ĐỀ THI TÍNH TOÁN SƠ CẤP CÁC CẤU TRÚC

Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Khoa Cơ khí Bộ môn Thiết kế máy -KIỂM TRA HỌC KỲ Mơn học: Tính tốn số cấu trúc Được phép tham khảo tài liệu Thời gian: 90 phút Câu (4 đ) Xét phần tử tứ giác nút (hình 1.1) với giá trị biến nút liên kết theo thứ tự với nút 1, 2, 3, có giá trị t1 = 40 0C , t2 = 42 0C, t3 = 40,5 0C, t4 = 41 0C Hình 1.1 y4 = Cho biết tọa độ nút sau: Nút 1: x1 = 1, y1 = 2; nút 2: x2 = 6, y2 =2; nút 3: x3 = 6, y3 = 6; nút 4: x4 = 1, 1/ Hãy nội suy nhiệt độ điểm M(3, 3) hai phương pháp: a- Dùng phần tử tham chiếu b- Dùng phần tử thực 2/ Tính nhiệt độ trung bình phần tử thực 3/ Xác định tải nút tương đương 4/ Nút tịnh tiến theo chiều trục tung đơn vị Các nút lại vị trí cũ, xác định hàm nội suy phần tử tứ giác Câu (4 đ) Xét chịu lực dọc trục F= 100 kN gồm đoạn (Hình 2.1) Đoạn I có mơ đun đàn hồi vật liệu E1=70.000 MPa, diện tích mặt cắt ngang A1= 300 mm2 Đoạn II có mơ đun đàn hồi vật liệu E2= 200.000 MPa, diện tích mặt cắt ngang A2=100mm2 Vách A tuyệt đối cứng, vách B có độ cứng hữu hạn k=25.000N/mm Hình 2.1 Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, xác định: 1/ Chuyển vị nút 2/ Phản lực gối tựa 3/ Ứng suất trung bình đoạn I đoạn II Câu (2 đ) So sánh phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai phân hữu hạn lãnh vực học vật rắn biến dạng (bản chất, ưu nhược điểm, phạm vi ứng dụng) GV đề…………………………… PGS-TS Phan Đình Huấn Bộ mơn ………………………………PGS-TS Phạm Huy Hồng Bài giải Câu ( điểm) 1/ - Dùng phần tử thực: Các hàm nội suy có dạng: (x - 6) (y - 6) 20 Ν (x, y) = − (x - 1) (y - 6) 20 (x - 1) (y - 2) Ν (x, y) = 20 Ν (x, y) = − (x - ) (y - 2) 20 tM = N1 (x,y).t1 + N2 (x,y).t2+ N3 (x,y).t3+ N4 (x,y).t4 = 40,80C Ν (x, y) = ⇒ tΜ xΜ - Dùng phần tử tham chiếu: Biểu thức nội suy hình học: = Ν (ξ , η ).x + Ν (ξ , η ).x + Ν (ξ , η ).x + Ν (ξ , η ).x y Μ = Ν (ξ , η ).y1 + Ν (ξ , η ).y + Ν (ξ , η ).y + Ν (ξ , η ).y Ν (ξ , η ) = (1 - ξ ) (1 - η ) Ν (ξ , η ) = (1 + ξ ) (1 -η ) Ν (ξ , η ) = (1 + ξ ) (1 + η ) Ν (ξ , η ) = (1 − ξ ) (1 + η ) Với x1 = 1, x2 = 6, x3= 6, x4 = y1 = 2, y2 = 2, y3= 6, y4 = ta có hệ phương trình: ⎧ ⎪⎪3 = ⎨ ⎪3 = ⎪⎩ (1 − ξ ) (1 − η ) ⋅ + (1 + ξ ) (1 − η ) ⋅ + (1 + ξ ) (1 + η ) ⋅ + (1 − ξ ) (1 + η ) ⋅ 4 4 (1 − ξ ) (1 − η ) ⋅ + (1 + ξ ) (1 − η ) ⋅ + (1 + ξ ) (1 + η ) ⋅ + (1 − ξ ) (1 + η ) ⋅ 4 4 Giải hệ phương trình (1) (2) ta tọa độ điểm ảnh M’: ⎧ξ Μ , = − 0,2 ⎨ ⎩η Μ , = − 0,5 (1) (2) Nhiệt độ M’ nội suy qua biểu thức: t Μ , = ∑ Ν i (ξ Μ , ,η Μ , ) t i với t1 = 400C, t2 = 420C, t3 = 40,50C, t4 = 410C i =1 ⇒ tM’ = (0,45 x 40) + (0,30 x 42)+ (0,10 x 40,5) + (0,15 x 41) ⇒ tM’ = 40,80C 2/ Nhiệt độ trung bình phần tử thực là: ttb = ∫ ∑ Ν ( x,y ) t ve i i dV i=1 Α = 817,5 = 40,8750C 20 3/ Tải nút tương đương Phương trình đường tải: q q q(y) = y − Tải nút