TOÁN HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 0 2 3/2 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng Error: Reference source not foundtrong b≠0; Error: Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, khơng phải số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: Error: Reference source not found ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: Error: Reference source not found) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ - Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: Error: Reference source not found; Error: Reference source not found ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) - Các kí hiệu: ∈ : thuộc , ∉ : không thuộc , ⊂ : tập TOÁN HỌC LỚP Các dạng tốn: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Error: Reference source not found Bài 1: a) − −1 + 26 b) 11 − 30 − 17 34 c) d) 1 1 17 24 e) −5 : ; 4 5 f) : − Bài số 2: Thực phép tính: a) −1 + .11 − 6 1 3 − 4. + 2 4 −1 − − − 24 ÷ c) b) 7 d) − ÷− − − − ÷ 10 Bài số 3: Tính hợp lí: −2 −16 ÷ + ÷ 11 11 a) 13 ÷: − − + ÷: 14 21 b) − c) 1 1 : − ÷+ : − ÷ 7 7 Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu Error: Reference source not found số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Error: Reference source not found Ví dụ: biểu diễn số Error: Reference source not found: ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Error: Reference source not found Hình vẽ: Nếu Error: Reference source not found số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số Error: Reference source not found BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Error: Reference source not found Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp: * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số TOÁN HỌC LỚP * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x= −25 444 y = ; 35 −777 b) x = −2 110 17 y = c) x = y = 0,75 −50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) −7 ; 2010 19 b) −3737 −37 ; 4141 41 c) 497 −2345 −499 2341 d) 2 2000 2001 2001 2002 19 31 và f) ; g) ; h) ; k) 2001 2002 2000 2001 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: Dựa vào t/c Error: Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 e) Ví dụ: Cho số hữu tỉ x = m− 2011 Với giá trị m : 2013 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương không số âm HD: a Để x>0 Error: Reference source not found, suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 Error: Reference source not found x+4 x+4 x -1 -5 -3 -23 -27 23 19 Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích TỐN HỌC LỚP Ví dụ: Tìm x, y nguyên cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Error: Reference source not found ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 Ví dụ: Error: Reference source not found (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Error: Reference source not found 3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0) x(3-y)-3(3-y)+9=0 (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 3-y -9 -9 -3 3 -3 x y 12 -6 0 6 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = −101 số nguyên a+ Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x = 3x − số nguyên x−5 2m+ phân số tối giản, với m ∈ N 14m+ 62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A=Error: Reference source not found ; B=Error: Reference source not found; C=Error: Reference source not found; D=Error: Reference source not found ; E=Error: Reference source not found Bài 5: Tìm số x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Dạng 7: Các toán tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x TỐN HỌC LỚP Chú ý: Một tích thừa số khơng - Chú ý tốn nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết: 3 a) x − ÷ = ; 21 2 15 c) x: − ÷ = − ; 16 5 28 b) x = ; 9 d) −4 :x = − Bài Tìm x, biết: a) x+ = ; 10 b) 3 x− = Bài Tìm x, biết: a) −33 x+ x = ; 25 Bài 4: a) 2 −3 : x÷= ; b) x − ÷ + 3 x+ x+ x+ x+ + = + 65 63 61 59 b) x + x + x + 10 x + 12 + = + 1999 1997 1995 1993 e) x − 29 x − 27 x − 25 x − 23 x − 21 x − 19 + + + + + = 1970 1972 1974 1976 1978 1980 = x+ x+ x+ + + = −3 2005 