GỒM 08 CHƯƠNG: 1.BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT2.ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN3.CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG4.VECTO NGẪU NHIÊN – HÀM CỦA CÁC ĐLNN5.LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN6.LÝ THUYẾT MẪU7.ƯỚC LƯỢNG ĐẶC TRƯNG TỔNG THỂ8.KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Trang 1XAC SUAT & THONG KE TOAN
TAC GIA: NGUYEN THANH CA
(BAI TAP - DE THI - BAI GIAT) GOM 08 CHUONG: + mm nb 2
BIẾN CÔ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT ĐẠI LƯỢNG NGẤU NHIÊN
CAC LUAT PHAN PHOI XAC SUAT THONG DUNG VECTO NGẪU NHIÊN - HAM CUA CAC DLNN LUAT SO LON VA CAC DINH LY GIOI HAN LY THUYET MAU
Trang 2BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
BÀI TẬP
1.1 Một em bé cõ 4 tấm bìa ghi các chữ: T, V, I, I Tìm xác suất để em bé sắp ngẫu nhiên được chữ TTVI 1.2 Một em bé có một hộp đựng 3 bi trắng và 5 bi đỏ Em rút ngẫu nhiên từng bi 1 cho đến viên cuối cùng Tìm xác suất để viên cuối cùng là bi đỏ 1.3 Ta viết các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các tấm phiếu Tĩnh xác suất: a) Sắp thứ tự ngẫu nhiên các tấm phiếu thành một hàng, ta được một số lẻ
b) Lấy 5 tấm phiếu sắp thứ tự thành một hàng, ta được một số lẻ
1.4 Có 10 chữ số: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ số Tính xác suất:
a) Tổng các chữ số là chẵn
b) Lấy có thứ tự và đặt cạnh nhau được một con sé chan
1.5 Tại Thượng viện của một nước có 30 nghị sĩ thuộc Đảng Dân chủ
và 20 nghị sĩ thuộc Đảng Cộng hòa Cần lập một tiểu ban gồm 5 nghị sĩ Tìm xác suất để tiểu ban được chọn ngẫu nhiên có:
a) 3 nghị sĩ thuộc Đảng Dân chủ và 2 nghị sĩ thuộc Đảng Cộng hòa Bì Cả 5 nghị sĩ cùng thuộc vào một Đảng
1.6 Gieo liên tiếp 1 đồng tién cho đến khi xuất hiện mặt sấp đầu tiên
thì dừng lại
aì Hãy mô tả các biến cố sơ cấp
bì Tính xác suất sao cho phải gieo đến lần thứ 5
1.7 Mỗi vé xổ số có 5 chữ số Một người mua ngẫu nhiên 1 vé số, tìm xác suất để người đó mua được về:
aì Có 5 chữ số khác nhau Bì Có 5 chữ số đều là số chan
1.8 Một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n Lấy ngẫu
nhiên ra 2 quả câu Tìm xác suất lấy được 1 quả có số < kvả 1 quả có sế > k (1 < k<nn)
Trang 3BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.10 Xếp ngẫu nhiên 6 người, trong đó có X và Y, ngôi vào một cái
ban đài có 6 ghế Tính xác suất: a) X và Y ngồi đầu bàn
b) X và Y ngồi cạnh nhau
c) Có 1 người ngồi xcn vào giữa X và Y d) Có 2 nguời ngồi xen vào giữa X và Y
1.11 Xếp ngẫu nhiên 6 người, trong đó có X và Y, ngồi vào một cái
bàn tròn có 6 ghế Tính xác suất:
a) X và Y ngôi cạnh nhau
b) Có 1 người ngồi xen vào giữa X và Y c) Có 2 người ngồi xen vào giữa X và Y
1.12 Xếp ngẫu nhiên 10 người, trong đó có X và Y, lên 5 toa tàu Tính
xác suất:
a) 10 người lên cùng toa đầu
b) 10 người lên cùng một toa
c) X và Y lên cùng toa đầu
đ) X và Y lên cùng một toa
e) X và Y lên cùng toa đầu, ngồi ra khơng có người nào khác lên toa
nay
1.13 Xếp ngẫu nhiên 10 cuốn sách, trong đó có 3 cuốn sách toán, vào 5 ngăn kéo lớn Tính xác suất:
a) 3 sách toán ở cùng ngăn đầu b) 3 sách toán ở cùng một ngăn
c) 3 sách toán ở cùng một ngăn, ngoài ra không có sách nào khác d) 3 sách toán ở 3 ngăn khác nhau
e) 3 sách toán ở 3 ngăn 1, 2, 3
ƒ) 3 sách toán ở 3 ngăn 1, 2, 3, ngoài ra không có sách nao khác 1.14 Có n người trong đó có mm người trùng tên, xếp hang mot cach ngẫu nhiên Tìm xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau, nếu: a) Họ xếp hàng ngang
b) Họ xếp vòng tròn
1.15 Trong hộp có n quả bóng bàn mới Người ta lấy ra k quá để chơi (k < n/2) Sau đó bồ lại vào hộp Tìm xác suất để lần sau lấy ra k quả
Trang 4BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.16 Tại một địa phương người ta thống kê có 7 vụ tai nạn giao thông
trong 1 tuần Tính xác suất để mỗi ngày trong tuần đó có đúng 1 vụ tai
nạn giao thông xảy ra
1.17 Một công ty tuyển 3 nhân viên cho 3 vị trí: Giám đốc diéu hành,
Giám đốc tài chính, Giám đốc kinh doanh Biết có 30 người dự tuyển, trong đó có 10 nữ Tĩnh xác suất để trong 3 người được tuyển có Giám
đốc tài chính là nữ
1.18 Một trường học có 10 lớp: L\, Lạ, Lạo Mỗi lớp cử ra 3 đại
diện Người ta chọn ra một tổ công tác gồm 10 học sinh từ 30 học sinh đại diện Tính xác suất:
a) Trong tổ công tác có ít nhất một đại diện của lớp L¡ b) Mỗi lớp đêu có đúng một học sinh trong tổ công tác
1.19 Thang máy của một tòa nhà có 10 tảng lầu, xuất phát từ tang
trệt có 5 người chờ vào thang máy để đi lên Giả sử mỗi người chọn đi
lên một tầng lầu một cách ngẫu nhiên Tính xác suất: a) Cả 5 người cùng lén tang lầu thứ 10
b) Cả 5 người cùng lên một tang lau e) 5 người lên 5 tảng lầu khác nhau đ) 5 người lên 4 tầng lầu khác nhau e) 5 người lên 3 tảng lầu khác nhau
1.20 Có 3 ô tô khách chạy cùng một tuyến đường tiến vào một bến xe, ở đó đang có 15 người chờ lên xe Giả sử các hành khách lên xe
một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau và mỗi xe có 15 chỗ ngồi
Tìm xác suất:
a) Xe I có 5 người, xe II có 6 người, còn lại là xe II
b) Mỗi xe có 5 người
e) 2 hành khách A và B cùng lên 1 xe
Trang 5BIEN CỔ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT 1.22 3 người khách cuối cùng ra khỏi nhà bổ quên mũ Chủ nhà
không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gởi trả cho họ một cách
ngẫu nhiên Tìm xác suất:
a) Cả 3 người cùng bị trả sai mũ b) Có đúng 1 người được trả đúng mũ c) Ca 3 người đều được trả đúng mũ
1.23 Một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B được chia thành 2 phân bằng nhau Tìm xác suất để mỗi phần đều có số sản phẩm loại A như nhau
1.24 Một cái hộp có a viên bi màu đồ và b viên bi màu vàng Lấy
ngẫu nhiên ra từng viên bi cho đến hết Tìm xác suất:
a) Viên bi thứ nhất có màu đỏ
b) Viên bi cuối cùng có màu đỏ
1.25 Ra khỏi phòng khách, NÑ người có cùng cỡ giày, xổ ngẫu nhiên vào 1 đôi giày trong bóng tối Mỗi người chỉ có thể phân biệt chiếc giày phải với chiếc giày trái, còn không thể phân biệt được giày của mình với giày của ngưới khác Tìm xác suất để:
a) Mỗi người khách xổ vào đúng đồi giày của mình
b) Mỗi người khách xỏ vào đúng 2 chiếc giày của cùng 1 đôi giày nào
đó
1.26 Bỏ ngẫu nhiên n lá thư vào n bao thư (Có ghi địa chỉ) Chứng
minh rằng: Số cách sắp để không có lá thư nào đến đúng địa chỉ là
n 1
a! 4 (DF bà” =
1.27 Trong rạp có n chỗ ngồi được đánh số, n người có vé vào ngồi một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để có m người ngồi đúng chỗ
1.28 Tung 2 con xúc xắc Tính xác suất xuất hiện dung 1 mặt 6 chấm 1.29 Có 30 viên bị, trong đó có 3 bi đỏ, được bỏ ngẫu nhiên vào 3 hộp
với số lượng bằng nhau Tìm xác suất dé có 1 hộp nào đó có 1 bi đồ 1.30 Co 3 xạ thủ độc lập cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên
đạn Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: 0,9; O,85; 0,8 Tìm xác suất:
Trang 6BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.31 Ở một cơ quan có 3 chiếc xe ư tơ Khả năng có sự cố của mỗi xe tương ứng là 5%; 2%; 3% Tìm xác suất để: a) Cả 3 xe cùng bị hỏng b) Có ít nhất 1 xe hoạt động được c) Cả 3 xe cùng hoạt động được đ) Có không quá 2 xe bị hỏng e) Có 1 xe hoạt động được
1.32 Một sản phẩm được gia công qua 3 công đoạn nối tiếp với nhau và chất lượng sản phẩm chỉ được kiểm tra sau khi đã được gia công xong Xác suất gây ra khuyết tật cho sản phẩm ở các công đoạn lan lượt là: 0,02; 0,05; 0.03 Tìm xác suất để sau khi gia công:
a) Sản phẩm có khuyết tật
b) Sản phẩm có ít nhất 2 khuyết tật c) Sản phẩm có 3 khuyết tật
đ) Sản phẩm không có khuyết tật
e) Sản phẩm có không quá 1 khuyết tật
1.33 Một lô hàng có tỉ lệ chính phẩm là 90% Lấy liên tiếp ra 2 sản phẩm Tìm xác suất: a) Có cá 2 chính phẩm b) Có ít nhất 1 chính phẩm c) Chỉ có cái thứ 2 là chính phẩm đ) Có đúng 1 chính phẩm
1.34 Có 2 lô hàng Lô I có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm Lô II có 15 chính phẩm và 3 phế phẩm Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm
Tìm xác suất:
a) Nhận được 2 chính phẩm
b) Nhận được 2 sản phẩm cùng chất lượng
c) Nếu lấy từ mỗi lô ra 2 sản phẩm thì nên lấy từ lô nào để được 2 chính phẩm với xác suất cao hơn
1.35 Tín hiệu thông tin được phát 3 lần với xác suất thu được trong mỗi lần là 0,6
a) Tìm xác suất để nơi thu nhận được thông tin đó
b) Nếu muốn xác suất thu được thông tin là 0,99 thì phải phát bao nhiêu lần ?