tương đương xác định theo biểu thức: ⎡2 ⎤ ⎢3 q ⎥ ⎡ F2x ⎤ ⎡ Ν ( x,y ) ⎤ ⎥ ⎥ q ( y ) dy = ⎢ ⎢ ⎥ = ∫⎢ ⎣ F3x ⎦ ⎣ Ν ( x,y ) ⎦ x =6 ⎢4 q ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 4/ Hàm nội suy phần tử tứ giác mới: Biểu thức tổng quát hàm nội suy có dạng: u = A + Bx + Cy + Dxy thay tọa độ nút 1(1,2); nút 26,2) nút 3(6,7) nút 4(1,6) vào u ta có hệ phương trình sau: ⎧ u = A + B + 2C + 2D ⎪ u = A + 6B + 2C + 12D ⎪ ⎨ ⎪ u = A + 6B + 7C + 42D ⎪⎩ u = A + B + 6C + 6D Giải hệ phương trình (2), ta có: A = u1 + u + u − u 25 25 B = − u1 + u − u + u 10 25 25 10 1 C = − u1 + u − u + u 10 25 25 10 1 1 D= u1 − u + u − u 20 25 25 20 (1) (2) Viết (1) dạng u = N1u1 + N2u2+ N3u3+ N4u4, ta có: 3 Ν1 = - x − y + xy 10 20 10 7 1 Ν2 = − + x+ y − xy 25 25 25 25 2 1 Ν3 = − x− y+ xy 25 25 25 25 3 Ν4 = − + x + y − xy 10 10 20 Câu (4 điểm) 1/ Chuyển vị nút: Mơ hình tính có dạng sau: I II III F u3 u2 u1 200mm 280mm Ma trận độ cứng phần tử 1:     [K 1] = A1 E1 ⎡ −1⎤ ⎡ 105000 −105000 ⎤ = N / mm   L1 ⎣⎢ −1 ⎦⎥ ⎣⎢ −105000 105000 ⎥⎦   Ma trận độ cứng phần tử 2:   A2 E2 ⎡ −1⎤ ⎡ 71428.571 −71428.571⎤ = N / mm   L2 ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎢⎣ −71428.571 71428.571 ⎥⎦ ⎡ k −k ⎤ ⎡ 25000 −25000 ⎤ [K ] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ( N / mm)   ⎣ −k k ⎦ ⎣ −25000 25000 ⎦ [K ] =   u4 Ma trận độ cứng kết cấu: −105000 0 ⎤ ⎡ 105000 ⎢ −105000 176428.571 −71428.571 ⎥⎥ ⎢ [K ] = N / mm   ⎢ −71428.571 96428.571 −25000 ⎥ ⎢ ⎥ 0 25000 ⎦ −25000 ⎣ Đưa điều kiện biên u1 = u4 =  vào hệ phương trình [ K ]{u} = [ F ] , ta được: ⎡176428.571 −71428.571⎤ ⎧u2 ⎫ ⎧100000 ⎫ ⎬                                                      ( 1) ⎥⎨ ⎬=⎨ ⎣ −71428.571 96428.571 ⎦ ⎩u3 ⎭ ⎩ ⎭                        ⎢   Giải hệ phương trình (1), ta có: u2 0.81 mm u3 0.60 mm   2/ Phản lực gối tựa Phản lực gối tựa suy từ biểu thức: −105000 0 ⎤⎧ ⎧ F1 ⎫ ⎡ 105000 ⎫ ⎧-85007.49629 ⎫ ⎪ F ⎪ ⎢ −105000 176428.571 −71428.571 ⎥⎥⎪⎪u2 = 0,81⎪⎪ ⎪⎪ 99999.99998 ⎪⎪ ⎪ 2⎪ ⎢ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎢ ⎥ F − − = u 71428.571 96428.571 25000 0, 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎩ F4 ⎪⎭ ⎢⎣ ⎪⎭ ⎪⎩-14992.50376 ⎪⎭ −25000 0 25000 ⎦⎩⎪ ⇒ R1 = F1 ≈ −85007,5 N R1 = F1 ≈ −14992,50 N 3/ Tính ứng suất trung bình đoạn I II Áp dụng công thức ⎡ ⎣ L σ = E ⎢− ⎤ ⎡ u1 ⎤ L ⎥⎦ ⎢⎣u2 ⎥⎦ ta có: σ = 283,36 MPa σ = −149,93MPa Câu (2 điểm) Cần nêu hai ý sau: ( tối thiểu) * Về mặt chất: Cả phương pháp phương pháp số chất phương pháp biến đổi PTVP ( hệ PTVP) thành hệ phương trình đại số giải hệ phương trình đại số - Phương pháp phần tử hữu hạn dùng “con đường” tích phân - Phương pháp sai phân hữu hạn dùng “ dường” sai phân * Về mặt ứng dụng: - Phương pháp phần tử hữu hạn thích hợp cho miền tính phức tạp -> chi tiết khí - Phương pháp sai phân hữu hạn thích hợp cho miền tính đơn giản