Đại số tổ hợp

Kính chaøo ! Thaày , TIẾT 75 – 76 1) Quy tắc cộng và quy tắc nhân : a) Quy tắc cộng : Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 ; m 2 cách chọn đối tượng x 2 ; … m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng x j nào thì có m 1 + m 2 + … + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho . * Ví dụ : Từ các chữ số 1; 2 ; 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau ? Giải : . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 3 số có 1 chữ so á⇒ 3 cách . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 2 chữ số khác nhau ⇒ 6 cách . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau ⇒ 6 cách . Vậy có tất cả : 3 + 6 + 6 = 15 cách chọn ⇒ 15 số b) Quy tắc nhân : Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp ; Ùbước 1 có m 1 cách ; bước 2 có m 2 cách ; … bước n có m n cách , thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 …m n cách khác nhau . * Ví dụ : Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu . Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng , bạc , đồng cho 3 đội nhất , nhì , ba biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt huy chương. Giải : . Mỗi đội đều có thể nhận huy chương ⇒ có 18 cách trao huy chương vàng . Sau đó thì mỗi đội trong 17 đội còn lại nhận huy chương bạc ⇒ có 17 cách trao huy chương bạc . Sau đó thì mỗi đội trong 16 đội còn lại có thể nhận huy chương đồng ⇒ có 16 cách trao huy chương đồng . . Vậy có : 18. 17 . 16 = 4896 cách trao giải. 2. Hoán vò : 1) Đònh nghóa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là 1 hoán vò của n phần tử . * Ví dụ : . Tập A = { a ; b } có 2 hoán vò của 2 phần tử là : ab ; ba. . B = { a ; b ; c } có các hoán vò là : abc ; acb ; bac ; bca ; cab ; cba 2) Số hoán vò của n phần tử : * Đònh lý : P n = n (n – 1) (n – 2) ……3 . 2 . 1 = n! (Cm s.g.k) được gọi hoán vò của n phần tử . * Ví dụ : Cho A = {1;2;3;4} số hoán vò là P 4 = 4! = 24 3. Chỉnh hợp : a) Đònh nghóa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi bộ gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. * Ví dụ : . Cho A = { a ; b ; c } các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử là : (a,b) ; (a,c) ; (b,c) ; (b,a) ; (c,a) ; (c,b) : có 6 chỉnh hợp. . Lập tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ . Giải : Thiết lập sự cấu trúc : 1* Số 3 Cho số 13 5 Cho số 15 7 Cho số 17 9 Cho số 19 Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 1 đầu Tương tự với các chữ số : 3 ; 5 ; 7 ; 9 : 3* Số 1 Cho số 31 5 Cho số 35 7 Cho số 37 9 Cho số 39 Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 3 đầu Vậy có tất cả các số là : 4 . 5 = 20 số lẻ phải tìm. b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : * Ví dụ 1: Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử : a ; b ; c Giải : k n A * Đònh lý : = n (n – 1) (n – 2) … (n – k + 1) Cm s.g.k 2 3 A * Ví dụ 2 : Tính chỉnh hợp chập 3 của 5 số :1,2,3,4,5 3 5 A = 5 .(5 – 1) (5 – 2) (5 – 3 + 1) = 5.4.3 = 60 = 3 .(3 – 2 + 1) = 3.2 = 6 • * Ví dụ 3 : Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5 • cầu thủ để đá bóng luân lưu 11 m , biết rằng cả 11 cầu • thủ (cả gôn) đều có khả năng như nhau . Giải : 5 11 A Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử , do đó số khả năng chọn là : = 11 .(10).(9).(8).(7) = = 55440 • * Chú ý : * Biểu thức tính chỉnh hợp : k n A ( ) !k-n n! = • * Quy ước : n n n PA = 1!0 = 4. Tổ hợp : a) Đònh nghóa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của tập hợp A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử dã cho . b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : * Đònh lý : k n C ( ) !k - n!k !n = * Ví dụ 1 : Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi . Mỗi phòng cần 2 giám khảo . Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thành đôi để hỏi thi 2 6 C !)26(!2 !6 − = ( ) ( ) 4.3.2.1.2.1 6.5.4.3.2.1 = ( ) 15 2.1 6.5 == [...]