1.36 Trong điều trị bệnh lao có hiện tượng kháng thuốc Gọi A la hiện
tượng “Kháng INH của vi khuẩn lao”, B là hiện tượng “Kháng PAS của vi
Trang 7BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT Qua theo dõi người ta thấy khả năng kháng INH của vi khuẩn lao
là 20%, tức là P(A) = 0,2 Tương tự P(B) = 0,4; P(C) = 0,3 Việc kháng
các loại thuốc khác nhau là độc lập với nhau Nếu phối hợp cả 3 loại thuốc thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu ?
1.37 Một lö thỏ gồm 3/4 thỏ co gen dị hợp tử XT, 1/4 thỏ có gen di hợp tử XX, X là gen màu xám (gen trội), T là gen màu trắng (gen lặn) Bắt ngẫu nhiên từng con một ra 2 thd
a) Tìm xác suất để 2 thỏ cùng gen
b) Giả sử 2 thỏ bắt được có 1 thỏ đực và 1 thỏ cái và cặp thé nay sinh
được 4 con thỏ xám Tìm xác suất để cặp thỏ bố mẹ cùng gen XT, cing gen XX
1.38 Một lớp có 45 học sinh Trong đó có 25 người giỏi Toán, 20 người
giỏi Văn, 21 người giỏi Anh văn, 10 người giỏi Toán và Văn, 12 người giỏi Toán và Anh văn, 8 người giỏi Văn và Anh văn, 4 người giỏi cả 3 môn Gặp ngẫu nhiên một học sinh của lớp này Tĩnh xác suất:
a) Gặp được học sinh giỏi ít nhất 1 môn b) Gặp được học sinh chỉ giỏi mơn Tốn c) Gặp được học sinh chỉ giỏi 1 môn
d) Gặp được học sinh giỏi Toán biết rằng học sinh này giỏi Văn
1.39 Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bị đổ Thực hiện 3 lân lấy khơng hồn lại, mỗi lẳn 4 bi Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi dé
1.40 Một túi đựng 3 bi đen và 6 bi trắng Tính xác suất để khi chia túi ra 3 phần bằng nhau thì:
a) Cả 3 bi đen cùng ở trong 1 phần
b) Mỗi một phân có 1 bi đen
1.41 Một công ty cần tuyển 5 nhân viên Biết rằng có 25 người dự tuyển, trong đó có 15 nam và 10 nữ
a) Tính xác suất để trong 5 người được tuyển có ít nhất 1 nữ
b) X là 1 trong 10 nữ dự tuyển Biết rằng trong 5 người được tuyển có ít nhất 1 nữ Tính xác suất để X được tuyển
1.42 Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi trắng và 5 bi đỏ Rút ngẫu nhiên
từng viên bi một cho đến khi gặp được bi đỏ thì ngừng lại Tính xác suất:
a) Rút được 2 bi trang va 1 bi xanh
Trang 8BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.43 Một lô hàng gồm 25 sản phẩm, trong đó cõ 2 phế phẩm Người ta lần lượt lấy méi lan 1 sản phẩm để kiểm tra (lấy khơng hồn lại) cho đến khi phát hiện đủ 2 phế phẩm thì dừng
a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng ở lần thứ hai
b) Tĩnh xác suất để việc kiểm tra dừng ở lần thứ ba
1.44 Trong một trận không chiến giữa máy bay ta và địch, máy bay ta
bắn trước với xác suất trúng là 0,6 Nếu bị trượt, máy bay địch bắn trả
lại với xác suất trúng là 0,5 Nếu không bị trúng đạn, máy bay ta bắn trả với xác suất trúng là 0,4 Tìm xác suất:
a) May bay dich bi ha trong tran không chiến trên b) Máy bay ta bị hạ trong trận không chiến trên
1.45 Một hộp đựng a viên bi màu đồ và b viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 viên bi Tính xác suất:
a) Các biến cố có thể xảy ra b) Viên bì thứ I có màu đó c) Viên bi thứ II có màu đó
1.46 Một lô hàng có 6 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm Sau khi kiểm tra xong lại trả trở lại vào 1ô hàng Tĩnh xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng thì tất cả các sản
phẩm đều được kiểm tra
1.47 Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta dùng một thiết bị
kiểm tra tự động dạt được độ chính xác khá cao nhưng vẫn có sai sót Biết tỉ lệ sai sót khi kiểm tra chính phẩm là 2% và khi kiểm tra phế
phẩm là 1% Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại
a) Tìm tỉ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm
b) Tim tỉ lệ sản phẩm được kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính
phẩm
c) Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhẳm
1.48 Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,9 Đối với máy thứ hai xác suất này là 0,8 Cho mỗi máy sản xuất 1 sản
Trang 9BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
lô II trả vào lô I; Lẳn thứ ba chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô I Tính xác suất có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra ở lần thứ ba
1.50 Một hộp chứa 20 bóng đèn, trong đó có 15 bóng mới và 5 bóng
cũ (đã qua sử dụng) Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bóng để sử dụng, sau đó trả lại vào hộp Lẩn thứ hai người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bóng Tĩnh xác suất có 2 bóng mới trong 3 bóng lấy ra ở lần thứ hai
1.51 Có 2 lô hàng: Lô I có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B; Lô II có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm đem bán Các sản phẩm còn lại ở 2 lô được dồn chung lại thành lô II Từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tính xác suất đó là sản phẩm loại A
1.52 Có 2 lô hàng, mỗi lô chứa 30 sản phẩm Lô I có 25 sản phẩm tốt, lô II có 20 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt Tính xác suất để lấy tiếp 1 sản phẩm nữa từ lô ấy cũng được sản phẩm tốt
1.53 Có 2 lô sản phẩm Lô I có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B Lô I có 15 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm, sau đó từ 2 sản phẩm thu được ta lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau củng là loại A
b) Biết sản phẩm lấy ra sau cùng là loại A Hãy xét xem khả năng
nhiều nhất nó thuộc vào lô nào ?
1.54 Một hộp có 5 sản phẩm hoàn toàn không biết rõ chất lượng của các sản phẩm Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm thì được cả 2 sản phẩm tốt Chứng minh rằng khả năng trong hộp có 3 sản phẩm còn lại đều tốt là cao nhất
1.55 Một hộp có 5 sản phẩm hồn tồn khơng biết rõ chất lượng của các sản phẩm Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp là đồng khá năng Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm thi thấy có 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm Tìm xác suất để lấy tiếp 1 sản phẩm trong số 2 sản phẩm còn lại, được sản phẩm tốt
Trang 10BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
xác suất để khi kiểm tra tiếp 3 sản phẩm nữa sẽ có 1 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B
1.57 Một hộp có n sản phẩm Bồ vào hộp 1 sản phẩm loại A, sau đồ lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là loại A, giả sử mọi giả thiết về số sản phẩm loại A ban đầu có trong hộp là đồng khả năng
1.58 Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm có tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 90% Trước khi xuất ra thị trường, mỗi sản phẩm đều phải qua kiểm tra chất lượng (KCS) Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên một sản phẩm tốt có xác suất 0,92 được công nhận là tốt và một phế phẩm có xác suất 0,96 bị loại bỏ
a) Hãy tính tỉ lệ sản phẩm được KCS xác nhận đạt tiêu chuẩn
b) Một khách hàng mua 1 sản phẩm có nhãn đạt tiêu chuẩn của KCS Tính xác suất để sản phẩm này thực sự là sản phẩm đạt tiêu chuẩn
1.59 Người ta chuyên chở một thùng có a sản phẩm loại A và b sản phẩm loại B đưa vào kho Trên đường đi người ta đánh rơi 1 sản phẩm Đến kho kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại A Tìm xác suất để sản phẩm bị đánh rơi là loại A
1.60 Có 2 lô sản phẩm: Lô ï có a chính phẩm và b phế phẩm; Lô II có c chính phẩm và d phế phẩm Từ lô I bỏ sang lô I 1 sản phẩm, sau đó từ lõ I bỏ sang lô I 1 sản phẩm, rồi từ lõ I lấy ra 1 sản phẩm Tìm xác suất lấy được chính phẩm
1.61 Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở công ty A 3 lân Xác suất để lần đầu bán được hàng là O,6 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lẳn sau bán được hàng là 0,8; còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất lân sau bán được hàng chỉ là 0,3 Tìm xác suất để:
a) Cả 3 lần đều bán được hàng b) Có đúng 2 lần bán được hàng
1.62 Trong một bệnh viện, có 40% bệnh nhan điểu trị bệnh A, 35%
bệnh nhân điểu trị bệnh B, 25% bệnh nhân điểu trị bệnh C Xác suất
chữa khỏi các bệnh A, B, © trong bệnh viện này tương ứng là 0,9;
Trang 11BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.63 Giả sử tỉ lệ người mắc bệnh A ở một địa phương là 25% Người ta
dùng một xét nghiệm T mà nếu người bị bệnh thì xét nghiệm luôn luôn cho dương tính, còn nếu không bị bệnh thì xét nghiệm có thể cho dương tính với xác suất 0,01
a) Tìm xác suất xét nghiệm cho dương tính với một người bất kỳ ở địa phương này b) Tìm xác suất người có bệnh, không bệnh trong nhóm người có xét nghiệm dương tính c) Qua phương pháp xét nghiệm này ta có thể ước lượng tỉ lệ người mắc bệnh là bao nhiêu ? 1.64 Có 3 nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ nhất có 8 người, nhóm thứ
hai có 5 người, nhóm thứ ba có 2 người Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba tương ứng
là 0,8; 0,9; 0,7 Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trật Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất
1.65 Có 3 xạ thú độc lập cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1
viên đạn Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,9; O,7; 0,8 Nếu có 1 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,4; Nếu có 2 viên đạn băn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,7; Nếu có 3 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt
a) Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu điệt
b) Biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt Tìm xác suất mục tiêu trúng 1 viên
đạn
1.66 Có 2 lô hàng Lô I có tỉ lệ sản phẩm loại A 1a 85%, 16 II co ti lé sản phẩm loại A là 75% Chọn ngẫu nhiên 1 lô rồi từ lõ đó lấy ngẫu
