu diễn số phức