Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9Đề thi học sinh giỏi toán 9
Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế Trường THCS Nguyễn Tri Phương Câu 1/ (1đ) Cho x = 3 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn - Thời gian : 120 phút 125 27 3 125 Chứng minh x số 27 nguyên Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh : NÕu xy y yt t xt x x= y= t hoặ c x.y.t =1 Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n thỏa mãn m + n Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Lấy A E hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vng góc với AE cắt đường tròn (O; R) B C Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động đường tròn (O; r) A≠ E đường thẳng CM ln qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động đường tròn (O;r) điểm H di động đường ? Chứng minh nhận xét ? Đáp án biểu điểm chấm Toán Câu Câu1 Nội dung Điểm 125 125 vµ b = 3 27 27 Thì a3 b3 a.b = 3 3 x a b x a b 3ab(a b) a 3 (1đ) 0,25 đ 0,25 đ x3 = - 5x (x 1)(x x 6) 0,25 đ Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z 0,25 đ Câu (1,5đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề cho suy : 1 x y z (1) y z x x y (1) y z z x (2) Từ (3) Câu x y 0,25 đ y z 1 z y zy x z z x (2) xz 0,5 đ x y 1 y x xy y z z x y z z x x y zyzxxy (3) x y z Học sinh chứng minh đư ợ c r»ng xyz b c 1 a + b( ) c( ) = (2) m m m m Đ ẳng thức chứng tỏ x= nghiệm cđa m ®a thøc g(x) = cx bx a V Ëy x= n = > (do m > ) (3) m 1 Ta cã m+n = m + m (do ) m m Hay m n (1) a + Câu (2đ) 0,5 đ Ta có : x = m nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c Suy am bm c (1), mµ m > (gt) (1,5đ) 0,25 đ Nếu m =1 d(1) đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) Nếu m =2 d(2) đường thẳng x = nên khoảng cách từ O đến d(2) (1) 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 0,25đ 0,25đ Nếu m ≠1 m≠ d(m) cắt trục hoành A ;0 cắt trục tung m 1 B0 ; Gọi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có : m2 1 (m 1)2 (m 2) 2 2 OH OA OB 0,25đ 0,25đ 3 1 2m2 6m m OH 2 2 0,25đ (2) 2 suy khoảng cách lớn từ O đến d(m) VËy OH2 OH OH lí n nhÊt m Từ (1) (2) < Khi đường thẳng d có cơng thức x - y- = 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu A M B K O E G D C Câu a (1,5đ) Gọi G trung điểm BC OG BC GB = GC GE = GD (đl) (đl) suy AE hay AE = 2OG Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 Suy EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vng OGE OGB ta có : OG2+GE2= r2 OG2+GB2= R2 Do EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2) = 2R2 +2r2 ( không đổi) OG đường trung bình ADE nên OG= 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B M A O GE D C Trường hợp đặc biệt : G E D Thì chứng minh Câu b Hai tam giác ABC ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm (1,5đ) 0,25đ 0,5đ Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM ABC qua trọng tâm ADE Câu c (1đ) AK nên H trùng với G ( trung điểm chung hai đoạn thẳng DE BC ) Mà OGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy A di động đường tròn (O; r) H di động đường tròn đường kính OE Do H thuộc tia AK, mà K trọng tâm ADE AH 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ ...Đáp án biểu điểm chấm Toán Câu Câu1 Nội dung Điểm 125 125 vµ b = 3 27 27 Th× a3 b3 vµ a.b = 3 3 x a b x... 6) 0,25 đ Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z 0,25 đ Câu (1,5đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề cho suy : 1 x y z (1) y z x x y (1) y z z x (2) Từ (3)... xz 0,5 đ x y 1 y x xy y z z x y z z x x y zyzxxy (3) x y z Häc sinh chứng minh đư ợ c xyz b c 1 a + b( ) c( ) = (2) m m m m Đ ẳng thức chứng tỏ x= nghiệm