nhiên ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại A Trả lại sản phẩm đó vào lô đã chọn rồi từ lô đó lấy ra 1 sản phẩm Tìm xác suất để lấy
được sản phẩm loại A ở lần thứ hai
1.67 Có 3 hộp đựng các viên bi Hộp I có 5 bi trắng và 5 bi xanh; Hộp II có 5 bi xanh và 5 bi vàng; Hộp II có 5 bi vàng và 5 bi trắng Chọn
ngẫu nhiên 1 bi ở hộp I bổ vào hộp II, sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên
1 bi bổ vào hộp II Sau cùng, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 bi bổ vào hộp
I Tìm xác suất để hộp I có 5 bi trắng và 5 bi xanh sau tất cả các lần chuyển
1.68 Biết trẻ sinh đôi cùng giới có tỉ lệ gấp đôi trẻ sinh đôi khác giới
Trang 12BIEN CO NGAU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT -
suất để đứa thứ 2 là trai với điểu kiện đứa thứ 1 trong cặp sinh đôi là trai Giả sử khả năng sinh con trai trong mỗi lần sinh 1a 0,51
1.69 Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật) hoặc
do 2 trứng khác nhau (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng
giới tính Cặp sinh đôi giả có giới tính của mỗi bé là độc lập với nhau
và có xác suất 0,5 là bé gái
Thống kê cho thấy 32% cặp sinh đôi đều là gái, 30% cặp sinh đôi đều là trai, 38% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau
a) Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật
b) Tim tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong tống số cặp sinh đôi cùng giới tính
1.70 Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật) hoặc
Trang 13ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
BÀI TẬP
2.1 Ba xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng của các xạ thủ tương ứng là 0,8; 0,6; 0,7 Mỗi xạ thủ bắn 1 viên đạn
a) Lập luật phân phối xác suất của số viên trúng
b) Tim số viên trúng tin chắc nhất, số viên trúng trung bình vả phương sai của số viên trúng
c) Tĩnh xác suất có ít nhất 1 viên trúng
2.2 Có 3 lô hàng, mỗi lô có 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A có trong mỗi lô tương ứng là 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 1 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tim Mod(X), EŒ49), Var(X\)
c) Tìm xác suất có ít nhất 2 sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra 2.3 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên từ lô ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tìm Mod(X), E(X), Var(X)
2.4 Một xạ thú dùng 5 viên đạn để thử súng Anh ta bắn từng viên
vào bia với xác suất trúng tâm là 0,9 Nếu cô 2 viên đạn liên tiếp trúng tâm thì thôi không bắn nữa Gọi X là số viên đạn còn dư ra Hãy lập bảng phân phối xác suất của X và tìm Mod(X), E(X), Var(X)
2.5 Một xạ thủ đem 6 viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày thi bắn Anh ta bắn từng viên vào bia với xác suất trúng tâm là 0,9 Nếu bắn được 3 viên đạn liên tiếp trúng tâm thì thôi không bắn nữa Gọi X là số viên đạn anh ta đã bắn
a) Lap bang phan phối xác suất của X Tìm Mod(), E(Œ%), Var(X)
b) Xét trường hợp anh ta ngừng bắn do bắn được 3 viên đạn liên tiếp trúng tâm Gọi Y là số viên đạn còn lại Lập bảng phân phối xác suất
của Y Tìm Mod(Y), E(V), Var(Y)
2.6 Mỗi người góp vào x (ngàn đồng) để tham gia trò chơi như sau: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất, nếu được 2 mặt 6
chấm thì được nhận 22 (ngàn đồng); Nếu có 1 mặt 6 chấm thì được
Trang 14ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN a) Tìm x để về trung bình trò chơi là vô thưởng vô phạt (Không lãi,
không lỗ)
b) Cần tối thiểu bao nhiêu người chơi để tổng số tiền góp vào >22
(ngàn đông) và trò chơi vô thưởng vô phạt
2.7 Có 2 lõ hàng, mỗi lõ có 10 sản phẩm Lô I có 3 sản phẩm loại A,
lô II có 2 sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bổ sang
lô I„†ôổi từ lô I lấy ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại A có
trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lô II
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tim Mod(X), E(X), Var(X)
2.8 Có 2 cái hộp, mỗi hộp đựng 10 viên bi Số bi trắng có trong hộp I, hộp II tương ứng là 4, 3 (viên) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 2 bi bổ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ra 3 bi Goi X là số bi trắng có trong 3 bi được
lấy ra từ hộp H
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tìm Mod(X), E(X), Var(X)
2.9 Có 4 bóng đèn lắp trong mạch điện như hình sau đây Xác suất để các bóng 1, 2, 3, 4 bị hồng tại một thời điểm bất kỳ tương ứng là 0,01; 0,02; 0,02; 0,03 Gọi X là số bóng đèn phát sáng tại thời điểm quan sat
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tim Mod(&), E(X), Var(X)
oe Œ) @
———l
2.10 Một người có 4 chìa khóa và không nhớ chìa nảo mở cửa nhà Người này phải thử lần lượt từng chìa khóa cho đến khi mở được cửa
Gọi X là số chìa (lần) phải thử Hãy lập luật phân phối xác suất của X
2.11 Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đen Lấy ngẫu nhiên lân lượt từng
bi cho đến khi lấy được bi trắng Gọi X là số bi được lấy ra Hãy lập
bảng phân phối xác suất cia X va tim Mod(X), E(X), Var(X)
Trang 15ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
gặp sản phẩm giả thì ngừng lại Gọi X là số chính phẩm đã lấy ra, Y là số sản phẩm đã lấy ra Hãy xác định luật phân phối xác suất của X, Y
và tìm E(), E(Y) Giả sử lô hàng có số lượng rất lớn
2.13 (Phân phối hình học bị chặt) Khả năng xuất hiện một loại vi trùng (mà ta quan tâm) ở một thi nghiệm là p Một cán bộ nghiên cứu làm từng thí nghiệm một cho đến khi thành công (nhận được loại vi trùng trên) thì thôi Nhưng cán bộ đó chỉ được cấp kinh phí để làm tối đa n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm không thành công mà cán bộ trên đã làm Hãy lập luật phân phối của X
2.14 Trong hộp có a bi trắng và b bi đen Thực hiện lấy có hoàn lại từng bi cho đến khi lấy được bi trắng thì dừng lại Hãy lập luật phân phối xác suất của số bi đen (X) được lấy ra và tim E(X), Var(X)
2.15 Biết xác suất làm ra phế phẩm của một máy là p Máy sẽ được sửa chữa khi số phế phẩm làm ra tích lũy đến n Gọi X là số sản phẩm làm ra giữa 2 lần sửa chữa Hãy lập luật phân phối xác suất của
X va tim E(X), Var(X)
2.16 Một hộp có 5 bi, trong đó có 1 bi dé A và B thay nhau lẩn lượt mỗi người lấy 1 bi (A lấy trước), cho đến khi có người phát hiện ra viên
bi dé thì đừng lại Gọi X, Y tương ứng là số bi A, B sẽ lấy Hãy lập luật
phân phối xác suất của X, Y
2.17 Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng thì dừng lại Biết xác suất ném trúng rổ của 2 người
lân lượt là 0,6; O,7 Người thứ nhất ném trước Gọi X, là số lần ném rổ
của người thứ ¡, i=1,2 Hãy lập bảng phân phối xác suất của Xị, X¿, Y=X,¡+X¿
2.18 Xạ thủ A có 3 viên đạn, xạ thủ B có 5 viên đạn Xác suất bắn
trúng mục tiêu của A và B tương ứng là 0,8 và 0,6 A và B lần lượt thay nhau mỗi người bắn 1 viên đạn (A bắn trước và nếu A hết đạn thì B băn liên tiếp), bắn cho đến khi hoặc hết đạn hoặc có 1 viên đạn của ai đó trúng mục tiêu thì dừng Gọi X, Y tương ứng là số viên đạn A, B sẽ bắn Hãy lập luật phân phối xác suất của X, Y
Trang 16ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
loại A có trong 7 sản phẩm còn lại của lô Hãy lập luật phân phối xác suất của X
2.20 Có 3 hộp đựng các viên bi Hộp I chứa 6 bi trắng và 4 bi vàng;
Hộp II chứa 5 bi trắng và 5 bi vàng; Hộp II chứa 4 bi trắng và 6 bi vàng
a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên ra 2 bi thì được 2 bi trắng Lấy tiếp từ hộp đã chọn ra 3 bi Gọi X là số bi trắng có trong 3 bi lấy ra lần sau Hãy lập luật phân phối xác suất của
X
b) Chọn ngẫu nhiên 2 hộp, rồi từ 2 hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi Gọi Y là số bi trắng có trong 2 bi lấy ra Hãy lập luật phân
phối xác suất của Y
2.21 Có 2 hộp đựng các viên bi Hộp I chứa 2 bi trắng và 3 bi xanh;
Hộp II chứa 5 bi trắng Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II,
sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 3 bi bỏ vào hộp I Gọi Xị, X; tương
ứng là số bi trắng có ở hộp I, hộp II sau tất cả các lần chuyển Hãy lập
luật phân phối xác suất của Xị, Xa
2.22 Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư, xác suất để người đó gặp đèn đồ ở các ngã tư lần lượt là 0,4; 0,6; 0,3 Biét rang mỗi khi gặp đèn đổ phải ngừng khoảng 45 giây Hồi thời gian trung
bình phải ngừng trên đường đi của người đó là bao nhiêu 2
2.23 Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành 3 loại: xấu, bình thường và tốt với xác suất tương ứng: 0,25; 0,45 và 0,3 Với
tình trạng thời tiết trên thì khả năng sản xuất nõng nghiệp được mùa
tương ứng là 0,2; 0,6 va 0,7 Nếu được mùa thì mức xuất khẩu tương
ứng với 3 tình trạng thời tiết là 2,5; 3,3 và 3,8 (triệu tấn) Hãy tính
mnức xuất khẩu lương thực có thể hy vọng
2.24 Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông ở một thành phố,
người ta thấy xác suất một xe máy bị tai nạn trong 1 năm là 0,0045
Một công ty bảo hiểm để nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 50.000đ/xe/năm và số tiền bảo hiểm trung bình cho
1 vụ tai nạn xe máy là 5.000.000đ Biết chi phí quản lý bảo hiểm
chiếm 25% số tiển bán bảo hiểm Hãy tính lợi nhuận mà công ty bảo hiểm kỳ vọng thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm
Trang 17ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
năm cho những người ở độ tuổi đó với giá là 100 ngàn đồng và trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 15
triệu đồng Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thể bảo hiểm loại nay là bao nhiêu ?
