Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d , ∆ cắt nhau tại O vàchúng tạo thành góc β với 0 0 0 90 < < β . Khi quay mp P( ) xung quanh trục ∆ với góc β không thay đổi được gọi làmặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1). Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay làmặt nón. Đường thẳng ∆ gọi làtrục, đường thẳng d được gọi làđường sinh vàgóc 2β gọi làgóc ởđỉnh. 2 Hình nón tròn xoay Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thìđường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi làhình nón tròn xoay (gọi tắt làhình nón) (hình 2). Đường thẳng OI gọi làtrục, O làđỉnh, OI gọi làđường cao và OM gọi làđường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I , bán kính r IM =
TÁN ĐỔ TOÁN PLUS CHỦ ĐỀ 25 MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ VIP A KIẾN THỨC CƠ BẢN I MẶT NÓN 1/ Mặt nón tròn xoay Hình Hình Trong mặt phẳng ( P ) , cho đường thẳng d , ∆ cắt tại O và chúng tạo thành góc β với 00 < β < 900 Khi quay mp ( P ) xung quanh trục ∆ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1) Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc β gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2) Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có: Diện tích xung quanh: S xq = π r.l Diện tích đáy (hình tròn): Sð = π r Thể tích khới nón:= Vnon Diện tích tồn phần hình nón: 1 Sð h = π r h 3 4/ Tính chất: TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp( P ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp( P ) cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân + Nếu mp( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(Q ) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là nhánh của hypebol + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ 1/ Mặt trụ tròn xoay Trong mp ( P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song nhau, cách ∆ một khoảng r Khi quay mp ( P ) quanh trục cố định ∆ thì đường r A thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ D Đường thẳng ∆ được gọi là trụC Đường thẳng l được gọi là đường sinh Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một B cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một r hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ C Đường thẳng AB được gọi là trụC Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó: Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2π rh Diện tích toàn phần của hình trụ: Thể tích khối trụ: 2π rh + 2π r Stp = S xq + 2.S Ðay = = V B= h π r h 4/ Tính chất: Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp (α ) vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp (α ) không vuông góc với trục ∆ cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn 2r bằng , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 sin ϕ Cho mp (α ) song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d + Nếu d < r thì mp (α ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện hình chữ nhật + Nếu d = r mp (α ) tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh + Nếu d > r mp (α ) khơng cắt mặt trụ Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S ( O; R ) Khi = S ( O; R ) M | OM {= R} 2/ Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A bất kì, đó: Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho OA = −OB đoạn thẳng AB gọi đường kính B mặt cầu O Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu A A Nếu OA > R ⇔ A nằm mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R ) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu A Cho mặt cầu S ( O; R ) mp ( P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp ( P ) OH H hình chiếu O mp ( P ) ⇒ d = Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến đường tròn nằm mp ( P ) có tâm H bán kính r = HM = R2 − d = R − OH (hình a) Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b) Nếu d= R ⇔ mp ( P ) có điểm chung Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Do đó, điều kiện cần đủ để mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) d ( O , ( P ) ) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O đường thẳng ∆ d = OH khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng ∆ Khi đó: d d= Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S ( O; R ) Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu S ( O; R ) hai điểm phân biệt Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Nếu d= R ⇔ ∆ mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là= d d (O, = ∆) R Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S ( O; R ) thì: Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S ( O; R ) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt cầu S ( O; R ) 5/ Diện tích thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC = 4π R • Thể tích mặt cầu: VC = π R3 B KỸ NĂNG CƠ BẢN I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng ⇒ Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng ⇒ Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp 3/ Cách xác định tâm bán kính mặt cầu số hình đa diện a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒ Tâm I , trung điểm AC ' - Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) AC ' A B A ⇒ Bán kính: R = D C I I A’ B’ D’ C’ C’ b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn An Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A1' A2' A3' An' , có đáy A1 A1 A2 A3 An A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn ( O ) ( O ' ) Lúc đó, A2 mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: - Tâm: I với