Các dạng toán 12 và phương pháp giải

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CÁC DẠNG TOÁN 12 VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng 1.Hàm số y  f ( x) gọi đồng biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 2.Hàm số gọi nghịch biến D y  f ( x) x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến D f '( x)  0, x  D 2.Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến D f '( x)  0, x  D III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 1.Định lý Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a, b  có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c  (a, b) cho: f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) 2.Định lý Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D 2.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D 3.Nếu f '( x)  0, x  D hàm số khơng đổi D PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) *Phương pháp : Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số y  f ( x) 2.Tính y '  f '( x) xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = ) 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ : Xét tính biến thiên hàm số sau: 3 x  1.y = -x3+3x2-3x+1 y= 2x 1 x2  2x  2 y= 2x4 +5x2 -2 y  x 1 x  2x  3 y= (x+2)2(x-2)2 y  x  10 x2  x  2x 1 y  x  x  10 y  9.y= x    x 10.y=2x + x  Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Ví dụ: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến R x2  x  m 2.Tìm m để hàm số y= đồng biến khoảng xác định mx  3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ x  đồng biến R 4.Tìm m để hàm số y  f ( x)  mx3  3x  (m  2) x  nghịch biến R Tìm m để hàm số y  f ( x)   x3  (m  1) x  (m2  2) x  m nghịch biến R  1 m  Tìm m để hàm số y  f ( x)    x    m  x    m  x  nghịch biến   R  m  1 x3  mx   3m   x tăng R 8.Tìm m để hàm số y= 3x3-2x2+mx-4 tăng (-1;  ) 9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng (0;2) mx  x  10.Tìm m để hàm số y= giảm (1;  ) x2 11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm (0;3) 12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm (-1;1) 2 x  x  m 13.Tìm m để hàm số y= giảm (  ;  ) 2x 1 2 x  mx  2m  14.Cho hàm số y= x2 Tìm m để hàm số tăng khoảng xác định 15.Tìm giá trị tham số m để hàm số sau nghịch biến đoạn có độ dài y  f ( x)  x3  3x  mx  m 16 Tìm m để hàm số y  f ( x)   x3   m  1 x   m  3 x  tăng  0,3  3 17 Tìm m để hàm số y  f ( x)  x  3x   m  1 x  4m giảm  1,1 Tìm m để hàm số y  f ( x)  mx  giảm khoảng  ,1 xm 1 19 Tìm m để hàm số y  f ( x)  mx3   m  1 x   m   x  tăng  2,   3 2 x   m  1 x  4m  4m  20 Tìm m để hàm số y  f ( x)  đồng biến  0,   x   m  1 18 Tìm m để hàm số y  f ( x)  Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Ví dụ: 1.Giải phương trình x3  3x   x  x  ( ĐK x3+3x   x  ) 2.Giải phương trình x5+x3-  3x +4=0 3.Giải phương trình x 1  x Giải phương trình sinx =x x  ( x  1)2 Gia sư Tài Năng Việt 5.Tìm m để phương trình có nghiệm https://giasudaykem.com.vn x  x 1  m 6.Tìm để phương trình có nghiệm m x  - x = x2 x2 7.Chứng minh x  :1   cos x (HD xét hàm số y  f ( x)    cos x ) 2 x x2 x x  y x   f ( x : ) e  e     x 1 ) x  8.Chứng minh (HD xét hàm số 2  x3 9.Chứng minh x  (0; ) : tan x  x  10.Chứng minh : Nếu x  y  x  y  ( HD xét hàm số 4 y  f ( x)  x  (1  x) ) 2 x   y  y  y  11.Giải hệ phương trình  y   z  z  z  z   x3  x  x  HD Xét hàm đặc trưng y  f ( x)  t  t  t , t   x  y  z 1   x  y  z  1 Chứng minh hàm số tăng R ĐS  y3 x   sin y   z3  12.Giải hệ phương trình  y   sin z   x3 z   sin x   Chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R x0  D x0 gọi điểm cực đại hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực đại hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại hàm số x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực tiểu hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực tiểu hàm số 3.Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y  f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y  f ( x) có đạo hàm điểm x0 f '( x0 )  III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a, x0 ) ( x0 , b) Khi : + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 )  f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ1: Dùng quy tắc tìm cực trị hàm số 1 y = x3+x2-3x+2 2.y = x4+2x2-3 x  3x  3x  y = 4.y = x 1 2x  y= 2x2  4x  y =  x   x y=(2x+1)  x 2x  y= x2  x  2 x  x  10 y  x  x  x  25 2x 1 11 y  ( x  2)2 ( x  2) 12 y  15 x5  15 x3  *Phương pháp (Quy tắc 2)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm xi (i  1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( x) f ''( xi ) 4.Kết luận +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực đại điểm xi y = +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị hàm số 1.y= 3x5-20x3+1 y = x  x  Gia sư Tài Năng Việt 3.y = cos23x x x  cos 2 y= sin3x + cos3x ( y = sin 5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx  x  2 ) y  x  x https://giasudaykem.com.vn y  x3  3x y  x3 x2  10 y  s inx  cos x, x    ,   Dạng 2.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước VD1: Tìm điều kiện m cho : y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại x= -1 x  mx  y= đạt cực tiểu x=2 xm y=  x  mx  2m đạt cực đại x= VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m Tìm m để a Hàm số có cực đại cực tiểu b Hàm số có điểm cực đại cực tiểu x1,x2  (1; ) VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 Tìm m để a Hàm số khơng có cực trị b Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu điểm x1,x2 x1  x2  2 x  mx  2m  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x 1 VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 Tìm m để điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=x+2 VD5: hàmsố sốbài y= toán x3-3xliên -mx+2 m để cực trị đồ thị hàm số DạngCho Một quan.Tìm đến điểm a Hàm số có cực đại ,cực tiểu khoảng (0;2) b Hàm số có cực đại ,cự tiểu điểm cực đại ,cực tiểu cách đường thẳng y=x-1 x  (3m  1) x  4m VD6:Cho hàm số y  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng 2x 1 qua đường thẳng  : x  y   VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với m b Xác định m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x x  (3m  2) x  m  VD2:Cho hàm số y= x 1 a Tìm m để hàm số có CĐ,CT CĐ,CT điểm M(-2;1) thẳng hàng b Tìm m để hàm số có CĐ,CT trung điểm đoạn nối điểm CĐ,CT cách gốc O khoảng VD3:Cho hàm số y= Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn VD3.Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để điểm cực đại điểm cực tiểu (C) hai phía khác đường tròn : x  y  2mx  4my  5m2   VD4.Cho hàm số y  x  2mx  2m  m4 Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác x  mx  VD5.Cho hàm số y  Tìm để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm Parabol (P) x 1 y  x2  x  x  (m  2) x  3m  x 1 a Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu b Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ , yCT Chứng minh : 2 yCD  yCT  VD7.Cho hàm số y  x  (2m  1) x  (m2  3m  2) x  a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía khác trục tung b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu VD8.Cho hàm số y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  a.Chứng minh với giá trị tham số m hàm số đạt cực đại cực tiểu x1 , x2 x2  x1 không phụ thuộc vào tham số m VD6.Cho hàm số y  b.Tìm m để yCD  1 VD9.Cho hàm số y  f ( x)  x  mx  x  m  Chứng minh với m hàm số cho ln có cực đại cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách hai điểm cực trị nhỏ x  2(m  1) x  m  4m VD10.Cho hàm số y  f ( x)  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, x2 đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ( A – 2007) VD11.Cho hàm số y  f ( x)  mx  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách từ x điểm cực tiểu đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên (A – 2005) VD12.Cho hàm số y  f ( x)   x3  3x  3(m2  1) x  3m2  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị cách gốc tọa độ O ( B – 2007) x  (m  1) x  m  VD13.Cho hàm số y  f ( x)  (Cm) CMR với m (Cm) ln có cực x 1 đại cực tiểu khoảng cách hai điểm cực trị 20 ( B – 2005) VD14.Cho hàm số y  f ( x)  x3  (2m  1) x  (2  m) x  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị có hồnh độ dương ( CĐ – D – 2009) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn VD15 Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m (1) m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C cho OA=BC; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B,C hai điểm cực trị lại (B – 2011) Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R 1.Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số M  f ( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f(x) D, ký hiệu M  Max f ( x) xD  x  D, f ( x)  M Như M  Max f ( x)   xD x0  D, f ( x0 )  M Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số m  f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D, ký hiệu m  Min f ( x) xD  x  D, f ( x)  m Như m  Min f ( x)   xD x0  D, f ( x0 )  m II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R Bài toán 1.Nếu D  (a, b) ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Bài toán Nếu D   a, b  ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định 3.Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) 4.Kết luận: Số lớn M  Max f ( x) số nhỏ m  Min f ( x) x a ,b  x a ,b  Bài toán 3.Sử dụng bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài tốn 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( có ) hàm số sau: y  f ( x)  x  x y  f ( x)  x   x (B-2003) 2004) 3x   0; 2 x 3 ln x y  f ( x )  1, e3  (Bx y  f ( x)  Gia sư Tài Năng Việt y  f ( x)  x 1 x2  https://giasudaykem.com.vn  1, 2 (D-2003) y  f ( x)  x  10 x  20 x2  2x  (SPTPHCM2000)    y  f ( x)  5cos x  cos5x   ,   4 y  f ( x)   sinx   cosx 11 y   x   x   x  x  y  f ( x)   3sin x  cos x 10 y  f ( x)  2cos x  cosx-3 12 y  2sin x.cos x  sin x  cos x 13 y  2x  x 1 (1, ) x 1 14 y  x  x   3x  đoạn 15 y  x  3x  2, 4 16 y  sin x  cos3 x  3sin x  13   0,  Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số VD1 Cho hàm số y  x  x  a  Tìm a để giá trị lớn hàm số  2,1 đạt GTLN VD2 Cho hàm số y  f ( x)  sin x  cos x  m sin x.cos x Tìm m cho giá trị lớn hàm số k cos x  VD3 Cho hàm số y  Tìm k để giá trị nhỏ hàm số nhỏ -1 cos x  ax +b VD4 Tìm giá trị tham số a,b cho hàm số y  f ( x)  có giá trị lớn x 1 giá trị nhỏ -1 VD5.Cho hàm số y  f ( x)  x  x  2a  với 3  x  Xác định a để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Dạng 3.Ứng dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số VD1 Một tơn hình vuông cạnh a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vng bốn góc để gò thành bể chứa hình hộp chữ nhật khơng nắp, cạnh hình vng cắt bể tích lớn ĐS Cạnh hình vng a cắt VD2 Tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước ĐS.Các kích thước hình chữ nhật R (hình vng) VD3 Trong khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định khối trụ tích lớn Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐS.Hình trụ có chiều cao h  2R bán kính đáy h2 r R  VD4 Cho đường (C) có phương trình x  y  R Hãy tìm điểm H (C) cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ A B có độ dài đoạn AB nhỏ VD5 Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước 2( xy  y ) VD6 Cho x  y  Tìm Max, Min biểu thức P  xy  x  2 2 , MinP  2 x y  VD7.Cho x, y  x  y  Tìm Min biểu thức P  1 x 1 y ĐS MaxP  VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  2( x3  y )  3xy ( CĐ Khối A – 2008) VD9 Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x  y  1.Tìm GTLN, GTNN biểu thức P 2( x  xy )  xy  y ( ĐH Khối B – 2008) VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi thõa điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  (4 x  y)(4 y  3x)  25 xy ( ĐH Khối D – 2009) Chủ đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 Hoặc x  x0 lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 x  x0 2.Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)  y0 lim f ( x)  y0 x  3.Đường tiệm cận xiên x  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) gọi tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị hàm số y  f ( x) lim  f ( x)  (ax  b)  lim  f ( x)  (ax  b)  x  x  Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) f ( x) f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x  x  x  x  x x PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: x2  2x  2x  y  f ( x)  y  f ( x )  x2  x 1 3x y  f ( x)  y  f ( x)  x  27 5 x Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 3 x  x  2 y  f ( x)  x   y  f ( x)  3x  x 1 2 x  5x 1 2 x  x  y  f ( x )  y  f ( x)  x2  x  2x  Ví dụ 3.Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: y  f ( x )  2x2  2x 1 y  f ( x)  2 x  x2  x  y  f ( x)  x  x  x  y  f ( x)  3x  x  Tìm cận đồsao thị cho: hàm số có chứa tham số VíDạng dụ 1.Tìm giácác trị tiệm tham số m x  2m  1.Đồ thị hàm số y  f ( x)  có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1) xm x  3mx  m  2.