2.26 Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với 2 phương án
trả công như sau:
Phương án 1: Trả 10 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện
Phương án 2: Trả 100 ngàn đồng nếu thua kiện và 30 triệu đồng nếu thắng kiện
Luật sư đã chọn phương án 2 Vậy theo đánh giá của luật sư thì
khả năng thắng kiện của công ty tối thiểu là bao nhiêu ?
2.27 Trong 1.000.000 vé số phát hành thì có 10 giải trị giá 26 triệu đồng, 20 giải trị giá 10 triệu đỗng, 100 giải trị giá 1 triệu đồng, 1.000 giải trị giá O,2 triệu đồng Tìm số tiền lãi kỳ vọng của một người khi mua 1 vé, biết giá vé là 10.000 đồng
2.28 Trong một cuộc thi có 2 hình thức sau:
* Hình thức I: Mỗi người phải trả lời 2 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng
được 5 điểm
* Hình thức II: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất mới được trả lời câu thứ hai, trả lời sai cuộc chơi sẽ dừng lại Trả lời đúng câu thứ nhất được 5
điểm, trả lời đúng câu thứ hai được 10 điểm
Trong cá 2 hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm Giả sử việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau với xác suất trả lời
đúng là 0,6
Hồi hình thức thi nào cho số điểm trung bình cao hơn
2.29 Biết lợi nhuận (triệu đồng) thu được trong năm sau, khi đầu tư 1 tỉ đồng vào mỗi ngành A, B tùy thuộc vào tình hình kinh tế trong nước
với dữ liệu như sau:
Lợi nhuận ứng với tình hình kinh tế
Ngành | Suy thoái | Ốn định | Tăng trưởng
A 10 150 300
B -50 250 450
Theo dự báo thì xác suất nền kinh tế trong nước rơi vào tình trạng
Trang 18ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2.30 Giả sử nhu cẩu hàng ngày về một loại thực phẩm tươi sống có phân phối xác suất như sau:
Nhu cẩu (kg) | 100 | 105 | 110 | 115
P 0,2 | 0,3 |0,35 |0,15
Biết mỗi kg mua vào với giá 5 ngàn đồng và bán ra với giã 7 ngàn
đông Nếu bị ế hàng phải bán với giá 2 ngàn đồng Giả sử khối lượng đặt hàng phải theo 1 trong 4 khối lượng nhu cầu Khi đó nên đặt hàng
với khối lượng là bao nhiêu để thu lãi nhiều nhất
2.31 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
Eixie (sa +x)4, vớix>0
0, véix<0
a) Hãy xác định a để f() là một hàm mật độ phân phối xác suất b) Với a được xác định như trên, hãy tìm E(X), Var(X)
2.32 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: f(x) = ax"e*, vớix>0
0, vớix<0
a) Hãy xác định a dé f(x) là một hàm mật độ phân phối xác suất
b) Với a được xác định như trên, hãy tìm E(Œ), Var(X) 2.33 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
{(x) = ae”, với x >0 0, vớix<0
a) Hãy xác định a để f(x) là một hàm mật độ phân phối xác suất
Trang 19CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG BÀI TẬP
3.1 Có 2 lô hàng, mỗi lô chứa 10 sản phẩm Lô I có 4 sản phẩm loại A, lô II có 6 sản phẩm loại A Lay từ lô I ra 2 sản phẩm, từ lô II ra 5 sản phẩm
a) Tĩnh xác suất lấy được 5 sản phẩm loại A
b) Dem 7 sản phẩm lấy ra đi bán với giá sản phẩm loại A là 10 ngàn
đồng, sản phẩm không phải loại A là 6 ngàn đồng Tìm sé tién thu
được trung bình và phương sai của số tiền thu được
3.2 Sản phẩm làm xong dược đóng thành từng kiện, mỗi kiện có 10
sản phẩm Kiện loại I có 7 sản phẩm loại A, kiện loại II có 4 sản phẩm loại A Một người mua hàng kiểm tra các kiện hàng bằng cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi kiện ra 3 sản phẩm để kiểm tra Nếu thấy có ít nhất 2 san phẩm loại A trong số 3 sản phẩm được lấy ra kiểm tra thì kết luận
đó là kiện loại I; Nếu ngược lại, thì kết luận đó là kiện loại II Giả sử trong kho hàng để 100 kiện, trong đó có 75 kiện loại I và 25 kiện loại
II Tính xác suất mắc phải sai lắm khi kiểm tra 1 kiện
3.3 Có 30 viên bi trong đó có 3 bi đỏ, được bỏ ngẫu nhiên vào 3 hộp với số lượng bằng nhau Gọi X, là số bị đồ có trong hộp thứ i Hãy tìm
luật phân phối xác suất của X¡, i=1,2,3
3.4 Để tiêu diệt một mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn bắn trúng
mục tiêu Bắn 10 viên đạn với xác suất mỗi viên bắn trúng mục tiêu là
0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt
3.5 Một viên đạn súng trường bắn trúng máy bay với xác suất 0,1% Có 3.000 khẩu bắn lên một lượt Biết rằng máy bay chắc chắn bị hạ
nếu có ít nhất 2 viên đạn bắn trúng Nếu có 1 viên đạn bắn trúng thì xác suất bị hạ là 70% Tính xác suất để máy bay bị hạ
3.6 Có 2 cái hộp, mỗi hộp chứa 10 bi trong đó có 3 bi trắng Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bổ sang hộp I, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên có hoàn lại ra 3 bi Gọi X là số bi trắng có trong 3 bi lấy ở hộp II
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Tìm Mod(X), E(X), Var(X)
8.7 Một bài trắc nghiệm có 10 câu hồi Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả
lời, trong đó chỉ có 1 đáp án đúng Một sinh viên làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án trả lời cho mọi câu
Trang 20CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG a) Tính xác suất để sinh viên này đạt yêu cầu (từ 5 điểm trở lên)
b) Nếu sinh viên này đã trả lời đúng 3 câu và các câu còn lại trả lời
một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để sinh viên này đạt yêu cầu
3.8 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 2 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ I, II tương ứng là 0,9; 0,8 Tính xác suất:
a) Số viên đạn trúng mục tiêu của 2 xạ thủ là bằng nhau
b) Số viên đạn trúng mục tiêu của xa thi I nhiều hơn
3.9 Một cái bia được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0,6 và trúng vòng ngoài là O,4 Tìm xác suất sao cho bắn 4 viên đạn
thì được ít nhất là 39 điểm Biết rằng bắn trúng vòng trong thì được 10
điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm
3.10 Có 3 lô hàng, mỗi lô có 1.000 sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A của từng lô tương ứng là 90%, 85%, 80% Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra
có từ 9 sản phẩm loại A trở lên thì mua lô hàng đó Gọi X là số lô
hàng được mua
a) Lập luật phân phối xác suất của X
b) Nếu chỉ có 1 lô được mua, hãy tìm xác suất để đó là lô có tỉ lệ sản phẩm loại A là 85%
3.11 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất câu được cá ở 3 chỗ đó lần lượt là 0,8; 0,9; O,7 Biết rằng ở mỗi chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá Hỏi kha nang con cá-câu được ở chỗ nào là lớn nhất 2
3.12 Bác sỹ chẩn đoán một bệnh nhân mắc bệnh A với tỉ lệ 60%, mắc bệnh B với tỉ lệ 40% Để có thêm thông tin, bác sỹ thực hiện thêm xét nghiệm T Sau 3 lân xét nghiệm thấy có 2 lần dương tính Biết khả năng dương tính của mỗi lần xét nghiệm đối với bệnh A, B tương ứng
là 80%, 90% Hãy cho biết nên chẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh gi?
3.13 Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau Một gia đình có 5 con Tìm xác suất để gia đình đó có:
a) 2 con trai
b) Ít nhất 2 con trai:
©) 2 con trai biết rằng đứa đầu lòng là trai
Trang 21CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
3.14 Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên 3 sinh viên ở một trường đại
học thì họ:
a) Có ngày sinh nhật khác nhau
b) Có ngày sinh nhật trùng nhau
3.15 3 nữ nhân viên phục vụ L M, N thay nhau rửa chén Giả sử cả 3 người đều có mức độ “khéo léo” như nhau Trong 1 tháng có 5 chén bị vỡ Tìm xác suất:
a) L đánh vỡ 3 chén và M đánh vỡ 2 chén
b) 1 trong 3 người đánh vỡ 4 chén
c) 1 trong 3 người đánh vỡ 5 chén
3.16 Trong hộp có n sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là
chính phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau Lấy ngẫu nhiên lần
lượt k sản phẩm theo cách có hoàn lại thì được toàn chính phẩm Tìm xác suất để hộp đựng toàn chính phẩm
3.17 Ở một địa phương có 4.000 người cẩn xét nghiệm máu để tìm kỹ
sinh trùng sốt rét Tỉ lệ người mắc bệnh ở địa phương theo thống kê là
15% Có 2 phương pháp làm xét nghiệm như sau: Phương pháp I: Xét nghiệm từng người
Phương pháp II: Lấy máu mỗi nhóm gồm 10 người trộn lẫn làm 1 xét nghiệm Nếu kết quả là âm tính thì 10 người đó không mắc bệnh Nếu
kết quả dương tính thì làm tiếp 10 xét nghiệm riêng lẻ để xác định
người bệnh Hồi phương pháp nào có lợi hơn ?