I trung điểm OO ' O A3 I A’n A’1 O’ Tài liệu dành riêng choA’✦2 THÀNH VIÊN VIP ✦ A’3 - Bán kính: R= IA= IA2= = IAn' c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh lại góc vng - Hình chóp S ABC có SAC = SBC = 900 S S + Tâm: I trung điểm SC SC + Bán kính: = R = IA = IB = IC I I - Hình chóp S ABCD có SAC = SBC = SDC = 900 A + Tâm: I trung điểm SC SC B + Bán kính: = R = IA = IB = IC = ID d/ Hình chóp Cho hình chóp S ABC - Gọi O tâm đáy ⇒ SO trục đáy - Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, SM SA SA2 = R IS = = = IA = IB = IC = SO SO e/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy C B S ∆ M chẳng hạn mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực cạnh SA ∆ cắt SA M cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu - Bán kính: SM SI Ta có: ∆SMI ∆SOA ⇒ = ⇒ Bán kính là: SO SA A C I A D O B C Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy ( ABC ) đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mp ( ABC ) O - Trong mp ( d , SA) , ta dựng đường trung trực ∆ cạnh SA , cắt SA M , cắt d I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính = R IA = IB = IC = IS = - Tìm bán kính: Ta có: MIOB hình chữ nhật Xét ∆MAI vng M có: S d M I ∆ SA R =AI = MI + MA = AO + 2 f/ Hình chóp kháC - Dựng trục ∆ đáy O A C B - Dựng mặt phẳng trung trực (α ) cạnh bên - (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ - Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng toán O O Hình vng: O giao điểm đường chéo O Hình chữ nhật: O giao điểm hai đường chéo ∆ đều: O giao điểm đường trung tuyến (trọng O O ∆ vuông: O trung điểm cạnh huyền ∆ thường: O giao điểm hai đường trung trực hai h∆ II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) cạnh bên Lúc : - Tâm O mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) ={O} - Bán kính:= R SA =( SO ) Tuỳ vào trường hợp Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt A Tam giác vuông B Tam giác C Tam∆ giác ∆ ∆ B H C B B C H A H A A S Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng ∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒ C M SO SM = SA SI O I A Nhận xét quan trọng: = MB = MC MA ∃M , S : ⇒ SM trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC = SB = SC SA Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng SA ⊥ ( ABC ) Ví dụ: Cho S ABC : Theo đề bài: ∆ABC ⊥ B BC ⊥ AB ( gt ) BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Ta có B A nhìn SC góc vng ⇒ nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC ⇒ I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R = SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG ⊥ ( ABC ) G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC + Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực SC , đường cắt SG I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R = IS SG SC SC.SK SC + Ta có ∆SGC ∆SKI ( g − g ) ⇒ = ⇒ R= = SK SI SG SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Mặt bên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ∆SAB Gọi H , M trung điểm AB, AC = MB = MC ) Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d1 qua M song song SH ) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB d trục đường tròn ngoại tiếp ∆SAB , d cắt d1 I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ⇒ Bán kính R = SI Xét ∆SGI → SI= GI + SG Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho mặt cầu có diện tích S , thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu 3V S 4V V B R = C R = D R = 3S 3V S S Câu Cho mặt cầu S (O; R ) điểm A cố định với OA = d Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt A R = cầu S (O; R ) M Cơng thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A 2R − d B d − R2 R − 2d C D d + R2 Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( S ) theo a, b, c A π ( a + b2 + c ) B 2π ( a + b2 + c ) C 4π ( a + b2 + c ) D π ( a + b2 + c ) Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( S ) A đỉnh hình hộp chữ nhật B tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật D tâm hình hộp chữ nhật Câu Cho mặt cầu S (O; R ) đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ d Đường thẳng ∆ tiếp xúc với S (O; R ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ? A d = R B d > R C d < R D d ≠ R Câu Cho đường tròn (C ) điểm A nằm mặt phẳng chứa (C ) Có tất mặt cầu chứa đường tròn (C ) qua A ? A B C D vô số Câu Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B A mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm đoạn thẳng AB Câu Cho mặt cầu S (O; R ) mặt phẳng (α ) Biết khoảng cách từ O tới (α ) d Nếu d < R giao tuyến mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) đường tròn có bán kính bao nhiêu? A Rd B R2 + d C R2 − d D R − 2d Câu Từ điểm M nằm mặt cầu S (O; R ) kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? A Vô số Câu 10 B C D Một đường thẳng d thay đổi qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA C Mặt phẳng qua O vng góc với AM D Mặt phẳng qua A vng góc với OM Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Câu 11 Một đường thẳng thay đổi d qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: A Câu 12 R B R C 2R D 3R 22 Thể tích khối cầu 113 cm3 bán kính ? (lấy π ≈ ) 7 B cm C cm D 3cm A cm Câu 13 Khinh khí cầu nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy π ≈ A 379, 94 (m ) Câu 14 22 làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) B 697,19 (m ) C 190,14 cm D 95, 07 (m ) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh 10 cm Gọi O tâm mặt cầu qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: B S 100 A S 150 = = π (cm );V 125 (cm3 ) = = 3π (cm );V 500 (cm3 ) C S 300 D S 250 = = π (cm );V 500 (cm3 ) = π (cm );V 500 (cm3 ) = Câu 15 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: Câu 16 π a3 4π a 4π a 4π a 3 C D 54 27 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay A B đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: A Câu 17 4π a 3 27 B 4π a C π a3 54 D 4π a = 300 Quay tam giác vuông quanh trục Cho tam giác ABC vuông A có BC = 2a B AB , ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số A S1 = S2 B S1 = S2 S1 là: S2 C S1 = S2 D S1 = S2 MẶT NĨN Câu 18 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , diện tích xung quanh S1 mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau khẳng định ? A S2 = 3S1 10 B S1 = S2 C S2 = S1 D S1 = S2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 19 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , tích V1 hình cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi đó, tỉ số thể tích A Câu 20 V1 = V2 B C V1 = V2 V1 = V2 D Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a đường cao a B 2π a A 2π a Câu 21 V1 = V2 V1 bao nhiêu? V2 D π a C π a Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón Câu 22 π a2 π a2 2π a 2 Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân SAB có cạnh cạnh huyền A B C π a 2 D a Diện tích tồn phần Stp hình nón thể tích V khối nón tương ứng cho A Stp = π a (1 + 2) π a3 ;V = B Stp = D Stp = 12 π a3 C Stp =π a (1 + 2);V = Câu 23 π a2 = ;V π a3 π a ( − 1) π a3 ;V = 12 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón tương ứng là: A = S xq π= a ;V π a3 C S xq π= a 2;V = Câu 24 12 π a3 B S xq = π a2 = ;V D = S xq π= a ;V π a3 12 π a3 Một hình nón có đường kính đáy 2a , góc đỉnh 1200 Tính thể tích khối nón theo a A 3π a Câu 25 C 3π a B π a D π a 3 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AB = a AC = 3a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A l = a B l = 2a C l = 3a D l = 2a MẶT TRỤ Câu 26 Cho hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h thể tích V1 ; hình nón có đáy trùng với đáy hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy lại hình trụ (hình vẽ bên dưới) tích V2 Khẳng định sau khẳng định ? Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 11 h R B V1 = 2V2 A V2 = 3V1 Câu 27 D V2 = V1 Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao h A V = π R h Câu 28 C V1 = 3V2 B V = π Rh C V = π Rh D V = 2π Rh Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh hình trụ A π a Câu 29 C 3π a D 4π a Tính diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đáy a đường cao a A 2π a Câu 30 B 2π a ( ) −1 B π a ( ) C π a + ( ) D 2π a + Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy hình trụ a thiết diện qua trục hình vuông C 4π a D π a πa Tính thể tích khối trụ biết chu vi đáy hình trụ 6π (cm) thiết diện qua trục A 2π a Câu 31 B hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 (cm) A 48π (cm3 ) Câu 32 B 24π (cm3 ) C 72π (cm3 ) D 18π 3472π (cm3 ) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp = 6π B Stp = 2π C Stp = 4π D Stp = 10π Câu 33 Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): - Cách 1: Gò tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng - Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gò theo cách Tính tỉ số 12 V1 V2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A Câu 34 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 D a VẬN DỤNG THẤP Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện cạnh a A Câu 35 V1 = V2 a B a C a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA = a A Câu 36 2a B 3a 2 C a D 3a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a A Câu 37 2a 14 B 2a C 2a D 2a Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 15π 15π 5π 3π B V = C V = D V = 54 18 27 Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu A V = Câu 38 ngoại tiếp hình lăng trụ A a 39 B a 12 C 2a D 4a Câu 39 Cho hình trụ có bán kính đáy R , thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R A 4R B 2R C 2R D 8R Câu 40 Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà= AB A= ' B ' cm (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho A cm Câu 41 B cm C cm D cm Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy hai hình tròn ( O; R ) ( O '; R ) Tồn dây cung AB thuộc đường tròn (O ) cho ∆O ' AB tam giác mặt phẳng (O ' AB ) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O ) góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là: A S xq = 4π R 2π R = ;V 7 B S xq = 6π R 3π R = ;V 7 C S xq = 3π R 2π R = ;V 7 D S xq = 3π R π R3 = ;V 7 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 13 Câu 42 Cho hình trụ tròn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 450 Diện tích xung quanh S xq hình trụ thể tích V khối trụ là: A S xq = C S xq = Câu 43 π a2 ;V = 3 2a B S xq = π a2 3 3a 16 D S xq = = ;V π a2 = ;V 3 2a 32 π a2 3 2a 16 = ;V Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh cm với AB đường kính = 600 Khi đó, thể tích đường tròn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB cho ABM V khối tứ diện ACDM là: A V = (cm3 ) B V = (cm3 ) C V = (cm3 ) D V = 3(cm3 ) Câu 44 Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện A 450 cm2 Câu 45 B 500 cm2 C 500 cm2 D 125 34 cm2 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh S xq thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ A S xq = C S xq = Câu 46 π a2 ;V = π a2 ;V = π a3 12 π a3 π a2 B S xq = = ;V D S xq π= = a 5;V π