Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lí lý thuyết, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2017

Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm, Tổ Vật lí lý thuyết và các thầy cô khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người

đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thu Hà

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kì một công trình khoa học nào khác

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thu Hà

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Nội dung nghiên cứu 3

NỘI DUNG 4

Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 4

1.1 Cấu trúc mạng tinh thể 4

1.2 Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 8

1.2.1 Lượng tử hoá dao động mạng 9

1.2.2 Phonon 10

Kết luận chương 1 14

Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể 15

2.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể 15

2.2 Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể 16

2.3 Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể 19

2.4 Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể 25

2.4.1 Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Cu 25

2.4.2 Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Ag 28

2.4.3 Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Au 31

Kết luận chương 2 35

Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q 36

3.1 Dao động tử Boson biến dạng q 36

3.2 Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q 39

3.4 Tính số 43

3.4.1 Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Cu 44

3.4.2 Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Ag 45

3.4.3 Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Au 46

3.4.4 Kết luận 47

Kết luận chương 3 48

KẾT LUẬN CHUNG 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí là một ngành khoa học liên quan đến việc nghiên cứu các vấn đề tự nhiên theo thời gian và không gian Đây có lẽ là ngành khoa học xuất hiện từ lâu đời nhất nếu xem Thiên văn học cũng là một phần của vật lí Tuy nhiên Vật lí (khoa học vật lí) không được xem như một ngành khoa học theo đúng nghĩa của nó cho đến thế kỷ 17 khi mà các khía cạnh vật lí, sinh học và hóa học của khoa học được công nhận là ba chủ đề riêng biệt với những đặc trưng khác nhau.Vật lí và các nhà vật lí là tác giả của một số phát triển khoa học tiên tiến nhất trong 400 năm qua Từ phát hiện của lực hấp dẫn của Newton và

lý thuyết tương đối của Einstein cho đến chuyến phi hành lên mặt trăng lần đầu tiên vào năm 1969 Các nghiên cứu về vật lí không chỉ giúp con người lý giải về thế giới xung quanh, mà còn là một yếu tố quan trọng cho phép chúng

ta phát triển và đổi mới công nghệ

Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí Do vậy, vật lí học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu

sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng Vật lí chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Hiện nay, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lí chất rắn ngày càng thêm nổi bật Vật lí chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lí tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên

tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó Trong

các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được

cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lí thuyết Vấn đề nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể

đã được rất nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lí lý thuyết, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lí lý thuyết như Thống kê lượng tử, Vật lí chất rắn, quang học phi tuyến…Khi áp dụng đại số biến dạng vào vật lí thống kê, chúng ta rất thuận lợi trong nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng Và tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến hạt Boson Thống kê q- biến dạng đã được áp dụng cho một số hệ vật lí phức tạp, ví dụ thủy động lực học, nhiễu loạn khiếm khuyết, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, các mạng ngẫu nhiên Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để áp dụng nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể

Với những lí do trên tôi xin chọn đề tài “ Một số lý thuyết về nhiệt dung của

mạng tinh thể” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Xác định nhiệt dung của mạng tinh thể biến dạng q

3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp toán giải tích

- Phương pháp tính số bằng phần mềm toán học Mathematica

5 Nội dung nghiên cứu

Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể

1.1 Cấu trúc mạng tinh thể

1.2 Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể

Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể

2.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể

2.2 Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể

2.3 Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể

2.4 Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể

Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q

3.1 Dao động tử Boson biến dạng q

3.2 Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q

3.3 So sánh nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý thuyết Debye

3.4 Giải số

NỘI DUNG Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể

1.1 Cấu trúc mạng tinh thể

Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó Trong các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử [1], [2]

Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm các nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng Trong các tinh thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy được gọi là gốc

Do đó có thể viết một cách tượng trưng như sau:

Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể

Trog không gian, các nguyên tử được sắp xếp một cách có trật tự đều đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể

 Mạng không gian:

Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các phân tử, nguyên tử là hoàn toàn tuần hoàn Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi tinh thể đều chứa các nguyên tử như nhau Tinh thể lí tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn để ảnh hưởng tới tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử

Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ

chứa một nguyên tử Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử

Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc Với các tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian

Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a1

, a2

,a3

gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có bán kính vectơ r

, ta thấy no giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r

:

3 3 2 2 1 1

Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp

Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho

nó có dạng đối xứng trung tâm Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz) Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận

 Mạng đảo

- Khái niệm mạng đảo: Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực) Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ

1 2

a a a

a a

a a

a a

1 k b l b b





Trong đó m1, m2, m3 có thể là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0