Đồ thị hàm số y  f ( x)  có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ x 1 tam giác có diện tích Ví dụ Cho đường cong (Cm): y  f ( x)   x   đường thẳng (dm) mx  y  mx  m  Xác định m biết (Cm) có cực đại cực tiểu tiệm cận xiên tạo với đường thẳng (dm)một góc  có cos  2x  m Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  Tìm m cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm mx  cận ngang tiệm cận với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bắng Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 3x  có đồ thị (C) Tìm M  (C ) để tổng khoảng cách từ M x2 đến hai tiệm cận (C) nhỏ ? x 1 Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Tìm M  (C ) để khoảng cách từ M đến giao x 1 điểm hai tiệm cận nhỏ ? Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 )  (C ) có dang : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Trong f '( x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) 2.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước 1.Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M  (C )  y0  f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) 2.Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 )  k , giải PT f '( x0 )  k tìm x0  y0 3.Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vng góc tích hai hệ số góc -1 3.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y  k ( x  xA )  y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm  f ( x)  k ( x  x A )  y A (I)   f '( x)  k 3.Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  x  có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) A có hồnh độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) 4x  y 1  c.Chứng minh (C) không tồn hai tiếp tuyến vuông góc với x2 Ví dụ 2.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) x 1 a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với góc phần tư thứ hai Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0, -2) Ví dụ 3.Cho hàm số y  f ( x)   x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  ( Khối D – 2010) Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(-1, -9) ( Khối B – 2008) 3x  Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x)  biết : x 1 b Tung độ tiếp điểm c Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y   d Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  : x  y  10  e Tiếp tuyến qua điểm M(2,0) m Ví dụ Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  ( m tham số ) Gọi M điểm 3 thuộc (Cm ) có hồnh độ -1.Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng 5x  y  ( Khối D – 2005) Ví dụ 2.Cho hàm số y  f ( x)  x  3x  mx  (Cm ) a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phan biệt A(0,1), B, C b.Tìm m để tiếp tuyến B C vng góc với Ví dụ 3.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  x  (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x 1 Ví dụ 4.Cho hàm số y  f ( x)  (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) x 1 hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B song song với 2x Ví dụ 5.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến x 1 (C) M cắt hai trục Ox, Oy A,B tam, giác OAB có diện tích ( Khối D – 2007) x2 Ví dụ 6.Cho hàm số y  f ( x)  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp 2x  tuyến cắt trục hoành, trục tung A B tam giác OAB cân O ( Khối A – 2009) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x2  x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) x2 biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên đồ thị hàm số ( Khối B – 2006) x2  x  Ví dụ 8.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Tìm (C) điểm A để tiếp tuyến x 1 đồ thị hàm số A vng góc với đường thẳng qua A tâm đối xứng đồ thị hàm số ( Đại học An Ninh – 2001) x 1 Ví dụ 9.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng d : y  x  m x 1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến (C) A B song song với (CĐ-SPTPHCM – 2005) Ví dụ 10.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  có đồ thị (C) Viết phương trình Parabol qua điểm cực trị đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y  2 x  ( Đại học An Ninh – 1999) Ví dụ 11 Cho hàm số y  f ( x)   x  x  3x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn 4x  Ví dụ 12 Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị x 1 (C) biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 450 3x  Ví dụ 13.Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết 2 x  : a Tiếp tuyến song song với đường thẳng x  y   Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  b Tiếp tuyến tạo với  : y  2 x góc 450 c Tiếp tuyến tạo với  : y   x góc 600 2x 1 Ví dụ 14 Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C) điểm M thuộc (C) Gọi I giao x 1 điểm hai tiệm cận đồ thị (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B a Chứng minh M trung điểm đoạn AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ x 1 Ví dụ 15 Cho hàm số y  2x 1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh với m đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với ( C) A B Tìm m để Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn tổng k1  k2 đạt giá trị lớn ( Khối A – 2011) Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) qua A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y  k ( x  xA )  y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm  f ( x)  k ( x  x A )  y A (I)   f '( x)  k 3.Số nghiệm hệ phương trình số tiếp tuyến qua điểm A Ví dụ 1.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x (C) Tìm đường thẳng x = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x (C) Tìm đường thẳng y= điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = hàm số y  f ( x)  x3  x  x  có đồ thị (C) Từ điểm (d) tiếp tuyến với đồ thị (C) Ví dụ 4.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm đường thẳng y = -2 điểm mà từ kẻ đến đồ thị (C) hàm số hai tiếp tuyến vng góc với Ví dụ 5.Cho hàm số y  f ( x)  x  x có đồ thị (C) a) Viết phương trình tiếp (C) qua gốc tọa độ O b) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) M cắt (C) hai điểm A B cho A trung điểm MB c) Tìm điểm M trục tung cho qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 6.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm điểm trục Ox cho từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 7.Cho hàm số y  f ( x)   x3  3x  x  có đồ thị (C) Tìm đường thẳng y  x  điểm kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 8.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm đường thẳng y  3x  điểm kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến đồ thị (C) x 1 Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết x 1 khoảng cách từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến lớn Ví dụ 10.Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x có đồ thị (C).Tìm điểm thuộc trục hồnh mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), có hai tiếp tuyến vng góc với xm Ví dụ 11 Cho hàm số y  f ( x)  Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ hai tiếp tuyến x2 AB,AC đến đồ thị hàm số cho ABC ( Với B, C hai tiếp điểm ) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Ví dụ 12.Cho hàm số y  f ( x)  x3   m( x  1) có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến  giao điểm (C) trục Oy b.Tìm m để  chắn hai trục Ox, Oy tam giác có diện tích Chủ đề SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C1 ) hàm số y  g ( x) có đồ thị (C2 ) + Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) cắt điểm M ( x0 ; y0 )  ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình  y  f ( x)   y  g ( x) +Hoành độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) (C2 ) nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) (1) +Phương trình (1) gọi phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ) +Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1 ) (C2 ) 2.Sự tiếp xúc hai đường cong Cho hai hàm số y  f ( x) y  g ( x) có đồ thị (C1 ) (C2 ) có đạo hàm điểm x0 +Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) tiếp xúc với điểm chung M ( x0 , y0 ) điểm chúng có chung tiếp tuyến Khi điểm M gọi tiếp điểm +Hai đồ thị (C1 ) (C2 ) tiếp xúc với hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x)   f '( x)  g '( x) Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm  ... x)  Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Ví dụ: 1 .Giải phương trình x3  3x   x  x  ( ĐK x3+3x   x  ) 2 .Giải phương trình x5+x3-  3x +4=0 3 .Giải phương trình x 1  x Giải phương. .. tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm... x)  k ( x  x A )  y A (I)   f '( x)  k 3 .Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ Cho