3.18 Biến cố nào trong các biến cố sau đây có xác suất lớn nhất: a) Có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 khi tung con xúc xắc 6 lần
b) Có ít nhất 2 lần xuất hiện mặt 6 khi tung con xúc xắc 12 lần c) Có ít nhất 3 lần xuất hiện mặt 6 khi tung con xúc xắc 18 lần
3.19 Một người có 2 con gà mái loại I và 3 con gà mái loại II Trong 1
ngày xác suất để gà loại I, loại II để trứng tương ứng là 80%, 70% a) Lập luật phân phối xác suất của số trứng thu được trong 1 ngày b) Mỗi trứng gà bán được 2.000 đồng Chi phí thức ăn 1 ngày cho mỗi con gà loại I, loại II tương ứng là 600; 500 (đồng) Tính thu nhập trung bình trong 1 ngày và phương sai của thu nhập trong 1 ngày
3.20 Hai xạ thủ A, B, mỗi người bắn 2 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B tương ứng là 0,6; 0,7 Gọi X là số viên trúng của A trừ đi số viên trúng của B
Trang 22CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
b) Lập luật phân phối xác suất của Y = IXI
3.21 Một hệ thống kỹ thuật gồm n bộ phận với xác suất hoạt động tốt của mỗi bộ phận là p Hệ thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất 1
bộ phận bị hỏng Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống người ta dự trữ
thêm 2n bộ phận nữa theo 2 phương thức sau: # —|l [2 =] E] i vệ ] TP] ne ps Bi] [ p] Ip| te] p ewe +P | 2 n Hỏi phương thức dự trữ nào đem lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ thống
3.22 Hai người chơi cờ thỏa thuận với nhau là ai thắng trước một số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc Trấn đấu bị gián đoạn khi người thứ I
còn thiếu m ván thắng, người thứ II còn thiếu n ván thắng Vậy phải
phân chia tiền đặt như thế nào là hợp lý ? Biết rằng xác suất thắng
mỗi ván của mỗi người déu 1a 0,5
3.23 Một người có 2 hộp diêm trong túi, mỗi hộp có n que diêm Mỗi khi hút thuốc người đó rút ngẫu nhiên 1 hộp và lấy ra 1 que diém dé đánh lửa Tìm xác suất để khi người đó phát hiện 1 hộp diém đã hết
thì hộp kia còn lại đúng r que diém
3.24 Hội đồng quản trị của một doanh nghiệp có 7 thành viên và mọi
vấn dé déu được giải quyết theo đa số Ông chủ tịch muốn thông qua
một để án kinh doanh do öng soạn thảo Giả sử khả năng ủng hộ hay phản đối của mỗi thành viên hội đồng là như nhau
a) Tim xác suất để dé án được thông qua
b) Giả sử trong hội đồng quan trị có chi bộ Đảng gồm ông chủ tịch và
2 thành viên khác và chi bộ họp trù bị để thông qua để án cũng theo
nguyên tắc đa số Sau đó ra cuộc họp chung thì mọi Đảng viên phải tuân theo quyết định của cuộc họp trù bị Vậy lúc đó xác suất để để án được thông qua là bao nhiêu ?
Trang 23CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
3.25 Một công ty xây dựng cần mua 50.000 viên gạch lát nên của công ty gạch Đồng Tâm Theo hợp đông, khi nhập hàng công ty xây dựng kiểm tra ngẫu nhiên 100 viên, nếu thấy có không quá 2 viên thứ phẩm thì chấp nhận lô hàng, nếu có trên 2 viên thứ phẩm thì trả lô
hàng Giả sử công ty Đỏng Tâm đem giao lô hàng có tỉ lệ thứ phẩm là 2%
a) Tìm khả năng công ty Đồng Tâm gặp may trong việc giao lô hàng
trên
b) Giả sử lô hàng được chấp nhận Nếu kiểm tra 100 viên mà không
thấy viên thứ phẩm nào thì lô hàng được xếp loại A và công ty xây dựng thanh toán mỗi viên 40.000 đồng; Nếu thấy có 1 viên thứ phẩm thì lô hàng được xếp loại B với 2% số viên chỉ được thanh toán 30.000 đồng/viên; Nếu thấy có 2 viên thứ phẩm thì lô hàng được xếp loại C với 10% số viên chỉ được thanh toán 30.000 đồng/viên Hãy xác định
khả năng nhiều nhất lô hàng được xếp vào loại gì ? Tìm doanh thu trung bình của lô hàng trên
3.26 Thời gian cần thiết để đi từ nhà đến trường của một sinh viên là
đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 45 phút, độ lệch tiêu chuẩn 5 phút Sinh viên này xuất phát từ nhà trước giờ vào
học 50 phút
a) Tĩnh xác suất để sinh viên này bị trễ giờ
b) Sinh viên này phải đi trước giờ vào học bao nhiêu thời gian để xác
suất bị trễ giờ là 1%
3.27 Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm và độ lệch tiêu chuẩn 1,5 năm Bán một máy được lãi 140 ngàn đồng, song nếu máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn đồng thì phải qui định thời gian bảo hành là bao lâu ?
3.28 Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn tiến hành sản xuất 100 sản phẩm Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 85 sản phẩm loại A
trở lên thì được nâng bậc thợ Giả sử đối với một công nhân, xác suất
để sản xuất được sản phẩm loại A ở 2 máy tương ứng là 0,9; 0,85
Tĩnh xác suất để công nhân này được nâng bậc thợ
Trang 24CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
có phân phối chuẩn với trung bình 1.004 gam và độ lệch chuẩn 15
gam Các sản phẩm có trọng lượng từ 1.000 gam trở lên là loại A
Chọn ngẫu nhiên 1 trong 5 máy rồi tiến hành sản xuất 100 sản phẩm Tĩnh xác suất: a) Có 60 sản phẩm loại A b) Có không dưới 60 sản phẩm loại A 3.30 Ở một thành phố có 55% dân số là nữ a) Chọn ngẫu nhiên 400 người Tính xác suất để trong mẫu được chọn, số nữ ít hơn số nam
b) Tìm số người được chọn n sao cho với xác suất 0,99 có thể khẳng định số nữ nhiều hơn số nam
3.31 Trọng lượng cúa một loại trái cây là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình của một trái là 200 gam
Trái cây được đóng thành từng sọt, mỗi sọt có 100 trái Sọt là loại I
nếu có trọng lượng từ 20 kg trở lên Kiểm tra 100 sọt Tính xác suất để
có ít nhất 45 sọt loại I
3.32 Trọng lượng của các bao gạo do 2 máy đóng bao sản xuất là các đại lượng ngấu nhiên X, ~ N(50 kg; 0,01 kg”) (đối với máy J) và X, ~ N(50 kg; 0,04 kg?) (đối với máy II Bao gạo là loại I nếu có trọng lượng từ 49,9 kg trở lên Một lô hàng gồm 10.000 bao gạo, trong đó có 6.000 bao do máy I sản xuất và 4.000 bao do máy II sản xuất Lấy
ngẫu nhiên từ lô hàng ra 100 bao để kiểm tra: Nếu có từ 75 bao loại I
trở lên thì nhận lô hàng; Nếu có từ 45 bao loại I trở xuống thì không nhận lô hàng Trường hợp số bao loại I nằm trong khoảng [46; 74] thì lấy tiếp từ lô hàng ra 50 bao để kiểm tra, nếu trong số 50 bao lấy ra
có từ 40 bao loại I trở lên thì nhận lô hàng, ngược lại thì không nhận
Tìm xác suất để lô hàng được nhận
3.33 Chi phí của một công trình xây dựng gồm có 2 loại: Chi phí vật liệu và chi phí nhân công Biết chỉ phí vật liệu là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 5 tỉ đồng và độ lệch tiêu chuẩn 0,5
t đồng; Số ngày công để hồn thành cơng trình là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 120 ngày và độ lệch tiêu
chuẩn 10 ngày Biết chi phí cho 1 ngày cơng của tồn cơng trình là 35
triệu đồng Tính xác suất để tổng chi phí của công trình xây dựng này
Trang 25CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
3.34 Có 2 thị trường đầu tư A và B Lãi suất (%) thu được trên 2 thị
trường đầu tư này là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, độc lập với nhau, có kỳ vọng và phương sai như sau:
Thị trường đầu tư | Kỳ vọng | Phương sai A 20 25 B 30 100 a) Nếu muốn đạt lãi suất tối thiểu là 15% thì nên đầu tư vào thị trường nao ? b) Để hạn chế rủi ro thì nên đầu tư vào 2 thị trường trên theo tỉ lệ như thế nào ?