2004 2003 x + 29 x + 27 x + 17 x + 15 − = − 31 33 43 45 c) d) c) 1909 − x 1907 − x 1905− x 1903− x + + + + 4= 91 93 95 91 x − 1970 x − 1972 x − 1974 x − 1976 x − 1978 x − 1980 + + + + + 29 27 25 23 21 19 HD: Error: Reference source not found => Error: Reference source not found => x= -2010 Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x+ x+ x+ x+ + = + 35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x − 10 x − x − x − x − + + + + = 1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử) = x − 2002 x − 2000 x − 1998 x − 1996 x − 1994 + + + + 10 c) x − 1991 x − 1993 x − 1995 x − 1997 x − 1999 + + + + = = d) x− x− x− x− x−1 + + + + 1991 1993 1995 1997 1999 x − 85 x − 74 x − 67 x − 64 + + + = 10 15 13 11 (HD: Trừ vào hạng tử) (Chú ý: 10 = 1+ + 3+ ) TOÁN HỌC LỚP x − 2x − 13 3x − 15 4x − 27 − = − (HD: Thêm bớt vào hạng tử) 13 15 27 29 Dạng 8: Các tốn tìm x bất phương trình: Phương pháp: - Nếu a.b>0 Error: Reference source not found Error: Reference source not found; - Nếu a.b≥0 Error: Reference source not found Error: Reference source not found; e) - Nếu a.b Error: Reference source not found Error: Reference source not found => Error: Reference source not found Error: Reference source not found =>x>3 xError: Reference source not found Error: Reference source not found (khơng tồn x) => -5 BC TÝnh chÊt: thừa nhận Nếu hai tam giác có hai cạnh tơng ứng từnmg đôi nhng góc xen chúng không cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Giải: Vẽ tia đối tia MA tia lÊy ®iĨm D cho MD = MA Suy AD = 2AM XÐt ∆ MAB vµ ∆ MDC cã: A TOÁN HỌC LỚP MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh) MB = MC (gt) Do ®ã: ∆ MAB = ∆ MDC (c.g.c) B M C Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta cã: BAM = CDM mà BAM CDM (so le trong) nên AB // CD ⇒ BAc + ACD = 1800 VËn dông vào tính chất xét ABC CDA có: AB = CD; AC cạnh chung Do đó: a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nªn ACD = 900 ⇒ BAC = ACD ⇒ BC = AD ⇒ AM = BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD < 900 ⇒ BAC > ACD ⇒ BC > AD ⇒ AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900 ⇒ BAC < ACD ⇒ BC < AD ⇒ AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 AM = Nêu A > 900 AM < BC BC BC NÕu A < 900 th× AM > BC Bài 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải: a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai v×: 2,2 = 1,2 + TỐN HỌC LỚP Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC ⇒ - < BC < + C B ⇒ < BC < Do độ dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bài 14: a Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 4m 9m b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi tam giác là: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB + AC + BC Bài 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh lại biết số đo theo xentimét số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tøc lµ < x < Do x số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại 7cm Bài 16: Cho tam giác ABC trung tuyến Am gãc B > C H·y so s¸nh hai gãc AMB AMC A TON HC LP Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM cạnh chung MB = MC nhng AC > AB B M C Nên AMC > AMB Các đờng đồng quy tam gi¸c Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng Error: Reference source not found độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng Error: Reference source not foundđộ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy: G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc Oz phân giác Error: Reference source not foundError: Reference source not found Error: Reference source not found=> MA = MB Error: Reference source not found=> M Error: Reference source not found Oz TỐN HỌC LỚP Tính chất ba đường phân giác tam giác Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) LỚP Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy Tính chất ba đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Error: Reference source not found=> AB = AC Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam TOÁN HỌC LỚP giác O giao điểm đường trung trực Error: Reference