- Các tính chất của véctơ mạng đảo:

 hkl G

d  2   1

- Ô cơ sở mạng đảo:

Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình

hộp không gian trên cơ sở các vectơ b 1

3

2

' 

- Ý nghĩa vật lí của mạng đảo:

Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây:

+ Mạng đảo là khung của không gian chuyển động

+ Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn

Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực)

 Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman

Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử (N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng

hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể gần như khi mạng là vô hạn

Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể Chúng ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau:

Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1) Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều

có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như nhau:

m iQNa t Qma i t a n m Q i N m

N n

Trong phổ  p chỉ cho các giá trị của  ứng với N giá trị của Q

1.2 Lý thuyết lƣợng tử về dao động mạng tinh thể

1.2.1 Lượng tử hoá dao động mạng

Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa:

kx x

2 2

kx x m U K

Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của dao động tử:

2 2 2

2

m m

p

(1.8) Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và pˆ Khi đó, toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa (lượng tử) là:

2 2 2

ˆ 2 2

, ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng bậc không

Ta thu được năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử là:

Công thức trên cho ta thấy rằng năng lượng của một dao động tử điều hòa chỉ

có thể thay đổi một cách gián đoạn theo một số nguyên lần s Q

  Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa được xác định bởi:

  p

p

n p

trong đó: f  ,T là hàm phân bố, cho biết số lượng trung bình của các chuẩn

hạt ở trạng thái có năng lượng ε và ở nhiệt độ T; Z 

n p P

cao hơn, có thể có các tương tác giữa các

chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt không còn là

khí lí tưởng Khi đó trạng thái của chuẩn hạt

chỉ là chuẩn dừng Nếu thời gian sống của

chuẩn hạt là τ thì độ bất định của chuẩn hạt là:

 

d Tính chất của phonon

Ở trạng thái cân bằng nhiệt, số phonon trung bình có năng lượng s Q

  được xác định bởi biểu thức của hàm phân bố Bose – Einstein (hay còn gọi là phân

bố Planck) với thế hóa học (µ=0) bằng không:

  1

1





T k Q s

Q

B s e

mãn Còn định luật bảo toàn xung lượng xác định sai kém nhau vectơ mạng đảo G

 tách thành hai phonon có chuẩn xung lượng Q1

Đó vì trong quá trình bình thường vectơ Q1 Q2

 vượt ra khỏi vùng Brillouin

thứ nhất Nhưng trạng thái ứng với Q1 Q2

 này hoàn toàn tương đương với

trạng thái ứng với vectơ Q

sai khác một vectơ mạng đảo G

Kết luận chương 1

Trong chương này chúng tôi đã trình bày về lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể Với các nội dung cụ thể là: cấu trúc mạng tinh thể, lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể Trong đó, chúng tôi đã nêu rõ đặc điểm và tính chất của hạt phonon

Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể

2.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể

Trong mạng tinh thể của chất rắn các nguyên tử thực hiện các dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng Trong chừng mực nào đó ta có thể coi chúng là các dao động tử điều hòa ba chiều Thế năng của dao động tử điều hòa phụ thuộc tọa độ dưới dạng toàn phương, vì vậy giá trị trung bình của thế năng ứng với mỗi bậc tự do là

Nhiệt dung đẳng tích được xác định bởi công thức:

Nk dT

E

d

C V   3

(2.3)Đối với một phân tử gam:

 C V mol  3N0k  3R

Hằng số khí R=8,31 jun/độ, vì vậy nhiệt dung đẳng tích của 1 mol chất rắn là:

 C V mol  3R 25jun/mol.đô

Như vậy, theo thuyết nhiệt dung cổ điển thì nhiệt dung chất rắn có giá trị không đổi theo nhiệt độ Đó chính là định luật Dulong-Petit Thực nghiệm cho thấy rằng định luật Dulong-Petit chỉ đúng đối với vùng nhiệt độ cao Điều này rất dễ hiểu, bởi vì ở vùng nhiệt độ cao chúng ta có thể áp dụng thống kê

cổ điển nói chung và định luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do nói

riêng Đối với vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung chất rắn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Trong lý thuyết nhiệt dung cổ điển hệ các nguyên tử chất rắn được xem là hệ N dao động tử điều hòa cổ điển độc lập với nhau Tuy nhiên ở nhiệt

độ thấp quan niệm ấy không đúng nữa vì hai lý do Một là, các nguyên tử chất rắn phải tuân theo quy luật dao động điều hòa lượng tử, tức là các phổ năng lượng gián đoạn Hai là, các nguyên tử này liên kết với nhau , chứ không thể xem là độc lập được