3.35 Giả sử chiều cao (cm) của sinh viên một trường Đại học có luật
phân phối chuẩn Biết rằng có 15,87% sinh viên cao hơn 175 cm và 30,85% sinh viên thấp hơn 160 em Hãy tìm tỉ lệ sinh viên có chiều cao từ 162 cm trở lên
3.36 Cho X, i=1,2, ,.n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân
phối chuẩn với E(X,) = u, Var(X,) = øŸ, ¡ = 1,2, ,n
— = 1 n
Hãy lập công thức tính PÍ| ~n|< } với X=À X, và >0
3.37 Tiến hành 1.000 phép thử độc lập với p = P(A) = 0,85 trong mỗi
phép thử Hãy tìm xác suất sao cho sai lệch giữa tần suất và xác suất
không vượt quá 0,02
3.38 Tiến hành kiểm tra 400 sản phẩm Xác suất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8 Hãy tìm với xác suất 0,9876 xem số sản phẩm đạt tiêu chuẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trung bình 2
3.39 Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử là O,5 Các phép thử là độc lập với nhau Hãy tìm số phép thử n sao cho với xác suất 0.9544 có thể khẳng định rằng tần suất sai lệch so với xác suất không vượt quá 0,05
3.40 Việc kiểm tra các viên bi được tiến hành như sau: Nếu viên bị không lọt qua lỗ có đường kính d¡ nhưng lọt qua lỗ có đường kính d;
thì viên bi được coi là đạt tiêu chuẩn, ngược lại thì viên bi bị loại Biết
Trang 26CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG d,+d 17+ va o= 2 4 Tìm xác suất để viên bi bị loại u=
3.41 Thời gian bảo hành sản phẩm được qui định là 2 năm Nếu ban |
được 1 sản phẩm thì công ty lời 1,5 triệu đồng, nhưng nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì công ty phải tốn chỉ phí trung bình là 5 triệu đồng cho việc bảo hành Biết rằng tuổi thọ của sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 5 năm và độ lệch chuẩn là 2 năm
a) Tim số tiền lời mà công ty kỳ vọng thu được khi bán mỗi sản phẩm b) Nếu muốn số tiển lời trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là 1,3 triệu đồng thì phải qui định thời gian bảo hành là bao lâu ?
3.42 Chiều dài X và chiều rộng Y của một chỉ tiết cơ khí được gia công
một cách độc lập và là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kx = 10cm, ơv =0,08cm; Hy = 5cm, ơy =0,06cem Chi tiết được xem
là đạt tiêu chuẩn nếu các kích thước của nó sai lệch so với kích thước
trung bình không quá 0,1 cm
a) Tim tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn
b) Tìm xác suất để khi gia công 5 chỉ tiết có ít nhất 1 chỉ tiết đạt tiêu chuẩn
3.43 Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một loại tivi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với u= 4000 giờ và œ=200 giờ Giả sử mỗi ngày người ta xem tivi trung bình là 10 giờ và thời hạn bảo hành miễn phí là 1 năm (360 ngày) a) Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành
b) Phải nâng chất lượng sản phẩm bằng cách tăng thời gian hoạt động tốt trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành vẫn như trên nhưng thời gian bảo hành nâng lên thành 2 năm
3.44 Một máy bay ném bom bay dọc theo một cây cầu dải 20 m, rộng 6m và ném 2 trái bom Biết rằng khoảng cách từ điểm rơi của trái bom đến trục đối xứng theo chiều dọc và chiều ngang của cây cầu là
các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán
bằng 0 và các độ lệch chuẩn tương ứng là 5 m và 8 m Tìm xác suất để cây cầu bị trúng bom
3.45 Một trạm cho thuê xe ô tô có 3 chiếc xe Chỉ phí bảo dưỡng hàng
Trang 27CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
đồng/ngày Giả sử số người đến thuê xe của trạm là đại lượng ngẫu
nhiên X có phân phối Poisson với trung bình 2,5 người/ngày Gọi Y là
số tiên thu được trong 1 ngày của trạm
a) Lập luật phân phối xác suất của Y Tìm E(Y) b) Trạm nên có 3 hay 4 xe
3.46 Ở một trạm bơm xăng trung bình mỗi giờ có 10 xe máy đến đổ
xăng Tìm xác suất để trong | gid nao đó, có: a) Hơn 5 xe đến đổ xăng
b) Dưới 8 xe đến đổ xăng
3.47 Mot doan thang AB dai 10cm bị gãy ngẫu nhiên ở một điểm C Hai đoạn gãy AC và CB được sử dụng để làm 2 cạnh của một hình chữ nhật Tim kỳ vọng và độ lệch tiêu chuẩn của diện tích hình chữ nhật
3.48 a) Người ta can đặt I trạm cứu hỏa trên một con đường có độ dài
1(1<+œ) Giả sử hóa hoạn có thể xuất hiện tại điểm X có phân phối đều trong khoảng (0,1) Hỏi nên đặt trạm ở vị trí nào để trung bình
khoảng cách từ chỗ hỏa hoạn đến trạm là nhỏ nhất
b) Cũng với câu hỏi như trên, nhưng xét trong trường hợp Ì=+© và
khoảng cách (từ O đến chỗ hỏa hoạn) X có phân phối mũ với tham số
Trang 28VÉCTƠ NGẪU NHIÊN — HAM CUA CAC DI BAI TAP 4.1 Cho (X,Y) có phân phối xác suất đồng thời như sau: X | =1 o0 1 x 1 0,12 | 0,2 | 0,08 2 |0,18]| 0,3 | 0,12 | a) Chứng minh rằng X và Y độc lập b) Tìm luật phân phối xác suất của Z = XY Từ đó kiểm tra biểu thức: E(Z) = E(X).E(Y)
4.2 Cho biết số trẻ em sinh ra (X) và số người chết (Y) trong 1 ngay
một địa phương có luật phân phối xác suất như sau: x | o 1 2 [3 P 0,35 0,4 |0,15|0,1 Y 0 ] 2 P 0,3 | 0,5 | 0,2 Giả sử X và Y độc lập a) Hãy lập luật phân phối xác suất đồng thời của (X,Y) b) Tinh P(X > Y) 4.3 Cho X ~ B(2; 0,6), Y ~ B(2; 0,8), X va Y doc lập a) Lập luật phân phối xác suất của X+Y
b) Chứng tỏ rằng X+Y không có phân phối nhị thức
4.4 Cho (X,Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: bá y 0 1 x 0 a 0,2 0,12 1 0,12 0,3 b a) Tim a, b sao cho X, Y độc lập b) Cho a = 0,1 ( Chứng tỏ X, Y không độc lập (ii) Tim y sao cho Cov(X,Y) = 0
4.5 Một người tham gia đấu thầu 7 dự án nhỏ với xác suất thắng thầu mỗi dự án là O,6 Nếu thắng thầu mỗi dự án người đó thu được 300
Trang 29| |
VECTO NGAU NHIÊN - HAM CUA CÁC ĐLNN
4.6 Giả sử 2 loại cổ phiếu A, B có lãi suất (%) là 2 đại lượng ngẫu
nhiên X, Y có phân phối xác suất đồng thời như sau: Y 0 5 15 30 x 0 0,01 O,1 0,1 0,05 10 0,02 0,2 O,15 0,05 20 0,02 0,15 0,1 0,05
a) Nếu đâu tư riêng biệt vào từng loại cổ phiếu thì lãi suất kỳ vọng va phương sai của lãi suất là bao nhiêu
b) Nếu muốn đạt lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì nên đầu tư vảo 2 loại cổ
phiếu với tỉ lệ như thế não 2
c) Nếu muốn hạn chế rủi ro thì nên đầu tư vào 2 loại cổ phiếu với ti lệ
như thế nào 2
4.7 Một cái hộp dựng 5 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Các sản phẩm được lần lượt lấy ra một cách ngẫu nhiên không hoàn lại để kiểm tra cho tới khi phát hiện thấy phế phẩm
Gọi Xị là số lản kiểm tra cho đến khi phế phẩm đầu tiên được phát hiện, X¿ là số lẳn kiểm tra thêm cho đến khi phế phẩm thứ hai
được phát hiện
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, X¿)
b) Tìm hệ số tương quan tuyến tính p(X,,X,)
4.8 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại I, 5 sản phẩm loại II và 3 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 3 sản phẩm Gọi X¡ là số sản phẩm loại ¡ có trong 3 sản phẩm lấy ra,
1.2
a) Lap bảng phân phối xác suất đỏng thời của (X:, X2) b) Tìm hệ số tương quan tuyến tính p(X;,X;)
4.9 Điều tra thu nhập (Triệu đồng/năm) của 10 cặp vợ chồng, ta có số
liéu: (X,Y): (36, 30); (48, 40); (48, 30); (36, 40); (36, 40); (48, 40): (54, 40); (48, 50); (54, 50); (54, 40)
Với X là thu nhập của người chồng, Y là thu nhập của người vợ a) Lap bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y)
b) Lập bảng phân phối lẻ của X, Y Tinh E(X), E(Y), Var(X), Var(Y)
e) Tính p(X;,X¿) X và Y có độc lập với nhau không ?