source not found OA = OB = OC LỚP Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân Tính chất ba đường cao tam giác Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đơi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên ngồi tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Nhận xét: Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bµi tËp: Bµi 1: Gäi AM lµ trung tuyến tam giác ABC, A/M/ đờng trung tun cđa tam gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng TOÁN HỌC LỚP minh hai tam giác ABC A/B/C/ A Giải: Xét ABC A/B/C/ có: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C A/ (Cã AM lµ trung tun cđa BC vµ A/M/ lµ trung tuyÕn cña B/C/) AM = A/M/ (gt) ∆ABM = ∆ A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ B/ M/ C/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trªn) Suy ra: ∆ABC = ∆ A/B/C/ Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 90 0) trung tun AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM b Chøng minh ∆ABC = ∆BAD c So s¸nh: AM BC Giải: a Xét hai tam giác AMC vµ DMB cã: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (®èi ®Ønh) M Suy ∆AMC = ∆DMB (c.g.c) ⇒ MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mµ BA ⊥ AC (A = 900) A C ⇒ BA ⊥ BD ⇒ ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC BAD cã: AB = BD (do ∆AMC = ∆DMB c/m trên) AB chung nên ABC = BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c ABC = ∆BAD ⇒ BC = AD mµ AM = AD (gt) Suy AM = BC Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đờng trung tuyến TON HC LỚP cđa tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng CN > BM Giải: Gọi G giao điểm BM vµ CN XÐt ∆ABC cã BM vµ CN lµ hai đờng trung tuyến cắt G Do đó: G tâm tam giác ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®êng trung tuyÕn AI cña ∆ABC A Ta cã: A; G; I thẳng hàng Xét AIB AIC có: AI c¹nh chung, BI = IC G AB < AC (gt) ⇒ AIB < AIC XÐt ∆GIB vµ ∆GIC cã B I C GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB ⇒ GC > GB ⇒ CN > BM Bµi 4: Cho tam giác ABC có BM CN hai đờng trung tuyến CN > BM Chứng minh AB < AC Giải: A Gọi G giao ®iĨm cđa BM vµ CN ∆ ABC cã: BM vµ CN hai đờng trung tuyến N M Do đó: G tâm tam giác ABC Suy GB = G 2 BM; GC = CN 3 Vẽ đờng trung tuyến AI tam giác ABC B I I qua G (Tính chất ba ®êng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mµ GB = 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt ∆GIB = ∆GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét AIB AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC C TON HC LP Bài 5: Trên hình bên có AC tia phân giác góc BAD CB = CD Chøng minh: ABC = ADC B Gi¶i: VÏ CH ⊥ AB (H ∈ AD) H A C CK ⊥ AD (K ∈ AD) C thuéc tia ph©n giác BAD K D Do đó: CH = CK Xét CHB (CHB = 900 ) Và tam giác CKD (CKD = 900) Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB = CKD (cạnh huyền - gãc vu«ng) ⇒ HBC = KDC ⇒ ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ đối tia AB D Chứng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đờng thẳng AC A hai góc xAC ACD gãc so le nªn xAC = ACD (2) hai góc xAB ADC góc đồng vị nên x B C xAB = ADC (3) So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bµi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny tia phân giác góc MNC Giải: N TON HC LP a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx tia phân giác cña gãc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A B Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chøng minh r»ng: MN = BM + CN Gi¶i: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 gãc so le trong) A C1 = C2 nªn C2 = I2 Do đó: NIC cân NC = NI (1) M N Chøng minh t¬ng tù ta cã: MB = MI (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D trung điểm cạnh BC Giải: Vì D giao điểm đờng trung trực cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy tam giác DBA = DAB DAC = DCA Theo tính chất góc tam giác ta cã: ADB = DAC + DCA B D C TOÁN HỌC LỚP ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180 Tõ ®ã suy ba ®iĨm B, D, C thẳng hàng Hơn DB = DC nên D trung điểm BC Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh: a AD tia