2.2 Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể

Nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển , năm 1907, Einstein đã đưa ra lý thuyết dựa trên quan điểm lượng tử Chuyển động của các nguyên tử trong mạng tinh thể là chuyển động của các dao động tử điều hoà ba chiều Dao động tử lượng tử điều hoà một chiều với tần số  có phổ năng lượng gián đoạn được xác định theo công thức:



 2

e e Z



 



(2.4)

n kT kT

n

e e

Thay Z từ công thức (2.5) vào (2.6) và thực hiện phép tính đạo hàm theo T ta được:

1 2

3 3

kT

e

N N

2 2

1

3

V

e

e kT

N T

U C

Như vậy, theo lý thuyết Einstein thì nhiệt dung mạng tinh thể phụ thuộc nhiệt

độ theo quy luật khá phức tạp Chúng ta lần lượt khảo sát dáng điệu phụ thuộc vào nhiệt độ trong trường hợp nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp mà chúng ta cần quan tâm

 Trường hợp nhiệt độ cao

Xét trường hợp khi nhiệt độ T>>

k

T E    (TE gọi là nhiệt độ Einstein), khi đó

chúng ta có thể khai triển gần đúng hàm mũ theo đại lượng

kT kT kT

.

2

2 2

Như vậy, theo lý thuyết Einstein thì ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ thuộc nhiệt độ dưới dạng:

2.3 Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể

Năm 1912 Debye đưa ra lý thuyết mới về nhiệt dung mạng tinh thể So với lý thuyết Einstein thì lý thuyết Debye phù hợp tốt hơn với thực nghiệm, vì vậy cho đến nay nó vẫn được coi là lý thuyết đúng đắn nhất Dưới đây chúng ta sẽ điểm qua những nét cơ bản nhất trong lý thuyết Debye

Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậy chúng chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các dao động tử

độc lập như trong lý thuyết Einstein Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, vì vậy tập hợp có N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hoà lượng tử liên kết, với các tần số khác nhau, kể từ tần số 0 cho tới tần số cực đại D(tần số Debye)

Chuyển động dao động tập thể của các nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức là sóng đàn hồi trong vật rắn Sóng âm trong vật rắn gồm hai loại: Sóng dọc và sóng ngang Ta kí hiệu vận tốc truyền sóng dọc là Ce, vận tốc truyền sóng ngang Ct

Hệ 3N dao động tử điều hoà liên kết có thể thay thế được bằng tập hợp 3N dao động chuẩn (hay gọi là “mốt”) Nếu vận tốc truyền sóng là C, tần số là 

thì trong khoảng  ,  d số lượng của các dao động chuẩn được tính theo công thức:

V dN

2 1 3

t

e C C

Giá trị của D xác định từ điều kiện:

C

V dN

3 2

3

(2.13)

Sau khi lấy tích phân ta được:

3 1 2

N U

kT D D

0

3 3

1

9 2

Số hạng thứ nhất ở vế phải của (2.17) không phụ thuộc T, vì vậy nhiệt dung

CV được tính như sau:

N dT

dU

C

kT D

e Nk

C

kT

kT D

D V

D

dx e

e x kT

Nk C

1 3

3

 được gọi là nhiệt độ Debye Với kí hiệu đó ta có thể viết

lại biểu thức nhiệt dung như sau:

D V

D

dx e

e x T

T Nk C

0

2 4 3

1 3

T

T NkD

1

3

dx e

e x D

V

T

T RD

Kết quả này cho ta thấy nhiệt dung của mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm Debye Ta hãy xét dáng điệu của (CV)mol trong hai vùng nhiệt độ khác biệt, nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp

 Trường hợp nhiệt độ cao

Xét vùng nhiệt độ thoả mãn điều kiện T>>

có giá trị rất nhỏ

Ta hãy khảo sát hàm Debye khi biến số rất nhỏ Theo định nghĩa (2.20) ta có:

a x

x

dx e

e x D

0

2 4 3

x e

Dựa vào kết quả này và biểu thức (2.21) ta có: (CV)mol=3R (khi T>>TD)

Điều này có nghĩa là trong vùng nhiệt độ cao lí thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong – Petit trùng với kết quả thực nghiệm

lớn, do đó ta phải khảo sát hàm D(α) khi α rất lớn Từ định nghĩa ta thấy rằng

α rất lớn thì cận trên của tích phân ở vế phải biểu thức (2.20) có thể thay bằng

4 3

15

4 3 1

x x

Thay kết quả này vào (3.18) ta được:

3 4

5

12

T T

R C

D mol