a3 π a3 Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a Kẻ dây cung BC đường tròn đáy hình nón, cho mp ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Diện tích tam giác SBC tính theo a là: A Câu 47 a2 B a2 C a2 D a2 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho tỉ số SI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục hình OI nón là: A Câu 48 π a2 B π a2 C π a2 D π a2 18 36 Cho hình nón đỉnh S với đáy đường tròn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm 18 mặt phẳng đáy cho OI = R Giả sử A điểm nằm đường tròn (O; R ) cho OA ⊥ OI Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón là: 14 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A S xq π= = R 2;V π R2 C S xq = Câu 49 ;V = π R3 B S xq 2= = π R ;V π R3 D = S xq π= R ;V 2π R 2π R Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a , góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện ? A Smax = 2a Câu 50 B Smax = a 2 C Smax = 4a D Smax = 9a VẬN DỤNG CAO Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a a a a a B r = C r = D r = 12 Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A r = Câu 51 A R Câu 52 B R C 4R D 2R Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h A x = Câu 53 h B x = h C x = 2h D x = h Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết < x < h O h x 2h h h B x = h C x = D x = 3 Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi A x = Câu 54 đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A Câu 55 ( 16π R ) −1 4π R B 1+ C 16π R (1 + ) 4π R D −1 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là: Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 15 A R = S S ;h = 2π 2π B R = S = ;h 4π S 4π = C R 2S 2S ;h = 3π 3π = D R S S = ;h 6π 6π BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN) Câu 56 Thiết diện qua trục hình nón tròn xoay tam giác vng cân có điện tích 2a Khi thể tích khối nón bằng: π a3 2π a 2π a 2π a B C D 3 3 Câu 57 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng: A B S = π a 2 A S = π a Câu 58 C S = π a2 2 D S = π a2 Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A S V = Câu 59 3π a 3π a B S V = C S V = 3π a D S V = 6π a Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có= AB a= , BC a 3,= AA ' a Gọi V thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng: 2π a 4π a 3 4π a π a3 B V = C V = D V = 3 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vng Khi A V = Câu 60 thể tích khối trụ tương ứng bằng: π D π Câu 61 Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng: A 2π C π 3π 3π 3π Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc α độ dài đường sinh l Khi diện A Câu 62 B 4π B C D tích tồn phần hình nón bằng: A Stp = 2π l cos α cos2 α B Stp = 2π l cos α sin 2 α α 2 α π l cos α cos2 2 Cho lăng trụ có tất cạnh A Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng C Stp = π l cos α cos2 D Stp = Câu 63 trụ nói Khi V bằng: A V = 16 π a3 3 B V = π a3 C V = 3π a 3 D V = π a3 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 64 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Khẳng định sau sai? A Khơng có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC B Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC C Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trực tâm tam giác ABC a 3 Một hình nón có bán kính đường tròn đáy A Thiết diện qua trục hình nón tam D Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính R = Câu 65 giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng: A V = π a3 π a3 π a3 π a3 B V = C V = D V = 3 Câu 66 Trong không gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ tròn xoay.Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: π a3 π a3 4π a π a3 A B C D 12 4 Câu 67 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC ) , cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là: A V = Câu 68 π a3 50π a B V = 5π a C V = 500π a D V = Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′D′ (C) đường tròn nội tiếp đáy ABCD Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O′ đáy (C) π a2 3π a 5π a 2π a A S xq = B S xq = C S xq = D S xq = 2 2 Câu 69 Một hình trụ có hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh Thể tích khối trụ bằng: π π π B C D π Câu 70 Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đơi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: A 25π B 50π C 75π D 100π Câu 71 Thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường tròn đáy R bằng: A A 2R h B R h Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C 2R h D R2h 17 A B A D A C A C ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D A B A C B D A A B A Tài liệu thuộc Series TÁN ĐỔ TOÁN PLUS DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Nhận tài liệu, sách độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP tại: bit.ly/vipkys Contact us: SĐT: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho OA = −OB đoạn thẳng AB gọi đường kính B mặt cầu O Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu A A Nếu OA > R ⇔ A nằm mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R )... trí tương đối mặt phẳng mặt cầu A Cho mặt cầu S ( O; R ) mp ( P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp ( P ) OH H hình chiếu O mp ( P ) ⇒ d = Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R... VIP ✦ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho mặt cầu có diện tích S , thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu 3V S 4V V B R = C R = D R = 3S 3V S S Câu Cho mặt cầu S (O; R ) điểm A cố định