... cách ⇒ Tổng số được lập : 4.6.7 = 168 số chẵn 3) Bài 3 trang 168 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả 2 chữ số đều chẵn N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; Số phải tìm có dạng : ab ( trong dó a , b đều là chữ số chẵn ) a được chọn : {2,4,6,8} có 4 cách chọn b được chọn : {1,2,4,6,8} có 5 cách chọn ⇒ Vậy số có 2 chữ số chẵn là : 4.5 = 20 số 4) Bài 4 trang 168 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong... 1) Bài 1 trang 168 : Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số Số được lập có dạng : abcd ⇒ a,b,c,d được chọn : 4 trường hợp trong các số 1,5,6,7 ⇒ Vậy có : 44 = 256 số phải tìm 2) Bài 2 trang 168 : Từ các chữ số N = { 0,1,2,3,4,5,6 } Có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên chẵn có 3 chữ số Số dược lập có dạng : abc với a ≠ 0 và c chữ số chẵn ⇒ c được chọn {2 , 4, 6,... 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 2 Các tính chất của công thức nhò thức Nưutơn : 1) Số các số hạng của công thức bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức : (n – k) + k = n 3) Số hạng tổng quát có dạng : Tk +1 = C a k n n−k b k 4) Các hệ số nhò thức cách đều 2 số hạng đầu và cuối bằng nhau : Cnk = Cnn – k n n n −1 5) Có thể viết : ( a + b ) = a + n.a... Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau Số phải lập có dạng : abcde trong đó : a = e ≠ 0 có 9 cách chọn đồng thời 2 chữ số b=d có10 cách chọn cùng 2 chữ số ⇒ có 9.10.10 = 900 c có10 cách chọn bất cứ số nào } 5) Bài 5 trang 168 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 Số lập có dạng : abcdef trong đó f chọn : { 0 ; 5} có... Vậy nghiệm : x = 1 ; x = 2 11) Bài 13 trang 169 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác không , biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8 abc N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Số phải tìm có dạng : với a + b + c = 8 và a ≠ b ≠ c ≠ 0 Với a = 1 ⇒ b = 2 ; c = 5 a=1⇒b=3;c=4 ⇒ có 2 trường hợp xảy ra với a,b,c hoán vò nên có : 2.P3 = 12 số 12) Bài 14 b trang 169 : k k −1 k −1 Chứng minh rằng : k −1 k... + Cn2 - … + (-1)kCnk + … + (-1)kCnn 3 Tam giác Pascan : ( Pascal ) Có thể sắp xếp các hệ số của (a + b) n thành 1 tam giác ) 1 n = 0 các hệ số là : C00 1 = n = 1 các hệ số là : C10 + C 1 1 1 1 11 = = n = 2 các hệ số là : 1 20 + C21 + C22 C 1 2 2 11 n = 3 các hệ số là : C30 + C31 + 33 2+ 3 1 3 1 C3 n = 4 các hệ số là : C40 + C41 + 6 42+ 4 C 6 11 = 21 35 = 20 + 15 = = = = = ⇒: 6 + 15 = ……… 1 = = ⇒: =... nhau 1 lần Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu ? Số trận đấu : C 2 20 20 ! 19.20 = = = 190 2 !(18) ! 2 •Ví dụ 2 : • Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình thập giác lồi Một thập giác lồi có 10 đỉnh Qua mỗi cặp đỉnh có 1 đường thẳng duy nhất ; mỗi cặp điểm là 1 đường thẳng à đường chéo hoặc 1 cạnh Số đường chéo là : 10 ! C − 10 = − 10 = 35 2 !(8) ! 2 10 c) Các hệ thức giữa các số Cnk : * C * C k n... trách 3 nhóm thiếu nhi Là 1 chỉnh hợp chập 3 của 50 ⇒ A503 = 48.49.50 = 117 600 cách 9) Trong một cuộc đua ngựa có 12 con ngựa cùng xuất phát Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại : a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba ? b) 3 con ngựa về đích đầu tiên a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba là 1 chỉnh hợp chập 3 của 12 ⇒ A123 = 1320 khả năng b) 3 con ngựa về đích đầu tiên là 1 tổ hợp chập 3 của 12 ⇒ C123 = 220 khả... là 1 chỉnh hợp chập 3 của 12 ⇒ A123 = 1320 khả năng b) 3 con ngựa về đích đầu tiên là 1 tổ hợp chập 3 của 12 ⇒ C123 = 220 khả năng 1 10) Trong khai triển  x+   x n Hệ số các số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số thứ 2 là 35 Tính số hạng không phụ thuộc vào x n 2 1   0 n 1 n −1  1  2 n−2  1  n  1   x +  = C n x + C n x   + C n x   + + C n   x    x   x   x  n ... giác có n cạnh ⇒ có n cạnh Vậy số đường chéo là : Cn 2 − n = n (n − 3) / 2 7) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy n điểm , trên cạnh BC lấy m điểm và trên cạnh CA lấy k điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó Cứ 3 đỉnh trên 3 cạnh cho 1 tam giác ⇒ AB có n điểm ⇒ có n cách lấy ; ⇒ BC có m điểm ⇒ có m cách lấy ; ⇒ CA có k điểm ⇒ có k cách lấy ⇒ Vậy tổng số cách lấy là : m.n.k tam giác . 17 9 Cho số 19 Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 1 đầu Tương tự với các chữ số : 3 ; 5 ; 7 ; 9 : 3* Số 1 Cho số 31 5 Cho số 35 7 Cho số 37 9 Cho số 39 Vậy. hợp. . Lập tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ . Giải : Thiết lập sự cấu trúc : 1* Số 3 Cho số 13 5 Cho số 15 7 Cho số