Trang 30VECTO NGAU NHIEN — HAM CUA CÁC ĐLNN
4.10 Với số liệu của bai 4.9
a) Giả sử thu nhập sau thuế của các cặp vợ chỏng được xác định bởi biểu thức: W = 0,8X + 0,7Y Hãy tìm E(W) và Var(W)
b) Giả sử tiên đóng bảo hiểm xã hội của các cặp vợ chồng được xác định bởi biểu thức: Z = 0,1X + 0,15Y Hãy tìm E(Z) va Var(2)
c) Để đo mức độ bất công theo giới tính, các nhà xã hội học thường dùng công thức: D = X - Y Hãy tìm E(D) và Var(D)
đ) Có 3 cách đánh thuế thu nhập như sau: 6) T = 0,25S (ii) T = 0,4(S - 20) (ii) Thu theo bảng thuế lũy tiến: S | 66 | 76 | 78 | 88 | 94 | 98 | 104 T|Ị 5 | 10] 11 | 20 | 26 | 30| 38 Hồi cách đánh thuế nào có lợi nhất cho chính phủ
4.11 Thống kê dân số của một nước theo 3 chỉ tiêu: Học vấn (X), lita
tuổi (Y) và giới tính (Z) ta có bảng số liệu sau: Học Giới tính (Z) vấn Nam (0) Nữ (1) (x) Lữa tuổi (Y) Lứa tuổi (Y) 30 50 70 30 50 70 Thất học (0) | 0,003 | 0,011 | 0,029 | 0,003 | 0,012 | 0,032 Tiểu học (1) | 0,015 | 0,034 | 0,052 | 0,016 | 0,033 0,054 Trung học (2) | 0,091 | 0,098 | 0,079 | 0,092 | 0,096 0,074 Đại học (3) | 0,038 | 0,041 | 0,018 | 0,031 | 0,032 | 0,016 a) Hãy xây dựng bảng phân phối xác suất đồng thời của học vấn và giới tinh (X,Z) b) Hãy xây dựng bảng phan phối xác suất đông thời của học vấn và lứa tuổi (X.Y)
c) Hãy lập các bảng phân phối xác suất có điều kiện: X/Z=0, X/Z=l tại
các độ tuổi 30, 50 và 70 So sánh trình độ học vấn trung bình của nam và nữ ở các độ tuổi tương ứng 4.12 Cho đại lượng ngẫu nhiên 2 chiểu (X, Y) có hàm mật độ đồng thời: t < z
ftayi< cxy, niên Mường <y<l 0, néu trai lai
a) Tim c
Trang 31VECTO NGAU NHIÊN - HAM CUA CÁC ĐLNN
4.13 Một viên đạn được bắn vào một tấm bia hình tròn có bán kính 1 Lấy tâm hình tròn làm gốc tọa độ Gọi (X, Y) là tọa độ điểm trúng bia
của viên đạn Giả sử (X, Y) có hàm mật độ đỏng thời:
fest ie néu x?+y? <1 0, néu trai lai
a) Tim c
b) Tìm f¿(), fy(y), EŒ) E(Y), Cov(X.Y)
c) Tìm khoảng cách trung bình từ điểm trúng bia tới tâm
4.14 Một điểm A rơi ngẫu nhiên vào một hình vuông H có cạnh là 1
Gọi (X, Y) là tọa độ của A Giả sứ (X Y) có ham mật độ đồng thời:
Trang 32LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BÀI TẬP
5.1 Cho Xị, X;, , X¿o là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với E(%X,) = 10, Var(X) = 1, i=1,2, ,20 Hay sử dụng bất đẳng thức Tsebisev để
tìm a, b sao cho:
( 20
Pla<>X, <bÌ> 0,85
\ isl J
B.2 Hãy sử dụng bất đẳng thức Tsebisev để đánh giá xác suất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị sai lệch với kỳ vọng toán bé hơn 3 lần độ lệch chuẩn
5.3 Có 10 máy hoạt động độc lập với nhau Xác suất để mỗi ngày làm việc máy bị hỏng là 0,02 Hãy dựa vào bất đẳng thức Tsebisev để đánh
giá xác suất của sự sai lệch giữa số máy hỏng và số máy trung bình bị
hồng, với các trường hợp: a) Nhỏ hơn 2
b) Không ít hơn 2
5.4 Xác suất xuất hiện sản phẩm loại A (biến cố A) khi kiểm tra 1 sản phẩm là 0,6 Hãy sử dụng bất đẳng thức Tsebisev để đánh giá xác suất của X (Số lân xuất hiện biến cố A) nằm trong khoảng 50 đến 70, khi tiến hành kiểm tra lần lượt 100 sản phẩm
5.5 Có bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X như sau: [xi 1]2]3 P 0,2 | 0,5 | 0,3 Hãy sử dụng bất đẳng thức Tsebisev để đánh giá xác suất của biến cố: (|x _ EX) < 7|
5.6 Xác suất chậm tàu của mỗi hành khách là 0,001 Hãy sử dụng bất đắng thức Tsebisev để đánh giá xác suất trong 10.000 hành khách có từ 5 đến 15 người chậm tàu
5.7 Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm để với xác suất ít nhất là 0,95
có thể hy vọng rằng sai lệch giữa tắn suất xuất hiện sản phẩm tốt và xác suất xuất hiện sản phẩm tốt là 0,8 sẽ không vượt quá 0,01
Trang 33!
LUẬT SỐ LỚN VA CAC BINH LY GIGI HAN |
tiêu chuẩn trong 2.000 sản phẩm sẽ nằm trong khoảng từ 88% đến
92% l
5.9 Thu nhập trung bình hàng tháng của các giám đốc doanh nghiệp
nhỏ là 15 triệu đồng và độ lệch chuẩn là O,5 triệu đồng Hãy xác định
khoảng thu nhập của 99% giám đốc
5.10 Tiên điện phải trả của một hộ gia đình trong 1 tháng là đại lượng ngẫu nhiên với kỳ vọng 500 ngàn đồng và độ lệch tiêu chuẩn 10 ngàn
đồng Hãy sử dụng bất đẳng thức Tsebisev để tìm số M nhỏ nhất sao
cho với xác suất 0,95 số tiền điện phải trả trong 1 năm khöng vượt quá
M
5.11 Gieo một con xúc xắc cân đối n lan Goi X 1a sé lan xuất hiện
mặt 6 chấm Chứng mỉnh rằng:
|
5.12 Gieo một con xúc xắc 120 lan Tinh xác suất để số lần xuất hiện
mặt sáu chấm không lớn hơn 20 trong các trường hợp: a) Con xúc xắc cân đối
b) Con xúc xắc không cân đối, có xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là 1/10
x 2 6
31
<va}2
5.13 Tung 1 con xtc xắc cân đối và đồng chất 3.000 lần
a) Tìm xác suất tối thiểu để số lẫn xuất hiện mặt sáu chấm nằm trong
khoảng từ 450 đến 550
b) Gọi Ÿ là số chấm trung bình xuất hiện trong 3.000 lần tung Tìm xác suất của biến cố: [*- 3; 5| <0, 1Ì
5.14 Phải tung 1 con xúc xắc bao nhiêu lan để với xác suất không nhồ hơn 0,99 thì số chấm xuất hiện trung bình sai lệch so với 3,5 bé hơn
0,01
5.15 Một hộp có 100 bi, trong đó có 60 bi trắng Hồi phải lấy có hoàn lại bao nhiêu bi từ hộp để với xác suất không dưới 95%, tẳần suất xuất hiện bi trắng sẽ sai lệch so với xác suất xuất hiện bi trắng không vượt
Trang 34LÝ THUYẾT MẪU
BÀI TẬP
6.1 Cho tổng thể được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X có phân
phối xác suất như sau: XỊ 1 2 3_ | Lực lượng tổng thể là N = 3 P| 1/3 | 1/3 | 1/3 Từ tổng thể trên hãy thành lập các mẫu ngẫu nhiên gồm n = 2
quan sát độc lập Từ đó hãy lập luật phân phối xác suất của X ,8? và
kiểm tra các kết quả: E(X) =p, Var (X) = =, B(S°) =gẦ,
6.2 Để nghiên cứu tuổi thọ (X: giờ) của một loại bóng đèn, người ta thắp thử 100 bóng và thu được bảng số liệu sau đây: x,| 990- 1.010- | 1.030 - 1.050 - 1.070 — 1.090 ~ 1.010 1.030 1.050 1.070 1.090 L110 In 8 16 25 30 12 9 — 2 4 Hãy tính: x; s ; s7; s
6.3 Điều tra doanh số hàng tháng (X: Triệu đông) của 100 đại lý, ta
thu được bảng số liệu sau đây: x | 100-150 | 150-180 | 180-210 | 210-240 | 240- 270 | 270-300 Ty 8 16 25 30 12 9 -8 Hãy tính: x 83 8°; 8
6.4 Có số liệu sau đây về doanh số bán (Triệu déng/thang) va chi phi
quảng cáo (Triệu đồng/tháng) của 100 đại lý cũng kinh doanh các mặt hàng như nhau: Chiphi | Doanhsốbány) _ quảng cáo (x) | 100 —- 140 | 140 - 180 180 - 220 5-10 20 1 4 10-15 5 16 9 15-20 | 5_ 3 37 —= «2 a) Hay tinh: x; sx; sy; Sy - 2,
b) Hay tinh: y; sy; Ses 8 c) Hay tinh: y/x=7,5;
d) Tinh rxy va nhan xét
/x=12,5 y/x=17,5
Trang 35LÝ THUYẾT MẪU 6.5 Có số liệu sau đây về chi tiêu (Triệu đồng/tháng) và thu nhập (Triệu đông/tháng) của 100 hộ gia đình: Thu Chi tiêu (y,) nhập () | 5- 7 |7-9 |9- 11 6-10 15 3 2 10-14 5 17 8 14-18 5 15 30 _ +2 a) Hay tinh: x; sx; Sẽ; Sự —: xð SNP» TS ae a gees
b) Hay tinh: y; sy; Sy; Sy-
c) Hay tinh: y/x=8 y/x=12; y/x=16
đ) Tính rxy và nhận xét
6.6 Một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n = 25 được rút ra từ tổng thể
có phân phối chuẩn với trung bình là 50 và độ lệch chuẩn là 2 Hãy tìm xác suất để trung bình mẫu nằm trong khoảng từ 49 đến 51
6.7 Một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n được rút ra từ tổng thể có
phân phối chuẩn với trung bình là ụ và độ lệch chuẩn là 10 Hãy tim
n sao cho:
a) PÍ|X —u| < 10) = 0,9544 b) P(K-1] <5) = 0,9544; e) PÍX-w| < 2) = 0,9544
6.8 Trọng lượng một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là ¡ô và độ lệch chuẩn là 3 Lấy ngẫu nhiên 9 sản phẩm để kiểm tra thì với xác suất 0,99 trọng lượng trung bình
của chúng sai lệch so với trọng lượng qui định tối đa là bao nhiêu ?