phân giác góc BAC b ABD = ACD A Gi¶i: a XÐt hai tam giác ABI ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) B I C VËy ∆ABI = ∆ACI (c.g.c) ⇒ BAI = CAI Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trªn) VËy ∆ABD = ∆ACD (c.g.c) ⇒ ABD = ACD (cặp góc tơng ứng) Bài 11: Hai điểm M N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chøng minh: AB lµ ssêng trung trực đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Gi¶i: TỐN HỌC LỚP a Ta có: AB MM/ (vì MN đờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N trung điểm MM/ (vì M/ nằm tia đối tia NM NM = NM/) A N B Vậy AB đờng trung trực đoạn MM/ b Theo gả thiết ta có: MM/ đờng trung trực đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta l¹i cã: AB đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Tõ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Gi¶i: A Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D điểm cần xác định ThËt vËy B C Ta cã: DB = DC (v× D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC) Do ®ã: DA + DB = DA + DC Mµ AC = DA + DC (vì D nằm A C) Suy ra: DA + DB = AC Bµi 13: a Gọi AH BK đờng cao tam gi¸c ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH BK đờng cao Chứng minh CBK = BAH Giải: TON HC a Trong tam giác AHC BKC có: LP K CBK CAH góc nhọn Và có cạnh tơng ứng vuông góc víi A CB ⊥ AH vµ BK ⊥ CA Vậy CBK = CAH b Trong tam giác cân cho đờng cao AH B H C đờng phân giác góc A A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH CBK hai góc nhọn K có cạnh tơng ứng vuông góc nªn CAH = CBK Nh vËy BAH = CBK B H C Bài 14: Hai đờng cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt D a TÝnh HDK C = 500 b Chøng minh r»ng DA = DB tam giác ABC tam giác cân Giải: A Vì hai góc C ADK nhọn có K cạnh tơng ứng vuông góc nên C = ADK Nhng HDK kề bù với ADK nênhai góc C HDK bù Nh vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H C Do hai tam giác vuông HAB KBA Vì có cạnh huyền có mét gãc nhän b»ng Tõ ®ã suy KAB = HBA hai góc kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB hay sai? TON HC LP A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM MHN biÕt C = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390 B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410 Giải: A a Chọn A AM BC tam giác ABC câb A N Suy H trực tâm tam giác ABC H Do ®ã CH ⊥ AB b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai gãc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410 Bài 16: Cho gãc xOy = 600 ®iĨm A n»m góc xOy vẽ điểm B cho Ox đờng trung trùc cđa AC, vÏ ®iĨm C cho Oy đờng trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai? b Tính số đo gãc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Giải: B x a Chọn A Nhận xét là: OA = OB Ox đờng trung trực AB OA = OC Oy đờng trung trực AC A Do ®ã: OB = OC b Chän C O Nhận xét là: y Tam giác OAB cân O nªn O1 = O2 C TỐN HỌC LỚP Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi ®ã: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Bµi 17: Chøng minh r»ng mét tam gi¸c trung tuyÕn øng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Giải: Xét tam giác ABC đờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần chứng minh CP > BN G ThËt vËy Víi hai tam giác ABM ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M trung điểm BC) AM chung: AB < AC ®ã: M1 < M2 Víi hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ BC); GM chung Do đó: GB < GC ⇔ 2 GB < GC ⇔ BN < CP 3 ... -3 x+1 =-3 x-9+10 =-3 (x+3)+10 ) (x+3)(y-3) =-1 0 Lập bảng: x+3 10 -1 -1 0 -5 -2 y+3 10 -1 0 -1 -2 -5 X -2 -4 -1 3 -1 -8 -5 Y -2 -1 3 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Error: Reference source not found ta nhân... 100! +7 c) 10100+1050+1 Bài 9: chứng tỏ a) A=3+32+33+….320 07 13 b) B= 7+ 72 +73 + 74 n 400 Bài 10: Chứng tỏ rằng: a) b) c) d) e) 8 7- 218 14 122n+1+11n+2 133 8 1 7- 279 -9 13 405 10 6- 57 59 1028+8 72 ... Error: Reference source not found 3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0) x(3-y )-3 (3-y)+9=0 (x-3)(3-y) =-9 Lập bảng: x-3 3-y -9 -9 -3 3 -3 x y 12 -6 0 6 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để