6.9 Hai mẫu ngẫu nhiên có cùng kích thước n = 100 được rút ra từ 2
tổng thể độc lập với nhau và có phân phối chuẩn với cùng trung bình
nhưng phương sai lần lượt là 10; 15 Hãy tìm xác suất để trung bình
của 2 mẫu đó lệch nhau ít nhất là 1
6.10 Hai mẫu ngẫu nhiên có kích thước nạ = 30 và nạ = 25 được rút ra từ 2 tổng thể độc lập với nhau và cô phân phối chuẩn với
Trang 36LÝ THUYẾT MẪU
6.11 Tỉ lệ phế phẩm cho phép của một lô hàng là 10% Vậy với xác suất 0,99 nếu lấy ngẫu nhiên ra 100 sản phẩm để kiểm tra thì tỉ lệ phế phẩm tối đa của mẫu sản phẩm đó là bao nhiêu để có thể chấp
nhận được lô hàng
6.12 Tỉ lệ đậu tốt nghiệp trung học chung của cả nước là 80% Vậy
một trường có 900 học sinh thi tốt nghiệp thì phải có tối thiểu bao nhiêu em đậu thì sẽ được xem là bình thường Kết luận với xác suất
0,99
6.13 Theo thống kê toàn thành phố Hồ Chí Minh người ta thấy rằng có 70% các hộ gia đình có thu nhập hàng tháng nằm trong khoảng từ 4 triệu đồng đến 10 triệu đồng Vậy phải điều tra một mẫu gồm bao nhiêu hộ để với xác suất 0,99 thì tỉ lệ các hộ có thu nhập trong khoảng trên sai lệch so với tỉ lệ chung của thành phố không quá 5% 6.14 Biết tỉ lệ đàn öng và phụ nữ ủng hộ việc sử dụng các biện pháp tránh thai là 0,55 và 0,68 Vậy nếu phỏng vấn ngẫu nhiên 400 đàn ông và 400 phụ nữ về vấn đê trên thì xác suất để tỉ lệ đàn ông và tỉ lệ phụ nữ trong 2 mẫu nói trên khác biệt nhau quá 20% là bao nhiêu ?
6.15 Chiều cao của các sinh viên một trường đại học là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 165 cm và độ lệch chuẩn
là 10 cm Chọn ngẫu nhiên 36 sinh viên ở trường đại học này
a) Tìm xác suất để chiều cao trung bình của số sinh viên nói trên
không vượt quá 168 cm
b) Tìm xác suất để độ lệch tiêu chuẩn của chiều cao các sinh viên nói
trên lớn hơn 7,7 cm
6.16 Người ta đẻ nghị 17 nhà phân tích tài chính dự báo chỉ số của thị trường chứng khoán trong tháng tới Cho biết các kết quả dự báo là ac biến ngẫu nhiên có cùng quy luật phân phối chuẩn
Với xác suất 0,01 thì phương sai của kết quả dự báo của các nha ân tích trên có thể lớn hơn phương sai thực ít nhất bao nhiêu lần ? b/ Tìm giá trị a sao cho với xác suất 0,98 ta có tỉ số giữa phương sai
mẩu phương sai thực nằm trong khoảng (a,b) Biết b = 2
„17 Biết tỉ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ trong một thành phố là 20% Xét một mẫu điều tra gồm 100 người của thành phố này
a/ Tìm xác suất để có trên 24% số người trong mẫu trên có mua bảo
Trang 37LÝ THUYẾT MẪU b) Với xác suất là 0,05 thi tan suất mẫu lớn hơn tỉ lệ của cả tổng thể
một lượng tối thiểu là bao nhiêu ?
6.18 Trọng lượng của các con gà trong một trại nuôi gà là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 2,8 kg/con Hãy tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên từ trại gà ra 16 con thì trọng lượng trung
bình của chúng nằm trong khoảng (2,7; 2,9) (kg) Biết rằng với xác suất 0,9544 thì trọng lượng của các con gà trong trại nằm trong khoảng sai
lệch so với trọng lượng trung bình là 0,6 kỹ
6.19 Trọng lượng các bao gạo xuất khẩu là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình (Trọng lượng quy định) là 50 kg và độ lệch chuẩn cho phép là 0,5 kg Nếu từ một lô hàng xuất khẩu đem cân ngẫu nhiên 2B bao thì với xác suất O,95 trọng lượng trung bình của chúng chỉ được phép sai lệch so với trọng lượng quy định tối đa là bao nhiêu để có thể cho phép xuất khẩu lô hàng đó
6.20 Kích thước chỉ tiết cơ khí sau khi gia công là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn cho phép là 0,1 mmn Nếu từ một lô chi tiết mới được gia công đem kiểm tra ngẫu nhiên 20 chỉ tiết thì với xác suất 0,99 độ lệch tiêu chuẩn tối đa của chúng có thể
bằng bao nhiêu để có thể kết luận rằng lô chỉ tiết đó là đạt tiêu chuẩn 6.21 Biết tỉ lệ phụ nữ trong độ tuổi sinh để có áp dụng các biện pháp kế hoạch hóa gia đình ở một nước là 70% Tại một địa phương, nếu điều tra ngẫu nhiên 300 phụ nữ trong độ tuổi sinh đẻ thì tối thiểu tỉ lệ áp dụng các biện pháp kế hoạch hóa gia đình trong số người đó phải
là bao nhiêu đế có thể kết luận công tác kế hoạch hóa gia đình ở địa
phương đó đạt được mức chung của cả nước Hãy kết luận với xác suất
Trang 38UGC LUONG DAC TRUNG CUA TONG THỂ BAI TAP
7.1 Từ tổng thể có trung bình là 250 và độ lệch chuẩn là 40, ta rút ra một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n = 100 Hãy tìm kỳ vọng toán và phương sai của trung bình mấu
7.2 Một mẫu ngẫu nhiên rút ra từ tổng thể có phương sai 10 Nếu muốn độ lệch chuẩn của trung bình mẫu không quá 4 thì kích thước mẫu điều tra là bao nhiêu ?
7.3 Một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n = 100 được rút ra từ tổng thể
có xác suất p = 0,5 Khi đó độ lệch chuẩn của tần suất mẫu là bao nhiêu ? 7.4 Hai mẫu ngẫu nhiên kích thước mị = 4, nạ = 5 được rút ra từ một tổng thể có phân phối Bp) R oe m m, ` a) Chứng tỏ các tân suất mẫu Eị =—‡ và E; =—2 đều là các ước lượng m nạ không chệch của p
b) Ước lượng nào hiệu quả hơn ?
œ) Trong lớp các ước lượng tuyến tính F=eFfi+(1-ø)F, hãy tìm một
ước lượng hiệu quả nhất của p
7.B Điều tra 100 người nghiện thuốc lá thấy tuổi thọ trung bình của họ là 63,5 năm và độ lệch chuẩn có điều chỉnh là 7,3 năm Còn đối với
160 người không hút thuốc lá thì tuổi thọ trung bình của họ là 69,8
năm và độ lệch chuẩn có điều chỉnh là 6,7 năm Với độ tin cậy 95%
a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của những người nghiện thuốc lá và những người không nghiện thuốc lá
Đb) Hãy ước lượng mức độ chênh lệch về tuổi thọ trung bình giữa những
người không nghiện thuốc lá và những người nghiện thuốc lá
7.6 Để đánh giá hiệu quả của một chương trình khuyến mãi, người ta u tra doanh số (Triệu đồỏng/tháng) của công ty tại 5 khu vực thị
ờng trước và sau chương trình khuyến mãi và thu được số liệu: Trước khuyến mãi | 120 | 100 | 140 | 130 | 110
Sau khuyến mãi | 130 | 108 | 152 | 135 | 117
Biết rằng doanh số của công (y là đại lượng ngẫu nhiên có phân XỐI chuẩn và phương sai của doanh số trước và sau khuyến mãi là
tư nhau Với độ tin cậy 95%
Trang 39
ƯỚC LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ a) Hãy ước lượng doanh số trung bình của công ty trước và sau khi thực hiện chương trình khuyến mãi
b) Hãy ước lượng mức tăng doanh số trung bình sau khi thực hiện chương trình khuyến mãi
7.7 Kiểm tra ngẫu nhiên 150 sản phẩm của xí nghiệp A thì thấy có 12
phế phẩm Kiểm tra 200 sản phẩm của xí nghiệp B thi thay co 18 phế
phẩm Biết 2 xí nghiệp A, B hoạt động độc lập Với độ tin cậy 95%
a) Hay ước lượng tỉ lệ phế phẩm của 2 xí nghiệp A, B
b) Hãy ước lượng mức độ chênh lệch vẻ tỉ lệ phế phẩm của 2 xi nghiệp
7.8 Phỏng vấn ngẫu nhiên 200 sinh viên xuất thân từ nông thôn thì có 60 người đi làm thêm trong thời gian học Phỏng vấn 150 sinh viên xuất thân từ thành phố thì có 30 người đi lâm thêm trong thời gian
học Với độ tin cậy 95%
a) Hãy ước lượng tỉ lệ sinh viên xuất thân từ nông thôn và từ thành phố có đi làm thêm trong thời gian học
b) Hãy ước lượng xem tỉ lệ sinh viên nông thôn di lam thêm cao hơn
sinh viên thành phố là bao nhiêu ?
7.9 Để nghiên cứu hiệu quả của một phương pháp gia công công nghệ, người ta tiến hành 10 đợt thí nghiệm, mỗi đợt có 10 chỉ tiết được gia công một cách độc lập Số chỉ tiết gia công đạt kết quả tốt của 10 đợt
được ghi lại như sau:
Đợt 1]2]3]4|s|sø|7[s[ s [10]
Số kết quả tốt |8|9|7|9s|s8|7|s|s|iols |
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chỉ tiết đạt kết quả tốt của
phương pháp gia công trên
b) Với số liệu đã cho, nếu muốn phép ước lượng tỉ lệ các chỉ tiết tốt có độ chính xác 5% và độ tin cậy 99% thì phải tiến hành bao nhiêu đợt thí nghiệm nữa
7.10 Để đánh giá trữ lượng cá trong hô, người ta đánh bắt 200 con cá,
đánh dấu chúng rồi thả xuống hồ Vài ngày sau đánh bất lại 100 con
thì thấy có 25 con được đánh dấu
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trữ lượng cá có trong hồ
b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải
đánh bắt bao nhiêu con cá ?
Trang 40ƯỚC LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ
Ngày thứ | ¡ |2 |3 |4|5|6|7|8|9|10 S6 khach | 31 | 30 | 35 | 28 | 26 | 32 | 33 | 34 | 27 | 36
Giả sử số khách hàng vào cửa hàng mỗi ngày có phân phối chuẩn và trong một năm cửa hàng hoạt động 350 ngày
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tổng số khách hàng đến cửa hàng trong một năm
7.12 Một đoàn đại biểu đến dự hội nghị và được phát thể có đánh số
1, 2, 3, Đi ngẫu nhiên trong hành lang hội nghị gặp được 5 người
mang các số 28, 15, 36, 47, 7B Nếu coi đây là một mẫu ngẫu nhiên,